線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用

線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用摘要線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，它被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)等領(lǐng)域，來解決實(shí)際中的問題。本文通過介紹線性規(guī)劃及其在工商管理中應(yīng)用的實(shí)例，來說明它在工商管理中的重要作用。關(guān)鍵詞運(yùn)籌學(xué)；線性規(guī)劃；方法；應(yīng)用1.線性規(guī)劃在工商管理中運(yùn)用的廣泛性工商管理[1]是研究工商企業(yè)經(jīng)濟(jì)管理基本理論和一般方法的學(xué)科，它通過運(yùn)用現(xiàn)代管理的方法和手段來進(jìn)行有效的企業(yè)管理和經(jīng)營決策，保證企業(yè)的生存和發(fā)展。在當(dāng)今社會(huì)，隨著市場競爭的日益加劇，如何統(tǒng)籌安排，合理利用有限的人力、物力、財(cái)力等資源，使總的經(jīng)濟(jì)效益最好，已經(jīng)成為企業(yè)經(jīng)營管理過程中實(shí)現(xiàn)利益最優(yōu)必須解決的問題。例如：人力資源分配：用最少的勞動(dòng)力來滿足工作的需要?產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃：合理利用人力、物力、財(cái)力等，使獲利最大?套裁下料：如何在保證生產(chǎn)的條件下，下料最少?配料問題：在原料供應(yīng)量的限制下如何獲取最大利潤?投資問題：從投資項(xiàng)目中選取方案，使投資回報(bào)最大?運(yùn)輸問題：如何制定調(diào)運(yùn)方案，使總運(yùn)費(fèi)最小?這樣的問題常常可以化成或近似地化成“線性規(guī)劃”（Linear

Programming,簡記為LP）問題。線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最好。一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題[2]。利用線性規(guī)劃我們可以解決很多問題，例如上述人力資源分配、計(jì)劃安排、套裁下料等諸多方面的問題，在本文的后面我們將用線性規(guī)劃方法對企業(yè)在生產(chǎn)中的具體問題進(jìn)行探討。2.線性規(guī)劃的模型線性規(guī)劃[2]是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。自1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出了一般線性規(guī)劃問題求解的方法——單純形法之后，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在實(shí)用中日益廣泛與深入。特別是在電子計(jì)算機(jī)能處理成千上萬個(gè)約束條件和決策的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更為廣泛了，它已是現(xiàn)代科學(xué)管理的重要手段之一了。建模過程[3]：（1）理解要解決的問題，了解解題的目標(biāo)和條件；（2）定義決策變量（1，，…，），每一組值表示一個(gè)方案；（3）用決策變量的線性函數(shù)形式寫出目標(biāo)函數(shù)，確定最大化或最小目標(biāo)；（4）用一組決策變量的等式或不等式表示解決問題過程中必須遵循的約束條件。線性規(guī)劃問題的一般形式為目標(biāo)函數(shù)：max(min)QUOTE約束條件：s.t.標(biāo)準(zhǔn)形式max用矩陣表示即系數(shù)組成的矩陣稱為約束矩陣A=一般講，一個(gè)經(jīng)濟(jì)、管理問題需滿足以下條件，才能建立線性規(guī)劃模型。要求解問題的目標(biāo)函數(shù)能用數(shù)值指標(biāo)來反映，且為線性函數(shù)；存在多種方案和有關(guān)數(shù)據(jù)；（3）要求達(dá)到的目標(biāo)是在一定的約束條件下實(shí)現(xiàn)的，這些條件可用線性式或不等式來描述。3.求解線性規(guī)劃問題常用的方法3.1圖解法對于只有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問題，可以在平面直角坐標(biāo)系上作圖表示，取公共部分，然后作出目標(biāo)函數(shù)，使其在公共部分移動(dòng)至取到最優(yōu)解。3.2單純形法[1]單純形法的基本思路：從可行域中某一個(gè)頂點(diǎn)開始，判斷此頂點(diǎn)是否是最優(yōu)解，如不是，則再找另一個(gè)使得其目標(biāo)函數(shù)值更優(yōu)的頂點(diǎn)，稱之為迭代，再判斷此點(diǎn)是否是最優(yōu)解。直到找到一個(gè)頂點(diǎn)為其最優(yōu)解，就是使得其目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的解，或者能判斷出線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解為止。單純形法的計(jì)算步驟：（=1\*alphabetica）建立初始單純形表；（=2\*alphabeticb）檢驗(yàn)所得的基本可行解是否為最優(yōu)解：若所有的≤0，則已獲得最優(yōu)解，停止計(jì)算，否則，轉(zhuǎn)入下一步；（=3\*alphabeticc）基變換：確定所對應(yīng)的非基變量為換入變量（變?yōu)榛兞浚?，確定所對應(yīng)的基變量為換出變量；（=4\*alphabeticd）進(jìn)行迭代得新的單純形表。3.2.1大M法[3]把人工變量“強(qiáng)行”地加到原來的約束方程中去，就令人工變量在求最大值的目標(biāo)函數(shù)里的系數(shù)為－M，這個(gè)方法叫做大M法。3.2.2兩階段法[3]將加入人工變量后的線性規(guī)劃劃分兩階段求解。第一階段：要判斷原線性規(guī)劃是否有基本可行解；第二階段：將第一階段的最終單純形表中的人工變量取消，將目標(biāo)函數(shù)換成原問題的目標(biāo)函數(shù)，把此可行解作為初始可行解進(jìn)行計(jì)算。利用單純形法來解決線性規(guī)劃問題計(jì)算量大，尤其是變量較多的情況下，現(xiàn)在隨著科技發(fā)展，計(jì)算機(jī)應(yīng)用日益廣泛，用運(yùn)籌學(xué)軟件來解決線性規(guī)劃問題被廣泛運(yùn)用，但由于實(shí)際情況多變且復(fù)雜，不可能用機(jī)器來得到最佳方案最優(yōu)解，因此我們也應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況來權(quán)衡利弊，以實(shí)現(xiàn)利益最優(yōu)。3．3計(jì)算機(jī)求解[1]利用MATLAB求解：使用matlab中OptimizationToolbox中的linprog關(guān)鍵字。[x，fval]=linprog(f，A，b，Aeq，beq，lb，ub)，其中，x為最優(yōu)解，fval為取得最優(yōu)解時(shí)目標(biāo)函數(shù)的取值，f表示目標(biāo)函數(shù)中決策變量的系數(shù)矩陣，A表示約束條件的系數(shù)矩陣，b表示約束條件不等式右邊的常量，Aeq表示約束條件有等式時(shí)的系數(shù)矩陣，beq表示約束條件有等式時(shí)的常量，lb、ub分別表示決策變量的最小、最大取值，即QUOTE[lb，ub]。如線性規(guī)劃問題max解：matlab代碼為：f=[-2;-3];A=[10;12;01];b=[4;8;3];lb=zeros(2,1);[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb);求解出來的結(jié)果為；。由于電子計(jì)算機(jī)應(yīng)用的飛速發(fā)展，應(yīng)用計(jì)算機(jī)處理線性規(guī)劃問題使求解變得越來越容易，各種應(yīng)用軟件也被開發(fā)出來，同時(shí)也被企業(yè)廣泛應(yīng)用?！肮芾磉\(yùn)籌學(xué)”軟件[2]可以解決含有100個(gè)變量50個(gè)約束方程的線性規(guī)劃問題，可以解決工商管理中大量的問題。在計(jì)算機(jī)相應(yīng)軟件如下圖，輸入所求問題的變量個(gè)數(shù)、約束條件個(gè)數(shù)、目標(biāo)函數(shù)，點(diǎn)擊“確定”后，再在表中輸入，QUOTE和等值，并確定變量的正負(fù)約束。點(diǎn)擊“解決”按鈕，即可得出計(jì)算結(jié)果。Lindo軟件是解決線性規(guī)劃問題的有力工具，它可用于解決50000個(gè)約束條件，20000個(gè)變量的線性規(guī)劃問題。4.線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用受到越來越多專家學(xué)者的重視，由國際運(yùn)籌與管理科學(xué)協(xié)會(huì)（INFORMS）和它的管理科學(xué)實(shí)踐學(xué)會(huì)（CollegeforthePracticeoftheManagementSciences）主持評獎(jiǎng)的負(fù)有盛名的弗蘭茨·厄德曼（FranyEdlman）獎(jiǎng)，就是為獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀的運(yùn)籌學(xué)在管理中的應(yīng)用的成就設(shè)立的，該獎(jiǎng)每年舉行一次，在對大量富有競爭力的入圍者進(jìn)行艱苦的評審后，一般有六位優(yōu)勝者獲獎(jiǎng)。關(guān)于這些獲獎(jiǎng)項(xiàng)目的文章都在第二年發(fā)表在著名刊物Interface的第一期上。下圖4-1為中美國家線性規(guī)劃方法在企業(yè)中的使用情況。通過對比，我們發(fā)現(xiàn)，我國對線性規(guī)劃的應(yīng)用還應(yīng)更為廣泛。圖4-1下面我們就以一家農(nóng)用批發(fā)零售商店為例，來看看如何用線性規(guī)劃來解決實(shí)際中的問題。例一家中型的農(nóng)用批發(fā)零售商店，它對售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如下表4-1-1所示。為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，且為連休。問應(yīng)該如何安排售貨人員的作息，既滿足工作需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少？時(shí)間所需銷售員人數(shù)星期日20星期一13星期二16星期三18星期四16星期五23星期六22表4-1-1解：設(shè)QUOTE(i=1，2，…，7)表示星期一至日開始休息的人數(shù)，這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。目標(biāo)函數(shù)：min約束條件：s.t.例該商店根據(jù)多年的經(jīng)銷經(jīng)驗(yàn)，預(yù)測經(jīng)營某化肥今后4個(gè)月購進(jìn)與銷出價(jià)格如表4-2-1所示（數(shù)據(jù)參見中國化肥網(wǎng)），該種化肥可以完全銷出，該店每月初銷貨，月中進(jìn)貨，且進(jìn)貨款完全靠銷售收入，該店第一個(gè)月庫存200噸，且購入價(jià)為2023元/噸，從第一個(gè)月開始一直保存10萬元的應(yīng)急儲(chǔ)備金;問：如何制定購銷計(jì)劃可以使四個(gè)月后總盈利達(dá)到最大?月份購入價(jià)（元/噸）售出價(jià)（元/噸）120702120221002170322002300423702430表4-2-1解：設(shè)(i=1，2，3，4)QUOTE表示第i個(gè)月的采購量，QUOTE表示（i=1，2，3，4）第i個(gè)月的銷售量。約束條件：每月的銷售量（i=1，2，3，4）不能超過上月的采購量?？傻妹吭虏少徚啃枰迷鲁蹁N售收入而定，第一個(gè)月末需扣除一萬元用于儲(chǔ)備金?？傻谜淼?，約束條件為目標(biāo)函數(shù)：例隨著商店規(guī)模的擴(kuò)大，銷售領(lǐng)域也隨之?dāng)U大，開設(shè)了若干分店，根據(jù)市場消費(fèi)需求要從兩個(gè)分店A1、A2將商品配送到三個(gè)城區(qū)B1、B2、QUOTE根據(jù)店的規(guī)模及員工人數(shù)等，兩個(gè)分店的最大銷量、最大配送量和各分店配送到各銷地所在城區(qū)每件商品的運(yùn)費(fèi)如下表4-3-1所示，問：應(yīng)如何安排調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)輸費(fèi)用最??？最大配送量64620006553000銷量150015002000表4-3-1解：設(shè)xij為從分店Ai運(yùn)往銷地所在城區(qū)Bj的運(yùn)輸量，得到下列運(yùn)輸量表：最大配送量20003000銷量150015002000數(shù)學(xué)模型為minQUOTE上述是一家商店在經(jīng)營過程中運(yùn)用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的三個(gè)例子，分別反映了線性規(guī)劃在人力資源分配問題、經(jīng)營計(jì)劃問題、運(yùn)輸問題三個(gè)方面的應(yīng)用?？梢娋€性規(guī)劃在經(jīng)營管理中的實(shí)用性。同樣，在一些廠家產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃、套裁下料、配料問題、投資問題等方面也可利用線性規(guī)劃來解決實(shí)際問題。5.線性規(guī)劃在工商管理中應(yīng)用的重要意義

把線性規(guī)劃的知識應(yīng)用到企業(yè)經(jīng)營管理中去，可以使企業(yè)適應(yīng)市場激烈的競爭，及時(shí)、準(zhǔn)確的制定生產(chǎn)計(jì)劃、投資計(jì)劃，對資源進(jìn)行合理配置等。過去企業(yè)在調(diào)整分配方面需要很長時(shí)間，運(yùn)用線性規(guī)劃并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行測算簡便易行，提高了企業(yè)的效率；并且是運(yùn)用大量的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，經(jīng)