《概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第一章》答案

精品文檔第1章事件與概率2若ABC(1)ABCA(2)ABCA；(3)ABC；(4)ABC.3、AA1

An

表示成n個兩兩互不相容事件的和．6、若D是四個事件，試用這四個事件表示下列各事件）這四個事件至少發(fā)（）這四個事件恰好發(fā)生兩個（3AB都發(fā)生而CD（4）這四（）這四個事件中至多發(fā)生一個。8）Cn

2Cn

n

nCn

n2n1；C1n

2Cn

n

n1nCn

0；arCkrCkCar.a bk0

ab9、袋中有白球5只，黑球6只，陸續(xù)取出三球，求順序為黑白黑的概率。1、一部五本頭的文集，按任意次序放書架上去，試求下列概率（1）第一卷出現(xiàn)在旁邊；（2）第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊（）第一卷或第五卷出現(xiàn)在旁邊）第一卷及第五（5）第三卷正好在正中。11、把戲，2，3，4，5諸數(shù)各寫在一小紙片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得數(shù)是偶數(shù)的概率。12、在一個裝有n只白球，n只黑球，n只紅球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、紅球分別有mm1 2

,m(mm m3 1 2

m)只的概率。13、甲袋中有3只白球，7辦紅球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只紅球，9只黑球。現(xiàn)從兩袋中各取一球，求兩球顏色相同的概率。14、由盛有號碼1,2,，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次記下其號碼，試求這些號碼按嚴(yán)格上升次序排列的概率。.精品文檔16、任意從數(shù)列，N 中不放回地取出n 個數(shù)并按大小排列成：xx1

xm

xn

，試求xm

M的概率，這里1MN18、從6只不同的手套中任取4只，問其中恰有一雙配對的概率是多少？1、從n雙不同的鞋子中任取2r(2r<n只，求下列事件發(fā)生的概率）沒有成對的鞋子；（）4）有r對鞋子。2、袋中有n只球，記有號碼,,,n，求下列事件的概率（）任意取出兩球，號碼為1,22）任意取出3球，沒有號碼（30任意取出5球，號碼1,2,3中至少出現(xiàn)一個。2,,,N號的球各一只，采用）（）不放回方式摸球，試求在第k次摸球時首次摸到1號球的概率。24、從52張撲克牌中任意抽取13張來，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張草花的概率。2、橋牌游戲中（四人各從52張紙牌中分得13張，求4張A集中在一個人手中的概率。2、在撲克牌游戲中（從52張牌中任取5張，求下列事件的概率（）以A（2）（3）（4）三張同點（）（6）（7）（8）五9）（1）其它情況。27、某碼頭只能容納一只船，現(xiàn)預(yù)知某日將獨立來到兩只船，且在24小時內(nèi)各時刻來到有可能性都相等，如果它們需要停靠的時間分別為3小時及4小時，試求有一船要在江中等待的概率。28、兩人約定于7點到8點在某地會面，試求一人要等另一人半小時以上的概率。33AA1 2

,,An

是隨機事件，試用歸納法證明下列公式：P(AAA

)

P(A) P(AA)(1)n1P(AA

A)。1 2

i1

i i jnji1

1 2 n36N個學(xué)生參加考試(nN)結(jié)束后，至少有一張考簽沒有被抽過的概率。37、甲，乙丙三人按下面規(guī)則進行比賽，第一局由甲，乙參加而丙輪空，由第一局的優(yōu)勝者與丙進行第二局比賽，而失敗者則輪空，比賽用這種方式一直進行到其中一個人連勝兩.精品文檔乙，丙成為整場比賽優(yōu)勝者的概率各是多少？39pqrBPABB。40、已知：PABPAPB,CAB,CAB，證明：P(AC)P(A)P(C)。43、利用概率論的想法證明下列恒等式：1Aa(Aa)(Aa1) (Aa)21 AA1 (A1)(A2) (A1)(a1)a a其中A，a都是正整數(shù)，且Aa。46、證明的一切子集組成的集類是一個域。47、證明：域之交仍為域。48、證明：包含一切形如(x的區(qū)間的最小域是一維波雷爾域。解答2（ABCABC(ABC)B且CA，若A發(fā)生，則B與C必同時發(fā)生。ABCABCABA且CA，BC發(fā)生，均導(dǎo)致A發(fā)生。ABCA與B同時發(fā)生必導(dǎo)致C發(fā)生。ABCABC，A發(fā)生，則B與C至少有一不發(fā)生。.精品文檔3、解A

A

A(

A)(

AA )1 2 n 1 2 1 n 1 n1(或)＝A1

AA2

An

AA 1 2

n1．61）}=ABCD.}=ABCDACBDADBCBCADCDABBDAC.{A，B都發(fā)生而ABCD.ABCDABCD.ABCDABCDBACDCABDDABCABACADBCBDCD..精品文檔8（）因為1x)

1C1xC2x

nCnxn，兩邊對x求導(dǎo)得n n nn(1x)n1C12C2xnCnxn1，在其中令x=1即得所欲證。n n n在上式中令x=-1即得所欲證。0raCar

Cbr, Ck

Cbk，此題即等于ab ab b b要證

CkrCbk

Cbr,0ra.利用冪級數(shù)乘法可證明此式。因為a bk0

ab(x1)a(x1)b(x1)ab，比較等式兩邊xbr的系數(shù)即得證。9P/A350.156 5 5 11 3311）第一卷出現(xiàn)在旁邊，可能出現(xiàn)在左邊或右邊，剩下四卷可在剩下四個位置上任p24/52/5p23!/5!1/10pP{第一卷出現(xiàn)在旁邊}+P{第五卷出現(xiàn)旁邊}-P{第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊}=2217.5 5 10 10這里事件是中事件的對立事件，所以P17/103/10第三卷居中，其余四卷在剩下四個位置上可任意排，所以P14/51/5、解242（4）時，前兩位數(shù)字從剩下四個數(shù)字中選排，所以P2A2/A32/54 512、解PCm1Cm2Cm3/3Cmn n n 3n13、解：P{兩球顏色相同}=P{兩球均白}+P{兩球均黑}+P{兩球均紅}310

76

159

207

0.33.25 25 25 25 25 25 62514解n個號碼必然全不相同，nNN個不同號碼可產(chǎn)生n!.精品文檔種組合對應(yīng)一種嚴(yán)格上升排列，所以共有CnN

種按嚴(yán)格上升次序的排列?？偪赡軋龊蠑?shù)Nn，故題中欲求的概率為PCnN

/Nn.16nMm-11,N}中取出nm個數(shù)，數(shù)M一定取出，把這n個數(shù)按大小次序重新排列，則必有xmM。PCm1

C1Cnm

/CnM1m1NMnmP0.M1 NM N.精品文檔18、解：有利場合是，先從6雙中取出一雙，其兩只全取出；再從剩下的5雙中取出兩雙，16從其每雙中取出一只。所以欲求的概率為PC1C2C2C1C1/C4

0.486 2 5 2 2 12 331、解（1）有利場合是，先從n雙中取出2r雙，再從每雙中取出一只。PC2r(C1)2r/C2r, (2rn)n 2 2n（2）有利場合是，先從n雙中取出一雙，其兩只全取出，再從剩下的n1出2r2雙，從鞭每雙中取出一只。PC1C2C2r2(C1)2r2/C2rn22r2C2r2/C2r.n 2 n1 2 2n n1 2n（3）P22r4C2C2r4/C2r.n n2 2n（4）PCr(C2)r/C2r

C

/C2r.n 2 2n n 2n2、解（1P任意取出兩球，號碼為，2}=1/C2.n（2）任取3個球無號碼1，有利場合是從除去1號球外的n1個球中任取3個球的組合數(shù)，故P{任取3球，無號碼1}C3n1

/C3.n（3）P{任取5球，號碼1,2,3中至少出現(xiàn)1個}=1P{任取5球，號碼1,2,3不出現(xiàn)1C5n3

/C5.n51,2,3號球外的n35組合數(shù)。.精品文檔2（k1次從N1（除1號外k次取到1號球，P(N1)k11/Nk(N1)k1/Nk考慮前kPAkN1

1/AkN

1/N。mn22.老師的解法)P=(mn!23..精品文檔24、解PC5C3C3C

/C13

0.012913 13 13 13 52C1C4C9C13C13C13

4C925、解：P

4 4 43 39 26 13

430.0106.C13C13C13C13 C1352 39 26 13 52A集中在特定一個手中的概率為C4C9/C134A集中在一個人手中的概率為P4C948

/C1352

0.0106.

4 48 522、解（1）P4/C552

0.0000015.這里設(shè)A只打大頭，若認(rèn)為可打兩頭AKQJ10及A2345，則答案有變，下同。取出的一張可民由K，Q，…，6八個數(shù)中之一打頭，所以PC1C1/C5

0.0000123.4 8 5213481PC1C4/C

0.00024.13 4 5231312個點中的一個點，所以 PC1C3C1C2/C

0.00144.13 4 12 4 525135個點，所以PC1C5/C

0.00198.4 13 52異花順次五張牌}={}－{同花順次五張牌}。順次五張牌分別以A，K，…，6種花中一種。所以p=P{順次五張牌}－{同花順次五張牌}C1(C1)5

C1C1

/C

0.0000294.9 4 4 9 52.精品文檔（7）三張同點牌占有13 個點中一個占有剩下12 個點中兩個點，所以PC1C3C2(C1)2/C

0.0211.13 4 12 4 52（8）P{五張中有兩對}=P{五張中兩對不同點}+P{五張中兩對同點}C2C2C2C1C1/C

C1C4C1C1/C5

0.0475.12 4 4 11 4

13 4 12 4 52（9）pC1C2C3(C1)3/C

0.423.13 4 12 4 52（10）（i）Ai

A1

A,A5

A,A5

A,A8

A而事件9A,,

兩兩不相容，所以p1

A1

P(A)0.506.5 9

ii5

ii5FEFE27、解：設(shè)x，y分別為此二船到達碼頭的時間，則 240x24,0y24.條件決定的正方形內(nèi)的點是一一對應(yīng)的（如圖）設(shè)A表事一船要等待空出碼”，則Ａ發(fā)生意味 ４著同時滿足下列兩不等式xy3,yx4 Ｃ０３ 24由幾何概率得，事件Ａ的概率，等于正方形ＣＤＥＦ中直線xy及yx4 間的部分面積，與正方形CDEF的面積之比，即 1 1 PA24222022/242311/11520.27 FNEMHDCG28、解：設(shè)FNEMHDCG7x7y8。顯然，此二人到達時間 8(x,y)與由上述條件決定的正方形CDEF內(nèi)和點是一一對應(yīng)如圖。 7設(shè)A其中一人必須等另外一人的時間1/2小時以“，則A發(fā)生意味著滿足如下 0 7 8 x1 1不等式xy

或yx 。由幾何概率得，2 2事件A的概率等于ΔGDH及ΔFMN的面積之和與正方形CDEF的面積之比，所以1 1 1 1 1 1P(

( )2 2 2 2 2 4.精品文檔.精品文檔.精品文檔33、證：當(dāng)n2AA1 2

A(A1

AA1

)，AA1

AA1

兩者不相容，所以P(A1

A)P(A2

AA1

)P(A1

)P(A2

)P(AA).1 2此即當(dāng)n2時原式成立。設(shè)對n1原式成立，現(xiàn)證對n原式也成立。P(A1

An1

A){An 1

An1

A}nP(A1

An1

)P(An

){A1

An1

A}nP(A1

An1

)P(An

){AA1 n

AA2

A A}n1 n對前后兩項分別應(yīng)用歸納假設(shè)得n1 P(

A

P(A)

P(A

)(1)n2P(AA )1P(A)n

n1 n

n1

i i jn1ji1

1 n1n

P(Ai

A)n

P(AAAi n

A)(1)n2P(AAAn i n

AA A)n n1 ni1 ji1.精品文檔ni1

P(A)i

P(Ainji1

A)(1)n1P(AAj 1

A).n至此，原式得證。36、解：設(shè)考簽編號為1,2,,N，記事件Ai

{第x號考簽未被抽到}，則P(Ai

)(N1)n/Nn， P(AAi j

)(N2)n/Nnj),，P(AAA1 2 N

)(NN)n/Nn0；.精品文檔諸A相容，利用第33題公式計算得iP={P{AA1 2

A}NNP(A) P(AA)() P(AAA )N1i i ji1 Nji1

1 2 NC1N

(N1)Nn

C2N

(n2)Nn

N2CN1 0N NnN1i1

(1)i1C1N

(Ni)n.Nn37、解：這些比賽的可能結(jié)果，可以用下面方法表示：aa,acc,acbb,acbaa,acbacc,acbacbb,bb,bcc,bcaa,bcabb,bcabcc,bcabcaa,其中a表甲勝，b表乙勝，c表丙勝。k個字母的事件發(fā)生的概率應(yīng)為12k

，如aa發(fā)生的概率為1/4，acbb發(fā)生的概率為1/16等等。則p(c)P(acc)P(bcc)P(acbacc)P(bcabcc)2123p(a)p(b)，得

2126

2129

2.71 p(a)p(b) (1 )5.1 2 7 1439、解PAB)PAB)PABB)PABP(B)rqP(AB)P(AB)1P(AB)1r..精品文檔40、證BCCCAB)C.由CABCAB，1 2∴CC1

C，CC2 1

（1）又CAB∴AC1

A(BC)AB P(B)P(C得1P(AC1

)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(C1

) （2）由C2A并利用P(A)1得P(AC2

)P(C2

)P(A)P(C2

) （3）由（1（3）可得P(AC)1

C)P(AC2

AC)2P(AC)P(AC)P(A)P(C)P(A)P(C)1 2 1 2P(A)P(C1

)P(C)2

P(A)P(C)43、證：設(shè)袋中有A個球，其中a個是白球，不還原隨機取出，第k次才首次取得白球的.精品文檔概率為

Ak

a(Aa)(Aa1)(Aak2) (k1,2,,AaP Aa k AkA

.A1)(A2)(Ak因為袋中有aAaAa1次一定會取到白球；也就是說，第一次或第二次…或至遲到