數(shù)學(xué)建模典型例題

數(shù)學(xué)建模典型例題數(shù)學(xué)建模典型例題數(shù)學(xué)建模典型例題資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月數(shù)學(xué)建模典型例題版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：一、人體重變化某人的食量是10467焦/天，最基本新陳代謝要自動(dòng)消耗其中的5038焦/天。每天的體育運(yùn)動(dòng)消耗熱量大約是69焦/（千克?天）乘以他的體重（千克）。假設(shè)以脂肪形式貯存的熱量100%地有效，而1千克脂肪含熱量41868焦。試研究此人體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。問(wèn)題分析人體重W（t）隨時(shí)間t變化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假設(shè)人體重隨時(shí)間的變化是連續(xù)變化過(guò)程，因此可以通過(guò)研究在△t時(shí)間內(nèi)體重W的變化值列出微分方程。模型假設(shè)以脂肪形式貯存的熱量100%有效當(dāng)補(bǔ)充能量多于消耗能量時(shí)，多余能量以脂肪形式貯存假設(shè)體重的變化是一個(gè)連續(xù)函數(shù)初始體重為W0模型建立假設(shè)在△t時(shí)間內(nèi)：體重的變化量為W（t+△t）-W(t)；身體一天內(nèi)的熱量的剩余為（*W（t））將其乘以△t即為一小段時(shí)間內(nèi)剩下的熱量；轉(zhuǎn)換成微分方程為：d[W(t+△t)-W(t)]=(*W(t))dt；四、模型求解d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686W(0)=W0解得：5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)即：W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686)當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，w=81;二、投資策略模型問(wèn)題重述一家公司要投資一個(gè)車(chē)隊(duì)并嘗試著決定保留汽車(chē)時(shí)間的最佳方案。5年后，它將賣(mài)出所有剩余汽車(chē)并讓一家外圍公司提供運(yùn)輸。在策劃下一個(gè)5年計(jì)劃時(shí)，這家公司評(píng)估在年i的開(kāi)始買(mǎi)進(jìn)汽車(chē)并在年j的開(kāi)始賣(mài)出汽車(chē)，將有凈成本aij（購(gòu)入價(jià)減去折舊加上運(yùn)營(yíng)和維修成本）。以千元計(jì)數(shù)aij的由下面的表給出：aij年2年3年4年5年6年14691220年2571116年36813年4811年510請(qǐng)尋找什么時(shí)間買(mǎi)進(jìn)和賣(mài)出汽車(chē)的最便宜的策略。問(wèn)題分析本問(wèn)題是尋找成本最低的投資策略，可視為尋找最短路徑問(wèn)題。因此可利用圖論法分析，用Dijkstra算法找出最短路徑，即為最低成本的投資策略。條件假設(shè)除購(gòu)入價(jià)折舊以及運(yùn)營(yíng)和維護(hù)成本外無(wú)其他費(fèi)用；模型建立二5117三64166138四一91281120五10六運(yùn)用Dijikstra算法1234560469122069122091220122020可發(fā)現(xiàn)，在第二次運(yùn)算后，數(shù)據(jù)再無(wú)變化，可見(jiàn)最小路徑已經(jīng)出現(xiàn)即在第一年買(mǎi)進(jìn)200輛，在第三年全部賣(mài)出，第三年再買(mǎi)進(jìn)200第六年全部賣(mài)出。三、飛機(jī)與防空炮的最優(yōu)策略問(wèn)題重述：紅方攻擊藍(lán)方一目標(biāo)，紅方有2架飛機(jī)，藍(lán)方有四門(mén)防空炮，紅方只要有一架飛機(jī)突破藍(lán)方的防衛(wèi)則紅方勝。其中共有四個(gè)區(qū)域，紅方可以其中任意一個(gè)接近目標(biāo)，藍(lán)方可以任意布置防空炮，但一門(mén)炮只能防守一個(gè)區(qū)域，其射中概率為1。那么雙方各采取什么策略問(wèn)題分析該問(wèn)題顯然是紅方與藍(lán)方的博弈問(wèn)題，因此可以用博弈論模型來(lái)分析本問(wèn)題。對(duì)策參與者為兩方（紅藍(lán)兩方）紅軍有兩種行動(dòng)方案，即兩架飛機(jī)一起行動(dòng)、兩架飛機(jī)分開(kāi)行動(dòng)。藍(lán)軍有三種防御方案，即四個(gè)區(qū)域非別布置防空炮（記為1-1-1-1）、一個(gè)區(qū)域布置兩架一個(gè)沒(méi)有另外兩個(gè)分別布置一個(gè)（記為2-1-1-0）、兩個(gè)區(qū)域分別布置兩架飛機(jī)另外兩個(gè)沒(méi)有（記為2-2-0-0）。顯然是不需要在某個(gè)區(qū)域布置3個(gè)防空炮的。三、問(wèn)題假設(shè)：紅藍(lán)雙方均不知道對(duì)方的策略。藍(lán)方可以在一個(gè)區(qū)域內(nèi)布置3,4門(mén)大炮，但是大炮數(shù)量大于飛機(jī)的數(shù)量，而一門(mén)大炮已經(jīng)可以擊落一架飛機(jī)，因而這種方案不可取。紅方有兩種方案，一是讓兩架飛機(jī)分別通過(guò)兩個(gè)區(qū)域去攻擊目標(biāo)，另一種是讓兩架飛機(jī)通過(guò)同一區(qū)域去攻擊目標(biāo)。假設(shè)藍(lán)方四門(mén)大炮以及紅方的兩架飛機(jī)均派上用場(chǎng)，且雙方必須同時(shí)作出決策。模型建立行動(dòng)及其產(chǎn)生的結(jié)果紅方藍(lán)方2架一起兩架分開(kāi)1-1-1-12-1-12-2-0-0由此可得贏得矩陣藍(lán)方為A，紅方為BA=10B=01沒(méi)有鞍點(diǎn)，故用混合策略模型解決本問(wèn)題設(shè)藍(lán)方采取行動(dòng)i的概率為xi(i=1，2，3)，紅方采取行動(dòng)j的概率為yj(j=1,2)，則藍(lán)方與紅方策略集分別為：S1=｛x=（x1，x2，x3）0<xi<1,∑xi=1｝，

S2=｛y=（y1，y2）0<yi<1,∑yi=1｝。模型求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題的解就是藍(lán)軍的最優(yōu)混合策略x*Maxv10*x1+*x2+*x3>v1x1+*x2+*x3>v1x1+x2+x3=1xi<=1下列線性規(guī)劃問(wèn)題的解就是紅軍的最優(yōu)混合策略y*Minv2y2<v2*y1+*y2<v2*y1+*y2<v2y1+y2=1yi<=1四、雷達(dá)計(jì)量保障人員分配開(kāi)展雷達(dá)裝備計(jì)量保障工作中，合理分配計(jì)量保障人員是提高計(jì)量保障效能的關(guān)鍵。所謂合理分配是指將計(jì)量保障人員根據(jù)其專(zhuān)業(yè)特長(zhǎng)、技術(shù)能力分配到不同的工作崗位上，并且使得所有人員能夠發(fā)揮出最大的軍事效益。現(xiàn)某雷達(dá)團(tuán)共部署12種型號(hào)共16部雷達(dá)，部署情況及計(jì)量保障任務(wù)分區(qū)情況如表所示：區(qū)域部署雷達(dá)計(jì)量保障任務(wù)劃分計(jì)量保障任務(wù)數(shù)量區(qū)域1（雷達(dá)一營(yíng)）區(qū)域2（雷達(dá)二營(yíng)）區(qū)域3（雷達(dá)三營(yíng)）A、A、B、C、D、EC、F、G、H、ID、F、J、K、LA、B1、B2、C、D、E、C、F、G、H1、H2、ID、F、J、K、L1、L2666說(shuō)明：1．保障任務(wù)分區(qū)域進(jìn)行保障；2．B、H、L型雷達(dá)分為兩個(gè)保障任務(wù)，分別為B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷達(dá)為一個(gè)保障任務(wù)；3．同一區(qū)域多部相同雷達(dá)等同于一部雷達(dá)的保障任務(wù)；4．不同區(qū)域的相同雷達(dá)看作不同保障任務(wù)；5．每個(gè)保障人員只能保障一個(gè)任務(wù)；6．每個(gè)保障任務(wù)只由一個(gè)保障人員完成。雷達(dá)的重要性由其性能和所擔(dān)負(fù)的作戰(zhàn)任務(wù)共同決定，即使同一型號(hào)的雷達(dá)在不同區(qū)域其重要性也可能不同。各雷達(dá)的重要性如下表所示（表中下標(biāo)表示雷達(dá)所在保障區(qū)域）：雷達(dá)A1B1C1D1E1C2F2G2H2I2D3F3J3K3L3重要性該雷達(dá)團(tuán)修理所現(xiàn)在有10名待分配計(jì)量保障人員，他們針對(duì)不同保障任務(wù)的計(jì)量保障能力量化指標(biāo)如下表所示：人員AB1B2CDEFGH1H2IJKL1L2Mw1000Mw2000Mw300000Mw40000Mw50Mw600Mw7000Mw800Mw9Mw10000問(wèn)題：如何給該團(tuán)三個(gè)營(yíng)分配計(jì)量保障人員，使他們發(fā)揮最大軍事效益？一、問(wèn)題分析：該問(wèn)題是人員指派問(wèn)題，目的是得到最大效益。根據(jù)保障能力測(cè)試與雷達(dá)重要性定義出效益矩陣，用0—1整數(shù)規(guī)劃方法來(lái)求解，得到最大效益矩陣。模型假設(shè)1．保障任務(wù)分區(qū)域進(jìn)行保障；2．B、H、L型雷達(dá)分為兩個(gè)保障任務(wù)，分別為B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷達(dá)為一個(gè)保障任務(wù)；3．同一區(qū)域多部相同雷達(dá)等同于一部雷達(dá)的保障任務(wù)；4．不同區(qū)域的相同雷達(dá)看作不同保障任務(wù)；5．每個(gè)保障人員只能保障一個(gè)任務(wù)；6．每個(gè)保障任務(wù)只由一個(gè)保障人員完成。三、模型建立根據(jù)題目列出保障人員能力量化指標(biāo)矩陣：根據(jù)題目，設(shè)保障任務(wù)的重要性向量，bi表示第i個(gè)任務(wù)的重要性。列出保障任務(wù)重要性向量：我們用二者的乘積表示效益矩陣：。我們?cè)O(shè)元素rij表示第i個(gè)人完成j件事的效益,Xij表示第i個(gè)人去保障第j件任務(wù)，如果是，其值為1，否則為0。利用這一個(gè)矩陣和0-1規(guī)劃，我們就可以列出方程：,m<=nmodel:sets:M/1..10/;N/1..18/:a;allowed(M,N):b,r,x;endsetsdata:a=;b=00000000000000000000000000000000;enddatamax=@sum(allowed(i,j):x(i,j)*r(i,j));@for(M(i):@for(N(j)