線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性

9-2線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性是揭示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征的兩個(gè)重要的基本結(jié)構(gòu)特性。卡爾曼在60年代初首先提出狀態(tài)可控性和可觀測(cè)性。其后的發(fā)展表明,這兩個(gè)概念對(duì)回答被控系統(tǒng)能否進(jìn)行控制與綜合等基本性問題,對(duì)于控制和狀態(tài)估計(jì)問題的研究,有著極其重要的意義。系統(tǒng)可控性指的是控制作用對(duì)被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出進(jìn)行控制的可能性。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!可觀測(cè)性反映由能直接測(cè)量的輸入輸出的量測(cè)值來確定反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性的狀態(tài)的可能性。為什么經(jīng)典控制理論沒有涉及到可控性和可觀測(cè)性問題?線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!這是因?yàn)榻?jīng)典控制理論所討論的是SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問題,它的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。因此,給定輸入,則一定會(huì)存在唯一的輸出與之對(duì)應(yīng)。反之,對(duì)期望輸出信號(hào),總可找到相應(yīng)的輸入信號(hào)(即控制量)使系統(tǒng)輸出按要求進(jìn)行控制,不存在能否控制的問題。此外,輸出一般是可直接測(cè)量,不然,則應(yīng)能間接測(cè)量。否則,就無從進(jìn)行反饋控制和考核系統(tǒng)所達(dá)到的性能指標(biāo)。因此,在這里不存在輸出能否測(cè)量(觀測(cè))的問題。所以,無論是從理論還是實(shí)踐,經(jīng)典控制理論和技術(shù)一般不涉及到能否控制和能否觀測(cè)的問題。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!一、線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性本節(jié)首先從物理直觀性來討論狀態(tài)可控的基本含義,然后再引出狀態(tài)可控性的定義。下面將看到,這種從直觀到抽象的討論,對(duì)于理解可控性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!該電橋系統(tǒng)中,電源電壓u(t)為輸入變量,并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。試分析電源電壓u(t)對(duì)兩個(gè)狀態(tài)變量的控制能力。例

某電橋系統(tǒng)的模型如圖1所示。圖1電橋系統(tǒng)

線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!由狀態(tài)空間模型來看,當(dāng)選擇兩電容器兩端電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)時(shí),可得如下狀態(tài)方程:由上述狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x2(t)的值,即電橋中電容C2的電壓,是自由衰減的,并不受輸入u的控制。因此,該電壓的值不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減至零,即該狀態(tài)變量是不能由輸入變量控制到原點(diǎn)。具有這種特性的系統(tǒng)稱為狀態(tài)不可控的。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!當(dāng)閥門1和2的開度不變時(shí),設(shè)它們?cè)谄胶夤ぷ鼽c(diǎn)鄰域閥門阻力相等并可視為常數(shù),記為R。圖中h1(t)和h2(t)分別為水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分別為流量。該雙水槽系統(tǒng)的狀態(tài)可控性可分析如下:對(duì)本例的流體力學(xué)系統(tǒng),假設(shè)對(duì)兩個(gè)水槽的流入和流出的水流體已處于平衡。下面僅考慮流量QO的變化量QO所引起的水槽水位的變化。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!解上述狀態(tài)方程,可得線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!例:

給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為本例中,狀態(tài)變量x1的運(yùn)動(dòng)只受初始狀態(tài)x1(0)的影響,與輸入無關(guān),即輸入u(t)不可控制x1(t)的運(yùn)動(dòng),而且x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減到零。因此,狀態(tài)x1(t)不可控,則整個(gè)系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的。1/s-1-21/s線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!因此,x1(t)和x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)被控制到零或狀態(tài)空間中的任意狀態(tài),只能被控制在滿足由狀態(tài)方程解所規(guī)定的狀態(tài)空間中的曲線上。所以,雖然狀態(tài)x1(t)和x2(t)都是單獨(dú)可控的,但整個(gè)系統(tǒng)并不可控。前面4個(gè)例子,可通過直觀分析來討論系統(tǒng)的狀態(tài)可控性,但對(duì)維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng),直觀判斷可控性是困難的。下面將通過給出狀態(tài)可控性的嚴(yán)格定義,來導(dǎo)出判定系統(tǒng)可控性的充要條件。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!定義1

若線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)對(duì)初始時(shí)刻t0(t0T,T為時(shí)間定義域)和初始狀態(tài)x(t0),存在另一有限時(shí)刻t1(t1>t0,t1T),可以找到一個(gè)控制量u(t),能在有限時(shí)間[t0,t1]內(nèi)把系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)x(t0)控制到原點(diǎn),即x(t1)=0,則稱t0時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)可控;若對(duì)t0時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可控,則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻狀態(tài)完全可控;簡稱為系統(tǒng)可控。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!2.在上述定義中,對(duì)輸入u(t)沒有加任何約束,只要能使?fàn)顟B(tài)方程的解存在即可。如果矩陣A(t)和B(t)以及向量u(t)的每個(gè)元素都是t的分段連續(xù)函數(shù),則狀態(tài)方程存在唯一解。u(t)為分段連續(xù)的條件,在工程上是很容易滿足的。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!（1）格拉姆矩陣判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全可控的充要條件為:存在t1(t1>0),使得如下可控格拉姆(Gram)矩陣為非奇異的線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!證明如下:對(duì)于線性定常系統(tǒng),由可控性定義可知,其狀態(tài)可控性與初始時(shí)刻無關(guān)。因此,不失一般性,可設(shè)初始時(shí)刻t0為0。根據(jù)狀態(tài)方程解的表達(dá)式,有證明

在證明可控性判據(jù)之前,下面首先證明線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全可控等價(jià)于下述方程對(duì)任意的初始狀態(tài)x(0)有控制輸入u(t)的解。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!由凱萊-哈密頓定理,有因此代入得：令：線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!例題：

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性解

由狀態(tài)可控性的代數(shù)判據(jù)有因此,該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!對(duì)角規(guī)范型判據(jù)：對(duì)為對(duì)角規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B),有：1)

若A的所有特征值互異,則系統(tǒng)可控的充要條件為：B中不包含元素全為0的行；2)

若A有重特征值,則系統(tǒng)可控的充要條件為：重特征值對(duì)應(yīng)的B中的行線性無關(guān)。（3）模態(tài)判據(jù)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!例題：對(duì)于如圖所示的系統(tǒng)，列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程，并判斷該系統(tǒng)的可控性。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!模態(tài)判據(jù)不僅可判別出狀態(tài)可控性,而且更進(jìn)一步地指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài)(特征值或極點(diǎn))和哪一狀態(tài)不可控。這對(duì)于進(jìn)行系統(tǒng)分析和反饋校正是非常有幫助的。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!解

A的每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊,但對(duì)應(yīng)于特征值-4的約旦塊的B的分塊的最后一行全為零,故狀態(tài)x1和x2不可控,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。狀態(tài)空間x1-x2-x3不完全可控狀態(tài)子空間x1-x2不完全可控狀態(tài)變量x3完全可控狀態(tài)變量x2完全不可控狀態(tài)變量x1完全不可控線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!解由于A中特征值-4的兩個(gè)約旦塊所對(duì)應(yīng)的B的分塊的最后一行線性相關(guān),故該系統(tǒng)的狀態(tài)x1,x2和x4不完全可控,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。狀態(tài)空間x1-x2-x3-x4不完全可控狀態(tài)子空間x1-x2-x4不完全可控狀態(tài)變量x3完全可控線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!解

由方程|iI-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為1,2和3。對(duì)特征值1=1,有例題：試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!可控性判據(jù)小結(jié)判定方法特點(diǎn)判據(jù)秩判據(jù)規(guī)范型判據(jù)PBH秩判據(jù)可控性矩陣Qc=[BAB…An-1B]滿秩約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對(duì)應(yīng)的B矩陣分塊的最后一行線性無關(guān)對(duì)于所有特征值

,rank[I-A

B]=n計(jì)算簡便可行。缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))可控易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))可控。缺點(diǎn)為需變換成標(biāo)準(zhǔn)形易于分析哪些特征值(極點(diǎn))可控。缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!定義：若線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D),對(duì)初始時(shí)刻t0(t0T,T為系統(tǒng)的時(shí)間定義域)和任意初始輸出值y(t0),存在另一有限時(shí)刻t1(t1>t0,t1T),可以找到一個(gè)輸入控制向量u(t),能在有限時(shí)間[t0,t1]內(nèi)把系統(tǒng)從初始輸出y(t0)控制到原點(diǎn),即y(t1)=0,則稱系統(tǒng)輸出完全可控,簡稱為系統(tǒng)輸出可控。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!例題：試判斷如下系統(tǒng)的輸出可控性解由輸出可控性的代數(shù)判據(jù)有rank[CBCABD]=rank[200]=1=m故系統(tǒng)輸出完全可控。對(duì)例題中的系統(tǒng),因?yàn)楣氏到y(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的。因此,由例題可知,輸出可控性與狀態(tài)可控性是不等價(jià)的兩個(gè)不同概念,它們之間亦沒有必然的聯(lián)系。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!1.可觀測(cè)性的直觀討論狀態(tài)可觀測(cè)性反映系統(tǒng)外部可直接或間接測(cè)量的輸出y(t)來確定或反映系統(tǒng)狀態(tài)的能力。如果系統(tǒng)的任何內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化都可由系統(tǒng)的外部輸出y(t)唯一地確定,那么稱系統(tǒng)是可觀測(cè)的,或者更確切地說,是狀態(tài)可觀測(cè)的。否則,就稱系統(tǒng)為狀態(tài)不完全可觀測(cè)的。下面通過幾個(gè)例子來說明可觀測(cè)性的意義。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!但當(dāng)電阻R1R2或電感L1L2時(shí),則上述由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。這種能由輸出變量值確定狀態(tài)變量值的特性稱為狀態(tài)可觀測(cè),若由輸出變量值不能唯一確定出狀態(tài)變量值的特性則稱為狀態(tài)不可觀測(cè)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!當(dāng)電路中電阻值R1=R2=R,電感值L1=L2=L時(shí),若輸入電壓u(t)突然短路,即u(t)=0,則狀態(tài)方程為顯然,當(dāng)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)為x1(t0)=x2(t0)且為任意值時(shí),上述狀態(tài)方程的解必有x1(t)=x2(t),故有y(t)=i3(t)=0,即輸出變量y(t)恒為零。因此,由觀測(cè)到的恒為零的輸出變量y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值,即由輸出i3(t)不能確定通過兩個(gè)電感的電流值i1(t)和i2(t)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!例：右圖所示的電網(wǎng)絡(luò)中,電源電壓u(t)為輸入,電壓y(t)為輸出,并分別取電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。因此,由輸出變量y(t)顯然不能確定電壓值uC(t),即由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)的值。故,該電網(wǎng)絡(luò)在開關(guān)K斷開后,是狀態(tài)不可觀測(cè)的。當(dāng)開關(guān)K在t0時(shí)刻斷開后,顯然電容C和電阻R1構(gòu)成一階衰減電路,電容電壓uC(t)的變化只與初始狀態(tài)uC(t0)有關(guān),與衰減電路外其他信號(hào)無關(guān)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!因此,輸出變量y(t)可表示為y(t)=e-t[x1(0)+x2(0)]由y(t)的解可知,由y(t)并不能唯一地分別確定初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0),進(jìn)而唯一地確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t),即x1(t)和x2(t)是狀態(tài)不可觀測(cè)的,整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全可觀測(cè)的。前面3個(gè)例子,可通過直觀分析來討論系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性,但對(duì)維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng),直觀判斷可觀測(cè)性是困難的。下面將通過給出狀態(tài)可觀測(cè)性的嚴(yán)格定義,來導(dǎo)出判定狀態(tài)可觀測(cè)性的充要條件。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!因?yàn)榫仃嘇,B,C和輸入u(t)均已知,故上式的右邊第二項(xiàng)可以計(jì)算出來,也是已知項(xiàng)。故可以定義如下輔助輸出:研究狀態(tài)可觀測(cè)性問題,即為上式對(duì)任意的初始狀態(tài)x(t0)能否由輔助輸出y-(t)來唯一確定的問題。所以線性系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性僅與輸出y(t),以及系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C有關(guān),與輸入矩陣B和輸入u(t)無關(guān)。也就是說,分析線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性時(shí),只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可。因此,我們有如下線性系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性的定義。對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng),我們有如下狀態(tài)可觀測(cè)性定義。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!對(duì)上述狀態(tài)可觀測(cè)性的定義有如下注記。1.對(duì)于線性定常系統(tǒng),由于系統(tǒng)矩陣A(t)和輸出矩陣C(t)都為常數(shù)矩陣,與時(shí)間無關(guān),因此不必在定義中強(qiáng)調(diào)“在所有時(shí)刻狀態(tài)完全可觀測(cè)”,而為“某一時(shí)刻狀態(tài)完全可觀測(cè),則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測(cè)”。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!3.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,

C)可觀測(cè)性判據(jù)有許多不同形式,包括格拉姆矩陣判據(jù)秩判據(jù)模態(tài)判據(jù)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!（2）秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C)完全可觀測(cè)的充要條件為:定義如下的可觀測(cè)性矩陣滿秩,即rankQo=n線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!例：試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性解

由狀態(tài)可觀測(cè)性的代數(shù)判據(jù)有而系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)n=2,所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!約旦規(guī)范形判據(jù)：對(duì)為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C),有:1)

若A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為對(duì)應(yīng)A的每個(gè)約旦塊的C的分塊的列不全為零;2)

若A為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為對(duì)應(yīng)A的每個(gè)特征值的所有約旦塊的C的分塊的列線性無關(guān)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!例：試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性。解

由定理4-8可知,A為特征值互異的對(duì)角線矩陣,但C中的第2列全為零,故該系統(tǒng)的狀態(tài)x2不可觀測(cè),則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)。狀態(tài)空間x1-x2不完全可觀測(cè)狀態(tài)變量x1完全可觀測(cè)狀態(tài)變量x2完全不可觀測(cè)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!解

由于A中特征值-4的兩個(gè)約旦塊所對(duì)應(yīng)的C的分塊的列線性相關(guān),該系統(tǒng)的狀態(tài)x1,x2和x4不完全可觀測(cè),則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)。狀態(tài)空間x1-x2-x3-x4不完全可觀測(cè)狀態(tài)變量x1-x2-x4不完全可觀測(cè)狀態(tài)變量x3完全可觀測(cè)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!例題：試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性。解由方程|I-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為-1,-2和-3。對(duì)特征值1=-1,有列3=列2-列1故該系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!補(bǔ)充可控性和可觀測(cè)判據(jù)：對(duì)單輸入系統(tǒng)，(sI-A)-1b無零極點(diǎn)對(duì)消是系統(tǒng)完全可控的充要條件。對(duì)單輸出系統(tǒng)，c(sI-A)-1無零極點(diǎn)對(duì)消是系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充要條件。結(jié)論：對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)G(s)=c(sI-A)-1b無零極點(diǎn)對(duì)消是系統(tǒng)完全可控可觀測(cè)的充要條件。傳遞函數(shù)描述的只是可控又可觀測(cè)部分；傳遞函數(shù)中消去的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于不可控或不可觀測(cè)模態(tài)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!例題：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)（1）寫出系統(tǒng)可控不可觀測(cè)的動(dòng)態(tài)方程；（2）寫出系統(tǒng)可觀測(cè)不可控的動(dòng)態(tài)方程；線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!本節(jié)主要講述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性/可觀測(cè)性的定義和判據(jù)。由于線性連續(xù)系統(tǒng)只是線性離散系統(tǒng)當(dāng)采樣周期趨于無窮小時(shí)的無限近似,所以離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性/可觀測(cè)性的定義與線性連續(xù)系統(tǒng)的極其相似,可控性/可觀測(cè)性判據(jù)則在形式上基本一致。四、線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!1.線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性定義定義：對(duì)線性時(shí)變離散系統(tǒng)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)若對(duì)任意非零初始狀態(tài)x(l),存在控制作用序列u(k),使系統(tǒng)在第n步上達(dá)到到原點(diǎn),即x(n)=0,則稱狀態(tài)在時(shí)刻l可控;若狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可控,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全可控;若存在某個(gè)狀態(tài)不可控,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的,簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不可控。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!定理

(線性定常離散系統(tǒng)可控性秩判據(jù))

對(duì)線性定常離散系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)，有如下狀態(tài)可控性判據(jù):1)若系統(tǒng)矩陣G為非奇異矩陣，則狀態(tài)完全可控的充要條件為如下定義的可控性矩陣:Qc=[HGH…Gn-1H]滿秩，即rankQc=n2)若系統(tǒng)矩陣G為奇異矩陣，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為

rankQc=rank[Qc

Gn]2.線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性判據(jù)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!上式寫成矩陣形式即為這是一個(gè)非齊次線性代數(shù)方程組,由線性方程組解的存在性理論可知,上式存在控制序列{u(0),u(1),…,u(n-1)}的充要條件為rank[HGH…Gn-1H]=rank[HGH…Gn-1HGnx(0)]線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!當(dāng)系統(tǒng)矩陣G滿秩時(shí),顯然有rankGn=n因此rank[HGH…Gn-1HGn]=n所以由結(jié)論1可知,在系統(tǒng)矩陣G滿秩時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為rankQc=rank[HGH…Gn-1H]=n注意：若離散系統(tǒng)可控，則經(jīng)n個(gè)采樣周期一定可以到達(dá)狀態(tài)空間原點(diǎn)，即x(n)=0；若離散系統(tǒng)可控，由任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)一般也可以少于n個(gè)采樣周期rankQc=rank[QcGn]線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!解G為非奇異陣，由系統(tǒng)狀態(tài)可控性判據(jù)有例:

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性，若初始狀態(tài)x(0)=[210]T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究使x(2)=0的可能性線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!對(duì)初始狀態(tài)x(l),根據(jù)在n個(gè)采樣周期內(nèi)采樣到的輸出向量y(k)能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0),則稱狀態(tài)x(l)可觀;若對(duì)狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可觀,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀,簡稱為系統(tǒng)可觀。若存在某個(gè)狀態(tài)x(l)不可觀,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可觀的,簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不可觀。定義：

若線性時(shí)變離散系統(tǒng)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!滿秩,即

rankQo=n定理：線性定常連續(xù)系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全可觀的充分必要條件為如下定義的可觀測(cè)性矩陣:線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!因此,由線性方程的解存在性理論可知,無論輸出向量的維數(shù)是否大于1,上述方程有x(0)的唯一解的充分必要條件為rankQo=n由可觀測(cè)性的定義可知,上式亦為線性定常離散系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全可觀的充要條件。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!例：試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性解由狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù)有系統(tǒng)不完全可觀測(cè)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!解1.求原連續(xù)系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。因?yàn)楣试B續(xù)系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控且完全可觀的。例：

判斷如下線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)可控性和可觀測(cè)性。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!即經(jīng)離散化后的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!因此,此時(shí)離散化系統(tǒng)是既不可控又不可觀的。若取Tk(k=1,2,…),即sinT0,cosT1,則有|Qc|=sinT(-sin2T-cos2T+2cosT-1)=2sinT(cosT-1)0|Qo|=sinT0即Qc和Qo均為滿秩矩陣,則此時(shí)離散化系統(tǒng)狀態(tài)完全可控又完全可觀。若取T=k(k=1,2,…),即sinT=0,cosT=1,則有線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!經(jīng)精確離散化的狀態(tài)空間模型為其中對(duì)離散化系統(tǒng)的狀態(tài)可控性/可觀測(cè)性與原連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性/可觀測(cè)性以及采樣周期T的選擇的關(guān)系有如下結(jié)論:設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!利用上述離散化系統(tǒng)可控性/可觀測(cè)性結(jié)論,有如下算例:在例題中,A的特征值為1=j,2=-j,即滿足Re[1-2]=0。所以當(dāng)T2k/Im[i-j]=k

k=1,2,3,……時(shí),離散化系統(tǒng)才狀態(tài)完全可控和完全可觀。再如,若某可控可觀的連續(xù)系統(tǒng)的特征值分別為:-2j

-2

-23j

-34j則采樣周期T不能取對(duì)特征值對(duì)-2j,T2k/2對(duì)特征值對(duì)-2j與特征值-2的組合,T2k線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!現(xiàn)代控制理論中著眼于對(duì)表征MIMO系統(tǒng)內(nèi)部特性和動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)進(jìn)行分析、優(yōu)化和控制。狀態(tài)變量向量的維數(shù)一般比輸入向量的維數(shù)高,這里存在多維狀態(tài)能否由少維輸入控制的問題。此外,狀態(tài)變量是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化的一組內(nèi)部變量,有時(shí)并不能直接測(cè)量或間接測(cè)量,故存在能否利用可測(cè)量或觀測(cè)的輸入輸出的信息來構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)的問題。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!1.可控性的直觀討論狀態(tài)可控性反映輸入u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的控制能力。如果狀態(tài)變量x(t)由任意初始時(shí)刻的任意初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)都能由輸入(控制項(xiàng))來影響,并能在有限時(shí)間內(nèi)控制到空間原點(diǎn),那么稱系統(tǒng)是可控的,或者更確切地說,是狀態(tài)可控的。否則,就稱系統(tǒng)為不完全可控的。下面通過實(shí)例來說明可控性的意義。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!由電路理論知識(shí)可知,若圖1所示的電橋系統(tǒng)是平衡的,電容C2的電壓x2(t)是不能通過輸入電壓u(t)改變的,即狀態(tài)變量x2(t)是不可控的,則系統(tǒng)是不完全可控的。若圖1所示的電橋系統(tǒng)是不平衡的,兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過輸入電壓u(t)控制,則系統(tǒng)是可控的。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!例

某并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)如圖2所示,其截面積均為A,它們通過閥門O均勻地輸入等量液體,即其流量QO相同。圖2并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)

線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!由各水槽中所盛水量的平衡關(guān)系和流量與壓力(水面高度)的關(guān)系,有其中代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量。選上述方程中變化量h1和h2為狀態(tài)變量,將狀態(tài)變量帶入方程中并消去中間變量Q1和Q2消去,則有線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!由上述解可知,當(dāng)初始狀態(tài)x1(0)和x2(0)不等時(shí),則x1(t)和x2(t)的狀態(tài)軌跡完全不相同,即在有限時(shí)間內(nèi)兩條狀態(tài)軌線不相交。因此,對(duì)該系統(tǒng),無論如何控制流入的流量QO(t),都不能使兩水槽的液面高度的變化量h1(t)和h2(t)在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)為零,即液面高度不完全能進(jìn)行任意控制。上面用實(shí)際系統(tǒng)初步說明了可控性的基本含義,可控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個(gè)例子說明。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!由該狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)都可由輸入u單獨(dú)控制,可以說,x1(t)和x1(t)都是單獨(dú)可控的。對(duì)該狀態(tài)方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]即狀態(tài)x1(t)和x1(t)總是相差一個(gè)固定的,不受u(t)控制的函數(shù)值。例:

給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!2.狀態(tài)可控性的定義由狀態(tài)方程及狀態(tài)方程求解公式可知,狀態(tài)的變化主要取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始時(shí)刻之后的輸入,與輸出y(t)無關(guān)。因此研究討論狀態(tài)可控性問題,即輸入u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)能否控制的問題,只需考慮系統(tǒng)在輸入u(t)的作用和狀態(tài)方程的性質(zhì),與輸出y(t)和輸出方程無關(guān)。對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng),我們有如下狀態(tài)可控性定義。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!對(duì)上述狀態(tài)可控性的定義有如下討論:1.控制時(shí)間[t0,t1]是系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)所需的有限時(shí)間。對(duì)時(shí)變系統(tǒng),控制時(shí)間的長短,即t1-t0的值,與初始時(shí)刻t0有關(guān)。對(duì)于定常系統(tǒng),該控制時(shí)間與t0無關(guān)。所以,對(duì)于線性定常系統(tǒng)狀態(tài)可控性,可不必在定義中強(qiáng)調(diào)“在所有時(shí)刻狀態(tài)完全可控”,而為“某一時(shí)刻狀態(tài)完全可控,則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控”。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!3.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)可控性判據(jù)有許多不同形式,包括格拉姆矩陣判據(jù)秩判據(jù)模態(tài)判據(jù)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!（2）秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全可控的充要條件為:定義如下的可控性矩陣Qc=[BAB…An-1B]滿秩,

rankQc=rank[BAB…An-1B]=n線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁!由可控性的定義有,若可控,則應(yīng)存在t1(t1>0)和分段連續(xù)的u(t),使得x(t1)=0,即即因此,線性定常系統(tǒng)狀態(tài)可控的充要條件為:上述方程對(duì)任意的x(0)有輸入u(t)的解。下面將利用該方程證明判別狀態(tài)可控性的充要條件。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第69頁!

若系統(tǒng)是可控的，那么對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)x(0)都應(yīng)從上述方程中解出

f0，f1，…，fn1來。這就要求系統(tǒng)可控性矩陣的秩為n，即rank[BABA2B…An1B]=n線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第70頁!

例題：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷其狀態(tài)可控性。

解：系統(tǒng)的可控性矩陣為Qc=[BABA2B]=

rankQc=2n

所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。

211111322222544444線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第71頁!例題：判斷下述系統(tǒng)的狀態(tài)可控性線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第72頁!約旦規(guī)范形判據(jù)：對(duì)為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B),有:1)

若A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)可控的充要條件為對(duì)應(yīng)A的每個(gè)約旦塊的B的分塊的最后一行都不全為零;2)

若A為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)可控的充要條件為對(duì)應(yīng)A的每個(gè)特征值的所有約旦塊的B的分塊的最后一行線性無關(guān)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第73頁!解

由對(duì)角型判據(jù)可知,A為特征值互異的對(duì)角線矩陣,且B中各行不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。例題：試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第74頁!解

由于A中特征值-4的兩個(gè)約旦塊所對(duì)應(yīng)的B的分塊的最后一行線性無關(guān),且A中特征值-3的約旦塊所對(duì)應(yīng)的B的分塊的最后一行不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第75頁!PBH秩判據(jù)：

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全可控的充必條件為:對(duì)于所有的i,下式成立:rank[iI-A

B]=n

線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第76頁!對(duì)特征值2=2,有對(duì)特征值3=3,有由PBH秩判據(jù)可知,該系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第77頁!二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出可控性在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中,系統(tǒng)的被控制量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,而是系統(tǒng)的輸出變量。因此,有必要研究系統(tǒng)的輸出能否控制的問題。經(jīng)典控制理論討論的為SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問題,其輸入輸出間動(dòng)態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。因此,對(duì)給定的期望輸出響應(yīng),輸入則唯一地確定,不存在輸出能否控制的問題。但對(duì)于MIMO系統(tǒng),由于輸入向量和輸出向量是多維的,因此,存在r維的輸入能否控制m維的輸出的可控性問題。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第78頁!若系統(tǒng)存在某個(gè)初始輸出值y(t0)不滿足上述條件,則稱此系統(tǒng)是輸出不完全可控的,簡稱為輸出不可控。定理：線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D)輸出完全可控的充要條件為輸出可控性矩陣[CB

CAB…CAn-1B

D]滿秩,即rank[CB

CAB…CAn-1B

D]=m其中m為輸出向量的維數(shù)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第79頁!本節(jié)首先從物理直觀性來討論狀態(tài)可觀測(cè)性的基本含義,然后再引出狀態(tài)可觀測(cè)性的定義。下面將看到,這種從直觀到抽象的討論,對(duì)于理解可觀測(cè)性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。本節(jié)講授順序?yàn)?可觀測(cè)性的直觀討論狀態(tài)可觀測(cè)性的定義線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù)三、線性連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第80頁!例

考慮右圖所示的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由輸出變量的值確定狀態(tài)變量值的能力問題。當(dāng)電阻R1=R2,電感L1=L2,輸入電壓u(t)=0,以及兩個(gè)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)x1(t0)=x2(t0)且為任意值時(shí),必定有i3(t)=0,即輸出變量y(t)恒為零。因此,由恒為零的輸出y(t)顯然不能確定通過兩個(gè)電感的電流值i1(t)和i2(t),即由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值。該電網(wǎng)絡(luò)模型中,u(t)為輸入電壓,y(t)

=i3(t)為輸出變量,通過兩電感的電流i1(t)和i2(t)分別為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。圖

電網(wǎng)絡(luò)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第81頁!從狀態(tài)空間模型上看，當(dāng)選擇兩電感的電流i1(t)和i2(t)分別為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)時(shí)，狀態(tài)空間模型為線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第82頁!但當(dāng)電路中電阻值R1≠R2或電感值L1≠L2時(shí),則上述由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。這種由可測(cè)量的輸出變量的值能惟一確定狀態(tài)變量的值的特性稱為狀態(tài)可觀測(cè),若不能惟一確定則稱為狀態(tài)不可觀測(cè)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第83頁!例:給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為由狀態(tài)方程可知:狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)可分別由初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0)唯一決定,并可表示為xi(t)=e-txi(0)i=1,2線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第84頁!2.狀態(tài)可觀測(cè)性的定義對(duì)線性系統(tǒng)而言,狀態(tài)可觀測(cè)性只與系統(tǒng)的輸出y(t),以及系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C有關(guān),與系統(tǒng)的輸入u(t)和輸入矩陣B無關(guān),即討論狀態(tài)可觀測(cè)性時(shí),只需考慮系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)即可。上述結(jié)論可證明如下:對(duì)線性定常系統(tǒng)(A,B,C),其狀態(tài)和輸出的解分別為線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第85頁!定義：若線性連續(xù)系統(tǒng)對(duì)初始時(shí)刻t0(t0T,T為時(shí)間定義域)和初始狀態(tài)x(t0),存在另一有限時(shí)刻t1(t1>t0,t1T),根據(jù)在有限時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)量測(cè)到的輸出y(t),能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0),則稱在t0時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)可觀測(cè);若對(duì)t0時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可觀測(cè),則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻狀態(tài)完全可觀測(cè);若存在某個(gè)狀態(tài)x(t0)不可觀測(cè)，稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可觀測(cè)的,簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不可觀測(cè)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第86頁!2.上述定義中的輸出觀測(cè)時(shí)間為[t0,t1],并要求t1>t0。這是因?yàn)?輸出變量y(t)的維數(shù)m一般總是小于狀態(tài)變量x(t)的維數(shù)n。否則,若m=n且輸出矩陣C(t)可逆,則x(t)=C-1(t)y(t)即狀態(tài)變量x(t)可直接由輸出y(t)確定。由于m<n,為了能唯一地求出狀態(tài)變量的值,不得不依靠在一定區(qū)間內(nèi)測(cè)量得的連續(xù)(或有限幾組)輸出值以確定系統(tǒng)狀態(tài)。3.在定義中把可觀測(cè)性定義為對(duì)初始狀態(tài)的確定,這是因?yàn)?一旦確定初始狀態(tài),便可根據(jù)狀態(tài)方程的解表達(dá)式,由初始狀態(tài)和輸入,計(jì)算出系統(tǒng)各時(shí)刻的狀態(tài)值。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第87頁!（1）格拉姆矩陣判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C)完全可觀測(cè)的充要條件為:存在t1(t1>0),使得如下可觀測(cè)格拉姆(Gram)矩陣為非奇異的線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第88頁!證明

對(duì)于線性定常系統(tǒng),由可觀測(cè)性定義可知,其狀態(tài)可觀測(cè)性與初始時(shí)刻無關(guān)。因此,不失一般性,可設(shè)初始時(shí)刻t0為0。根據(jù)輸出方程解的表達(dá)式,有y(t)=CeAtx(0)由可觀測(cè)性的定義可知,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)是否完全可觀測(cè),等價(jià)于上述方程是否有x(0)的唯一解問題。將凱萊-哈密頓定理代入上式：線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第89頁!對(duì)角規(guī)范型判據(jù)：對(duì)為對(duì)角規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C),

有：1)

若A的所有特征值互異,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為：C中不包含元素全為0的列；2)

若A有重特征值,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為：重特征值對(duì)應(yīng)的C中的列線性無關(guān)。（3）模態(tài)判據(jù)線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第90頁!模態(tài)判據(jù)不僅可判別出狀態(tài)可觀測(cè)性,而且更進(jìn)一步地指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài)(特征值或極點(diǎn))和哪一狀態(tài)不可觀測(cè)。這對(duì)于進(jìn)行系統(tǒng)分析、狀態(tài)觀測(cè)器和反饋校正是非常有幫助的。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第91頁!解

由于A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊,且對(duì)應(yīng)于各約旦塊的C的分塊的列都不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測(cè)。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第92頁!PBH秩判據(jù)：線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C)狀態(tài)完全可觀測(cè)的充要條件為:對(duì)于所有的i,下式成立:線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第93頁!可觀測(cè)性判據(jù)小結(jié)判定方法特點(diǎn)判據(jù)代數(shù)判據(jù)規(guī)范性判據(jù)PBH秩判據(jù)可觀測(cè)性矩陣Qo滿秩約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對(duì)應(yīng)的C矩陣分塊的列線性無關(guān)對(duì)于所有特征值

,rank[I-A

C]=n計(jì)算簡便可行。缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))可觀測(cè)易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))可觀測(cè)。缺點(diǎn)為需變換成標(biāo)準(zhǔn)形易于分析哪些特征值(極點(diǎn))可觀測(cè)。缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第94頁!例題：為使描述的系統(tǒng)可控又可觀測(cè)，問a應(yīng)滿足什么條件？線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第95頁!例題：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)（1）寫出系統(tǒng)可控不可觀測(cè)的動(dòng)態(tài)方程；（2）寫出系統(tǒng)可觀測(cè)不可控的動(dòng)態(tài)方程；解：線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第96頁!本節(jié)的主要內(nèi)容為:線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性連續(xù)動(dòng)態(tài)方程離散化后的狀態(tài)可控性和可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第97頁!在上述狀態(tài)可控性定義中,只要求在n步之內(nèi)尋找控制作用,使得系統(tǒng)狀態(tài)在第n步上到達(dá)原點(diǎn)。這是因?yàn)?可以證明,若離散系統(tǒng)在n步之內(nèi)不存在控制作用使得對(duì)任意初始狀態(tài)控制到原點(diǎn),則在n步以后也不存在控制作用使?fàn)顟B(tài)在有限步之內(nèi)控制到原點(diǎn)。故在上述定義中,只要求系統(tǒng)在n步之內(nèi)尋找控制作用。線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第98頁!證明線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解如下:設(shè)在第n步上能使初始狀態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài),于是上式可記為即線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性共111頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第99頁!考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)是屬于n維狀態(tài)空間中任意一個(gè)狀態(tài),因此上式等價(jià)于rank[HGH

…

Gn-1H]=rank[HGH…Gn-1HGn]即證明了系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為可控性矩陣滿足rankQc=rank[Qc

Gn]即定理的結(jié)論2)得以證明。rank[H