2023學(xué)年自貢市重點中學(xué)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若的展開式中含有常數(shù)項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．2．已知角的終邊經(jīng)過點P()，則sin()=A． B． C． D．3．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C．或 D．5．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是()A． B． C． D．6．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c7．如圖，矩形ABCD中，，，E是AD的中點，將沿BE折起至，記二面角的平面角為，直線與平面BCDE所成的角為，與BC所成的角為，有如下兩個命題：①對滿足題意的任意的的位置，；②對滿足題意的任意的的位置，，則()A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立8．過拋物線（）的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點.，且在第一象限，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．210．從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．9611．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實數(shù)，則（）A． B． C． D．12．如圖所示點是拋物線的焦點，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則_________.14．已知，橢圓的方程為，雙曲線方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為________.15．正方體中，是棱的中點，是側(cè)面上的動點，且平面，記與的軌跡構(gòu)成的平面為．①，使得；②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；③與平面所成銳二面角的正切值為；④正方體的各個側(cè)面中，與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個．其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）16．已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點，則雙曲線C的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，底面，且，為的中點.（1）證明：；（2）設(shè)點是線段上的動點，當(dāng)直線與直線所成的角最小時，求三棱錐的體積.18．（12分）已知動圓E與圓外切，并與直線相切，記動圓圓心E的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線l交曲線C于A，B兩點，若曲線C上存在點P使得，求直線l的斜率k的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線：交于，兩點，且當(dāng)時，.（1）求的值；（2）設(shè)線段的中點為，拋物線在點處的切線與的準線交于點，證明：軸.20．（12分）隨著時代的發(fā)展，A城市的競爭力、影響力日益卓著，這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展，目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日，某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷，參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市，空氣清新2003002.降水充足，氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中，選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人；（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再選取3人發(fā)放紀念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；（3）在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性；請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并判斷是否有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)？自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間．（2）設(shè)直線是曲線的切線，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時切線的方程．（3）已知分別在，處取得極值，求證：．22．（10分）一個工廠在某年里連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本（萬元）與該月產(chǎn)量（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù)：1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過畫散點圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）①建立月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程；②通過建立的關(guān)于的回歸方程，估計某月產(chǎn)量為1.98萬件時，產(chǎn)品的總成本為多少萬元？（均精確到0.001）附注：①參考數(shù)據(jù)：，，，，.②參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【答案解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數(shù)項，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).2．A【答案解析】

由題意可得三角函數(shù)的定義可知：，，則：本題選擇A選項.3．A【答案解析】分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為，利用復(fù)數(shù)的四則運算可以求出.詳解：由題設(shè)有，故，故選A.點睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4．D【答案解析】

先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件，即在上有解，即可得出結(jié)論.【題目詳解】，若在上不單調(diào)，令，則函數(shù)對稱軸方程為在區(qū)間上有零點（可以用二分法求得）.當(dāng)時，顯然不成立；當(dāng)時，只需或，解得或.故選:D.【答案點睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件，要注意二次函數(shù)零點的求法，屬于中檔題.5．D【答案解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體的表面積.【題目詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D【答案點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.6．A【答案解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【題目詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【答案點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．A【答案解析】

作出二面角的補角、線面角、線線角的補角，由此判斷出兩個命題的正確性.【題目詳解】①如圖所示，過作平面，垂足為，連接，作，連接.由圖可知，，所以，所以①正確.②由于，所以與所成角，所以，所以②正確.綜上所述，①②都正確.故選：A【答案點睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8．C【答案解析】

作，；，由題意，由二倍角公式即得解.【題目詳解】由題意，，準線：，作，；，設(shè)，故，，.故選：C【答案點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.9．B【答案解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【題目詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【答案點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．10．D【答案解析】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場比賽時，共有?=72種選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類計數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．11．B【答案解析】

可設(shè)，將化簡，得到，由復(fù)數(shù)為實數(shù)，可得，解方程即可求解【題目詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運算，由復(fù)數(shù)的類型求解對應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題12．B【答案解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標(biāo)和準線方程，結(jié)合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點，求得點橫坐標(biāo)的取值范圍，即可由的周長求得其范圍.【題目詳解】拋物線，則焦點，準線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，解得交點橫坐標(biāo)為2.點、分別在兩個曲線上，總是平行于軸，因而兩點不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長為，所以，故選：B.【答案點睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則首先可得出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【題目詳解】∵復(fù)數(shù)滿足，∴，∴，故而可得，故答案為.【答案點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．14．【答案解析】

求出橢圓與雙曲線的離心率，根據(jù)離心率之積的關(guān)系，然后推出關(guān)系，即可求解雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】，橢圓的方程為，的離心率為：，雙曲線方程為，的離心率：，與的離心率之積為，，，的漸近線方程為：，即.故答案為：【答案點睛】本題考查了橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，掌握橢圓、雙曲線的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.15．①②③④【答案解析】

取中點,中點,中點,先利用中位線的性質(zhì)判斷點的運動軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,進而求解；③由,取為中點,則,則即為與平面所成的銳二面角,進而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【題目詳解】取中點,連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點,中點,連接,則易證得,所以平面平面,所以點的運動軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點,因為是等腰三角形,所以,又因為,所以,故①正確；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,當(dāng)點為中點時,直線與直線所成角最小,此時,；當(dāng)點與點或點重合時,直線與直線所成角最大,此時,所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確；③與平面的交線為,且,取為中點,則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確；④正方體的各個側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確．故答案為:①②③④【答案點睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.16．【答案解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進而利用兩點間距離公式求解即可.【題目詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為,,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當(dāng)時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得（舍）；當(dāng)時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【答案點睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）.【答案解析】

（1）要證明，只需證明平面即可；（2）以C為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求，并求其最大值從而確定出使問題得到解決.【題目詳解】（1）連結(jié)AC、AE，由已知，四邊形ABCE為正方形，則①，因為底面，則②，由①②知平面，所以.（2）以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)，，則，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)，即時，取最大值，從而取最小值，即直線與直線所成的角最小，此時，則，因為，，則平面，從而M到平面的距離，所以.【答案點睛】本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的內(nèi)容較多，計算量較大，解決此類問題最關(guān)鍵是準確寫出點的坐標(biāo)，是一道中檔題.18．（1）；（2）.【答案解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線相交則，結(jié)合由得到的斜率關(guān)系，即可求得斜率的范圍.【題目詳解】（1）因為動圓與圓外切，并與直線相切，所以點到點的距離比點到直線的距離大.因為圓的半徑為，所以點到點的距離等于點到直線的距離，所以圓心的軌跡為拋物線，且焦點坐標(biāo)為.所以曲線的方程.（2）設(shè)，，由得，由得且.，，同理由，得，即，所以，由，得且，又且，所以的取值范圍為.【答案點睛】本題考查由拋物線定義求拋物線方程，涉及直線與拋物線相交結(jié)合垂直關(guān)系求斜率的范圍，屬綜合中檔題.19．（1）1；（2）見解析【答案解析】

（1）設(shè)，，聯(lián)立直線和拋物線方程，得，寫出韋達定理，根據(jù)弦長公式，即可求出；（2）由，得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出拋物線在點點處切線方程，進而求出，即可證出軸.【題目詳解】解：（1）設(shè)，，將直線代入中整理得：，∴，，∴，解得：.（2）同（1）假設(shè)，，由，得，從而拋物線在點點處的切線方程為，即，令，得，由（1）知，從而，這表明軸.【答案點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及聯(lián)立方程組、韋達定理、弦長公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.20．（1）（萬）（2）（3）填表見解析；有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【答案解析】

(1)在1000個樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個,根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識可得，抽取6人中,4人選擇“森林城市，空氣清新”,2人選擇“降水充足，氣候怡人”求出對應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計算的值,對照臨界值表可得答案.【題目詳解】（1）（萬）（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，其中4人是選擇“森林城市，空氣清新”，2人是選擇“降水充足，氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”，則,.（3）列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計男100400500女200300500合計3007001000，所以有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“