希望杯第九屆至十屆試題

希望杯第九屆（1998年）初中一年級(jí)第一試試題一、選擇題:（每小題6分，共60分）1．?dāng)?shù)（－1）1998是 ()A．最大的負(fù)數(shù) B．最小的非負(fù)數(shù).C．最小的正整數(shù) D．絕對(duì)值最小的整數(shù)2.a=,則a的相反數(shù)是()A.;B.;C.;D..3．“a與b的和的立方”的代數(shù)式表示是 ()A．a(chǎn)3＋b3 B．a(chǎn)＋b3.C．a(chǎn)3＋b D．(a＋b)34．有下面4個(gè)命題：①兩個(gè)數(shù)的差一定是正數(shù).②兩個(gè)整式的和一定是整式.③兩個(gè)同類項(xiàng)的數(shù)字系數(shù)相同.④若兩個(gè)角的和等于180°，則這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.其中真命題的個(gè)數(shù)是 ()A．1 B．2.C．3 D．45．若19a＋98b＝0，則ab是 ()A．正數(shù) B．非正數(shù).C．負(fù)數(shù) D．非負(fù)數(shù)6.有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的表示如圖1,則在中,()A.最小;B.最大;C.最大;D.最大.7．一杯鹽水重21千克，濃度為7%.當(dāng)再加入0.7千克純鹽后，這杯鹽水的濃度是()A．7.7% B．10%.C．10.7% D．11%8．a(chǎn)、b都是有理數(shù)，現(xiàn)有4個(gè)判斷：①如果a＋b＜a，則b＜0.②如果ab＜a，那么b＜0③如果a－b＜a，則b＞0,其中正確的判斷是 ()A．①② B．②③.C．①④ D．①③9.若,則的最大值是()A．21 B．2.C．12 D．12610．?dāng)?shù)a、b、c如圖2所示，有以下4個(gè)判斷:①>a+b+c;②ab2>c;③a-b>-c;④5a>2b.其中正確的是 ()A．①和② B．①和③.C．②和④ D．②和③二、A組填空題（每小題6分，共60分）11.=_______.12．若m＝－1998，則│m2＋11m－999│－│m2＋22m＋999│＋20＝______.13．兩個(gè)三位自然數(shù)之和減去1999所得之差的最大值是______.14.一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)的相反數(shù)的3倍是,那么這個(gè)有理數(shù)是_________.15．17個(gè)連續(xù)整數(shù)的和是306，那么緊接在這17個(gè)數(shù)后面的那17個(gè)連續(xù)整數(shù)的和等于________.16．1998年某人的年齡恰等于他出生的公元年數(shù)的數(shù)字之和，那么他的年齡是______歲.17．圖3中，B、C、D依次是線段AE上的三點(diǎn)，已知AE＝8.9厘米，BD＝3厘米，則圖中以A、B、C、D、E這5個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度之和等于_______厘米.18.五位數(shù)是9的倍數(shù),其中是4的倍數(shù),那么的最小值為_______.19．梯形ABCD如圖4所示，AB、CD分別為梯形上下底，已知陰影部分總面積為5平方厘米，△AOB的面積是0.625平方厘米.則梯形ABCD的面積是________平方厘米.20.三個(gè)有理數(shù)a,b,c兩兩不等,那么中有______個(gè)是負(fù)數(shù).三、B組填空題（每小題6分，共30分）21．三個(gè)質(zhì)數(shù)之和是86.那么這三個(gè)質(zhì)數(shù)是________.22．線段AB上有P、Q兩點(diǎn)，AB＝26，AP＝14，PQ＝11，那么BQ＝________.23．籃、排、足球放在一堆共25個(gè)，其中籃球個(gè)數(shù)是足球個(gè)數(shù)的7倍，那么其中排球的個(gè)數(shù)是________.24．一個(gè)有理數(shù)的二次冪大于這個(gè)有理數(shù)，那么這樣的有理數(shù)的取值范圍是________.25.將按一定規(guī)律排成下表:從表中可以看到,第4行中自左向右第3個(gè)數(shù)是,第5行中自左向右第2個(gè)數(shù)是-,那么第199行中自左向右第8個(gè)數(shù)是______,第1998行中自左向右第11個(gè)數(shù)是_____.答案·提示一、選擇題1 C.2 D.3 D.4 A.5 B.6 D.7 B.8 D.9 D.10 B提示：1．（－1）1998＝＋1．排除A.由于最小的非負(fù)數(shù)是0，排除B.絕對(duì)值最小的整數(shù)也是0，排除D.顯然應(yīng)選C.事實(shí)上＋1是最小的正整數(shù).3．a(chǎn)3＋b3的意義是a立方與b立方之和；a＋b3的意義是a與b立方之和；a3＋b的意義是a立方與b之和；（a＋b）3的意義是a與b的和的立方.選D.4．由3－4＝－1，知命題①不真；3ab2與5ab2是同類項(xiàng)，但數(shù)字系數(shù)不同，③不真；由于兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角之和為180°，但它們并不互為鄰補(bǔ)角.命題④不真.易知，兩個(gè)整式的和仍是整式是真命題.所以只有1個(gè)真命題，選A.7．加入0.7千克純鹽后，這杯鹽水的濃度是綜上分析可知，選D.二、A組填空題11、12、20000 13、－1 14、－9 15、595 16、18 17、41.618 10008 19、15.625 20、2提示：13．兩個(gè)三位數(shù)之和的最大值為999＋999＝1998，所以兩個(gè)三位自然數(shù)之和減去1999所得之差的最大值是1998－1999＝－1.15．設(shè)17個(gè)連續(xù)整數(shù)為m，m＋1，m＋2，…，m＋16 ①有m＋(m＋1)＋…＋(m＋16)＝306.它后面緊接的17個(gè)連續(xù)自然數(shù)應(yīng)為m＋17，m＋18，m＋19，…，m＋33②②的每一項(xiàng)比①中對(duì)應(yīng)項(xiàng)多17，所以②中17個(gè)數(shù)總和比①中17個(gè)數(shù)總和多17×17，所以②中17個(gè)數(shù)總和為306＋17×17＝595.∴ 只取x＝8，y＝0.某人的年齡是18歲.17．以A，B，C，D，E這5個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有十條，它們是AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.其長(zhǎng)度總和AB＋AC＋AD＋AE＋BC＋BD＋BE＋CD＋CE＋DE＝4AB＋6BC＋6CD＋4DE＝4（AB＋DE）＋6（BC＋CD）＝4（AE－BD）＋6BD＝4AE＋2BD＝4×8.9＋2×3＝41.6（厘米）.19．易知△ADB與△ACB面積相等，所以△AOD與△BOC面積相等.但△AOD與△BOC面積之和為5平方厘米，所以△AOD的面積＝△BOC的面積＝2.5平方厘米.又S△AOB∶S△BOC＝AO∶OC＝S△AOD∶S△DOC.即 0.625∶2.5＝2.5∶S△DOC所以梯形ABCD面積＝S△AOB＋(S△AOD＋S△BOC)＋S△DOC＝0.625＋5＋10＝15.625（平方厘米）.二、B組填空題21、(2,5,79)、(2,11,73)、(2,13,71)、(2,17,67)、(2,23,61)、 (2,31,53)、(2,37,47)、(2,41,43)22、1或2323、1或9或1724、大于1的有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)提示：21．86是個(gè)偶數(shù)，那么3個(gè)質(zhì)數(shù)加數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù)，這個(gè)偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，故只能是2.其余兩個(gè)加數(shù)是奇質(zhì)數(shù)，其和為84.易知，只能是（5，79），（11，73），（13，71），（17，67），（23，61），（31，53），（37，47），（41，43）這八組，所以，84表示為3個(gè)質(zhì)數(shù)和可以有八組，它們是(2，5，79)，(2，11，73)，(2，13，71)，(2，17，67)，(2，23，61)，(2，31，53)，(2，37，47)，(2，41，43).22．P、Q在線段AB上可以有兩種情形.對(duì)于圖5∶BQ＝AB－AP－PQ＝26－14－11＝1.對(duì)于圖6∶BQ＝AB－AP＋PQ＝26－14＋11＝23.23．籃球、排球、足球總數(shù)是25個(gè).并且籃球數(shù)是足球數(shù)的7倍.所以足球數(shù)只能取1，2，3個(gè).這時(shí)籃球數(shù)對(duì)應(yīng)取7，14，21個(gè).從而排球數(shù)可能取的值是17，或9，或1個(gè).24．畫出數(shù)軸如圖7.大于1的有理數(shù)的二次冪大于它自身；1的二次冪等于1；大于0且小于1的有理數(shù)的二次冪小于它本身；0的二次冪是0；負(fù)有理數(shù)的二次冪是正數(shù)，大于它自身.綜上可知，二次冪大于其自身的有理數(shù)的范圍，是大于1的有理數(shù)和負(fù)有理數(shù).25．這個(gè)數(shù)串中奇號(hào)項(xiàng)為正，偶號(hào)項(xiàng)為負(fù).第n所以第198行第198個(gè)數(shù)是數(shù)串中的第19701項(xiàng).因此，第199行的第8個(gè)數(shù)是數(shù)串中的第19701＋8＝19709項(xiàng).同理，這個(gè)表中第1997行結(jié)束時(shí)，共排了所以第1997行第1997個(gè)數(shù)是數(shù)串中的第1995003項(xiàng)，第1998行第11個(gè)數(shù)應(yīng)是數(shù)串中的第1995003＋11＝1995014項(xiàng).希望杯第九屆（1998年）初中一年級(jí)第二試試題一、選擇題:（每題6分，共60分）1．已知有理數(shù)a在數(shù)軸上原點(diǎn)的右方，有理數(shù)b在原點(diǎn)的左方，那么 ()A．a(chǎn)b＜b B．a(chǎn)b＞b.C．a(chǎn)＋b＞0 D．a(chǎn)－b＞02．有理數(shù)a等于它的倒數(shù)，有理數(shù)b等于它的相反數(shù)，則a1998＋b1998＝ ()A．0 B．1.C．－1 D．23．下面的四個(gè)判斷中，不正確的是 ()A．34x3y6與34a3b6不是同類項(xiàng).B．3x和－3x＋1不能互為相反數(shù).C．4（x－7）＝6（5－27x）和6（5－27y）＝4（y－7）不是同解方程.D.3和不能互為倒數(shù).4．已知關(guān)于x的一次方程（3a＋8b）x＋7＝0無(wú)解，則ab是 ()A．正數(shù) B．非正數(shù).C．負(fù)數(shù) D．非負(fù)數(shù)5．如果a－b＞a＋b，那么 ()A．｜a－b｜＞｜a＋b｜.B．a(chǎn)b＜0.C．－2b＞2b.D．－2a＞2b6.方程組的解(x,y)是()A．（3，－2）. B．（2，1）.C．（4，－5）. D．（0，7）7．一條直線上距離相等地立有10根標(biāo)桿，一名學(xué)生勻速地從第1桿向第10桿行走，當(dāng)他走到第6桿時(shí)用了6.6秒，則當(dāng)他走到第10桿時(shí)所用時(shí)間是 ()A．11秒. B．13.2秒.C．11.88秒. D．9.9秒8．有以下兩個(gè)數(shù)串：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，199.同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)數(shù)共有 ()A．333 B．334.C．335 D．3369．如圖8所示，S△ABC＝1，若S△BDE＝S△DEC＝S△ACE，則S△ADE＝ ()A.;B.;C.;D..10．若關(guān)于x的方程｜2x－3｜＋m＝0無(wú)解，｜3x－4｜＋n＝0只有一個(gè)解，｜4x－5｜＋k＝0有兩個(gè)解，則m，n，k的大小關(guān)系是 ()A．m＞n＞k B．n＞k＞m.C．k＞m＞n D．m＞k＞n二、填空題（每題6分，共60分）11.計(jì)算:=________.12．若a＋19＝b＋9＝c＋8，則（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝________.13．圖9中三角形的個(gè)數(shù)是_______.14．甲、乙兩列客車的長(zhǎng)分別為150米和200米，它們相向行駛在平行的軌道上，已知甲車上某乘客測(cè)得乙車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是10秒，那么乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是_________秒.15．某人以4千米／時(shí)的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米／時(shí)的速度從乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是______千米／時(shí).16．對(duì)于不小于3的自然數(shù)n，規(guī)定如下一種操作：＜n＞表示不是n的約數(shù)的最小自然數(shù)，如＜7＞＝2，＜12＞＝5等等，則＜＜19＞×＜98＞＞＝_______.（式中的×表示乘法）17．一個(gè)布袋中裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的大小相同的木球，紅球上標(biāo)有數(shù)字1，黃球上標(biāo)有數(shù)字2，藍(lán)球上標(biāo)有數(shù)字3，小明從布袋中摸出10個(gè)球，它們上面所標(biāo)數(shù)字的和等于21，則小明摸出的球中紅球的個(gè)數(shù)最多不超過_________.18.圖10,中,兩個(gè)半徑為1的圓扇形與疊放在一起,POQO,是正方形,則整個(gè)陰影圖形的面積是__________.19．（3a＋2b）x2＋ax＋b＝0是關(guān)于x的一元一次方程，且x有唯一解，則x＝__________.20．某校運(yùn)動(dòng)會(huì)在400米球形跑道上進(jìn)行10000米比賽，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員同時(shí)起跑后，乙速超過甲速，在第15分時(shí)甲加快速度，在第18分時(shí)甲追上乙并且開始超過乙，在第23分時(shí)，甲再次追上乙，而在第23分50秒時(shí)，甲到達(dá)終點(diǎn)，那么乙勻速跑完全程所用的時(shí)間是________分.二、解答題（每題15分，共30分，解答本題時(shí)，請(qǐng)寫出推算過程）21．23個(gè)不同的正整數(shù)的和是4845，問：這23個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)可能達(dá)到的最大值是多少？寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.22．（a）請(qǐng)你在平面上畫出6條直線（沒有三條共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另三條直線相交，并簡(jiǎn)單說(shuō)明畫法.（b）能否在平面上畫出7條直線（任意3條都不共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交？如果能，請(qǐng)畫出一例，如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.答案·提示一、選擇題1、D 2、 B 3、 C 4、 B 5、 C 6、 A 7、 C 8、 B 9、 B 10、A提示：1．a(chǎn)在數(shù)軸上原點(diǎn)右方，a＞0；b在原點(diǎn)左方，b＜0.當(dāng)a＝1，ab＝b，顯然應(yīng)排除A、B.當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，a＋b＝－1＜0，排除C.所以應(yīng)選D，事實(shí)上，當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，a－b＞0總成立.3．①34x3y6與34a3b6，因字母不同，不是同類項(xiàng)，所以A是正確的，排除A.②若3x與－3x＋1互為相反數(shù)，則－（3x）＝－3x＋1得出0＝1的矛盾.所以“3x和－3x＋1不能互為相反數(shù)”這句話正確，排除B.因?yàn)檫@兩個(gè)方程的解集相同，因此，它們是同解方程.即C“4（x－7）＝6（5－27x）和6（5－27y）＝4（y－7）不是同解方程”這句話是不正確的.4．關(guān)于x的一次方程（3a＋8b）x＋7＝0無(wú)解.當(dāng)且僅當(dāng)5．由a－b＞a＋b可知－b＞b，即b＜0.6．以（3，－2），（2，1），（4，－5），（0，7）代入方程組檢驗(yàn)，只有（3，－2）滿足方程組，選A.7．從第1根標(biāo)桿到第6根標(biāo)桿有5個(gè)間隔.因而，每個(gè)間隔行進(jìn)6.6÷5＝1.32（秒）.而從第1根標(biāo)桿到第10根標(biāo)桿共有9個(gè)間隔.所以行進(jìn)9個(gè)間隔共用1.32×9＝11.88（秒），選擇C.8．第一個(gè)數(shù)串是1～1999的整數(shù)中被2除余1的數(shù)，共有1000個(gè).第二個(gè)數(shù)串是1～1999的整數(shù)中被3除余1的數(shù)，共有667個(gè).同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)是1～1999的整數(shù)中被6除余1的數(shù).它們是：1，7，13，19，25，…，1993，1999.共計(jì)334個(gè)，選擇B.10．｜2x－3｜＋m＝0無(wú)解，則m＞0.｜3x－4｜＋n＝0有一個(gè)解，則n＝0.｜4x－5｜＋k＝0有兩個(gè)解，則k＜0.所以，m＞n＞k成立，選擇A.二、填空題題號(hào) 答案11、100 12、222 13、48 14、7.5 15、4.8 16、417、4 18、 19、1.5 20、25 提示：12．由a＋19＝b＋9＝c＋8得a－b＝－10，b－c＝－1，c－a＝11.∴（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝（－10）2＋（－1）2＋112＝100＋1＋121＝222.13．如圖11所示，標(biāo)上字母A、B、C、D.當(dāng)不考慮AD時(shí)，△ABC被從頂點(diǎn)B引出的五條線分成的三角形個(gè)數(shù)是6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個(gè).當(dāng)考慮AD時(shí)，在AD上方也可以數(shù)出21個(gè)三角形，而在AD下方只可以數(shù)出6個(gè)三角形.總計(jì)，共有21＋21＋6＝48個(gè)三角形.14．甲、乙兩車相向在平行軌道上行駛，當(dāng)從甲車某個(gè)窗口看乙車時(shí)，從看到車頭到車尾通過，要經(jīng)過200米的距離，而這200米的距離是以兩車速度之和來(lái)通過的，是個(gè)相遇問題.設(shè)甲、乙兩車速度和為u米/秒.甲車上某乘客從15．設(shè)甲、乙兩地距離為S千米.某人由甲地所以某人從甲→乙→甲往返一次的平均速度16．根據(jù)定義，＜n＞表示不是n的約數(shù)的最小自然數(shù).我們可以求得： ＜19＞＝2，＜98＞＝3∴ ＜19＞×＜98＞＝2×3＝6 ＜＜19＞×＜98＞＞＝＜6＞＝4.17．設(shè)小明摸出的10個(gè)球中有x個(gè)紅球，y個(gè)黃球，z個(gè)藍(lán)球.依題意列得方程組：①×3－②得2x＋y＝9,即 y＝9－2x.由于y是非負(fù)整數(shù)，x也是非負(fù)整數(shù).易知x的最大值是4.即小明摸出的10個(gè)球中至多有4個(gè)紅球.所以陰影的總面積為19．方程（3a＋2b）x2＋ax＋b＝0是關(guān)于x的一元一次方程，且有唯一解，則20．設(shè)出發(fā)時(shí)甲速度為a米／分，乙速度為b米／分.第15分甲提高的速度為x米／分，所以第15分后甲的速度是（a＋x）米／分.依題意，到第15分時(shí)，乙比甲多跑15（b－a）米，甲提速后3分鐘（即第18分）追上乙，所以（a＋x－b）×3＝15（b－a） ①接著甲又跑了5分（即第23分鐘），已經(jīng)超過乙一圈（400米）再次追上乙，所以（a＋x－b）×5＝400 ②到了第23分50秒時(shí)甲跑完10000米，這10000米解①，②得b－a＝16米/分，x＝96米／分.代入③a＝384米／分，所以b＝400米／分.乙是一直以400米／分的速度跑完10000米的，所以乙跑完全程所用的時(shí)間是25分.三、解答題21．設(shè)這23個(gè)彼此不同的正整數(shù)為a1，a2，…，a23.不妨設(shè) a1＜a2＜a3＜…a23.它們的最大公約數(shù)是d.則 a1＝d·b1，a2＝d·b2，…，a23＝d·b23依題意，有4845＝a1＋a2＋…＋a23＝d（b1＋b2＋…＋b23）則應(yīng)當(dāng)有 b1，b2，…b23也為彼此不等的正整數(shù).且 b1＋b2＋…＋b23≥1＋2…＋23＝276.因此 4845＝d（b1＋b2＋…＋b23）≥276·d.又因?yàn)?4845＝19×17×15因此，這23個(gè)不同的正整數(shù)的最大公約數(shù)的最大值可能是17.我們證明，存在兩兩不等的23個(gè)正整數(shù)，它們的最大公約數(shù)恰為17.例如a1＝17，a2＝17×2，a3＝17×3，…，a21＝17×21，a22＝17×22，a23＝17×32.a1＋a2＋…＋a23＝17（1＋2＋…＋22）＋17×32＝17×253＋17×32＝17×285＝4845.而（a1，a2，…，a22，a23）＝17.所以符合題設(shè)條件的23個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的最大值是17.22．（a）在平面上任取一點(diǎn)A.過A作二直線m1與n1.在n1上取兩點(diǎn)B，C，在m1上取兩點(diǎn)D，G.過B作m2∥m1，過C作m3∥m1，過D作n2∥n1，過G作n3∥n1，這時(shí)，m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四點(diǎn)，如圖14所示.由于彼此平行的直線不相交，所以圖14中每條直線都恰與另3條直線相交.（b）在平面上不能畫出沒有3線共點(diǎn)的7條直線，使得其中每條直線都恰與另外3條直線相交.理由如下：假設(shè)平面上可以畫出7條直線，其中每一條都恰與其他3條相交，因兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)，又沒有3條直線共點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另3條直線交得的3個(gè)不同的交點(diǎn).我們按直線去計(jì)數(shù)這些交點(diǎn)，共有3×7＝21個(gè)交點(diǎn)，但每個(gè)交點(diǎn)分屬兩條直線，被重復(fù)計(jì)數(shù)一次，所以這7條直線交點(diǎn)總數(shù)為所以，滿足題設(shè)條件的7條直線是畫不出來(lái)的.希望杯第十屆（1999年）初中一年級(jí)第二試試題一、選擇題:(每小題6分,共60分)以下每題的四個(gè)結(jié)論中,僅有一個(gè)是正確的,請(qǐng)將表示正確答案的英文字母填在每題后面的圓括號(hào)內(nèi).1.的相反數(shù)是().(A)1999(B)-1999(C)-;(D)2.已知a、b、c都是負(fù)數(shù),并且│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,則xyz是().(A)負(fù)數(shù)(B)非負(fù)數(shù)(C)正數(shù)(D)非正數(shù)3.下面四個(gè)命題中正確的是().(A)相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角(B)和等于180°的兩個(gè)角是互為鄰補(bǔ)角(C)連接兩點(diǎn)的最短線是過這兩點(diǎn)的直線(D)兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等,則這兩條直線互相垂直4.a、b、c三個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示,則().(A);(B)(C);(D)5.7-a的倒數(shù)的相反數(shù)是-2,那么a=().(A)9(B)7.5(C)5(D)6.56.一個(gè)角的補(bǔ)角的是6°,則這個(gè)角是().(A)68°(B)78°(C)88°(D)98°7.如果ac<0,那么下面的不等式:<0;ac2<0;a2c<0;c3a<0;ca3<0中,(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)8.不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘減去不超過60且個(gè)位數(shù)字為7的所有質(zhì)數(shù)的乘積所得之差的個(gè)位數(shù)字是().(A)3(B)1(C)7(D)99.已知0≤a≤4,那么│a-2│+│3-a│的最大值等于().(A)1(B)5(C)8(D)310.若n是奇自然數(shù),a1,a2,…,an是n個(gè)互不相同的負(fù)整數(shù),則().(A)(a1+1)(a2+2)…(an+n)是正整數(shù);(B)(a1-1)(a2-2)…(an-n)是正整數(shù).(C)是正數(shù);(D)是正數(shù).二、填空題(每小題6分,共60分)11.如圖,線段AB=BC=CD=DE=1厘米,那么圖中所有線段的長(zhǎng)度之和等于______厘米.12.=__13.P是長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn),M為線段PC的中點(diǎn).如果三角形APB的面積是2平方厘米,則三角形BCM的面積等于___________平方厘米.14.五位數(shù)能被3,7和11整除,則x2-y2=_________.15.如圖,OM平分∠AOB,ON平分∠COD.若∠MON=50°,∠BOC=10°,則∠AOD=_______.16.三個(gè)不同的質(zhì)數(shù),a,b,c滿足abbc+a=200,則a+b+c=_______.17.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)中選出五個(gè)組成五位數(shù),使得這個(gè)五位數(shù)都被3,5,7,13整除.這樣的五位數(shù)中最大的是___________.18.A、B兩個(gè)港口相距300公里.若甲船順?biāo)訟駛向B,乙船同時(shí)自B逆水駛向A,兩船在C處相遇.若乙船順?biāo)訟駛向B,甲船同時(shí)自B逆水駛向A,則兩船于D處相遇,C、D相距30公里.已知甲船速度為27公里/小時(shí),則乙船速度是______公里/小時(shí).19.已知x=1999,則∣4x2-5x+9∣-4∣x2+2x+2∣+3x+7=__________.20.甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加推鉛球比賽,通過抽簽決定出賽順序.在未公布順序前每人都對(duì)出賽順序進(jìn)行了猜測(cè).甲猜:乙第三,丙第五;乙猜:戊第四,丁第五;丙猜:甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四.老師說(shuō)每人的出賽順序都至少被一人所猜中,則出賽順序中,第一是______,第三是______,第五是_______.三、解答題:(每小題15分,共30分)要求:寫出推算過程.21.一個(gè)長(zhǎng)方形如圖所示恰分成六個(gè)正方形,其中最小的正方形面積是1平方厘米.求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積.22.已知一組兩兩不等的四位數(shù),它們的最大公約數(shù)是42,最小公倍數(shù)是90090.問這組四位數(shù)最多能有多少個(gè)?它們的和是多少?1999年度(第十屆)初一第二試“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽答案：一、選擇題1.根據(jù)相反數(shù)的定義,的相反數(shù)是-,選(C).2.由絕對(duì)值定義│x-a│≥0,│y-b│≥0,│z-c│≥0.而已知│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,當(dāng)且僅當(dāng)│x-a│=│y-b│=│z-c│=0,即x=a且y=b且z=c.已知a,b,c均為負(fù)數(shù),則x,y,z均為負(fù)數(shù),因此xyz是負(fù)數(shù).選(A).3.如圖8,∠AOC=∠BOC=90°,但∠AOC與∠BOC不是對(duì)頂角,排除(A).如圖9,a∥b,同旁內(nèi)角∠1+∠2=180°,但∠1與∠2并非互為鄰補(bǔ)角,排除(B).兩點(diǎn)之間最短距離是連接這兩點(diǎn)的線段,不能表述為過這兩點(diǎn)的直線,排除(C).因此應(yīng)選(D).事實(shí)上,(D)正是兩條直線互相垂直的定義.4.由圖10可見c<b<a,所以0<a-b<a-c,0<b-c<a-c,由此由①有由②有由②知,應(yīng)排除(D),由及④可知應(yīng)排除(A).由及③可知應(yīng)排除(C),肯定(B),所以應(yīng)選(B).5.7-a的倒數(shù)是,的相反數(shù)是-.依題意列方程:.解得:a=6.5,選(D)6.設(shè)這個(gè)角為a,a的補(bǔ)角等于180°-a,其為,依題意它是6°,所以=6°.解得α=78°.選(B).7.由ac<0,可知a≠0,c≠0,a,c符號(hào)相反.所以<0,而a2>0,c2>0,因此a2·ac<0,ca3<0,且c2ac<0,c3a若a=-1,c=1,ac=-1<0,但a2·c=1>0;若a=1,c=-1,ac=-1<0,但a·c2=1>0;可見,ac2<0,a2c<0所以ac<0時(shí),只有<0,c3a<0,ca3<0三個(gè)不等式必然成立.選(C).8.不超過1000的所有質(zhì)數(shù)中包含質(zhì)數(shù)2與5,所以不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘積個(gè)位數(shù)字是0.不超過60的個(gè)位數(shù)字是7的質(zhì)數(shù)只有7,17,37,47四個(gè),其乘積的末位數(shù)字是1,所以,不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘積減去不超過60的個(gè)位數(shù)字為7的所有質(zhì)數(shù)的乘積所得差的個(gè)位數(shù)字為9.選(D).9.①當(dāng)0≤a≤2時(shí),│a-2│+│3-a│=2-a+3-a=5-2a≤5,當(dāng)a=0時(shí)達(dá)到最大值5.②當(dāng)2<a≤3時(shí),│a-2│+│3-a│=a-2+3-a=1③當(dāng)3<a≤4時(shí),│a-2│+│3-a│=a-2+a-3=2a-5≤2×4-5=3.當(dāng)a=4時(shí),達(dá)到最大值3.綜合①、②、③的討論可知,在0≤a≤4上,│a-2│+│3-a│的最大值是5,選(B).10.a1,a2,…,an是n個(gè)互不相同的負(fù)整數(shù),其中n是奇自然數(shù).若a1=-1,a2=-2,a3=-3,…,an=-n,時(shí),(a1-1)(a2-2)…(an-n)=(-2)(-4)((-6)…(-2n)=(-1)n2×4×6×…×(2n)<0(因?yàn)閚是奇數(shù)),故排除(B).若a1=-1時(shí),=0,故,排除(C).故選(D).實(shí)事上,若a1<0,a2<0,…,an<0,則,所以,所以>0,故選(D).二、填空題11.圖中,長(zhǎng)為1厘米的線段共4條,長(zhǎng)為2厘米的線段共3條,長(zhǎng)為3厘米的線段共2條,長(zhǎng)為4厘米的線段僅1條.圖中所有線段長(zhǎng)度之和為1×4+2×3+3×2+4×1=20(厘米).12.設(shè)s=,又s=,相加得2s=1+2+3+4+…+49,又2s=49+48+47+…+2+1,相加得4s=50×49=2450,故s=612.513.根據(jù)題意畫圖,如圖12所示.連接AC交BD于O,則△ABO的面積等于△CBO的面積,△APO的面積等于△CPO的面積.因此,△ABP的面積等于△CBP的面積,所以由△APB面積是2平方厘米,可知△CBP面積是2平方厘米.而BM是△CBP的一條中線,三角形中線平分三角形的面積,所以△BCM的面積等于1平方厘米.14.由于五位數(shù)能被3,7和11整除,可知3×7×11=231整除.試除知231×230=53130231×231=53361231×232=53592231×233=53823231×234=54054可見x=2,y=3.x2-y2=4-9=5.15.如圖13:∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=2∠MOB+∠BOC+2∠CON=2(∠MOB+∠BOC+∠CON)-∠BOC=2∠MON-∠BOC=2×50°-10°=90°16.易知a(bbc+1)=2000=24×53.若a=5,則bbc+1=400,∴bbc=399=3×133=3×7×19無(wú)論c=3,7或19都不能求得質(zhì)數(shù)b,故a≠5.只能取a=2,此時(shí)bbc+1=1000,∴bbc=999=33×37,則b=3,c=37,因此,a+b+c=2+3+37=42.17.所求五位數(shù)能被3、5、7、13整除,當(dāng)然也能被3、5、7、13的最小公倍數(shù)整除.即這個(gè)五位數(shù)是3×5×7×13=1365的倍數(shù).通過除法,可算出五位數(shù)中1365的最大倍數(shù)是73×1365=99645.但99645的五個(gè)數(shù)碼中有兩個(gè)9,不合題意要求,可依次算出72×1364=98280(兩個(gè)8重復(fù),不合要求).71×1365=96915(兩個(gè)9重復(fù),不合要求).70×1365=95550(三個(gè)5重復(fù),不合要求).69×1365=94185(五個(gè)數(shù)碼不同).因此,所求的五位數(shù)最大的是94185.18.已知A、B兩港相距300公里,甲船速為27公里/小時(shí).設(shè)乙船速為v公里/小時(shí),小流速為x公里/小時(shí),則甲船順?biāo)贋?27+x)公里/小時(shí),逆水速為(27-x)公里/小時(shí).乙船順?biāo)贋?v+x)公里/小時(shí),逆水速為(v-x)公里/小時(shí).甲船自A順?biāo)?乙船自B逆水同時(shí)相向而行,相遇在C處時(shí)間為:同理,乙船自A順?biāo)?甲船自B逆水同時(shí)相向而行,相遇在D處所需時(shí)間為:可見,兩個(gè)時(shí)間相等.由圖易見,小時(shí)中,乙船比甲船多走30公里,即:,,,v=33.如果C在D的右邊,由圖15易見,小時(shí)中,甲船比乙船多走30公里,即:,v=22.答:若C在D的左邊,乙船速度是33公里/小時(shí);若C在D的右邊,乙船速度是22公里/小時(shí).19.由觀察可知,當(dāng)x≥1時(shí),4x2-5x+9>0,x2-2x+2>0,所以,當(dāng)x=1999時(shí),原式=4x2-5x+9-4(x2-2x+2)+3x+7=-13x+9-8+3x+7=-10x+8將x=1999代入,原式的值=-19990+8=-19982.20.將每人猜測(cè)的出賽順序列如下表:12345甲∨∨乙∨∨丙∨∨丁∨∨戊∨∨由于每人的出賽順序至少被一人猜中,戊被猜測(cè)的兩個(gè)順序號(hào)都是第四、故可確定戊是第四位出賽.這時(shí)丁不能第四位出賽,而丁的順序至少被一人猜中,所以丁應(yīng)第五位出賽.順序推得丙只能第一位出賽,甲第三位出賽,乙第二位出賽.答:出賽順序第一個(gè)是丙,第三個(gè)是甲,第五個(gè)是丁.三、解答題21.圖中的正方形分別標(biāo)以A,B,C,D,E,F,顯然最小的正方形A的面積是1平方厘米,它的邊為長(zhǎng)1厘米.設(shè)最大正方形B的邊長(zhǎng)為x厘米,則C的邊長(zhǎng)為(x-1)厘米,D的邊長(zhǎng)為(x-2)厘米,E的邊長(zhǎng)為(x-3)厘米,F的邊長(zhǎng)也為(x-3)厘米.根據(jù)矩形對(duì)邊相等,得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1)即3x-8=2x-1所以x=7(厘米)于是,C的邊長(zhǎng)為6厘米,D的邊長(zhǎng)為5厘米,E和F的邊長(zhǎng)均為4厘米.長(zhǎng)方形的面積為(7+6)×(7+4)=13×11=143(平方厘米).22.①設(shè)這組四位數(shù)共n個(gè),分別為a1=42x1,a2=42x2,a3=42x3,…,an=42xn,其中的每個(gè)ai=42xi是四位數(shù),所以1000≤42xi<10000,.②由題設(shè)知90090=[a1,a2,…,an]=[42x1,42x2,…,42xn]=42[x1,x2,…,xn]所以[x1,x2,…,xn]==2145=3×5×11×13,其中23<xi<239.(*)可知xi是由3,5,11,13每個(gè)至多用一次組合成的在23和239之間的自然數(shù),并且兩兩不同.其中兩個(gè)質(zhì)因數(shù)組合且滿足(*)式者,只有33,39,55,65,143,三個(gè)質(zhì)因數(shù)組合且滿足(*)式者,有165和195,一個(gè)質(zhì)因數(shù)以及多于三個(gè)質(zhì)因數(shù)的積,都不能滿足(*)式.因此最多產(chǎn)生7個(gè)兩兩不同的四位數(shù).a1=42×33=1386,a2=42×39=1638,a3=42×55=2310,a4=42×65=2730,a5=42×143=6006,a6=42×165=6930,a7=42×195=8190.它們的和等于42×(33+39+55+65+143+165+195)=42×695=29190.答:這組兩兩不同的四位數(shù)最多是7個(gè),它們的和是29190.希望杯第十屆（1999年）初中一年級(jí)第一試試題一、選擇題（每小題6分，共60分）以下每題的四個(gè)結(jié)論中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答案的英文字母填在表格內(nèi)和每題后面的圓括號(hào)內(nèi)。1、0－