彈性力學(xué)數(shù)值方法：解析法：彈性力學(xué)中的變分原理

彈性力學(xué)數(shù)值方法：解析法：彈性力學(xué)中的變分原理1彈性力學(xué)與數(shù)值方法的簡介彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個分支，主要研究彈性體在外力作用下的變形和應(yīng)力分布。數(shù)值方法則是解決復(fù)雜工程問題的有效手段，通過將連續(xù)問題離散化，轉(zhuǎn)化為有限數(shù)量的代數(shù)方程組，從而在計算機上求解。在彈性力學(xué)中，數(shù)值方法的應(yīng)用尤為廣泛，包括有限元法、邊界元法、有限差分法等。1.1彈性力學(xué)中的變分原理變分原理在彈性力學(xué)中扮演著重要角色，它提供了一種從能量角度出發(fā)求解彈性問題的方法。其中，最著名的變分原理包括最小勢能原理和最小余能原理。1.1.1最小勢能原理最小勢能原理指出，當(dāng)彈性體達到平衡狀態(tài)時，其總勢能（即外力勢能與彈性體內(nèi)部應(yīng)變能之和）達到最小值。這一原理可以用于求解彈性體在外力作用下的位移。1.1.2最小余能原理最小余能原理則關(guān)注于彈性體的應(yīng)力狀態(tài)，指出在滿足位移邊界條件的情況下，彈性體的余能（即彈性體內(nèi)部應(yīng)變能與外力虛功之差）達到最小值。1.2變分原理的歷史與應(yīng)用變分原理的歷史可以追溯到17世紀，由牛頓、萊布尼茨等數(shù)學(xué)家提出。在19世紀，拉格朗日和哈密頓將其應(yīng)用于力學(xué)，形成了現(xiàn)代變分法的基礎(chǔ)。20世紀，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，變分原理在數(shù)值方法中的應(yīng)用日益廣泛，成為解決復(fù)雜彈性力學(xué)問題的關(guān)鍵工具。1.2.1應(yīng)用實例：使用最小勢能原理求解一維彈性桿的位移假設(shè)有一根長度為L的一維彈性桿，兩端分別固定在x=0和x=L處，受到均勻分布的外力f作用。桿的彈性模量為E，截面積為總勢能表達式總勢能Π由外力勢能V和內(nèi)部應(yīng)變能U組成：Π內(nèi)部應(yīng)變能U為：U外力勢能V為：V求解位移將上述表達式代入總勢能Π，并利用變分法求Π的極小值，即求解δΠ=0importsympyassp

#定義符號變量

x,u,f,E,A,L=sp.symbols('xufEAL')

#定義內(nèi)部應(yīng)變能和外力勢能

U=(1/2)*E*A*(sp.diff(u,x))**2

V=f*u

#總勢能

Pi=egrate(U,(x,0,L))-egrate(V,(x,0,L))

#利用變分法求解Pi的極小值

delta_Pi=sp.diff(Pi,sp.diff(u,x))

#解微分方程

differential_equation=sp.diff(delta_Pi,x)

solution=sp.dsolve(differential_equation,u)在上述代碼中，我們使用了sympy庫來定義和求解微分方程。通過定義內(nèi)部應(yīng)變能U和外力勢能V，我們構(gòu)建了總勢能Π的表達式。然后，利用變分法求解Π的極小值，得到位移ux1.2.2結(jié)論變分原理在彈性力學(xué)中的應(yīng)用，不僅提供了理論上的深刻理解，也為數(shù)值方法的開發(fā)和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。通過將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為能量極小化問題，變分原理使得彈性力學(xué)問題的求解更加直觀和高效。本教程詳細介紹了彈性力學(xué)與數(shù)值方法的基本概念，以及變分原理在彈性力學(xué)中的應(yīng)用，通過一個具體的一維彈性桿位移求解實例，展示了如何使用變分原理和數(shù)值方法求解彈性力學(xué)問題。2彈性力學(xué)基礎(chǔ)2.1應(yīng)力與應(yīng)變的概念在彈性力學(xué)中，應(yīng)力（Stress）和應(yīng)變（Strain）是兩個核心概念，它們描述了材料在受到外力作用時的響應(yīng)。2.1.1應(yīng)力應(yīng)力定義為單位面積上的內(nèi)力，通常用符號σ表示。在彈性力學(xué)中，應(yīng)力可以分為正應(yīng)力（σ）和切應(yīng)力（τ）。正應(yīng)力是垂直于材料截面的應(yīng)力，而切應(yīng)力則是平行于材料截面的應(yīng)力。應(yīng)力的單位是帕斯卡（Pa），在工程中常用兆帕（MPa）或千帕（kPa）表示。2.1.2應(yīng)變應(yīng)變是材料在應(yīng)力作用下發(fā)生的形變程度，通常用符號ε表示。應(yīng)變分為線應(yīng)變（ε）和剪應(yīng)變（γ）。線應(yīng)變描述了材料在某一方向上的伸長或縮短，而剪應(yīng)變描述了材料在切應(yīng)力作用下的剪切形變。應(yīng)變是一個無量綱的量。2.2胡克定律與彈性模量2.2.1胡克定律胡克定律（Hooke’sLaw）是彈性力學(xué)中的基本定律，它描述了在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系。對于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，ε是應(yīng)變，E是材料的彈性模量，也稱為楊氏模量（Young’sModulus）。2.2.2彈性模量彈性模量是材料的固有屬性，反映了材料抵抗形變的能力。對于不同的材料，其彈性模量的值不同。彈性模量的單位也是帕斯卡（Pa），在工程中常用兆帕（MPa）或千帕（kPa）表示。2.2.3示例：計算彈性模量假設(shè)我們有一根材料樣品，其長度為1米，截面積為0.01平方米。當(dāng)施加100牛頓的力時，樣品的長度增加了0.001米。我們可以使用胡克定律來計算該材料的彈性模量。#定義變量

force=100#施加的力，單位牛頓

area=0.01#截面積，單位平方米

delta_length=0.001#樣品長度的增加，單位米

original_length=1#樣品的原始長度，單位米

#計算應(yīng)力

stress=force/area

#計算應(yīng)變

strain=delta_length/original_length

#使用胡克定律計算彈性模量

elastic_modulus=stress/strain

#輸出結(jié)果

print(f"彈性模量為：{elastic_modulus}Pa")在這個例子中，我們首先計算了應(yīng)力（σ=F/A），然后計算了應(yīng)變（ε=ΔL/L），最后使用胡克定律計算了彈性模量（E=σ/ε）。通過這個計算，我們可以了解材料在彈性范圍內(nèi)的響應(yīng)特性。通過上述內(nèi)容，我們了解了彈性力學(xué)中應(yīng)力與應(yīng)變的概念，以及胡克定律和彈性模量的基本原理。這些知識是進一步研究彈性力學(xué)數(shù)值方法的基礎(chǔ)。3彈性力學(xué)數(shù)值方法：解析法：變分原理理論3.1泛函與變分在彈性力學(xué)中，泛函與變分的概念是理解變分原理的基礎(chǔ)。泛函可以視為函數(shù)的函數(shù)，它將一個函數(shù)映射到一個實數(shù)。在彈性力學(xué)中，我們通常關(guān)心的能量泛函，如總勢能泛函，它將位移場函數(shù)映射到一個能量值。3.1.1泛函的定義設(shè)有一函數(shù)空間S，如果存在一個規(guī)則，使得對于S中的每一個函數(shù)ux，都有一個確定的實數(shù)Ju與之對應(yīng)，則稱Ju3.1.2變分的定義對于泛函Ju，如果在S中選取一個函數(shù)u0x，并考慮S中所有可以表示為ux=u0x+?ηδ3.1.3泛函的極值問題在彈性力學(xué)中，我們通常尋找使泛函取極值的函數(shù)。例如，尋找使總勢能泛函最小的位移場，這通常對應(yīng)于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。3.2哈密頓原理與拉格朗日方程哈密頓原理是經(jīng)典力學(xué)中的一個基本原理，它指出在所有可能的路徑中，實際的物理路徑是使作用泛函取極值的路徑。在彈性力學(xué)中，這一原理可以用來推導(dǎo)系統(tǒng)的運動方程。3.2.1哈密頓原理設(shè)系統(tǒng)在時間t1和t2之間的實際路徑為qt，所有可能的路徑為qt+?ηt，其中δ3.2.2拉格朗日方程從哈密頓原理出發(fā)，可以推導(dǎo)出拉格朗日方程，它是描述系統(tǒng)動力學(xué)行為的基本方程。在彈性力學(xué)中，拉格朗日方程可以用來描述結(jié)構(gòu)的振動和動力響應(yīng)。對于一個自由度為n的系統(tǒng)，其拉格朗日方程可以表示為d其中L是系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，qi是系統(tǒng)的廣義坐標，q3.2.3示例：一維彈性桿的拉格朗日方程考慮一個一維彈性桿，其長度為L，截面積為A，彈性模量為E，質(zhì)量密度為ρ。假設(shè)桿的一端固定，另一端自由，且桿受到一個橫向力Ft的作用。設(shè)桿的位移為uL其中T是動能，V是勢能，ux應(yīng)用變分原理，可以得到系統(tǒng)的拉格朗日方程ρ這是一維彈性桿的動力學(xué)方程。3.3結(jié)論通過泛函與變分的概念，以及哈密頓原理和拉格朗日方程，我們可以從一個更深層次的角度理解彈性力學(xué)中的平衡和動力學(xué)問題。這些原理和方程不僅在理論分析中起著關(guān)鍵作用，也在數(shù)值方法的開發(fā)中提供了基礎(chǔ)。4彈性力學(xué)中的變分方法4.1能量泛函的建立在彈性力學(xué)中，能量泛函的建立是變分方法的基礎(chǔ)。能量泛函通常包含系統(tǒng)的動能和勢能，對于靜態(tài)問題，動能可以忽略，因此我們主要關(guān)注勢能部分。勢能泛函可以表示為位移場的函數(shù)，通過最小化這個泛函，我們可以找到系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。4.1.1內(nèi)能泛函內(nèi)能泛函UuU其中，Ω是物體的體積，ψεu是應(yīng)變能密度函數(shù)，εu4.1.2外力勢能泛函外力勢能泛函VuV其中，f是體積力，t是表面力，Γt4.1.3總勢能泛函總勢能泛函ΠuΠ4.2最小勢能原理最小勢能原理指出，在給定的邊界條件下，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)對應(yīng)于總勢能泛函的最小值。這意味著，對于任何可能的位移場u*δ通過應(yīng)用最小勢能原理，我們可以得到彈性力學(xué)的基本方程，即平衡方程、應(yīng)變-位移關(guān)系和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。4.2.1示例：一維彈性桿的最小勢能原理考慮一個一維彈性桿，長度為L，截面積為A，彈性模量為E，兩端分別受到外力F的作用。假設(shè)桿的位移為ux，其中xUV總勢能泛函為：Π應(yīng)用最小勢能原理，我們對Πuδ對于所有可能的位移變分δud以及邊界條件：u4.2.2代碼示例以下是一個使用Python和SciPy庫求解上述一維彈性桿問題的示例代碼：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_bvp

defrod_equation(x,u):

"""

定義一維彈性桿的平衡方程

"""

du_dx=u[1]

d2u_dx2=0

return[du_dx,d2u_dx2]

defrod_boundary(u0,uL):

"""

定義一維彈性桿的邊界條件

"""

return[u0[0],uL[0]-FL/EA]

#參數(shù)

L=1.0

EA=100.0

F=10.0

FL=F*L

#網(wǎng)格點

x=np.linspace(0,L,100)

#初始猜測

u=np.zeros_like(x)

u_prime=np.zeros_like(x)

#求解邊值問題

sol=solve_bvp(rod_equation,rod_boundary,x,[u,u_prime])

#輸出結(jié)果

print("位移場：",sol.y[0])這段代碼使用了SciPy的solve_bvp函數(shù)來求解邊值問題，即一維彈性桿的平衡方程和邊界條件。rod_equation函數(shù)定義了平衡方程，rod_boundary函數(shù)定義了邊界條件。通過求解，我們得到了位移場ux通過上述原理和示例，我們可以看到，彈性力學(xué)中的變分方法提供了一種系統(tǒng)的方法來求解彈性體的平衡狀態(tài)，而最小勢能原理則是這一方法的核心。5解析法應(yīng)用5.1解析解的求解步驟解析解的求解在彈性力學(xué)中是一種精確求解問題的方法，它基于數(shù)學(xué)分析和理論力學(xué)原理。下面概述了求解彈性力學(xué)問題解析解的基本步驟：問題定義：首先，明確問題的邊界條件、載荷條件以及材料屬性。這包括確定問題的幾何形狀、應(yīng)力或位移邊界條件、外力或力矩，以及材料的彈性模量和泊松比等。選擇坐標系：根據(jù)問題的幾何形狀和邊界條件，選擇最合適的坐標系。常見的坐標系有直角坐標系、極坐標系和柱坐標系等。建立微分方程：利用彈性力學(xué)的基本方程，如平衡方程、幾何方程和物理方程，建立描述問題的微分方程。這些方程通常涉及應(yīng)力、應(yīng)變和位移之間的關(guān)系。應(yīng)用邊界條件：將問題的邊界條件代入微分方程中，形成邊界值問題。邊界條件可以是應(yīng)力邊界條件（如固定邊界或自由邊界）或位移邊界條件（如位移為零或位移為某一函數(shù)）。求解微分方程：使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解微分方程，如分離變量法、特征函數(shù)法或積分變換法等。這一步驟可能需要利用數(shù)學(xué)軟件或手工計算。驗證解的正確性：將求得的解代回原問題的邊界條件和微分方程中，檢查解是否滿足所有的條件。此外，可以通過數(shù)值方法或?qū)嶒灁?shù)據(jù)進行對比，驗證解析解的準確性。解析解的解釋和應(yīng)用：最后，對求得的解析解進行物理意義的解釋，分析其對工程設(shè)計和材料性能的影響。解析解可以用于指導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計、預(yù)測材料行為或作為數(shù)值模擬的參考。5.2典型問題的解析解示例5.2.1示例：一維彈性桿的軸向拉伸假設(shè)有一根長度為L，截面積為A的彈性桿，兩端分別受到軸向拉力P的作用。桿的材料屬性為彈性模量E和泊松比ν。求解桿的軸向位移ux步驟1：問題定義幾何形狀：一維彈性桿邊界條件：u0=0，u材料屬性：彈性模量E，泊松比ν步驟2：選擇坐標系選擇直角坐標系，x軸沿桿的軸線方向。步驟3：建立微分方程利用平衡方程和物理方程，可以得到軸向應(yīng)力σx和軸向位移ux由于軸向應(yīng)力σx等于軸向力P除以截面積A，即σx步驟4：應(yīng)用邊界條件將邊界條件u0由于ΔL為桿的總伸長量，可以得到u步驟5：求解微分方程微分方程的解為：u利用初始條件u0=0因此，軸向位移的解析解為：u步驟6：驗證解的正確性將解代入邊界條件uL=這個結(jié)果與直覺相符，即桿的伸長量與作用力成正比，與材料的彈性模量和截面積成反比。步驟7：解析解的解釋和應(yīng)用解析解ux=P這個解可以用于分析不同材料和截面積對桿的伸長量的影響，以及在設(shè)計結(jié)構(gòu)時考慮材料的彈性特性。通過這個示例，我們可以看到解析法在求解彈性力學(xué)問題中的應(yīng)用步驟和過程。解析解的求得不僅提供了問題的精確數(shù)學(xué)描述，也為理解和應(yīng)用彈性力學(xué)原理提供了基礎(chǔ)。6數(shù)值方法基礎(chǔ)6.1有限元法簡介有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種廣泛應(yīng)用于工程分析和科學(xué)計算的數(shù)值方法，主要用于求解偏微分方程。在彈性力學(xué)中，F(xiàn)EM被用來求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。該方法將連續(xù)的結(jié)構(gòu)域離散化為有限數(shù)量的單元，每個單元用一組節(jié)點來表示，通過在這些節(jié)點上求解未知量，進而得到整個結(jié)構(gòu)的解。6.1.1原理有限元法基于變分原理，通過最小化能量泛函來求解問題。在彈性力學(xué)中，能量泛函通常表示為結(jié)構(gòu)的總勢能，包括內(nèi)部能量和外部能量。內(nèi)部能量由應(yīng)變能表示，外部能量則由外力做功表示。通過求解能量泛函的極小值，可以得到結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。6.1.2內(nèi)容離散化：將連續(xù)的結(jié)構(gòu)域劃分為有限數(shù)量的單元，每個單元用一組節(jié)點來表示。形函數(shù)：定義單元內(nèi)部位移與節(jié)點位移之間的關(guān)系，通常使用多項式函數(shù)。剛度矩陣：基于單元的形函數(shù)和材料屬性，計算單元的剛度矩陣，它描述了單元內(nèi)部力與位移之間的關(guān)系。組裝：將所有單元的剛度矩陣組裝成全局剛度矩陣，同時處理邊界條件。求解：基于全局剛度矩陣和邊界條件，使用線性代數(shù)方法求解節(jié)點位移。6.1.3示例假設(shè)有一個簡單的梁，長度為L，截面慣性矩為I，彈性模量為E，受到均勻分布的載荷q。使用有限元法求解梁的位移。importnumpyasnp

#定義材料和幾何參數(shù)

L=1.0#梁的長度

E=200e9#彈性模量

I=0.001#截面慣性矩

q=10000#均勻分布載荷

#定義有限元參數(shù)

n_elements=10#單元數(shù)量

n_nodes=n_elements+1#節(jié)點數(shù)量

element_length=L/n_elements#單元長度

#初始化剛度矩陣和載荷向量

K=np.zeros((n_nodes,n_nodes))

F=np.zeros(n_nodes)

#計算每個單元的剛度矩陣和載荷向量

foriinrange(n_elements):

#單元的節(jié)點編號

node1=i

node2=i+1

#單元剛度矩陣

k_element=(E*I)/(element_length**3)*np.array([[12,6*element_length,-12,6*element_length],

[6*element_length,4*element_length**2,-6*element_length,2*element_length**2],

[-12,-6*element_length,12,-6*element_length],

[6*element_length,2*element_length**2,-6*element_length,4*element_length**2]])

#將單元剛度矩陣組裝到全局剛度矩陣中

K[node1*2:node2*2+1,node1*2:node2*2+1]+=k_element

#單元載荷向量

f_element=q*element_length**2/2*np.array([0,element_length/2,0,-element_length/2])

#將單元載荷向量組裝到全局載荷向量中

F[node1*2:node2*2+1]+=f_element

#處理邊界條件

K[0,:]=0#固定端位移為0

K[0,0]=1#保證矩陣非奇異

F[0]=0#固定端位移為0

#求解節(jié)點位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#輸出節(jié)點位移

print("節(jié)點位移:",U)6.2邊界元法概述邊界元法（BoundaryElementMethod,BEM）是一種數(shù)值方法，主要用于求解邊界值問題。與有限元法不同，BEM只在結(jié)構(gòu)的邊界上進行計算，因此可以減少計算量和內(nèi)存需求。在彈性力學(xué)中，BEM被用來求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和位移。6.2.1原理邊界元法基于格林定理，將結(jié)構(gòu)域內(nèi)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為邊界上的積分方程。通過在邊界上離散化并求解積分方程，可以得到邊界上的未知量，進而通過格林定理求解整個結(jié)構(gòu)域內(nèi)的解。6.2.2內(nèi)容邊界離散化：將結(jié)構(gòu)的邊界劃分為有限數(shù)量的邊界元素。格林函數(shù)：定義結(jié)構(gòu)域內(nèi)任意點與邊界上點之間的關(guān)系，通常基于彈性力學(xué)的基本解。積分方程：基于格林函數(shù)和邊界條件，建立邊界上的積分方程。求解：使用數(shù)值積分方法求解邊界上的未知量，進而求解整個結(jié)構(gòu)域內(nèi)的解。6.2.3示例假設(shè)有一個圓形的平板，半徑為R，厚度為t，彈性模量為E，泊松比為nu，受到均勻的壓力p。使用邊界元法求解平板的位移。importnumpyasnp

fromegrateimportquad

#定義材料和幾何參數(shù)

R=1.0#圓形平板的半徑

t=0.01#平板的厚度

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

p=10000#均勻壓力

#定義格林函數(shù)

defgreen_function(r,theta,r_prime,theta_prime):

r_diff=r-r_prime*np.cos(theta-theta_prime)

return(1-nu)/(2*np.pi*E*t)*np.log(r_diff)

#定義邊界上的積分方程

defboundary_integral_equation(theta):

defintegrand(theta_prime):

returngreen_function(R,theta,R,theta_prime)*p*R*np.cos(theta_prime)

returnquad(integrand,0,2*np.pi)[0]

#初始化邊界上的未知量

n_elements=100#邊界元素數(shù)量

theta=np.linspace(0,2*np.pi,n_elements,endpoint=False)#邊界上的角度

#求解邊界上的未知量

U=np.array([boundary_integral_equation(t)fortintheta])

#輸出邊界上的位移

print("邊界上的位移:",U)以上示例展示了如何使用邊界元法求解一個圓形平板在均勻壓力下的位移。通過定義格林函數(shù)和邊界上的積分方程，使用數(shù)值積分方法求解邊界上的未知量，進而得到整個結(jié)構(gòu)的解。7彈性力學(xué)數(shù)值方法：解析法：變分原理與數(shù)值方法的結(jié)合7.1有限元法中的變分原理應(yīng)用7.1.1原理介紹在彈性力學(xué)中，變分原理提供了一種從能量角度求解問題的方法。有限元法（FiniteElementMethod,FEM）利用變分原理，將連續(xù)的彈性體離散為有限個單元，每個單元用簡單的函數(shù)（如多項式）來近似其位移場。通過最小化總勢能原理，可以得到一個關(guān)于位移的代數(shù)方程組，從而求解彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變。7.1.2內(nèi)容詳解考慮一個彈性體，其總勢能可以表示為：Π其中，ψ是應(yīng)變能密度，u是位移向量，f是體積力，t是表面力。在有限元法中，我們用位移的試函數(shù)uh來代替真實的位移u，并要求總勢能Π在uδ即V其中，δuh是位移的變分，7.1.3示例代碼假設(shè)我們有一個簡單的二維彈性體問題，使用Python和SciPy庫來求解。我們定義一個矩形區(qū)域，應(yīng)用邊界條件，并使用有限元法求解位移。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網(wǎng)格和節(jié)點

n=10#網(wǎng)格數(shù)量

nodes=np.mgrid[0:1:(n+1)*1j,0:1:(n+1)*1j].reshape(2,-1).T

#定義單元

elements=np.zeros((n*n,4),dtype=int)

foriinrange(n):

forjinrange(n):

elements[i*n+j]=[i*n+j,i*n+j+1,(i+1)*n+j+1,(i+1)*n+j]

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu],[nu,1]])#應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

#定義外力

f=np.zeros((nodes.shape[0],2))

f[-1,1]=-1e5#在最后一個節(jié)點上施加向下的力

#定義邊界條件

bc=np.zeros((nodes.shape[0],2),dtype=bool)

bc[0,0]=True#固定第一個節(jié)點的x方向

bc[0,1]=True#固定第一個節(jié)點的y方向

#構(gòu)建剛度矩陣和力向量

K=lil_matrix((2*nodes.shape[0],2*nodes.shape[0]))

F=np.zeros(2*nodes.shape[0])

foreinelements:

#計算單元的剛度矩陣和力向量

Ke=np.zeros((8,8))

Fe=np.zeros(8)

foriinrange(4):

forjinrange(4):

#計算應(yīng)變能密度的貢獻

Ke[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]+=D*np.outer([1,0],[1,0])*0.25

#計算外力的貢獻

Fe[2*i:2*i+2]+=f[e[i]]*0.25

#將單元的剛度矩陣和力向量添加到全局矩陣和向量中

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*e[i]:2*e[i]+2,2*e[j]:2*e[j]+2]+=Ke[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]

F[2*e:2*e+2]+=Fe

#應(yīng)用邊界條件

K=K.tocsr()

F[bc.flatten()]=0

K[bc.flatten(),:]=0

K[:,bc.flatten()]=0

K[bc.flatten(),bc.flatten()]=1

#求解位移

u=spsolve(K,F)

u=u.reshape(nodes.shape[0],2)

#輸出結(jié)果

print(u)7.1.4解釋上述代碼首先定義了網(wǎng)格和節(jié)點，然后定義了單元、材料屬性、外力和邊界條件。接著，構(gòu)建了剛度矩陣和力向量，應(yīng)用了邊界條件，并使用SciPy的spsolve函數(shù)求解了位移。最后，輸出了位移結(jié)果。7.2邊界元法中的變分原理7.2.1原理介紹邊界元法（BoundaryElementMethod,BEM）是一種基于變分原理的數(shù)值方法，它將問題的求解域從整個彈性體的體積上轉(zhuǎn)移到其邊界上。BEM利用格林定理將彈性體內(nèi)部的積分轉(zhuǎn)換為邊界上的積分，從而減少了問題的維數(shù)，提高了計算效率。7.2.2內(nèi)容詳解在BEM中，我們通常使用以下的變分方程：S其中，t*是虛擬的表面力，t7.2.3示例代碼邊界元法的實現(xiàn)通常比有限元法復(fù)雜，因為它涉及到格林函數(shù)的計算。下面是一個簡化版的邊界元法示例，使用Python和NumPy庫來求解一個簡單的二維彈性體問題。importnumpyasnp

#定義邊界節(jié)點和邊界單元

boundary_nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

boundary_elements=np.array([[0,1],[1,2],[2,3],[3,0]])

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu],[nu,1]])#應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

#定義外力

f=np.zeros(boundary_nodes.shape[0])

f[-1]=-1e5#在最后一個節(jié)點上施加向下的力

#定義邊界條件

bc=np.zeros(boundary_nodes.shape[0],dtype=bool)

bc[0]=True#固定第一個節(jié)點

#構(gòu)建邊界剛度矩陣和力向量

K=np.zeros((boundary_nodes.shape[0],boundary_nodes.shape[0]))

F=np.zeros(boundary_nodes.shape[0])

foreinboundary_elements:

#計算邊界單元的剛度矩陣和力向量

Ke=np.zeros((2,2))

Fe=np.zeros(2)

#假設(shè)使用了格林函數(shù)，這里簡化為直接計算

Ke[0,0]=1

Ke[0,1]=-1

Ke[1,0]=-1

Ke[1,1]=1

Fe[0]=f[e[0]]

Fe[1]=f[e[1]]

#將邊界單元的剛度矩陣和力向量添加到全局矩陣和向量中

K[e[0],e[0]]+=Ke[0,0]

K[e[0],e[1]]+=Ke[0,1]

K[e[1],e[0]]+=Ke[1,0]

K[e[1],e[1]]+=Ke[1,1]

F[e[0]]+=Fe[0]

F[e[1]]+=Fe[1]

#應(yīng)用邊界條件

K[bc,:]=0

K[:,bc]=0

K[bc,bc]=1

F[bc]=0

#求解位移

u=np.linalg.solve(K,F)

#輸出結(jié)果

print(u)7.2.4解釋在邊界元法中，我們首先定義了邊界節(jié)點和邊界單元，然后定義了材料屬性、外力和邊界條件。接著，構(gòu)建了邊界剛度矩陣和力向量，應(yīng)用了邊界條件，并使用NumPy的linalg.solve函數(shù)求解了位移。最后，輸出了位移結(jié)果。需要注意的是，這里的格林函數(shù)計算被簡化了，實際應(yīng)用中需要根據(jù)具體問題來計算格林函數(shù)。8彈性力學(xué)數(shù)值方法：解析法：案例分析8.1平面應(yīng)力問題的解析與數(shù)值解8.1.1平面應(yīng)力問題概述在彈性力學(xué)中，平面應(yīng)力問題通常發(fā)生在薄板結(jié)構(gòu)中，其中厚度方向的應(yīng)力可以忽略不計。這類問題的分析基于彈性體在平面內(nèi)受到的外力作用，而厚度方向的應(yīng)力為零的假設(shè)。平面應(yīng)力問題的解析解可以通過求解偏微分方程來獲得，而數(shù)值解則通常采用有限元方法(FEM)或邊界元方法(BEM)等數(shù)值技術(shù)。8.1.2解析解示例考慮一個矩形薄板，其尺寸為a×b，在兩個相對的邊施加均勻的拉應(yīng)力σx，而其他邊界保持自由。假設(shè)材料是各向同性的，彈性模量為E$$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\1}{1-\nu^2}\left(\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+\frac{\partial^2v}{\partialx\partialy}\right)=0$$$$\frac{\partial^2v}{\partialy^2}+\frac{\1}{1-\nu^2}\left(\frac{\partial^2v}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialx\partialy}\right)=0$$其中u和v分別是x和y方向的位移。通過分離變量法，可以求得位移場的解析解。8.1.3數(shù)值解示例使用Python和FEniCS庫，我們可以求解上述平面應(yīng)力問題的數(shù)值解。以下是一個簡單的FEniCS代碼示例，用于求解上述矩形薄板的平面應(yīng)力問題。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(a,b),100,100)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0))#體力

g=Constant((sigma_x,0))#邊界應(yīng)力

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#平面應(yīng)力條件下的彈性張量

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(2)+2*mu*eps(v)

#應(yīng)變張量

defeps(v):

returnsym(nabla_grad(v))

#變分形式

a=inner(sigma(u),eps(v))*dx

L=dot(f,v)*dx+dot(g,v)*ds

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

file=File('displacement.pvd')

file<<u8.1.4解釋上述代碼首先創(chuàng)建了一個矩形網(wǎng)格，并定義了一個向量函數(shù)空間V，用于描述位移場。接著，定義了邊界條件，這里假設(shè)所有邊界上的位移為零。然后，定義了變分問題，包括試函數(shù)u，測試函數(shù)v，體力f和邊界應(yīng)力g。通過定義彈性張量和應(yīng)變張量，我們構(gòu)建了平面應(yīng)力條件下的變分形式a和L。最后，使用solve函數(shù)求解變分問題，并將結(jié)果輸出到一個VTK文件中，以便可視化。8.2維彈性問題的變分分析8.2.1維彈性問題概述三維彈性問題涉及彈性體在三個方向上的應(yīng)力和應(yīng)變分析。這類問題的解析解通常很難獲得，因為它們涉及到復(fù)雜的偏微分方程組。然而，通過變分原理，我們可以將問題轉(zhuǎn)化為求解能量泛函的極小值問題，這在數(shù)值分析中非常有用。8.2.2變分分析原理在三維彈性問題中，我們通?？紤]彈性體的總勢能P，它由彈性勢能V和外力勢能W組成：P其中，VWσij是應(yīng)力張量，εij是應(yīng)變張量，fi是體力，t8.2.3數(shù)值解示例對于三維彈性問題，我們同樣可以使用FEniCS庫來求解。以下是一個簡單的FEniCS代碼示例，用于求解一個立方體在頂部施加均勻壓力的三維彈性問題。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(a,b,c),50,50,50)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

deftop_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[2],c)andon_boundary

defother_boundaries(x,on_boundary):

returnnear(x[2],0)ornear(x[0],0)ornear(x[0],a)ornear(x[1],0)ornear(x[1],b)

bc_top=DirichletBC(V.sub(2),Constant(0),top_boundary)

bc_other=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),other_boundaries)

bcs=[bc_top,bc_other]

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0,-p))#體力，假設(shè)頂部有均勻壓力p

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu