二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法

二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法Companynumber：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法從微分方程學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用冪級數(shù)來表示一個函數(shù)。因此，自然想到，能否用冪級數(shù)來表示微分方程的解呢例1、求方程 y''xy0的通解解：設(shè) ya0

axa1

x2…an

xn…為方程的解，這里ai

(i0,1,2,…,n,…)是待定常系數(shù)，將它對x微分兩次，有將y，y'的表達式代入方程，并比較的同次冪的系數(shù)，得到x21a2

0 ，32aa3 0

0, 43aa4 1

0, 54aa5 2

0,或一般的可推得a ，a 03k 2356 (3k1)3ka ，11a3k

3467 3k(3k1)其中aa1

是任意的，因而代入設(shè)的解中可得：這個冪級數(shù)的收斂半徑是無限大的，因而級數(shù)的和（其中包括兩個任意常數(shù)a及a0

）便是所要求的通解。例6 求方程y2xy'4y0的滿足初值條件y(0)0及y'(0)1的解。解 設(shè)級數(shù)ya0可以得到

axa1

x2…an

xn為方程的解。首先，利用初值條件，a 0，a0

1，因而將y，y'，y''的表達式帶入原方程，合并x的各同次冪的項，并令各項系數(shù)等于零，得到因而最后得a 1 1 1 , a

0,2k

k (k1)! k! 2k對一切正整數(shù)k成立。a

(i0,1,2, ya0

axa1

x2…an

xn就得到這就是方程的滿足所給初值條件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其冪級數(shù)解或者說究竟方程應(yīng)該滿足什么條件才能保證它的解可用冪級數(shù)來表示呢級數(shù)的形式怎樣其收斂區(qū)間又如何這些問題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，但因討論時需要涉及解析函數(shù)等較專門的知識，在此我們僅敘述有關(guān)結(jié)果而不加證明，若要了解定理的證明過程，可參考有關(guān)書籍?？紤]二階齊次線性微分方程及初值條件y(x0

)y0

及y'(x0

)y'0

的情況。不失一般性，可設(shè)x0

0，否則，我們引進新變量txx0

，經(jīng)此變換，方程的形狀不變，在這時對應(yīng)于xx的就是t 0了，因此，今后我們0 0總認(rèn)為x0

0。10d2ydx2

p(x)dydx

q(xy0p(x和q(x都能展成x的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為

|x

d2ydx2

p(x)dydx

q(xy0有形如的特解，也以|x|R為級數(shù)的收斂區(qū)間。在上兩例中方程顯然滿足定理的條件，系數(shù)x2x和可看作是在如n階貝賽爾方程這里n

，不一定是正整數(shù)，（d2ydx2

p(x)dydx

q(xy0）在此p(x)

1，q(x)1n2

，顯然它不滿足定理10的條件，因而不能肯定有形如x x2y axnnn0

的特解。但它滿足下述定理11的條件，從而具有別種形狀的冪級數(shù)解。d2y定理11若方程dx2

p(x)dydx

q(xy0

p(x)

，q(x)

具有這樣的性質(zhì)，即xp(x)和x2q(x均能展成x的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為|xR，若d2y

p(x)

q(x)y0 0a 0，則方程dx2 dx0即

有形如

yxn0

axnn的特解，

y是一個特定的常數(shù)，級數(shù)

n0

axnn

m也以|x|R為收m斂區(qū)間。若a0

0，或更一般的，i

0(i0,1,2 m1)a

0，則引入mk

mk，則yxnm

axnn

xmk0

a xkmk

xk0

bxk，k，0m這里ba 0，而 仍為待定常數(shù)。0md2y dy例7 求解n

階貝賽爾方程x2

dx2

x (x2dx

n2y0。解將方程改寫成d2y1dyx2n2

y0，dx2 xdx x2易見，它滿足定理11的條件（xp(x)和x2q(x均能展成x的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為|xR），且xpx,x2qxx2n2，按展成的冪級數(shù)收斂區(qū)間為x，由定理11，方程有形如0的解，這里a0

0，而a

y是待定常數(shù)，將

k0

axakk 代入： kd kx2 x (x2

n2y0中，得dx2x

dx(x2

n2)k0

axak0，k把 同冪次項歸在一起，上式變?yōu)榱罡黜椀南禂?shù)等于0，得一系列的代數(shù)方程因為a 0，故從a2n2]0解得 的兩個值0 0n和 n先考慮

nx2

d2y dy x (x2

n2y0的一個特解，這時dx2 dxk我們總可以從以上方程組中逐個地確定所有的系數(shù)a 。把方程組，得到k

n代入以上a k

ak2k(2nk

k2,3，或按下標(biāo)為奇數(shù)或偶數(shù)，我們分別有從而求得一般地a將 k各代

y

axakk 得到方程x2

d2y dy x (x2 n2

的一個k0解

dx2 dxx2

d2y dy x (x2

n2y0的特解，我們不妨令dx2 dx其中函數(shù)s定義如下：時，當(dāng)s時，

s

0

xs1exdx

<0且非整數(shù)時，由遞推公(s)式

1ss

定義。s具有性質(zhì)s1ss;n 為正整數(shù)

n1n! kay

xn2

! 0

x2kn而 1 0

k

2kk

n 1 n2

nk 變?yōu)樽⒁獾?函數(shù)的性質(zhì)，即有Jx

x2

d2y dy x (x2

n2y0稱 n nn為 階貝賽爾函。n

dx2 dx

Jx因此，對于

n了求得另一個與J

x

線性無關(guān)的特解，我們自然想到，求

時方程d2y dyx2 x (x2

n2y0的形如dx2 dxn n的解，我們注意到只要 不為非負(fù)整數(shù)，像以上對于 時的求解過程一樣，我們總可以求得a2n2]00a1)2

n2]01ak)2使之滿足k

n2]a k2

中的一系列方程，因而k2,3,x2

d2y dy x (x2

n2y0的一個特解。此時，若令dx2 dx

kay axn則 2 0

22k

0

x2kn變?yōu)镴 x

k

k!n1

n

nk稱 n

為階貝賽爾函數(shù)。利用達朗貝爾判別法不難驗證級數(shù)yaxn1 0

k

22k

k

ka01n20

kx2kn和y ax2 0

22k

ka 0

x2kn（在k1

k!n1

n

nky

x

ka 0

x2kn中 ）都2 0k

22k

k

n1

n2

nk

x0n是收斂的，因此，當(dāng)d2y dy

不為非負(fù)整數(shù)時，Jn

x和Jn

x

都是方程x2dx2

x (x2dx

n2y0的解，而且是線性無關(guān)的，因為它們可展為由x 的不同冪次開始的級數(shù)，從而它們的比不可能是常數(shù)。于是方程 x2 x (x2 n2y 0

yc1

xcJ2

xdx2 dx n nc這里 1函數(shù)。

c J xJ2是任意常數(shù)。此情形的 J8x2y''xy'

4x2

9y0的通解。2525解 引入新變量t2x，我們有d2y

d2

dy

4d2ydx2

dt

dt

dx dt2 ，將上述關(guān)系代入院方程，得到 d2 t2 t t2

9y0，dt2

dt 253n3這是，

5的貝塞爾方程，由例7可知，方程 d2 t2 t t2

9y0的通解可表為dt2

dt 25ycJ1 35

cJ2 35

，代回原來變量，就得到原方程的通解12其中c,c是任意常數(shù)。12第二宇宙速度計算作為這一節(jié)的應(yīng)用，我們計算發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，即所謂第二宇宙速度。在這個速度你下,物體將擺脫地球的引力,向地球一樣繞著太陽運行,成為人造衛(wèi)星..以M和m分別表示地球和物體的質(zhì)量.按牛頓萬有引力定律,作用于物體的引力F(空氣阻力忽略不計)為r k這里 表示地球的中心和物理體重心之間的距離， 為萬有引力常數(shù)。因為，物體運動規(guī)律應(yīng)滿足下面的微分方程或這里的負(fù)號表示物體的加速度是負(fù)的。0設(shè)地球半徑為R(R63105m)，物理發(fā)射速度為v ，因此，當(dāng)物體剛剛離0開地球表面時，我們有rRdr

，即應(yīng)取初值條件為d2r 方程 k

dt 0不顯含自變量tdt2 r2解得注意到這時初值條件為因而因為物體運動速度必須始終保持是正的，即v22

0，而隨著r的不斷增大，量kM

變得任意小。因此，由v2

kM v(