非線性振動(dòng)與混沌簡(jiǎn)介課件

非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念概述：混沌的發(fā)現(xiàn)1961年冬的一天，美國(guó)麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家愛德華·洛侖茲在計(jì)算機(jī)上模擬天氣情況，他的真空管計(jì)算機(jī)速度約每秒做6次乘法。經(jīng)簡(jiǎn)化后的洛侖茲氣象模型為●蝴蝶效應(yīng)●非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象1非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念概述：混沌的發(fā)現(xiàn)1961年為省時(shí)間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計(jì)算，指望重復(fù)出現(xiàn)上次計(jì)算的后半段結(jié)果，然后再接下去往前算。然而經(jīng)過一段重復(fù)后，計(jì)算機(jī)卻偏離了上次的結(jié)果。他第二次輸入時(shí)去掉了小數(shù)點(diǎn)后面三位：混沌的初值敏感性2為省時(shí)間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計(jì)算，指●蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）3●蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）3非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念一、任意擺角情況下單擺的運(yùn)動(dòng)線性系統(tǒng)（數(shù)學(xué)定義）：若則滿足是線性的；為非線性，則★自由單擺的運(yùn)動(dòng)方程：線性近似：當(dāng)

很小，(sin)若按級(jí)數(shù)展開，取第一項(xiàng)而得.4非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念一、任意擺角情況下單擺的運(yùn)動(dòng)若為任意值，故自由單擺為非線性振動(dòng)系統(tǒng)：令，以及，則上式變?yōu)槎?sin)5若為任意值，故自由單擺為非線性振動(dòng)系統(tǒng)：令，以及，則上式方程解的非唯一性1.設(shè)初始條件為0=

，0=0，運(yùn)動(dòng)分析：在最高點(diǎn)=，=0，系統(tǒng)非穩(wěn)定平衡點(diǎn)。可能出現(xiàn)三種運(yùn)動(dòng)情況：a.停留在該頂點(diǎn)，爾后徑直下落；b.調(diào)頭沿原路返回；c.越過該頂點(diǎn)繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)。則其解為6方程解的非唯一性1.設(shè)初始條件為0=，0=0，則解為類似地，當(dāng)令0=0，最高點(diǎn)(=)，非穩(wěn)平衡，運(yùn)動(dòng)非唯一性。★對(duì)于一般單擺的運(yùn)動(dòng)方程（受周期性驅(qū)動(dòng)力作用的阻尼單擺）：●一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。其解更為復(fù)雜。結(jié)論：對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，在確定的初始條件下，其解可能具有不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)性。7，則解為類似地，當(dāng)令0=0，最高點(diǎn)(=)，非穩(wěn)二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性●在一個(gè)確定性的系統(tǒng)中，由于其本身的非線性性質(zhì)所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)隨機(jī)性稱為確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性。例如，上述非線性單擺的運(yùn)動(dòng)?！镏湔麄€(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因素是嚴(yán)格確定的（具有確定的運(yùn)動(dòng)方程），系統(tǒng)完全不存在隨機(jī)力的作用?！锶欢?jīng)過時(shí)間的演化，在這種確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)了隨機(jī)行為，產(chǎn)生出完全不可預(yù)測(cè)的、極為復(fù)雜的結(jié)果來，最后得到一條完全隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌道。8二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性●在一個(gè)確定性的系統(tǒng)中，由于其三、混沌的基本概念1.

混沌定義（物理學(xué)上）：在確定性系統(tǒng)中所表現(xiàn)出來的內(nèi)在隨機(jī)行為。是一個(gè)決定論的系統(tǒng)中所存在的運(yùn)動(dòng)的不可預(yù)測(cè)性。2.相圖●描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的各狀態(tài)參量之間的關(guān)系圖。例：自由單擺（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）★簡(jiǎn)諧振動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，每隔一定的時(shí)間運(yùn)動(dòng)又復(fù)原，所以相軌線為一閉合曲線。9三、混沌的基本概念1.混沌定義（物理學(xué)上）：在確定性系統(tǒng)3.自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)●不顯含時(shí)間t的動(dòng)力學(xué)方程稱為自治系統(tǒng)，而顯含時(shí)間t的動(dòng)力學(xué)方程稱為非自治系統(tǒng)?！镉删€性單擺方程可得不顯含t，在二維相空間中為自治系統(tǒng)?！镉墒茏枇椭芷诓邉?dòng)力作用的非線性單擺方程可得（角諧振動(dòng)）顯含t，在二維相空間中為非自治系統(tǒng)。103.自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)●不顯含時(shí)間t的動(dòng)力學(xué)方程稱自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量=t，可將方程化為三維相空間中的自治系統(tǒng)：●一個(gè)自治系統(tǒng)在其相空間上的相軌線不會(huì)相交，即通過每一相點(diǎn)的軌線是唯一的。而非自治系統(tǒng)中相軌線則會(huì)相交。如上述系統(tǒng)在二維相平面上相軌線有相交情況。11自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量=t，可將方程4.彭加勒截面圖若沿方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個(gè)截面上只有一個(gè)交點(diǎn)，即相軌線一次性的穿過每一個(gè)截面。

因 ，若以2為周長(zhǎng)，將相空間彎成一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面稱為彭加勒截面。124.彭加勒截面圖若沿方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系●相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的集合就稱為彭加勒截面圖。★通過分析相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的分布規(guī)律，就可了解到在長(zhǎng)時(shí)間周期性的演變過程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。13●相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的集合就稱為13討論：●單周期振動(dòng)，每隔2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原，即相軌線每次都從同一點(diǎn)穿過彭加勒截面，★在彭加勒截面圖上只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；●運(yùn)動(dòng)無周期性，則彭加勒截面圖上有無窮多個(gè)點(diǎn)?！癖吨芷诘倪\(yùn)動(dòng)，彭加勒截面圖上有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；…。14討論：●單周期振動(dòng)，每隔2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原，即相軌線每次都從同四、單擺與混沌單擺方程按泰勒級(jí)數(shù)適當(dāng)代換，得到非線性振動(dòng)方程（杜芬方程）取前兩項(xiàng)近似，運(yùn)動(dòng)的演變討論1.線性近似下的單擺運(yùn)動(dòng)15四、單擺與混沌單擺方程按泰勒級(jí)數(shù)適當(dāng)代換，得到非線性振動(dòng)三種情況：a.

f==

=

0；b.

f==0；c.

=0，相應(yīng)得出簡(jiǎn)諧振動(dòng)、阻尼和受迫振動(dòng)方程。令=0，退化為線性方程★阻尼振動(dòng)的相軌線：從外向內(nèi)收縮的螺旋線，最終停止于中點(diǎn)---不動(dòng)點(diǎn)吸引子---?！锸芷日駝?dòng)：經(jīng)過暫態(tài)之后趨于一穩(wěn)定的閉合圈---周期吸引子或極限環(huán)?！锖?jiǎn)諧振動(dòng)的相軌線：閉合圈---周期環(huán)---。16三種情況：a.f===0；b.f=★方程代表復(fù)雜的非線性振動(dòng)系統(tǒng)。2.非線性近似下的單擺運(yùn)動(dòng)混沌為簡(jiǎn)化問題，在四個(gè)參數(shù)中只改變f的值。數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，隨著f的逐漸增大，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生了由簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)到出現(xiàn)倍周期分岔，再進(jìn)入混沌的演化過程。從周期運(yùn)動(dòng)到倍周期分岔◎當(dāng)f=0.8，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)。17★方程代表復(fù)雜的非線性振動(dòng)系統(tǒng)。2.非線性近似下的單擺運(yùn)◎當(dāng)f=0.89，其結(jié)果為一個(gè)二倍周期的運(yùn)動(dòng)，即出現(xiàn)了倍周期分岔。說明：圖中看上去的每一條曲線實(shí)際上是完全重合的兩條曲線，它們的初始值略有差異：a.

x0=1，0=0；b.

x0=1.001，0=0.001.結(jié)論：●初始條件的微小差別對(duì)周期性運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生影響，或者說周期運(yùn)動(dòng)對(duì)初值不敏感?；煦邕\(yùn)動(dòng)繼續(xù)增大f，當(dāng)

=1.3，隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)取代了周期性運(yùn)動(dòng)，表明系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。18◎當(dāng)f=0.89，其結(jié)果為一個(gè)二倍周期的運(yùn)動(dòng)，即出現(xiàn)了倍注意：圖(a)中的兩條運(yùn)動(dòng)曲線的初值分別為x0=1，0=0和x0=1.00001，0=0.00001。誤差僅在小數(shù)點(diǎn)后面第五位上，而給運(yùn)動(dòng)帶來的差別正可謂“差之毫厘，失之千里”?！裉幱诨煦鐮顟B(tài)時(shí)，系統(tǒng)的行為對(duì)于初值十分敏感，稱這一特性為混沌的初值敏感性?！裣鄨D(b)反映出混沌運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性。即相軌道(運(yùn)動(dòng)狀態(tài))完全不可預(yù)測(cè)。運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性---蝴蝶效應(yīng)---19注意：圖(a)中的兩條運(yùn)動(dòng)曲線的初值分別為x0=1，0=混沌的內(nèi)在規(guī)律性----混沌吸引子圖(a)中兩條曲線的運(yùn)動(dòng)完全各異，但它們的彭加勒截面圖[(c)和(d)]卻又是完全相同的。把混沌的相軌線在彭加勒截面上的這種點(diǎn)集稱為混沌吸引子?！蚧煦缥邮欠蔷€性耗散系統(tǒng)混沌的特征，表明耗散系統(tǒng)演化的歸宿。★代表混沌行為的全局特征。●混沌吸引子體現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)存規(guī)律性。20混沌的內(nèi)在規(guī)律性----混沌吸引子圖(a)中兩條曲線的運(yùn)動(dòng)結(jié)論★然而混沌的全局特征——混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、確定的規(guī)則?！衩菜齐S機(jī)的混沌運(yùn)動(dòng)，其長(zhǎng)期的演化行為遵從確定的規(guī)律---混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律性?！镞@是混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)別于真實(shí)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的重要標(biāo)志。初值懸殊的三個(gè)吸引子★混沌行為具有極為敏感的初值依賴性；21結(jié)論★然而混沌的全局特征——混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、如繼續(xù)增大f，當(dāng)f=1.53，則出現(xiàn)一個(gè)三倍周期的運(yùn)動(dòng)---周期三窗口。當(dāng)f=1.75時(shí)，系統(tǒng)又再次進(jìn)入混沌狀態(tài)。周期窗口●在混沌狀態(tài)中又復(fù)現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)，稱為混沌區(qū)中的周期窗口。22如繼續(xù)增大f，當(dāng)f=1.53，則出現(xiàn)一個(gè)三倍周期的運(yùn)五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性利用最簡(jiǎn)單的非線性方程作進(jìn)一步分析：---拋物線方程，得拋物線形迭代方程令在整個(gè)區(qū)間取值迭代便得出由周期運(yùn)動(dòng)到倍周期分岔，再進(jìn)入混沌狀態(tài)的整個(gè)演化過程。1.混沌的演化（通向混沌的道路）23五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性利用最簡(jiǎn)單的非線性方程作進(jìn)倍周期分岔序列：12482n

.●當(dāng)n，則解的數(shù)目，意味著系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。將混沌開始時(shí)對(duì)應(yīng)的記為(=1.40115518909205)。2.混沌區(qū)的結(jié)構(gòu)a.窗口●在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)?！锎翱谥邪c整體完全相似的結(jié)構(gòu)。周期三窗口通向混沌的其它道路●準(zhǔn)周期道路：平衡態(tài)→周期→準(zhǔn)周期→混沌.●陣發(fā)混沌道路24倍周期分岔序列：12482n.2.混沌1框內(nèi)部分放大得下頁圖251框內(nèi)部分放大得下頁圖25框內(nèi)再放大得下頁圖226框內(nèi)再放大得下頁圖226327327123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)28123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)28看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。★任何局部的小區(qū)域都包含著整體的信息，具有與整體完全相似的規(guī)律?！裨诨煦鐑?nèi)部所包含的這種在不同尺度上的相似結(jié)構(gòu)稱為自相似性?！驈耐?fù)淇臻g上來講，自相似結(jié)構(gòu)的維數(shù)往往不是整數(shù)維，而是分?jǐn)?shù)維的，也就是具有分形的性質(zhì)。b.自相似結(jié)構(gòu)混沌帶的合并--從逆著混沌演化的方向，可找到混沌帶合并的規(guī)律：29看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。b.自相似c.普適性若將第n倍周期分岔（或混沌帶合并）時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)記為n，則相繼兩次分岔（或合并）的間隔之比趨于同一個(gè)常數(shù)：注意：常數(shù)并不只限于單擺公式，而是對(duì)所有同一類的變換，所得的值都精確地相同。●的數(shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與各個(gè)系統(tǒng)的其他具體細(xì)節(jié)無關(guān)?！穹从吵龌煦缪莼^程中所存在的一種普適性.●是混沌內(nèi)在規(guī)律性的另一個(gè)側(cè)面反映。費(fèi)根鮑姆常數(shù)30c.普適性若將第n倍周期分岔（或混沌帶合并）時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)在倍周期分岔序列圖中，同次周期分岔中上下的各對(duì)周期點(diǎn)之間的距離之比，以及第相鄰兩次周期分岔中的各對(duì)周期點(diǎn)之間的距離之比又趨于另一個(gè)常數(shù)，稱為標(biāo)度因子或普適常數(shù):標(biāo)度因子例如，圖中注意：當(dāng)不滿足，則比值只是近似的。31在倍周期分岔序列圖中，同次周期分岔中上下的各對(duì)周期點(diǎn)之間的距討論●相同的常數(shù)和出現(xiàn)在不同的非線性系統(tǒng)之中，充分顯示出非線性系統(tǒng)中存在的某種共性，說明通往混沌的道路是有確定的規(guī)律可循的?！窕煦绗F(xiàn)象是確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)行為，是非線性系統(tǒng)的一種固有屬性。●經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)并不能理解內(nèi)在隨機(jī)性?！虬凑张ｎD決定論的觀念，一個(gè)沒有外來隨機(jī)因素影響的確定性系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律也必然是確定的。就是說，只要初始條件給定，則系統(tǒng)在以后任一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都是完全可以預(yù)見的，決不可能出現(xiàn)任何“越軌”的隨機(jī)行為。32討論●相同的常數(shù)和出現(xiàn)在不同的非線性系統(tǒng)之中，充分顯★從整個(gè)自然界來講，線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)之比正如有理數(shù)與無理數(shù)之比，我們實(shí)際上是生活在一個(gè)非線性的世界之中?！窕煦绗F(xiàn)象無處不有?；煦缫?guī)律不僅支配著整個(gè)自然界的各個(gè)領(lǐng)域，而且也支配著人類的各種社會(huì)活動(dòng)?！窕煦绲陌l(fā)現(xiàn)是對(duì)經(jīng)典的決定論的沖擊，或者說混沌理論是對(duì)經(jīng)典力學(xué)理論的補(bǔ)充和發(fā)展?！窕煦缭诂F(xiàn)代科技以及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)領(lǐng)域中都有若干重要應(yīng)用。33★從整個(gè)自然界來講，線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)之比正如有理數(shù)與無理非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念概述：混沌的發(fā)現(xiàn)1961年冬的一天，美國(guó)麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家愛德華·洛侖茲在計(jì)算機(jī)上模擬天氣情況，他的真空管計(jì)算機(jī)速度約每秒做6次乘法。經(jīng)簡(jiǎn)化后的洛侖茲氣象模型為●蝴蝶效應(yīng)●非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象34非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念概述：混沌的發(fā)現(xiàn)1961年為省時(shí)間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計(jì)算，指望重復(fù)出現(xiàn)上次計(jì)算的后半段結(jié)果，然后再接下去往前算。然而經(jīng)過一段重復(fù)后，計(jì)算機(jī)卻偏離了上次的結(jié)果。他第二次輸入時(shí)去掉了小數(shù)點(diǎn)后面三位：混沌的初值敏感性35為省時(shí)間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計(jì)算，指●蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）36●蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）3非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念一、任意擺角情況下單擺的運(yùn)動(dòng)線性系統(tǒng)（數(shù)學(xué)定義）：若則滿足是線性的；為非線性，則★自由單擺的運(yùn)動(dòng)方程：線性近似：當(dāng)

很小，(sin)若按級(jí)數(shù)展開，取第一項(xiàng)而得.37非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念一、任意擺角情況下單擺的運(yùn)動(dòng)若為任意值，故自由單擺為非線性振動(dòng)系統(tǒng)：令，以及，則上式變?yōu)槎?sin)38若為任意值，故自由單擺為非線性振動(dòng)系統(tǒng)：令，以及，則上式方程解的非唯一性1.設(shè)初始條件為0=

，0=0，運(yùn)動(dòng)分析：在最高點(diǎn)=，=0，系統(tǒng)非穩(wěn)定平衡點(diǎn)?？赡艹霈F(xiàn)三種運(yùn)動(dòng)情況：a.停留在該頂點(diǎn)，爾后徑直下落；b.調(diào)頭沿原路返回；c.越過該頂點(diǎn)繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)。則其解為39方程解的非唯一性1.設(shè)初始條件為0=，0=0，則解為類似地，當(dāng)令0=0，最高點(diǎn)(=)，非穩(wěn)平衡，運(yùn)動(dòng)非唯一性?！飳?duì)于一般單擺的運(yùn)動(dòng)方程（受周期性驅(qū)動(dòng)力作用的阻尼單擺）：●一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。其解更為復(fù)雜。結(jié)論：對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，在確定的初始條件下，其解可能具有不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)性。40，則解為類似地，當(dāng)令0=0，最高點(diǎn)(=)，非穩(wěn)二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性●在一個(gè)確定性的系統(tǒng)中，由于其本身的非線性性質(zhì)所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)隨機(jī)性稱為確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性。例如，上述非線性單擺的運(yùn)動(dòng)?！镏湔麄€(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因素是嚴(yán)格確定的（具有確定的運(yùn)動(dòng)方程），系統(tǒng)完全不存在隨機(jī)力的作用?！锶欢?jīng)過時(shí)間的演化，在這種確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)了隨機(jī)行為，產(chǎn)生出完全不可預(yù)測(cè)的、極為復(fù)雜的結(jié)果來，最后得到一條完全隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌道。41二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性●在一個(gè)確定性的系統(tǒng)中，由于其三、混沌的基本概念1.

混沌定義（物理學(xué)上）：在確定性系統(tǒng)中所表現(xiàn)出來的內(nèi)在隨機(jī)行為。是一個(gè)決定論的系統(tǒng)中所存在的運(yùn)動(dòng)的不可預(yù)測(cè)性。2.相圖●描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的各狀態(tài)參量之間的關(guān)系圖。例：自由單擺（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）★簡(jiǎn)諧振動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，每隔一定的時(shí)間運(yùn)動(dòng)又復(fù)原，所以相軌線為一閉合曲線。42三、混沌的基本概念1.混沌定義（物理學(xué)上）：在確定性系統(tǒng)3.自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)●不顯含時(shí)間t的動(dòng)力學(xué)方程稱為自治系統(tǒng)，而顯含時(shí)間t的動(dòng)力學(xué)方程稱為非自治系統(tǒng)?！镉删€性單擺方程可得不顯含t，在二維相空間中為自治系統(tǒng)?！镉墒茏枇椭芷诓邉?dòng)力作用的非線性單擺方程可得（角諧振動(dòng)）顯含t，在二維相空間中為非自治系統(tǒng)。433.自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)●不顯含時(shí)間t的動(dòng)力學(xué)方程稱自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量=t，可將方程化為三維相空間中的自治系統(tǒng)：●一個(gè)自治系統(tǒng)在其相空間上的相軌線不會(huì)相交，即通過每一相點(diǎn)的軌線是唯一的。而非自治系統(tǒng)中相軌線則會(huì)相交。如上述系統(tǒng)在二維相平面上相軌線有相交情況。44自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量=t，可將方程4.彭加勒截面圖若沿方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個(gè)截面上只有一個(gè)交點(diǎn)，即相軌線一次性的穿過每一個(gè)截面。

因 ，若以2為周長(zhǎng)，將相空間彎成一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面稱為彭加勒截面。454.彭加勒截面圖若沿方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系●相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的集合就稱為彭加勒截面圖?！锿ㄟ^分析相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的分布規(guī)律，就可了解到在長(zhǎng)時(shí)間周期性的演變過程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。46●相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的集合就稱為13討論：●單周期振動(dòng)，每隔2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原，即相軌線每次都從同一點(diǎn)穿過彭加勒截面，★在彭加勒截面圖上只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；●運(yùn)動(dòng)無周期性，則彭加勒截面圖上有無窮多個(gè)點(diǎn)?！癖吨芷诘倪\(yùn)動(dòng)，彭加勒截面圖上有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；…。47討論：●單周期振動(dòng)，每隔2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原，即相軌線每次都從同四、單擺與混沌單擺方程按泰勒級(jí)數(shù)適當(dāng)代換，得到非線性振動(dòng)方程（杜芬方程）取前兩項(xiàng)近似，運(yùn)動(dòng)的演變討論1.線性近似下的單擺運(yùn)動(dòng)48四、單擺與混沌單擺方程按泰勒級(jí)數(shù)適當(dāng)代換，得到非線性振動(dòng)三種情況：a.

f==

=

0；b.

f==0；c.

=0，相應(yīng)得出簡(jiǎn)諧振動(dòng)、阻尼和受迫振動(dòng)方程。令=0，退化為線性方程★阻尼振動(dòng)的相軌線：從外向內(nèi)收縮的螺旋線，最終停止于中點(diǎn)---不動(dòng)點(diǎn)吸引子---?！锸芷日駝?dòng)：經(jīng)過暫態(tài)之后趨于一穩(wěn)定的閉合圈---周期吸引子或極限環(huán)?！锖?jiǎn)諧振動(dòng)的相軌線：閉合圈---周期環(huán)---。49三種情況：a.f===0；b.f=★方程代表復(fù)雜的非線性振動(dòng)系統(tǒng)。2.非線性近似下的單擺運(yùn)動(dòng)混沌為簡(jiǎn)化問題，在四個(gè)參數(shù)中只改變f的值。數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，隨著f的逐漸增大，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生了由簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)到出現(xiàn)倍周期分岔，再進(jìn)入混沌的演化過程。從周期運(yùn)動(dòng)到倍周期分岔◎當(dāng)f=0.8，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)。50★方程代表復(fù)雜的非線性振動(dòng)系統(tǒng)。2.非線性近似下的單擺運(yùn)◎當(dāng)f=0.89，其結(jié)果為一個(gè)二倍周期的運(yùn)動(dòng)，即出現(xiàn)了倍周期分岔。說明：圖中看上去的每一條曲線實(shí)際上是完全重合的兩條曲線，它們的初始值略有差異：a.

x0=1，0=0；b.

x0=1.001，0=0.001.結(jié)論：●初始條件的微小差別對(duì)周期性運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生影響，或者說周期運(yùn)動(dòng)對(duì)初值不敏感?；煦邕\(yùn)動(dòng)繼續(xù)增大f，當(dāng)

=1.3，隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)取代了周期性運(yùn)動(dòng)，表明系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。51◎當(dāng)f=0.89，其結(jié)果為一個(gè)二倍周期的運(yùn)動(dòng)，即出現(xiàn)了倍注意：圖(a)中的兩條運(yùn)動(dòng)曲線的初值分別為x0=1，0=0和x0=1.00001，0=0.00001。誤差僅在小數(shù)點(diǎn)后面第五位上，而給運(yùn)動(dòng)帶來的差別正可謂“差之毫厘，失之千里”?！裉幱诨煦鐮顟B(tài)時(shí)，系統(tǒng)的行為對(duì)于初值十分敏感，稱這一特性為混沌的初值敏感性?！裣鄨D(b)反映出混沌運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性。即相軌道(運(yùn)動(dòng)狀態(tài))完全不可預(yù)測(cè)。運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性---蝴蝶效應(yīng)---52注意：圖(a)中的兩條運(yùn)動(dòng)曲線的初值分別為x0=1，0=混沌的內(nèi)在規(guī)律性----混沌吸引子圖(a)中兩條曲線的運(yùn)動(dòng)完全各異，但它們的彭加勒截面圖[(c)和(d)]卻又是完全相同的。把混沌的相軌線在彭加勒截面上的這種點(diǎn)集稱為混沌吸引子?！蚧煦缥邮欠蔷€性耗散系統(tǒng)混沌的特征，表明耗散系統(tǒng)演化的歸宿?！锎砘煦缧袨榈娜痔卣??！窕煦缥芋w現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)存規(guī)律性。53混沌的內(nèi)在規(guī)律性----混沌吸引子圖(a)中兩條曲線的運(yùn)動(dòng)結(jié)論★然而混沌的全局特征——混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、確定的規(guī)則?！衩菜齐S機(jī)的混沌運(yùn)動(dòng)，其長(zhǎng)期的演化行為遵從確定的規(guī)律---混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律性?！镞@是混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)別于真實(shí)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的重要標(biāo)志。初值懸殊的三個(gè)吸引子★混沌行為具有極為敏感的初值依賴性；54結(jié)論★然而混沌的全局特征——混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、如繼續(xù)增大f，當(dāng)f=1.53，則出現(xiàn)一個(gè)三倍周期的運(yùn)動(dòng)---周期三窗口。當(dāng)f=1.75時(shí)，系統(tǒng)又再次進(jìn)入混沌狀態(tài)。周期窗口●在混沌狀態(tài)中又復(fù)現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)，稱為混沌區(qū)中的周期窗口。55如繼續(xù)增大f，當(dāng)f=1.53，則出現(xiàn)一個(gè)三倍周期的運(yùn)五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性利用最簡(jiǎn)單的非線性方程作進(jìn)一步分析：---拋物線方程，得拋物線形迭代方程令在整個(gè)區(qū)間取值迭代便得出由周期運(yùn)動(dòng)到倍周期分岔，再進(jìn)入混沌狀態(tài)的整個(gè)演化過程。1.混沌的演化（通向混沌的道路）56五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性利用最簡(jiǎn)單的非線性方程作進(jìn)倍周期分岔序列：12482n

.●當(dāng)n，則解的數(shù)目，意味著系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。將混沌開始時(shí)對(duì)應(yīng)的記為(=1.40115518909205)。2.混沌區(qū)的結(jié)構(gòu)a.窗口●在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)?！锎翱谥邪c整體完全相似的結(jié)構(gòu)。周期三窗口通向混沌的其它道路●準(zhǔn)周期道路：平衡態(tài)→周期→準(zhǔn)周期→混沌.●陣發(fā)混沌道路57倍周期分岔序列：12482n.2.混沌1框內(nèi)部分放大得下頁圖581框內(nèi)部分放大得下頁圖25框內(nèi)再放大得下頁圖259框內(nèi)再放大得下頁圖226360327123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)61123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)28看似混亂的混沌體系中，