(完整版)多元線性回歸模型公式

aa=1a=1a=1a=1a=1（完整版）多元線性回歸模型公式二、多元線性回歸模型在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中，多個(gè)（多于兩個(gè)）要素之間也存在著相互影響、相互關(guān)聯(lián)的情況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的意義。（一）多元線性回歸模型的建立假設(shè)某一因變量y受k個(gè)自變量x,xx的影響，其n組觀測值為（y,x,xx）,a=1,2,...,n。那12ka1a2aka么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為：y=B+Bx+Bx+...+Bx+￡（3。2o11）a011a22akkaa式中:ppp為待定參數(shù)；0,1k￡為隨機(jī)變量。a如果b,b，…,b分別為p,p,p???,p的擬合值，則回歸方程為01k012k=b+bx+bx+...+bx（3。2.12）01122kk式中:b為常數(shù)；0b,b,...,b稱為偏回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù)b（偏回歸系數(shù)b（i=1,2,...,k）i因變量y平均改變的數(shù)值。的意義是，當(dāng)其他自變量x（jHi）都固定時(shí)，自變量x每變化一個(gè)單位而使j根據(jù)最小二乘法原理，pi（i=0,1,2,...,k）的估計(jì)值b（i=根據(jù)最小二乘法原理，piiq=my有求極值的必要條件得=工［q=my有求極值的必要條件得=工［y-（b+...+bx才Tmina011a22akka3。2.13）3.2.14）a’a=1將方程組（3。2.14）式展開整理后得：將方程組（3。2.14）式展開整理后得：nb+（丫x）b+（丫x）b+...+（丫x）b=Xy01a12a2kakanna=1na=1a=1n（乙x）b+（乙x2）b+（乙xx）b+...xx）b=乙xy1a01a11a2a21akak1aa（x）b+（xx）bx2）b+...+（xx）b=xy2a01a2a12a22akak2aaa=1a=1a=1a=1a=13.2。15）（工x）b+（丫xx）b+（丫xx）b+...+（丫x2）b=Xxyka01aka12aka2kakkaa（完整版）多元線性回歸模型公式（完整版）多元線性回歸模型公式方程組（3。2.15）式,被稱為正規(guī)方程組。如果引入一下向量和矩陣:(b、(1xx…x'0(y〕11121k1b1xx…x1y21222k2b,Y=,X=1xx...x2...1323k31bk丿<y丿n<1x1nx2n...方程組（3。2.15）式,被稱為正規(guī)方程組。如果引入一下向量和矩陣:(b、(1xx…x'0(y〕11121k1b1xx…x1y21222k2b,Y=,X=1xx...x2...1323k31bk丿<y丿n<1x1nx2n...x丿kn(111..1)(1xx..1121x)k1A=XtX=x11x12x13x1nx12x22xk2x21x22x23x2nx13x23xk3Ixk1xk2xk3xknx1nx2nXkn丿￡nx1a￡nx1a￡nx2a1x2aa=1a=1x21a1￡nxka1xx1a2axx1a2a￡nx22aa=1xx1akaxx2akaa=1￡nxkaa=1xx1a￡nxa=1x11x12kaa=1B=XTY=x21x22xk2x13x23xk3x2aka￡x2ka丿ayayaa=1則正規(guī)方程組（3.2.15）式可以進(jìn)一步寫成矩陣形式Ab=B（3.2.15'）求解（3。2。15'）式可得：b=A-1B=（XtX）-1XtY（3.2。16）如果引入記號：L=Lijji=￡(x-x)(xiaijaa=1-x)(i,j=1,2,...,k)jLiy￡(x-X)(y-y)(i=1,2,...,kLiyiaiaa=1則正規(guī)方程組也可以寫成：Lb+Lb+...+Lb=L1111221kk1yLb+Lb+...+Lb=L2112222kk2y（3。2。15''）Lb+Lb+...+Lb=Lk11_k2_2kkkkyb=y一bx一bx一...一bx01122kk（二）多元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)與一元線性回歸模型一樣，當(dāng)多元線性回歸模型建立以后，也需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。與前面的一元線性回歸分析一樣，因變量y的觀測值y,y,...,y之間的波動(dòng)或差異,是由兩個(gè)因素引起的，一是由于自變量12nx,x,???,x的取之不同，另一是受其他隨機(jī)因素的影響而引起的。為了從y的離差平方和中把它們區(qū)分開來，12k就需要對回歸模型進(jìn)行方差分析，也就是將y的離差平方和St或（Lyy分解成兩個(gè)部分，即回歸平方和U與剩余平方和Q：S=L=U+QTyy在多元線性回歸分析中，回歸平方和表示的是所有k個(gè)自變量對y的變差的總影響，它可以按公式U=工（y-y）=工bLaiiya=1i=1計(jì)算，而剩余平方和為Q=工（y-F/=L-Uaayya=1以上幾個(gè)公式與一元線性回歸分析中的有關(guān)公式完全相似。它們所代表的意義也相似，即回歸平方和越大，則剩余平方和Q就越小，回歸模型的效果就越好。不過，在多元線性