心理統(tǒng)計(jì)學(xué)之概率與分布

本資料來源概率與分布授課老師：禤宇明本章主要內(nèi)容概率古典和統(tǒng)計(jì)定義、概率的性質(zhì)、加法和乘法定理二項(xiàng)分布離散形分別的代表適用條件正態(tài)分布性質(zhì)、查表、應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)1.概率probability

1.1幾個(gè)概念

確定性現(xiàn)象：一定條件下必然發(fā)生某種結(jié)果必然現(xiàn)象 沸騰乙肝，乙肝表面抗原一定為陽性不可能現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象randomevent：一定條件下結(jié)果不定如：擲硬幣后哪面朝上？某患者服用某降壓新藥后：降？不變？生偶然性和必然性隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察隨機(jī)事件簡稱事件，指隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能的結(jié)果必然事件：包含所有可能結(jié)果不可能事件：不包含任何結(jié)果試驗(yàn)

試驗(yàn)結(jié)果（事件）拋擲一枚硬幣 正面，反面對(duì)某一零件進(jìn)行檢驗(yàn) 合格，不合格投擲一顆骰子 1，2，3，4，5，6進(jìn)行一場足球比賽 獲勝，失利，平局頻率和概率頻率frequencyN次重復(fù)試驗(yàn)中A事件發(fā)生的次數(shù)為n，那么事件A發(fā)生的頻率概率probability當(dāng)N趨向于無窮大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率趨向于一個(gè)固定值，這就是事件發(fā)生的概率P(A)實(shí)驗(yàn)者 N nH nH/N德·摩根 2048 1061 0.5181蒲豐 4040 2048 0.5069K·皮爾遜 12000 6019 0.5016K·皮爾遜 24000 12012 0.5005N為投擲硬幣的次數(shù)，nH為正面朝上的次數(shù)1.2概率的定義

1.2.1概率的統(tǒng)計(jì)定義(P74)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)N無限增大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率n/N穩(wěn)定在一個(gè)確定的常數(shù)附近，這就是事件A發(fā)生的概率注：試驗(yàn)滿足條件每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的可能性不變?cè)囼?yàn)?zāi)艽罅恐貜?fù)，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立1.2.2概率的古典定義如果某一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有限（注：任何一個(gè)可能的結(jié)果就是一個(gè)基本事件），且各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則某一事件A發(fā)生的概率為注：概率的統(tǒng)計(jì)定義是后驗(yàn)概率，而古典定義為先驗(yàn)概率思考題：判斷以下哪些試驗(yàn)符合概率的古典定義的要求？試驗(yàn)

試驗(yàn)結(jié)果（事件）拋擲一枚硬幣 正面，反面對(duì)某一零件進(jìn)行檢驗(yàn) 合格，不合格不符合概率的古典定義投擲一顆骰子 1，2，3，4，5，6進(jìn)行一場足球比賽 獲勝，失利，平局不符合概率的古典定義求擲一顆骰子子其點(diǎn)數(shù)小于于5的概率是多少少解：投擲骰子子試驗(yàn)中,可能的點(diǎn)數(shù){1,2,3,4,5,6}，試驗(yàn)結(jié)果有有限，6個(gè)試驗(yàn)結(jié)果以以均等的可能能發(fā)生事事件A={1,2,3,4}，P(A)=4/6=2/31.3概率的性質(zhì)對(duì)任意事件A，0≤P(A)≤1必然事件的概概率為1，即P(W)＝1不可能事件的的概率為0，P()＝0逆事件的概率P(ā讀“非A”)=1－P(A)什么是逆事件件？1.4概率的加法定定理和乘法定定理加法定理若A、B是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率是是P(A+B)=P(A)+P(B)推廣到n個(gè)獨(dú)立事件P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)例求擲一顆骰子子其點(diǎn)數(shù)小于于5的概率某一考生完全全憑猜測(cè)答兩兩道是非題，，求其答對(duì)一一題的概率乘法定理若A、B是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，則A和B同時(shí)發(fā)生的概率是是P(A·B)=P(A)·P(B)推廣到n個(gè)獨(dú)立事件P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)例求擲兩顆骰子子其點(diǎn)數(shù)為12的概率和為11的概率求擲兩顆骰子子其點(diǎn)數(shù)不等等的概率憑猜測(cè)完全答答對(duì)10題4選1選擇題的概率率二戰(zhàn)中飛行員員在每次轟炸炸任務(wù)中被擊擊中的機(jī)會(huì)是是2%，那么執(zhí)行50次任務(wù)“在數(shù)數(shù)學(xué)上”就一一定被擊中嗎嗎？因?yàn)?0×2%=100%N個(gè)人人當(dāng)當(dāng)中中至至少少有有兩兩個(gè)個(gè)人人的的生生日日是是同同一一天天的的概概率率是是多多少少？？2.二項(xiàng)項(xiàng)分分布布2.1排列列permutation從n個(gè)不不同同的的元元素素中中，，任任取取m（m≤≤n）個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素，，按按一一定定順順序序排排成成一一列列P78例3-6用四四個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)字字1，2，3，4可以以組組成成多多少少個(gè)個(gè)沒沒有有重重復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)字字的的二二位位數(shù)數(shù)？？多多少少個(gè)個(gè)沒沒有有重重復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)字字的的四四位位數(shù)數(shù)？？12/24思考考題題：如如果果數(shù)數(shù)字字可可以以重重復(fù)復(fù)，，上上題題的的答答案案又又是是多多少少？？2的四四次次方方=16/4的四四次次方方=2562.2組合合combination從n個(gè)不不同同的的元元素素中中，，任任取取m（m≤≤n）個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素，，不不管管順順序序并并成成一一組組組合的性質(zhì)（P79例3-6）從100個(gè)元素中每次次取97個(gè)不同元素的的組合數(shù)是多多少？2.3隨機(jī)變量的期期望和方差隨機(jī)變量的方方差方差的性質(zhì)2.4二項(xiàng)分布binominaldistribution離散型分布的的一種每次隨機(jī)試驗(yàn)驗(yàn)只有兩種可可能的結(jié)果：：A及ā，P(A)=p，P(ā)＝1－p＝q(0<p<1)。n次獨(dú)立試驗(yàn)下下，事件A發(fā)生的次數(shù)為為x的概率醫(yī)學(xué)中常見結(jié)結(jié)果為兩種互互斥的情況之之一的例子陰性、陽性治愈、未愈傳染、未傳染染致死、存活P82例3-9全憑猜測(cè)答10道是非題，問問分別答對(duì)5、6、7、8、9、10題的概率各為為多少？至少少答對(duì)5題的概率又是是多少？P83例3-10全憑猜測(cè)答10道4選1選擇題，問分分別答對(duì)8、9、10題的概率各為為多少？至少少答對(duì)1題的概率又是是多少？至少少答對(duì)9題的概率是多多少？馬丁服裝店問問題商店經(jīng)理估計(jì)計(jì)進(jìn)入該服裝裝店的任一顧顧客購買服裝裝的概率是0.30,那么三個(gè)顧客客中有兩個(gè)購購買的概率是是多少?分析：試驗(yàn)包含了三三個(gè)相同的試試驗(yàn)，進(jìn)入商商店的三個(gè)顧顧客中的任一一個(gè)即為一次次試驗(yàn)每次試驗(yàn)都有有兩個(gè)結(jié)果：：顧客購買或或不購買顧客購買的概概率(0.30)或不購買的概概率(0.70)被假設(shè)為對(duì)所所有顧客都相相等某個(gè)顧客的購購買決定獨(dú)立立于其他顧客客的購買決定定某保險(xiǎn)公司有有2500個(gè)同一年齡同同一階層的人人參加了壽命命保險(xiǎn)。已知知1年內(nèi)這批人的的死亡水平為為0.002，每個(gè)參加保保險(xiǎn)的人需在在年初支付保保險(xiǎn)費(fèi)12元，如果發(fā)生生死亡，保險(xiǎn)險(xiǎn)公司賠付2000元。保險(xiǎn)公司虧本本的概率是多多少？保險(xiǎn)公司獲利利不少于10000元的概率是多多少？解：設(shè)X為死亡人數(shù)，，如果12×2500<2000X，即X>15時(shí)，保險(xiǎn)公司司要賠本。p=0.002獲利10000元，即12×2500－2000X≥10000,即X≤101.當(dāng)n趨向于無窮大大時(shí)，二項(xiàng)分分布趨向于正正態(tài)分布（重重點(diǎn)）2.二項(xiàng)分布的均均值、方差和和標(biāo)準(zhǔn)差（（重點(diǎn)）2.5其他離散型概概率分布2.5.1負(fù)二項(xiàng)分布某隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)結(jié)果只有兩種種可能，出現(xiàn)現(xiàn)某結(jié)果的概概率為p，則不出現(xiàn)該該結(jié)果的概率率為q=1－p。現(xiàn)在一直進(jìn)進(jìn)行試驗(yàn)，直直至這一結(jié)果果出現(xiàn)r次為止，以X表示試驗(yàn)共需需要進(jìn)行的次次數(shù)，則有一個(gè)市場調(diào)查查員需要完成成500份調(diào)查表的訪訪問任務(wù)，隨隨機(jī)碰到的行行人大約3/10的人樂意回答答他的問題，，每找到一個(gè)個(gè)人需花6分鐘的時(shí)間。。問該調(diào)查員員完成500份問卷約需多多長時(shí)間？2.5.2多項(xiàng)分布現(xiàn)有一批產(chǎn)品品，已知合格格品占11/18，次品占2/9，廢品占1/6，從中隨機(jī)抽抽取6件，問抽到3件合格品、2件次品和1件廢品的概率率有多大？2.5.3幾何分布在一個(gè)伯努利利試驗(yàn)中，某某個(gè)時(shí)間出現(xiàn)現(xiàn)的概率為p，現(xiàn)在一個(gè)一一個(gè)地進(jìn)行試試驗(yàn)，直至出出現(xiàn)該事件為為止，如果X表示試驗(yàn)所需需進(jìn)行的次數(shù)數(shù)，則X服從幾何分布布，其概率分分布函數(shù)f(x)=qk-1p,k=1,2,…E(X)=1/p,Var(X)=q/p22.5.4超幾何分布在50個(gè)零件中，已已知有5個(gè)不合格，如如果隨機(jī)從中中抽4個(gè)，問4個(gè)樣品中恰好好有1個(gè)不合格的概概率是多少？？不超過2個(gè)不合格零件件的概率是多多少？超幾何分布的的推廣一家商業(yè)零售售集團(tuán)開設(shè)了了100家分支商店，，其經(jīng)營業(yè)績績?nèi)缦拢航?jīng)經(jīng)營業(yè)績優(yōu)優(yōu) 良 中差差

分店數(shù)數(shù)24 3828 10從100家分店中隨機(jī)機(jī)抽取20個(gè)，問其中有有8個(gè)優(yōu)、7個(gè)良、3個(gè)中、2個(gè)差的概率是是多少？2.5.5泊松分布泊松分布的醫(yī)醫(yī)學(xué)應(yīng)用舉例例單位時(shí)間內(nèi)某某事件發(fā)生次次數(shù)的分布，，如細(xì)菌、血血細(xì)胞等單位位面積（容積積）內(nèi)計(jì)數(shù)結(jié)結(jié)果的分布人群中某些發(fā)發(fā)病率很低的的傳染病，如如某惡性腫瘤瘤的患病數(shù)或或死亡數(shù)的分分析放射醫(yī)學(xué)中同同位素計(jì)數(shù)的的數(shù)據(jù)處理某些疾病的地地區(qū)或家族集集積性，某種種基因突變而而引起的遺傳傳性疾病的分分布世界杯中的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)作者：陳峰2002年韓日世界杯杯64場比賽中，各各隊(duì)進(jìn)球數(shù)有有多有少。大大部分是0，1，2個(gè)進(jìn)球，個(gè)別別隊(duì)是5個(gè)以上進(jìn)球，，最多的是8個(gè)進(jìn)球。宏觀觀上來說，各各隊(duì)進(jìn)球數(shù)服服從Poisson分布！下面是各隊(duì)進(jìn)進(jìn)球數(shù)(不包括點(diǎn)球)，平均進(jìn)球數(shù)數(shù)1.2578，擬合Poisson分布結(jié)果如下下：每場各隊(duì)進(jìn)球球數(shù) 場數(shù)數(shù) 理論數(shù)數(shù)0 37 36.391 47 45.772 27 28.783 13 12.074 23.795 10.95≥6 10.25合計(jì)128128.00如果包括點(diǎn)球球數(shù)，同樣服服從Poisson分布。3.正態(tài)分布3.1連續(xù)型隨機(jī)變變量不可能一一列列舉可能的取取值取任一指定實(shí)實(shí)數(shù)值的概率率為0我們對(duì)落入某某個(gè)區(qū)間內(nèi)的的概率更感興興趣3.2正態(tài)分布3.2.1正態(tài)分布的概概率密度函數(shù)數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)機(jī)變量x具有概率密度度稱稱x服從參數(shù)為,的正態(tài)分布normaldistribution或高斯分布Gaussiandistribution，記為x～N(,2)其中，為隨機(jī)變量x的均值為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差為圓周率3.14159…e為自然對(duì)數(shù)的的底2.71828…3.2.2正態(tài)（概率密密度）曲線的的特點(diǎn)概率密度曲線線和x軸之間的面積積等于1概率P{x1＜x≤x2}什么是收尾概概率，收尾面面積？關(guān)于x＝對(duì)稱對(duì)任意h>0，有P{-h<x<}=P{<x<+h}當(dāng)x＝時(shí)有最大值x離越遠(yuǎn)，f(x)的值越小并逐逐漸趨向0這表明對(duì)于同同樣長度的區(qū)區(qū)間，當(dāng)區(qū)間間離越遠(yuǎn)，X落入?yún)^(qū)間上的的概率越小如果固定改變的值，則圖形形沿x軸平移，而不不改變形狀如果固定改變，由于最大值值

可知當(dāng)當(dāng)越小時(shí)圖形就就變得越尖，，因而x落在附近的概率就就越大如何理解概率率密度曲線假設(shè)有一根無無限長的棍子子，總的質(zhì)量量為1。棍子的中心心部分密度比比較大，而兩兩端較輕如果把棍子切切成同樣長度度的一段一段段，那么中間間部分的一段段比邊上的重重3.2.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布布＝0，＝1時(shí)，有3.2.3.1標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)數(shù)（P94）又稱為Z分?jǐn)?shù)，以以標(biāo)準(zhǔn)差差為單位位，反映映了一個(gè)個(gè)原始分分?jǐn)?shù)在團(tuán)團(tuán)體中所所處的位位置Z分?jǐn)?shù)的性性質(zhì)Z分?jǐn)?shù)的平平均數(shù)為為0Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差為為1標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)數(shù)的應(yīng)用用比較分屬屬性質(zhì)不不同的觀觀測(cè)值在在各自數(shù)數(shù)據(jù)分布布中相對(duì)對(duì)位置的的高低.如：某人Z身高1.70=0.5,Z體重65=1.2,則該人在在某團(tuán)體體中身高高稍偏高高，而體體重更偏偏重些當(dāng)已知各各不同質(zhì)質(zhì)的觀測(cè)測(cè)值的次次數(shù)分布布為正態(tài)態(tài)時(shí),可用Z分?jǐn)?shù)求不不同的觀觀測(cè)值的的總和或或平均值值，以表表明在總總體中的的位置.3.2.3.2正態(tài)分布布的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化3.2.3.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布表表(P.466)僅給出Z為正值時(shí)時(shí)的P和對(duì)應(yīng)的的Y當(dāng)Z為負(fù)值時(shí)時(shí)利用對(duì)對(duì)稱性求求相應(yīng)的的P和Y對(duì)于X～N(,2)先化為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布再再查表p(0<z<Z)=PZ表示臨界界值例：X~N(0,1)，求以下概概率1)P(0<x<1) 2)P(x<1)3)P(x<-1)4)P(1<x<2) 5)P(|x|1) 6)P(x>-1)寫出以下下區(qū)間如果X～N(,2)X～N(0,1)平均數(shù)左左右1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差差平均數(shù)左左右z個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差需要記住住的一些些Z值0.475的P所對(duì)應(yīng)的的為Z；0.495的P所對(duì)應(yīng)的的Z值1.962.58P96例3-17在某年高高考的平平均分?jǐn)?shù)數(shù)為500，標(biāo)準(zhǔn)差差為100的正態(tài)總總體中，，某考生生得到650分。設(shè)當(dāng)當(dāng)年高考考錄取率率為10％，問該該生成績績能否入入圍？解：該生的的標(biāo)準(zhǔn)分分?jǐn)?shù)為Z＝(650-500)/100=1.5查正態(tài)分分布表,當(dāng)Z=1.5時(shí)，p=0.433從低分到到高分的的順序中中他處于于93.3%的位置從從高分分到低分分的順序序中他處處于6.7%的位置某市參加加數(shù)學(xué)奧奧林匹克克業(yè)余學(xué)學(xué)校入學(xué)學(xué)考試的的人數(shù)為為2800人，只錄錄取學(xué)生生150人，該次次考試的的平均分分為75分，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為8，問錄取取分?jǐn)?shù)應(yīng)應(yīng)定為多多少？解：考試成成績服從從正態(tài)分分布，即即X～N(75,82)，轉(zhuǎn)換成成標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布布Z~N(0,1)。

根據(jù)據(jù)題意招招生人數(shù)數(shù)的概率率為P(Z≥≥Z0)=150/2800=0.05357

P(0<Z<Z0)=0.5－0.05357=0.44643查正態(tài)分分布表，，得Z0=1.6112X0=75+1.6112×8=87.8894≈88假設(shè)成人人智商服服從均數(shù)數(shù)為100，標(biāo)準(zhǔn)差差為15的正態(tài)分分布。如如果智商商大于160的都是天天才，那那么請(qǐng)問問100萬人里有有幾個(gè)天天才？3準(zhǔn)則當(dāng)X~N(,2)時(shí),有P(|x－|)＝0.6826P(|x－|2)＝0.9545P(|x－|3