物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡

第3章邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!3.1概述邏輯函數(shù)的表示方法如下：設(shè)輸入邏輯變量為A、B、C、

…，輸出邏輯變量為F。當(dāng)A、B、C、

…的取值確定后，F(xiàn)的值就被唯一的確定下來，則稱F是A、B、C、…

的邏輯函數(shù)，記為：F=f（A，B，C，

…）

邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值只能是0或1，沒有其它中間值。

邏輯函數(shù)真值表邏輯表達式邏輯圖波形圖和卡諾圖物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!3.2邏輯代數(shù)的運算規(guī)則

3.2.1邏輯代數(shù)基本公理

公理1：設(shè)A為邏輯變量，若A≠0，則A＝1；若A≠l，則A＝0。這個公理決定了邏輯變量的雙值性。在邏輯變量和邏輯函數(shù)中的0和1，不是數(shù)值的0和1，而是代表兩種邏輯狀態(tài)。公理2：。式中點表示邏輯與，在用文字表述時常省略；加號表示邏輯或。公理3：。公理4：。。公理5：；。物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!3.2.2邏輯代數(shù)的基本定律

（1）0-1律：。（2）自等律：。（3）重疊律：。（4）互補律：。（5）還原律：。（6）交換律：。（7）結(jié)合律：。以上各定律均可用公理來證明，方法是將邏輯變量分別用0和1代入，所得的表達式符合公理2至公理5。物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!3.2.2邏輯代數(shù)的基本定律

（9）吸收律：

證明：

(10)等同律：

證明：

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!3.2.2邏輯代數(shù)的基本定律

（12）包含律：

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!3.2.3摩根定理【例3-1】應(yīng)用摩根定理化簡邏輯函數(shù)

解：反復(fù)應(yīng)用摩根定理可得：物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!3.2.4邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

2．反演規(guī)則

對于任何一個邏輯表式F，若將其中所有的與“·”變成或“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是。

原則：

(1)注意保持原函數(shù)中的運算符號的優(yōu)先順序不變。

【例3-2】已知邏輯函數(shù)，試求其反函數(shù)。解：而不應(yīng)該是物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!3．對偶規(guī)則

對于任何一個邏輯表達式F，如果將式中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，原表達式中的運算優(yōu)先順序不變。那么就可以得到一個新的表達式，這個新的表達式稱為F的對偶式F*。

【例3-4】已知，求。解：【例3-5】已知，求。解：物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!3.3邏輯函數(shù)表述方法

3.3.1邏輯代數(shù)表達式3.3.2邏輯圖表述

【例3-7】分析圖3-1邏輯圖的邏輯功能。解：由圖可知

ABSC圖3-1例3-7的邏輯圖物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!3.3.4卡諾圖表述(a)2變量卡諾圖(b)3變量卡諾圖(c)4變量卡諾圖圖3-22、3、4變量的卡諾圖

m20m21m23m22m18m19m17m1610m28m29m31m30m26m27m25m2411m12m13m15m14m10m11m9m801m4m5m7m6m2m3m1m000100101111110010011001000CDEAB圖3-35變量的卡諾圖物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!3.4.2最大項表述

1．最大項的定義設(shè)有n個變量，它們所組成的具有n個變量的“或”項中，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，這個“或”項稱為最大項。

2．最大項的性質(zhì)(a)對于任何一個最大項，只有對應(yīng)的一組變量取值，才能使其值為“0”。例，只有變量ABCD=0000時（每一變量都為0時），才有A+B+C+D為“0”。(b)相同變量構(gòu)成的任何兩個不同最大項邏輯“或”為“1”。例，M4+M6=(c)n個變量的全部最大項之邏輯“與”為“0”，即：(d)某一個最大項不是包含在邏輯函數(shù)F中，就是包含在反變量中。(e)n個變量構(gòu)成的最大項有n個相鄰最大項。例，與是相鄰最大項。

3．最小項與最大項的關(guān)系下標(biāo)i相同的最小項與最大項互補，即。例如，，即為：。

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!3.4.4標(biāo)準(zhǔn)或與表達式

【例3-11】將=Σm（0，2，3，6）展開為最大項之積的形式。

【例3-12】將寫成標(biāo)準(zhǔn)或與表達式。物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!3.4.6邏輯函數(shù)表達式與真值表的相互轉(zhuǎn)換1．由真值表求對應(yīng)的邏輯函數(shù)表達式

M7M6M5M4M3M2M1M0m0m1m2m3m4m5m6m701110100000001010011100101110111最大項最小項FABC表3-3真值表物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!3.5邏輯代數(shù)化簡法

3.5.1并項化簡法

【例3-14】化簡

【例3-15】化簡

【例3-16】化簡

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!3.5.3配項化簡法

【例3-20】化簡

【例3-21】化簡

方法①

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!3.5.4消去冗余項化簡法【例3-23】化簡

【例3-24】化簡

【例3-25】化簡

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!3.5.4消去冗余項化簡法【例3-27】化簡

解：(1)先求出F的對偶函數(shù)，并對其進行化簡：

(2)求的對偶函數(shù)，便得F的最簡或與表達式:

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!3.6.1與或表達式的卡諾圖表示

【例3-29】用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：解：

圖3-5非標(biāo)準(zhǔn)與或表達式的卡諾圖例子

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!3.6.2與或表達式的卡諾圖化簡1．卡諾圖化簡原理

圖3-7邏輯相鄰最小項的概念

m10m11m9m810m14m15m13m1211m6m7m5m401m2m3m1m00010110100CDAB物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!3.6.2與或表達式的卡諾圖化簡【例3-31】用卡諾圖化簡法求出邏輯函數(shù)：F（A,B,C,D）=Σm（2,4,5,6,10,11,12,13,14,15）的最簡與或式。

圖3-8例3-31的卡諾圖11001011111110110110000010110100CDAB解：F（A,B,C,D）=物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!3.6.2與或表達式的卡諾圖化簡【例3-33】用卡諾圖化簡法求出邏輯函數(shù)：F(A,B,C,D)=Σm(0,2,3,4,6,8,10,11,12,14)的最簡與或式。

解：11011010011110010111010010110100CDAB圖3-10例3-33的卡諾圖F（A，B，C，D）=物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!【例3-35】用卡諾圖化簡下面或與表達式：解：圖3-12例3-35的卡諾圖2．或與表達式的卡諾圖化簡

A+C011010111001100010CAB物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!解：圖3-14例3-37的卡諾圖

3.6.4含無關(guān)項邏輯函數(shù)的化簡【例3-37】化簡函數(shù)：

：已知約束條件為：

1××110×××011××000111010010110100CDAB物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!3.2.2邏輯代數(shù)的基本定律

（8）分配律：加（邏輯或）對乘（邏輯與）的分配律證明如下：

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!3.2.2邏輯代數(shù)的基本定律

（11）反演律（摩根定理）

采用真值表法證明，反演律成立。000011001101001110111100BAA·

B物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!3.2.3摩根定理（1）邏輯變量“與”運算后取反等于各個邏輯變量分別取反的“或”運算。用公式表示如下：（2）邏輯變量“或”運算后取反等于各個邏輯變量分別取反的“與”運算。用公式表示如下：

上述兩個定理也適用于多個變量的情形，如：物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!3.2.4邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

1．代入規(guī)則例:

A（B+C）=AB+AC，等式中的C都用（C+D）代替，該邏輯等式仍然成立，即A（B+（C+D））=AB+A（C+D）

任何一個含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!2．反演規(guī)則

原則：

(2)不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變?；虿粚儆趩蝹€變量上的反號下面的函數(shù)當(dāng)一個變量處理?！纠?-3】已知,求。解法一：解法二：物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!3．對偶規(guī)則

對偶式的兩個重要性質(zhì)：性質(zhì)1：若F（A，B，C，···）=G（A，B，C，···），則F*=G*性質(zhì)2：（F*）*=F

【例3-6】證明函數(shù)是一自對偶函數(shù)。證明：

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!3.3.3真值表表述

【例3-8】列出函數(shù)Y=AB+BC+CA的真值表。解：

表3-2例3-8的真值表ABCY00000010010001111000101111011111從真值表中可以看出，這是一個多數(shù)表決通過的邏輯函數(shù)，當(dāng)輸入變量A、B、C中有兩個或兩個以上為1時，輸出變量Y為1。物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!3.4邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

3.4.1最小項表述1．最小項的定義

設(shè)有n個變量，它們所組成的具有n個變量的“與”項中，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為最小項。2．最小項的性質(zhì)(a)對于任何一個最小項，只有對應(yīng)的一組變量取值，才能使其值為“1”。(b)相同變量構(gòu)成的兩個不同最小項邏輯“與”為“0”。(c)n個變量的全部最小項之邏輯“或”為“1”，即：(d)某一個最小項不是包含在邏輯函數(shù)F中，就是包含在反函數(shù)中。n個變量構(gòu)成的最小項有n個相鄰最小項。例，與是相鄰最小項。

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!3.4.3標(biāo)準(zhǔn)與或表達式

【例3-9】將展開為最小項之和的形式。

【例3-10】將寫成標(biāo)準(zhǔn)與或表達式。

。

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!3.4.5兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的相互轉(zhuǎn)換對于一個n變量的邏輯函數(shù)F，若F的標(biāo)準(zhǔn)與或式由K個最小項相或構(gòu)成，則F的標(biāo)準(zhǔn)或與式一定由個最大項相與構(gòu)成，并且對于任何一組變量取值組合對應(yīng)的序號i，若標(biāo)準(zhǔn)與或式中不含mi，則標(biāo)準(zhǔn)或與式中一定含Mi。【例3-13】將標(biāo)準(zhǔn)與或表達式表示為標(biāo)準(zhǔn)或與表達式。物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!3.4.6邏輯函數(shù)表達式與真值表的相互轉(zhuǎn)換2．由邏輯函數(shù)表達式求對應(yīng)的真值表

步驟

在真值表中列出輸入變量二進制值的所有可能取值組合將邏輯函數(shù)的與或（或與）表達式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)與或（或與）形式

將構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)與或（或與）形式的每個最小項（最大項）對應(yīng)的輸出變量處填上1（0），其它填上0（1）：111；：110；:011在真值表中，輸入變量二進制值111、110、011對應(yīng)的輸出變量處填上1，其它填上0即得該函數(shù)的真值表。例，物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!3.5.2吸收化簡法【例3-17】化簡

【例3-18】化簡

【例3-19】化簡

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!3.5.3配項化簡法

【例3-22】化簡

方法②Ａ＋Ａ＝Ａ

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!3.5.4消去冗余項化簡法【例3-26】化簡

物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!3.6卡諾圖化簡法

3.6.1與或表達式的卡諾圖表示

【例3-28】用卡諾圖表示下面的標(biāo)準(zhǔn)與或表達式：101010111001000010CDABABCABCABC圖3-4標(biāo)準(zhǔn)與或表達式的卡諾圖解：物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!3.6.1與或表達式的卡諾圖表示

【例3-30】用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：

圖3-6非標(biāo)準(zhǔn)與或表達式的卡諾圖

解：在變量A、D取值均為00的所有方格中填入1；在變量B、C取值分別為0、1的所有方格中填入1，其余方格中填入0。物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!3.6.2與或表達式的卡諾圖化簡2．卡諾圖化簡的步驟

步驟1：對卡諾圖中的“1”進行分組，并將每組用“圈”圍起來。步驟2：由每個圈得到一個合并的與項。

步驟3：將上一步各合并與項相加，即得所求的最簡“與或”表達式。物聯(lián)網(wǎng)理論與技術(shù)》第3章：邏輯函數(shù)運算規(guī)則及化簡共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!【例3-32】某邏輯電路的輸入變量為A、B、C、D，它的真值表如表所示，用卡諾圖化簡法求出邏輯函數(shù)F(A,B,C,D)的最簡與或表達式。解：ABCDFABCDF00001100010001010010001001010100110101100100111001010111101001100111000111011111表3-4真值表圖3-9例3-32的卡諾圖1001100101