(完整版)行列式的性質(zhì)及應(yīng)用

目錄1.行列式的定義和性質(zhì)..............................................................11．1定義.....................................................................11.2n階行列式具有的性質(zhì).....................................................12.行列式的計算...................................................................42.1數(shù)字型行列式的計算(四種方法)..............................................42.1．1.三角化法...........................................................42．1．2遞推法............................................................42.1．3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法........................................................62．1．4公式法............................................................72.2行列式的概念與性質(zhì)的例題..................................................72.3抽象行列式的計算..........................................................72.4含參數(shù)行列式的計算........................................................82.5特殊行列式的解法..........................................................82.5．1范德蒙行列式.......................................................83.關(guān)于A0的證明...............................................................94.行列式應(yīng)用....................................................................114.1行列式在線性方程組中的應(yīng)用...............................................114.2行列式在初等代數(shù)中的幾個應(yīng)用.............................................124.2.1用行列式分解因式...................................................124.2.2用行列式證明不等式和恒等式.........................................134.3行列式在解析幾何中的幾個應(yīng)用.............................................144.3.1用行列式表示公式...................................................144.4行列式在平面幾何中的一些應(yīng)用.............................................164.4.1三線共點...........................................................164.4.2三點共線...........................................................164.4.3應(yīng)用舉例...........................................................164.5行列式在三維空間中的應(yīng)用.................................................174.5.1平面組.............................................................174.5.2點組..............................................................204.6行列式在多重積分中的應(yīng)用.................................................22參考文獻(xiàn):.......................................................................241.行列式的定義和性質(zhì)1．1定義（設(shè)為n階）：n階行列式a11a12La1na21a22La2n(1)(jjLj)a1ja2jLanjA12nnLLLLj1j2Ljn12an1an2Lann是取自不同行不同列的 n個元素的乘積的代數(shù)和，它由n項組成，其中帶正號與帶負(fù)號的項各占一半， (j1j2Ljn)表示排列 j1j2L jn的逆序數(shù)。1.2 n階行列式具有的性質(zhì)行列式的計算是一個重要的問題， 也是一個很麻煩的問題。n級行列式一共有n!項，計算他就需要做 n!(n-1) 個乘法。當(dāng)n較大時，n!是一個相當(dāng)大的數(shù)字，直接從定義來計算行列式幾乎是不可能的事。 因此我們有必要進(jìn)一步討論行列式的性質(zhì)。 利用這些性質(zhì)可以化簡行列式的計算。在行列式的定義中，雖然每一項是n個元素的乘積，但是由于這n個元素是取自不同的行和列，所以對于某一確定的行中 n個元素（譬如αi1,αi2?，αin）來說，每一項都含有其中的一個且只含有其中元素。因之， n級行列式的n!項可以分成n組，第一組的項都含有α 11第二組的項都含有α i2等等。再分別把i行的元素提出來，就有a11a12La1na21a22La2na11A11ai2Ai2LainAin（1）MMMan1a12LLann其中Aij代表那些含有αij的項在提出公因子αij之后的代數(shù)和。至于Aij究竟是哪一些項的和我們暫且不管，后面章節(jié)再來討論。從以上討論可以知道， Aij中不再含有第i1行的元素，也就是 Aij，Ai2, ?,Ain全與行列式中第 i行的元素?zé)o關(guān)。1．性質(zhì)（1）行列互換，行列式不變。即a11a12La1na11a21Lan1a21a22La2na12a22Lan2LLLLLLLLan1an2Lanna1na2nLann2．性質(zhì)（2）一行的公因子可以提出來（或以一數(shù)乘行列式的一行就相當(dāng)于用這個數(shù)乘此行列式）即a11a12La1na11a12La1nLLLLLLLLkai1kai2Lkain=kai1ai2LainLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lann特殊形式（如果行列式中一行為零，那么行列式為零） 。3．性質(zhì)（3）如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外與原行列式的對應(yīng)行一樣。即a11a12La1na11a12La1na11a12La1nLLLLLLLLLLLLb1c1b2c2Lbncnb1b2Lbnc1c2Lcn.LLLLLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lannan1an2Lann4．性質(zhì)（4）如果行列式中兩行相同，那么行列式為零。（兩行相同就是說兩行對應(yīng)元素都相同）。5．性質(zhì)（5）如果行列式中兩行成比例。那么行列式為零。即2a11a12La1na11a12La1nLLLLLLLLai1ai2Lainai1ai2LainLLLLkLLLL0.kai1kai2Lkainai1ai2LainLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lann6．性質(zhì)（6）把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。即a11a12La1na11a12La1na11a12La1nLLLLLLLLLLLLai1cak1ai2cak2Laincaknai1ai2Laincak1cak2LcaknLLLLLLLLLLLLak1ak2Laknak1ak2Laknak1ak2LaknLLLLLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lannan1an2Lanna11a12La1nLLLLai1ai2LainLLLLak1ak2LaknLLLLan1an2Lann7．性質(zhì)（7）對換行列式中兩行的位置，行列式反號。即a11a12La1na11a12La1na11a12La1nLLLLLLLLLLLLai1ai2Lainai1ak1ai2ak2Lainaknai1ak1ai2ak2LainaknLLLLLLLLLLLLak1ak2Laknak1ak2Laknai1ai2LainLLLLLLLMLLLMan1an2Lannan1an2Lannan1an2Lann3a11a12La1na11a12La1nLLLLLLLLak1ak2Laknak1ak2LaknLLLLLLLLai1ai2Lainai1ai2LainLLLMLLLMan1an2Lannan1an2Lann2.行列式的計算2.1數(shù)字型行列式的計算 (四種方法)2.1．1.三角化法1b1例11b1b2之值。計算行列式D11b2b311b3解：從第1行開始,依次把每行加至下一行,得1b11b11b11b21b21b21Db31b311b21b311b311b31xaaLaaxaLa例計算行列式DaaxLa之值。MMMMaaaLx解：把每行均加至第一行,提出公因式xn1a,再把第一行的a倍分別加到第二行至第n行,得111L1111L1axaLaxaDnx(n1)aaaxLax(n1)axax(n1)a(xa)n1MMMMOaaaLxxa2．1．2遞推法41 a a1 1 a a例 計算行列式D5 1 1 a a 之值。1 1 a a1 1 a解：把各列均加至第 1列，并按第1列展開，得到遞推公式1a1aaD511aaD4a(1)51a411aa11a繼續(xù)使用這個遞推公式，有D4D3a4D3D2a3而初始值D21aa2，所以D51aa2a3a4a5a11a2x1例計算行列式Dna3xO之值。MOOan1x1anx解：按第n行展開，有DnxDn1an(1)n1(1)n1xDn1an，從而遞推地得到Dn1xDn2an1(1)n(1)n2xDn2an1，Dn2xDn3an2LLD2a1xa2對這些等式分別用 1，x,x2,L,xn2相乘，然后相加，得到Dn a1xn1 a2xn2 a3xn3 L an1x an52.1．3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法a11La1k0L0LLLLLLLa1kb11Lb1rak1Lakk0La11例0LLLLL。證明①Lc1kb11LLc11b1rLakkbr1LbrrLLLLLak1Lcr1Lcrkbr1Lbrr解我們對k用數(shù)學(xué)歸納法。a110L0當(dāng)k1時，①的左端為c11b11Lb1r按第一行展開，就得到所要的結(jié)論。LLLLcr1br1Lbrr假設(shè)①對km1，即左端行列式的左上角是m1級時已經(jīng)成立，現(xiàn)在來看km的情形，按第一行展開，有a11La1mLLLam1Lammc11Lc1mLLLcr1Lcrm

0L0LLL0L0b11Lb1rLLLbr1Lbrr

a22La2m0L0LLLLLLam2Lamm0L0+a11c12Lc1mb11Lb1rLLLLLLcr2Lcrmbr1Lbrra21La2,i1a2,i1La2m0L0LLLLLLLLLL+(1)1iam1Lam,i1am,i1Lamm0L0ac11Lc1,ic1,i1Lc1mb11Lb1r1i1LLLLLLLLLcr1Lcr,i1cr,i1Lcrmbr1Lbrra21La2,m10L0LLLLLLL(1)1ma1mam1Lam,m10L0c11Lc1,m1b11Lb1rLLLLLLcr1Lcr,m1br1Lbrr6a22La2ma21La2,i1a2,i1La2ma11LLLL(1)1ia1iLLLLLLam2Lammam1Lam,i1am,i1Lamma21La2,m1b11Lb1ra11La1mb11Lb1rL(1)1ma1mLLLLLLLLLLLLam1Lam,m1br1Lbrram1Lammbr1Lbrr這里第二個等號是用了歸納法假定，最后一個是根據(jù)按一行展開的公式。根據(jù)歸納法原理，①式普遍成立。2．1．4公式法abcd例計算行列式Abadc之值。cdabdcba解：由于AAT(a2b2c2d2)E,故用行列式乘法公式，得A2AAT(a2b2c2d2)4AAT因A中，a4系數(shù)是+1，所以A(a2b2c2d2)2。2.2行列式的概念與性質(zhì)的例題例 已知a23a31aija64a56a15是6階行列式中的一項，試確定 i,j的值及此項所帶的符號。解：根據(jù)行列式的定義，它是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和。 因此，行指標(biāo)2,3,i,6,5,1應(yīng)取自1至6的排列，故i 4，同理可知j 2。直接計算行的逆序數(shù)與列的逆序數(shù)，有(2,3,4,6,5,1)(3,1,2,4,6,5)639。亦知此項應(yīng)帶負(fù)號。2.3抽象行列式的計算例已知1,2,3,,都是4維列向量，且1,2,3,a，,3,2,1b，則2,1,2,3（）。7解： ,3, 2,1中第1列是兩個數(shù)的和，用性質(zhì) 3可將其拆成兩個行列式之和，再利用對換，提公因式等行列式性質(zhì)作恒等變行，就有,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,11,2,3,,,3,2,1,1,2,3于是2,1,2,32(ab)。例若4階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為1,1,1,1,則行列式B1E2345（）。解由A～B，知B的特征值是1,1,1,1。那么B1的特征值是2，3，4，5.于是B1E2345的特征值是1，2，3，4。有公式得， B1 E 24。2.4含參數(shù)行列式的計算x311例已知D1x510，求x。1x3解將第3行的-1倍加至第1行，有x202x101100D1x51(x2)1x51(x2)1x5211x311x311x4(xx52(x2)(x29x18)2)x14所以x 2,x 3,x 6。2.5特殊行列式的解法2.5．1范德蒙行列式8111L1a1a2a3Lan定義：行列式da12a22a32Lan2稱為n級的范德蒙行列式。LLLLLa1n1a2n2a3n3Lann1111例計算行列式Ax1(x11)x2(x21)x3(x31)之值。x12(x11)x22(x21)x32(x31)解把1改寫成i(i1)，第一行成為兩數(shù)之和，A可拆成兩個行列式之和，即xxx1x2x3(x11)(x21)(x31)Ax1(x11)x2(x21)x3(x31)x1(x11)x2(x21)x3(x31)x12(x11)x22(x21)x32(x31)x12(x11)x22(x21)x32(x31)分別記這兩個行列式為 B和C，則由范德蒙行列式得，1111113Bx1x2x3x11x21x31x1x2x3x1x2x3xi(xixj)x12x1x22x2x32x3x12x22x32i11ji33C(xi1)(xixj)i11ji333故A(xixj)xi(xi1)1ji3i1i13.關(guān)于A 0的證明解題思路：①設(shè)證法A A；②反證法：如 A 0從A可逆找矛盾；③構(gòu)造齊次方程組 Ax 0，設(shè)法證明它有非零解；④設(shè)法證矩陣的秩 r(A) n；⑤證明0是矩陣A的一個特征值。例 設(shè)A2 A,A E(單位矩陣)，證明： A 0。9證法一：如A0，則A可逆，那么AA1A2A1AE.與已知條件AE矛盾。證法二：由A2A，有A(AE)0,從而AE的每一列都是齊次方程組Ax0的解，又因AE，故Ax0有非零解，從而A0。證法三：證同上，由于AE的每一列i(i1,2,K,n)都是Ax0的解，所以r(AE)r(1,2,K,n)nr(A)，又因AE，r(AE)0，故r(A)nr(AE)n，所以A0。證法四：證同上，設(shè)i是AE中非零列，則Ai00i,則，0是A的特征值，故A0。拉普拉斯定理：設(shè)在行列式D中任意取定了k(1kn1)個行，由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。(其中：①k級子式：在一個n級行列式D中任意選定k行k列(kn)。位于這些行和列的交點上的k2個元素按照原來的次序組成一個 k級行列式M，稱為行列式D的一個k級子式。②余子式：在 D中劃去這k行k列后余下的元素按照原來的次序組成的k級行列式M'稱為k級子式M的余子式。③代數(shù)余子式：設(shè)D的k級子式M在D中所在的行、列指標(biāo)分別是 i1,i2Lik;j1,j2,L jk.則M的余子式 M'前面加上符號( 1)(i1i2Lik)(j1j2Ljk)后稱為M的代數(shù)余子式)。1 2 1 40 1 2 1例 求行列式D .1 0 1 30 1 3 1解：在行列式D中取定第一、二行，得到六個子式：M112,M211,M3142124,M61401020,M41,M5112112它們對應(yīng)的代數(shù)余子式為10A1(1)(12)(12)M1'M1',A2(1)(12)(13)M2'M2',A3(1)(12)(14)M3'M3',A4(1)(12)(23)M4'M4',A5(1)(12)(24)M5'M5',A6(1)(12)(34)M6'M6'根據(jù)拉普拉斯定理DM1A1M2A2LM6A6121311031401211324111410013102110113120111032101(1)(8)2(3)1(1)5163(7)1861518774.行列式應(yīng)用4.1行列式在線性方程組中的應(yīng)用設(shè)含有n個變元的n1個一次線性方程組為a11x2a12x2a1nxn0,a21x1a22x2a2nxn0,（1）an1,1x1an1,2x2an1,nxn0.設(shè)方程組（1）的系數(shù)矩陣A的秩是n1,不失一般性,假定不等于零的n1階行列式是a12a13a1nA1a22a23a2n.an1,2an1,3an1,n行列式A1中的元素,就是矩陣A中去掉第一列的元素以后剩下的元素,并按照它們的原有位置排列.我們把x2,x3, ,xn看作是未知數(shù), x1是已知數(shù), 解方程組(1), 得11xix1(i2,3,,n)（2）diA1式中di是行列式d1的第i1列元素?fù)Q以a11,a21,,an1,1所成的行列式.也就是a12a13a1,i1a11a1,i1a1ndia22a23a2,i1a21a2,i1a2n.an1,2an1,3an1,i1an1,1an1,i1an1,n把di中第i1列移到第一列,得a11a12a1,i1a1,i1a1ndi(1)i2a21a22a2,i1a2,i1a2n.an1,1an1,2an1,i1an1,i1an1,n上式右邊的行列式用Ai表示,行列式Ai是矩陣A中去掉第i列剩余下的元素所組成.故di(1)i2Ai.代入（2）式, 得xix1,或xiAix1.(1)i2AiA1(1)i1A1結(jié)論[2]:方程組（1）中的x1,x2,,xn與A1,A2,A3,,(1)n1An成比例,式中Ai(i1,2,,n)是從矩陣A中去掉第i列剩余下的元素做成的行列式.4.2行列式在初等代數(shù)中的幾個應(yīng)用 用行列式分解因式利用行列式分解因式的關(guān)鍵 , 是把所給的多項式寫成行列式的形式 , 并注意行列式的排列規(guī)則. 下面列舉幾個例子來說明 .例分解因式：ab2c3 bc2a3 ca2b3 cb2a3 ba2c3 ac2b3.12解原式 abc(bc2b2c) (a2c ac2) (ab2 a2b)abcbc(cb)ab(ac)ab(ba)c1a1a1abcbc1ac1ab1bcbbca1bca1abcabc1abcabbcca0acb1acbcba0abc(abbc)(ba)(acbc)(ca)abcb(ac)(ba)c(ab)(ca)abc(ab)(ca)(bc).例分解因式:(cdab)24bc(ac)(bd).cdab2(abbc)解原式cd)cdab2(bccdababcd2bccdab12(bccd)(abcd2bc)(abcd2bc)cd)12(bc(abcd2bc)2. 用行列式證明不等式和恒等式我們知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上, 行列式不變; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么這個行列式等于零. 利用行列式的這些性質(zhì), 我們可以構(gòu)造行列式來證明等式和不等式 .例已知abc0,求證a3b3c33abc.證明：令Da3b3c33abc,則abcabcabcabc000Dcabr2r3cabcab0.bcr1bcabcaa命題得證.13例已知axby1,bxcy1,cxay1,求證abbccaa2b2c2.證明令Dabbcca(a2b2c2),則ab1abaxby1ab0Dca1cacxay1ca00bcc3c1xc2ybcbxcy1bc01命題得證.例已知abc0,求證b3ac3ba3ca3bb3cc3a.證明令Da3bb3cc3a(b3ac3ba3c),則abbccaabbcabcaababcaabDc2b2a2c2a2c2b2c2bcc22222c1acbc111c3c1100b(ca)(bc)(bc)a(cb)(ac)(ac)(bc)(ac)(abc)(ac)而abc0,則D0,命題得證.4.3行列式在解析幾何中的幾個應(yīng)用 用行列式表示公式用行列式表示三角形面積以平面內(nèi)三點(1,1),(2,2),(3,y3)為頂點的PQR的面積S是PxyQxyRxx1y111x2y21(3)2x3y31的絕對值.證明將平面P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)三點擴(kuò)充到三維空間,其坐標(biāo)分別為(x1,y1,k),(x2,y2,k),(x3,y3,k), 其中k為任意常數(shù). 由此可得：uuur uuurPQ (x2 x1,y2 y1,0), PR (x3 x1,y3 y1,0)14uuuruuur(0,0,x2x1y2y1)PQR面積為S1uuuruuuruuuruuur則PQPRPQPRsinPQ,PRx3x1y3y121uuuruuur1x2x1y221x2x1y2y1x1y11y11S=PQPR2x3x1y3y12x3x1y3y12x2x1y2y102x3x1y3y10x1y111x2y21.2x3y31用行列式表示直線方程直線方程通過兩點 P(x1,y1)和Q(x2,y2)的直線PQ的方程為x1 y1 1x2 y2 1 0. （4）x y 1證明由兩點式, 我們得直線PQ的方程為x x2 y y2.x1 x2 y1 y2將上式展開并化簡, 得xy1 xy2 x1y x2y x2y1 x1y2 0此式可進(jìn)一步變形為xy11yx11x1y10y21x21x2y2此式為行列式(4)按第三行展開所得結(jié)果.原式得證.4.3.1.3應(yīng)用舉例例若直線l過平面上兩個不同的已知點(x1,y1),(x2,y2),求直線方程.解設(shè)直線l的方程為axbyc0,不全為0,因為點(x1,y1),(x2,y2)在直線l上,axbyc0,則必須滿足上述方程,從而有ax1by1c0,ax2by2c0.15這是一個以a,b,c為未知量的齊次線性方程組,且a,b,c不全為0,說明該齊次線性xy1方程組有非零解.其系數(shù)行列式等于0,即x1y110.x2y21xy1則所求直線l的方程為x1y110.x2y21同理,若空間上有三個不同的已知點(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),平面Sxyz1過,x1y1z11.,C,則平面S的方程為y2z20x21x3y3z31同理,若平面有三個不同的已知點(x1,y1),(x2,y2),C(x3,y3),圓O過,,C,則x2y2xy1圓O的方程為x12y12x1y110.x22y22x2y21x32y32x3y314.4行列式在平面幾何中的一些應(yīng)用三線共點平面內(nèi)三條互不平行的直線L1a1xb1yc10,a1b1c10.L2a2xb2yc2相交于一點的充要條件是a2b2c20,a3b3c3L3a3xb3yc30. 三點共線x1 y1 1平面內(nèi)三點P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)在一直線的充要條件是 x2 y2 1 0.x3 y3 1 應(yīng)用舉例例平面上給出三條不重合的直線 :16L1a1xb1yc10b1c1a1L2a2xb2yc20,若a2b2c20,則這三條直線不能組成三角形.a3b3c3L3 a3x b3y c3 0a1b1c1證明設(shè)L1與L2的交點為P(x1,y1),因為abc0,222a3b3c3將第1列乘上x1,第2列乘上y1,全加到第3列上去,可得：a1b1a1x1b1y1c1a2b2a2x1b2y1c20.a3b3a3x1b3y1c3因為P在L1與L2上,所以a1x1b1y1c10,且c3)a1b1a1b10a2x1b2y1c20(a3x1b3y1a2b200a2b2a3b3a3x1b3y1c3若a1b10a1b1L1與L2平行,若a3x1b3y1c30P也在L3上a2b2a2b2L1,L2,L3交于一點,無論何種情形,都有L1,L2,L3不組成三角形.a1b1c1這說明由a2b2c20,得到三條直線或兩兩平行或三線交于一點.也就是三a3b3c3條直線不能組成三角形.4.5行列式在三維空間中的應(yīng)用 平面組a1xb1yc1zd10,設(shè)由n個平面方程構(gòu)成的方程組為a2xb2yc2zd20,（5）anxbnycnzdn0.若方程組(5)中的x,y,z各代以x,y,z,并用t(t0)乘以(5)式兩端:得ttt17a1xb1yc1zd1t0,a2xb2yc2zd2t0,（6）anxbnycnzdnt0.(x,y,z,t)叫做點(x,y,z)的齊次坐標(biāo).這平面組的相關(guān)位置與方程組的系數(shù)所組成的兩矩陣a1b1c1a1b1c1d1a2b2c2a2b2c2d2A及Banbncnanbncndn的秩r(A)及r(B)有關(guān)系.現(xiàn)在分別敘述如下：(Ⅰ)當(dāng)r(A)r(B)0,則方程組中各系數(shù)全是0.(Ⅱ)當(dāng)r(A)0,r(B)1,則方程組(5)不合理,方程組(6)有解t0.當(dāng)t0,x,y,z將趨近于無窮大（假設(shè)t趨近于0）.在這種情況下,我們說這n個ttt平面在無窮遠(yuǎn)重合.(Ⅲ)當(dāng)r(A)r(B)1,則在矩陣A及B中所有二階行列式全是0.所以我們有aibicidi.(i,j1,2,,n)以上等式表示n個平面相合成一個平面ajbjcjdja1xb1yc1zd10.(Ⅳ)當(dāng)r(A)1,r(B)2,方程的系數(shù)中至少有兩組數(shù)如ai,bi,ci,di及aj,bj,cj,dj滿足以下關(guān)系式aibicidiaixbiycizdi0,bjcjdj.上式表示平0.ajajxbjycjzdj平行但不相合.也就是平面組中n個平面相合或平行,至少有兩個平面不相合.(Ⅴ)r(A)2,r(B)2,則矩陣A及B中所有三階行列式全是0,至少有一個二階行列式不是0.a1b10iii適合下式：假設(shè)b2.我們必可求得l,m,na218lia1mia2niai0,lib1mib2nibi0,(i3,4,,n)式中ni0,否則行列式a1b1將等于0.lic1mic2nici0,a2b2lid1mid2nidi0.所以aixbiycizdit1li(a1xb1yc1zd1)mi(a2xb2yc2zd2).以上等式ni表示平面aixbiycizdi0,(i3,4,La1xb1yc1zd10,,n).經(jīng)過直線c2zd20,a2xb2y就是n個平面全經(jīng)過一條直線 .（Ⅵ）當(dāng)r(A)2,r(B)3,并假定a1b10方程組的系數(shù)至少有一組a2b2a1b1c1a1b1c1ibi,ci,di適合以下關(guān)系：a2bc0,a2bc0（i是3,4,,n中的一a,2222aibiciaibici數(shù)）以上第一個等式表示組中第i平面aixbiycizdi0,與直線a1xb1yc1zd10,平行.又因第二個不等式表示第i平面不經(jīng)過上述直線,所a2xb2yc2zd20,a1xb1yc1zd1t0,以n個平面有平行的交線.例如由方程組a2xb2yc2zd2t0,aixbiycizdit0,解得xyzt.c1d1c1d1a1d1a1b1a1b1b1c1b2c2d2c2d2a2d2a2b2a2b2c2b3c3d3c3d3a3d3a3b3a3b3c3a1b1c1因為行列式a2b2c20.ab3c3而其它三個行列式不全是零故 t 0, 就是三個平面的交點在無窮遠(yuǎn) . 三個平面中每兩個平面的交線是平行的 .19a1 b1 c1（Ⅶ）當(dāng)r(A) 3,r(B) 3, 并假定a2 b2 c2 0.a3 b3 c3a1x b1y在這種情況下, 平面 a2x b2ya3x b3y

c1zd1t0,a1b1c1d1a2b2c2d2c2zd2t0,相交于一點.0,又因b3c3d3c3zd3t0,a3aibicidi（i4,5,,n）故平面aixbiycizdi0,經(jīng)過前面三個平面的交點,就是n個平面有一個交點,不在無窮遠(yuǎn).（Ⅷ）當(dāng)r(A)3,r(B)4,則矩陣B中至少有一個四階行列式不等于零.假設(shè)a1b1c1d1a2b2c2d20.（i是4,5,,n中的一數(shù)）a3b3c3d3aibicidi以上不等式表示平面aixbiycizdi0,不經(jīng)過前三個平面的交點.4.5.2點組x1y1z1t1設(shè)有n個點,它們的齊次坐標(biāo)各是x2y2z2t2xnynzntn此點組的相關(guān)位置與坐標(biāo)做成的矩陣 X

x1 y1 z1 t1x2 y2 z2 t2xnynzntn的秩r有關(guān)系.分別敘述如下:（Ⅰ）當(dāng)r0,則n個點的坐標(biāo)全是(0,0,0,0)不能確定點的位置.（Ⅱ）當(dāng)r1,假定x10,很容易推得(因為X中所有的二階行列式等于0)x1y1z1t1.(i2,3,4,,n),上式表示n個點全重合.xiyiziti20（Ⅲ）當(dāng)r2,并假設(shè)x1y10,因X中所有三階行列式全等于0,我們可以求x2y2lix1mix2nixi0,得li,mi,ni適合以下方程：liy1miy2niyi0,(i3,4,,n),liz1miz2nizi0,lit1mit2niti0,式中ni不等于0,否則行列式x1x2將等于0.故可求得y1y2xi1(lix1mix2),yi1(liy1miy2),zi1(liz1miz2),ti1(lit1mit2).nininini假設(shè)點(x1,y1,z1,t1)及(x2,y2,z2,t2)的連線為A1xB1yC1zD1t0,A2xB2yC2zD2t0,把(xi,yi,zi,ti)的等值代入上式,易驗證點(xi,yi,zi,ti)在這連線上,故該點與第一及第二兩點共在一直線上.因i可以是2,3,4,,n,所以n個點全在一直線上.x1y1z1（Ⅳ）當(dāng)r3,并假定x2y2z20,x3y3z3X中所有的四階行列式全是0,我們可以求