勾股定理的探究

數(shù)學(xué)問題解決學(xué)習(xí)——勾股定理能夠被學(xué)生探究出來嗎倘塘鎮(zhèn)一中朱勛照（1）選題背景勾股定理是數(shù)學(xué)教改的晴雨表：上一世紀(jì)五六十年代數(shù)學(xué)課程中的嚴(yán)格論證、后來提倡的“量一量、算一算”、之后的“告訴結(jié)論”、“做中學(xué)”，直到現(xiàn)在的探究式等。數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)決策等三大能力，勾股定理教學(xué)正是一個恰當(dāng)?shù)睦?。甚至有?shù)學(xué)家說：如果沒有時間看一個國家的數(shù)學(xué)教學(xué)，只要看他們勾股定理是如何教學(xué)的，就可略知一二。（2）回顧原教學(xué)行為我國以往教學(xué)中，重點是對給出的勾股定理進(jìn)行嚴(yán)格的形式化證明，也即采用歐幾里德的等積變形推導(dǎo)進(jìn)行證明。在這個證明中，首先要至少做出三條輔助線、然后找到三對圖形的面積等量關(guān)系做出推導(dǎo)，其構(gòu)思的精妙令人折服，可是技巧難度太高。從上世紀(jì)90年代一直到近來的勾股定理教學(xué)中，教師試圖設(shè)置一個動手情境，讓學(xué)生“做中學(xué)”。在提出猜想階段，通過學(xué)生對直角三角形三邊的測量，得出一組數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行“猜想”——這叫做“量一量、算一算”；但是這樣“量、算”的辦法，既受到數(shù)據(jù)測量精確性的制約、又局限于數(shù)據(jù)的數(shù)量，學(xué)生得不出a2+b2=c2。在證明猜想階段，通過學(xué)生對兩個直角三角形的裁剪，試圖拼湊成一個大的正方形——這叫做“剪一剪、拼一拼”；但是，教師頭腦中設(shè)計的“剪、拼”實驗，在實際活動中并不能為學(xué)生所操作、實現(xiàn)。于是，“量一量、算一算”的辦法演化為教師直接提供勾股數(shù)組，讓學(xué)生進(jìn)行“猜想”；“剪一剪、拼一拼”的證明方法，被簡化為等腰直角三角形的“鋪地磚”。這樣以來，教師提供的排列整齊的勾股數(shù)組，直接向?qū)W生暗示著把數(shù)字換為字母的結(jié)論；而“鋪地磚”中等腰直角三角形的特殊性，則使“證明”失去了一般性的意義。在我們視野所及的范圍內(nèi)，多數(shù)教師仍基本采用講解的方式，即使有個別教師力圖實施探究性教學(xué)，也常常停留于形式，缺少實質(zhì)意義上的探究。（3）新教學(xué)行為階段在查閱了TIMSS重復(fù)錄像研究項目提供的12個勾股定理教學(xué)錄像后，沒有獲得滿意的結(jié)果。于是我們嘗試新的教學(xué)設(shè)計，要點是：①目標(biāo)在于體現(xiàn)“猜想—證明”這種數(shù)學(xué)思想方法的本原性意義。②探究需要“鋪墊”（有層次推進(jìn)的策略）。就像學(xué)游泳，不能讓所有學(xué)生都直接跳到海里，要有一定的背景知識和帶關(guān)鍵性的技能、策略作鋪墊。鋪墊也稱“腳手架”，為學(xué)生提供一種教學(xué)協(xié)助，幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有能力下向高認(rèn)知學(xué)習(xí)任務(wù)的難度攀升。情境鋪墊出猜想首先，教師提問“直角三角形三邊有什么大小關(guān)系？”使學(xué)生注意力集中于三邊關(guān)系：a、b<c<a+b。教師進(jìn)而提問“平方上面的式子會怎么樣”？得出a2、b2<c2<a2+2ab+b2，并指出a2、b2、c2的幾何意義。然后，教師做了鋪墊：在方格紙內(nèi)斜放一個正方形ABCD，每個小方格的邊長為單位1，怎樣計算正方形ABCD的面積？借助橫平豎直的方格背景，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用割補(bǔ)法求得斜放正方形的面積。接著，教師呈現(xiàn)工作單上的小方格背景上的圖形，要求學(xué)生通過計算、填數(shù)據(jù)表等小組活動來研究直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。=1\*GB3=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④圖小方格背景上的圖形面積計算①②③④…a214916b24916252ab4122440c25132541注：數(shù)據(jù)是后來填上去的在計算過程中，學(xué)生通過數(shù)單位小方格的辦法，可以獨立地順利計算出a2、2ab、b2，對于c2則無法求出；教師鼓勵學(xué)生小組內(nèi)部討論c2的計算辦法，則可以借助前面計算斜放正方形面積鋪墊的方法求出。反駁與證明的過程圖學(xué)生的發(fā)現(xiàn)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)表提出了很多猜想，尤其是2ab+1=c2，這是數(shù)學(xué)專業(yè)出身的教師從來沒有學(xué)過的“定理”。它是錯誤的嗎？可是，數(shù)據(jù)表中的每組數(shù)據(jù)的驗證都表明它是正確的。那么，也許學(xué)生真的發(fā)現(xiàn)了一個“定理”？圖學(xué)生的發(fā)現(xiàn)T：哦，王**，你來說說看。S1：老師我做過a=2，b=4的例子，這時2ab=16，而c2=20，所以c2≠2ab+1。T：請坐。王**同學(xué)用具體的舉例來“反駁”，看來很有說服力的，看來c2=2ab+1這一結(jié)論不成立。哦，還有，你還有話要說？S2：老師，我剛才通過例子得出，當(dāng)a與b差是1的時候，2ab+1=c2這個結(jié)論還是成立的。T：請坐。這個想法還是有道理的，看來c2=2ab+1是一個有條件的結(jié)論。好，下面我們再來看一下c2=a2+b2呢？你來說說看！S3：這個結(jié)論對，對于前面已舉過的圖例來說都是成立的，但是我想，如果它舉例子，即使100個例子都是成立，但是如果到了101個例子，它不成立了呢？如果要知道它是一個定理，就是要知道它所有的例子都是成立，才是定理，只要有1個例子不成立還是個有條件的結(jié)論。T：請坐，看來a2+b2=c2是否是個定理,光靠幾個例子說明是不夠的,那么我們應(yīng)該怎么辦呢?S眾：證——明——這段師生對話體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中反駁與證明的思想方法。在數(shù)學(xué)活動中，對于一個假命題，只要舉出一個反例就可以把它反駁掉；但對于一個可能為真的命題，無論多少個支持它的正例都無法使人信服，只是增加了這個命題正確的可能性（合情推理）。所以，對于一個可能為真的命題就必須進(jìn)行一般化的證明——這反映了“為什么要證明”的必要性。這段對話，它正好反映了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，從數(shù)據(jù)歸納出一些猜想、然后通過反駁與證明，直到得出一個定理的這樣一個深層次思維過程，它反映了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。拆除鋪墊引導(dǎo)論證通過反駁與證明的對話，學(xué)生體驗到了進(jìn)行證明的必要性。把圖中的小方格背景撤去，并且隱去a、b的具體數(shù)值，在一般的直角三角形中，學(xué)生順利地證明了a2+b2=c2的正確性。（4）學(xué)生后續(xù)活動做擴(kuò)充為了檢驗這種探究發(fā)現(xiàn)的思想（數(shù)據(jù)——觀察——猜想——證明）能否產(chǎn)生正遷移，以及學(xué)生的一般探究知識的能力對于問題解決的能力影響，我們布置三個方面的課外活動：①用“數(shù)據(jù)表出猜想”的辦法探索格點多邊形面積與內(nèi)點及邊點的關(guān)系（數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用）；②上網(wǎng)學(xué)習(xí)勾股定理的史料與多種證明（擴(kuò)充視野）；③收集、編擬勾股定理的應(yīng)用題（發(fā)展解題能力）。這里不再展開。（5）課堂價值取向與行為類型的變化改進(jìn)前后課的價值取向可以從課堂行為結(jié)構(gòu)的變化