實數(shù)經(jīng)典例題及習題 競賽

實數(shù)經(jīng)典例題及習題競賽實數(shù)經(jīng)典例題及習題競賽實數(shù)經(jīng)典例題及習題競賽實數(shù)經(jīng)典例題及習題競賽編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:經(jīng)典例題

類型一．有關(guān)概念的識別

1．下面幾個數(shù)：，…，，3π，，，其中，無理數(shù)的個數(shù)有（）

A、1B、2C、3D、4

解析：本題主要考察對無理數(shù)概念的理解和應(yīng)用，其中，…，3π，是無理數(shù)

故選C

舉一反三：

【變式1】下列說法中正確的是（）

A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反數(shù)

【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正確．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正確．

【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A，則點A表示的數(shù)是（）

A、1B、C、D、

【答案】本題考察了數(shù)軸上的點與全體實數(shù)的一一對應(yīng)的關(guān)系．∵正方形的邊長為1，對角線為，由圓的定義知|AO|=，∴A表示數(shù)為，故選C．

【變式3】

【答案】∵π=…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴

類型二．計算類型題

2．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.

C.D.

解析：（估算）因為，所以選B

舉一反三：

【變式1】1）的算術(shù)平方根是__________；平方根是）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.

【答案】1）；.2）-3.3），，

【變式2】求下列各式中的

（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

類型三．數(shù)形結(jié)合

3.點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則A，B兩點的距離為______

解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點，

舉一反三：

【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1，的對應(yīng)點分別為A，B，點B關(guān)于點A的對稱點為C，則點C表示的數(shù)是（）．

A．－1B．1－C．2－D．－2

【答案】選C

[變式2]已知實數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示：

化簡

【答案】：

類型四．實數(shù)絕對值的應(yīng)用

4．化簡下列各式：

(1)||(2)|π|

(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)

(5)|x2+6x+10|

分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對值的定義正確去掉絕對值。

解：(1)∵=…＜

∴||=

(2)∵π=…＜

∴|π|=π

(3)∵＜,∴|-|=-

(4)∵x≤3,∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3|=

說明：這里對|2x-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法，我們對這個絕對值的基本概念要有清楚的認識，并能靈活運用。

(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|=x2+6x+10

舉一反三：

【變式1】化簡：

【答案】=+-=

類型五．實數(shù)非負性的應(yīng)用

5．已知：=0，求實數(shù)a,b的值。

分析：已知等式左邊分母不能為0，只能有＞0，則要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非負數(shù)的和的性質(zhì)知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式組從而求出a,b的值。

解：由題意得

由(2)得a2=49∴a=±7

由(3)得a>-7，∴a=-7不合題意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7,b=21為所求。

舉一反三：

【變式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0,≥0,|y+2z|≥0,

幾個非負數(shù)的和等于零，則必有每個加數(shù)都為0。

∴解這個方程組得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【變式2】已知那么a+b-c的值為___________

【答案】初中階段的三個非負數(shù)：，

a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2

類型六．實數(shù)應(yīng)用題

6．有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應(yīng)為多少cm。

解：設(shè)新正方形邊長為xcm，

根據(jù)題意得x2=112+13×8

∴x2=225

∴x=±15

∵邊長為正，∴x=-15不合題意舍去，

∴只取x=15(cm)

答：新的正方形邊長應(yīng)取15cm。

舉一反三：

【變式1】拼一拼，畫一畫：請你用4個長為a，寬為b的矩形拼成一個大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個小正方形。（4個長方形拼圖時不重疊）

（1）計算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么

（2）當拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多3cm時，大正方形的面積就比小正方形的面積

多24cm2，求中間小正方形的邊長.

解析：（1）如圖，中間小正方形的邊長是：

，所以面積為=

大正方形的面積=，

一個長方形的面積=。

所以，

答：中間的小正方形的面積，

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（或）

(2)大正方形的邊長：，小正方形的邊長：

，即，

又大正方形的面積比小正方形的面積多24cm2

所以有，

化簡得：

將代入，得：

cm

答：中間小正方形的邊長cm。

類型七．易錯題

7．判斷下列說法是否正確

（1）的算術(shù)平方根是-3；（2）的平方根是±15.

（3）當x=0或2時，（4）是分數(shù)

解析：（1）錯在對算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平方根是非負數(shù).故

（2）表示225的算術(shù)平方根，即=15.實際上，本題是求15的平方根，

故的平方根是.

（3）注意到，當x=0時，=，顯然此式無意義，

發(fā)生錯誤的原因是忽視了“負數(shù)沒有平方根”，故x≠0，所以當x=2時，x=0.

（4）錯在對實數(shù)的概念理解不清.形如分數(shù)，但不是分數(shù)，它是無理數(shù).

類型八．引申提高

8．（1）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2-b2的值.

（2）把下列無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)：①②③

（1）分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分，首先判斷這個算術(shù)平方根在哪兩個整數(shù)之間，那么較小的整數(shù)即為算術(shù)平方根的整數(shù)部分，算術(shù)平方根減去整數(shù)部分的差即為小數(shù)部分．

解：由得

的整數(shù)部分a=5,的小數(shù)部分，

∴

（2）解：(1)設(shè)x=①

則②

②-①得

9x=6

∴.

(2)設(shè)①

則②

②-①，得

99x=23

∴.

(3)設(shè)①

則②

②-①，得

999x=107，

∴.學習成果測評：

A組（基礎(chǔ)）

一、細心選一選

1．下列各式中正確的是（）

A．B.C.D.

2.的平方根是()

A．4B.C.2D.

3.下列說法中①無限小數(shù)都是無理數(shù)②無理數(shù)都是無限小數(shù)③-2是4的平方根④帶根號的數(shù)都是

無理數(shù)。其中正確的說法有（）

A．3個B.2個C.1個D.0個

4．和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的是（）

A．整數(shù)B.有理數(shù)C.無理數(shù)D.實數(shù)

5．對于來說（）

A．有平方根B．只有算術(shù)平方根C.沒有平方根D.不能確定

6．在（兩個“1”之間依次多1個“0”）中，無理數(shù)

的個數(shù)有（）

A．3個B.4個C.5個D.6個

7．面積為11的正方形邊長為x，則x的范圍是（）

A．B.C.D.

8．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A．-2與B.∣-∣與C.與D.與

9．-8的立方根與4的平方根之和是（）

A．0B.4C.0或-4D.0或4

10．已知一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是a，則該自然數(shù)的下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是（）

A．B.C.D.

二、耐心填一填

11．的相反數(shù)是________，絕對值等于的數(shù)是________，∣∣=_______。

12．的算術(shù)平方根是_______，=______。

13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算術(shù)平方根等于它本身。

14．已知∣x∣的算術(shù)平方根是8，那么x的立方根是_____。

15．填入兩個和為6的無理數(shù)，使等式成立：___+___=6。

16．大于，小于的整數(shù)有______個。

17．若∣2a-5∣與互為相反數(shù)，則a=______，b=_____。

18．若∣a∣=6，=3，且ab0，則a-b=______。

19．數(shù)軸上點A，點B分別表示實數(shù)則A、B兩點間的距離為______。

20．一個正數(shù)x的兩個平方根分別是a+2和a-4，則a=_____，x=_____。

三、認真解一解

21．計算

⑴⑵⑶

⑷∣∣+∣∣⑸×+×

⑹4×[9+2×（）]（結(jié)果保留3個有效數(shù)字）

22．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)和它們的相反數(shù)，并把這些數(shù)和它們的相反數(shù)按從小到大的順序排列，用“”號連接：

參考答案：

一:1、B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、C10、D

二：11、，π-312、3，

13、0；0，；0，114、15、答案不唯一如：16、5

17、18、-1519、220、1，9

三：

21、⑴⑵-17⑶-9⑷2⑸-36⑹

22、

B組（提高）

一、選擇題：

1．的算術(shù)平方根是（）

A．B．C．D．

2．的平方根是（）

A．－6B．36C．±6D．±

3．下列計算或判斷：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，

其中正確的個數(shù)有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

4．在下列各式中，正確的是（）

A．;B．;C．;D．

5．下列說法正確的是（）

A．有理數(shù)只是有限小數(shù)B．無理數(shù)是無限小數(shù)C．無限小數(shù)是無理數(shù)D．是分數(shù)

6．下列說法錯誤的是（）

A．B．C．2的平方根是D．

7．若，且，則的值為（）

A．B．C．D．

8．下列結(jié)論中正確的是（）

A．數(shù)軸上任一點都表示唯一的有理數(shù);B．數(shù)軸上任一點都表示唯一的無理數(shù);

C.兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù);D.數(shù)軸上任意兩點之間還有無數(shù)個點

9．-27的立方根與的平方根之和是（）

A．0B．6C．0或-6D．-12或6

10．下列計算結(jié)果正確的是（）

A．B．C．D．

二．填空題:

11．下列各數(shù)：①、②……、③、④π、⑤、⑥、

⑦……（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加2）、⑧0中,其中是有理數(shù)的有

______