梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算課件

工程力學(xué)8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算工程力學(xué)8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算18梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2例如：AC和DB段。橫截面上有彎矩又有剪力。稱為橫力彎曲(剪切彎曲)。

例如：CD段。橫截面上有彎矩沒(méi)有剪力。稱為純彎曲。

8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

例如：AC和DB段。橫截面上有彎矩又有剪力。稱為橫力彎38.1.1純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力平面假設(shè)：梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，且與變形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度。單向受力假設(shè)：各縱向纖維之間相互不擠壓。橫向線(mm、nn):仍保持為直線，發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，仍與弧線垂直。實(shí)驗(yàn)觀察變形縱向線(aa、bb)：變?yōu)榛【€，凹側(cè)縮短，凸側(cè)伸長(zhǎng)。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

8.1.1純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力平面假設(shè)：梁的橫截4中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)）中性軸垂直于縱向?qū)ΨQ面。設(shè)想梁由平行于軸線的眾多縱向纖維組成，由底部纖維的伸長(zhǎng)連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w維的縮短，中間必定有一層纖維的長(zhǎng)度不變。中性層：中間既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層纖維。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。5中性層中性軸橫截面橫截面的對(duì)稱軸中性層中性軸橫截面橫截面的對(duì)稱軸6變形幾何關(guān)系：式(a)表明線應(yīng)變?chǔ)排c它到中性層的距離y成正比。(a)設(shè)橫截面的對(duì)稱軸為y

軸，向下為正，中性軸為

z

軸（位置未定）。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

變形幾何關(guān)系：式(a)表明線應(yīng)變?chǔ)排c它到中性層的距離y7物理關(guān)系：式(b)表明橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力σ

與該點(diǎn)到中性軸的距離

y

成正比。(a)因?yàn)榭v向纖維之間無(wú)正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或壓縮。當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律知(b)在中性軸上：y＝0，σ＝0。將

(a)代入上式，得8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

物理關(guān)系：式(b)表明橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力σ與該點(diǎn)8＝常量，z

軸（中性軸）通過(guò)截面形心。梁的軸線在中性層內(nèi)，其長(zhǎng)度不變。靜力學(xué)關(guān)系(c)(d)(e)將式代入式(c)，得

8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

＝常量，z軸（中性軸）通過(guò)截面形心。梁的軸線在中性層內(nèi)，其9EIz

稱為梁的彎曲剛度。式中1/ρ為梁彎曲后軸線的曲率。將式(b)代入式(d)，得

(b)(d)(e)

y軸為對(duì)稱軸，必然有Iyz=0。(自然滿足)將式(b)代入式(e)，得

8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

EIz稱為梁的彎曲剛度。式中1/ρ為梁彎曲后軸線的曲10

由上面兩式，得純彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算公式：(b)將彎矩

M和坐標(biāo)

y按規(guī)定的正負(fù)代入，所得到的正應(yīng)力若為正，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)則為壓應(yīng)力。

一點(diǎn)的應(yīng)力是拉應(yīng)力或壓應(yīng)力，也可由彎曲變形直接判定。以中性層為界，梁在凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)受壓。

只要梁有一縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用于這個(gè)平面內(nèi)，上面的公式就可適用。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

由上面兩式，得純彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算公式：(b)將彎矩118.1.2橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力在工程實(shí)際中，一般都是橫力彎曲，此時(shí)，梁的橫截面上不但有正應(yīng)力還有剪應(yīng)力。因此，梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和各縱向纖維之間無(wú)擠壓的假設(shè)都不成立。雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應(yīng)用純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式來(lái)計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，所得結(jié)果誤差不大，足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比

l/h越大，其誤差越小。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

8.1.2橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力在工程實(shí)際中，一12Wz稱為彎曲截面模量。它與截面的幾何形狀有關(guān)，單位為m3。橫力彎曲時(shí)，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠(yuǎn)處。即引用記號(hào)則8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

Wz稱為彎曲截面模量。它與截面的幾何形狀有關(guān)，單位為m3。13對(duì)于寬為

b

，高為

h的矩形截面對(duì)于直徑為

D的圓形截面對(duì)于內(nèi)外徑分別為

d、D的空心圓截面8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

對(duì)于寬為b，高為h的矩形截面對(duì)于直徑為D的圓形截14當(dāng)中性軸為對(duì)稱軸時(shí)，表示最大應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離，橫截面上的最大正應(yīng)力為yZC稱為抗彎截面模量當(dāng)中性軸為對(duì)稱軸時(shí)，表示最大應(yīng)力點(diǎn)到中性軸yZC稱為抗彎截面15橫截面上正應(yīng)力的畫(huà)法：

MsminsmaxMsminsmax橫截面上正應(yīng)力的畫(huà)法：MsminsmaxMsminsmax16對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面？求得相應(yīng)的最大正應(yīng)力yzyM對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面？求得相應(yīng)的最大正應(yīng)力yzyM17zMzM18例：長(zhǎng)為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN，試求B截面上a、b、c各點(diǎn)的正應(yīng)力。例：長(zhǎng)為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝19b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN（壓）b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN（壓20例：試計(jì)算圖示簡(jiǎn)支矩形截面木梁平放與豎放時(shí)的最大正應(yīng)力，并加以比較。200100豎放橫放例：試計(jì)算圖示簡(jiǎn)支矩形截面木梁平放與豎放時(shí)的最大正應(yīng)力，并加21例：

已知

l=1m，q=6kN/m，10號(hào)槽鋼。求最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。解：（1）作彎矩圖（2）由型鋼表查得，10號(hào)槽鋼（3）求最大應(yīng)力8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

例：已知l=1m，q=6kN/m，10號(hào)槽解：（1）作彎22如果梁的最大工作應(yīng)力，不超過(guò)材料的許用彎曲應(yīng)力，梁就是安全的。因此，梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料

(如炭鋼)，只要絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過(guò)許用彎曲應(yīng)力即可。對(duì)于抗拉和抗壓不等的材料(如鑄鐵)，則最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力分別不超過(guò)各自的許用彎曲應(yīng)力。8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

如果梁的最大工作應(yīng)力，不超過(guò)材料的許用彎曲應(yīng)力，梁就是安23例：圖a所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的尺寸見(jiàn)圖b。已知F=150kN，如果[]=165MPa，校核梁的強(qiáng)度

。例：圖a所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的尺寸見(jiàn)24

解：做彎矩彎矩圖。375KN.MxM+截面C為危險(xiǎn)截面解：做彎矩彎矩圖。375KN.MxM+截面C為危險(xiǎn)截25由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面于是有滿足強(qiáng)度要求由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面于是有滿足強(qiáng)度要求26例：T字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應(yīng)力=30MPa,許用壓應(yīng)力=160MPa。已知中性軸位置y1=52mm，截面對(duì)形心軸z的慣性矩為Iz=763cm4。試校核梁的強(qiáng)度。解：1.計(jì)算支反力2.繪彎矩圖FBFA8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

例：T字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應(yīng)力=30273.強(qiáng)度校核B截面：C截面：故該梁滿足強(qiáng)度條件。8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

3.強(qiáng)度校核B截面：C截面：故該梁滿足強(qiáng)度條28例：20a工字鋼梁。若，試求許可荷載

F

。FAFB解：（1）計(jì)算支反力（2）作彎矩圖（3）確定許可荷載8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

例：20a工字鋼梁。若29例：一矩形截面木梁，已知

F=10kN，a=1.2m。木材的許用應(yīng)力

=10MPa。設(shè)梁橫截面的高寬比為h/b=2，試選梁的截面尺寸。解：1.計(jì)算支反力2.作彎矩圖3.選擇截面尺寸A,B截面最危險(xiǎn)，該截面FAFB8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

例：一矩形截面木梁，已知F=10kN，a=1.2m30強(qiáng)度條件所以最后選用125×250mm2的截面。8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

強(qiáng)度條件所以最后選用125×250mm2的截318.3.1梁的彎曲剪應(yīng)力

1.矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力關(guān)于橫截面上剪應(yīng)力的分布規(guī)律，作以下兩個(gè)假設(shè)：(1)

橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力的方向都平行于剪力FS；(2)剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。在截面高度

h大于寬度

b的情況下，以上述假設(shè)為基礎(chǔ)得到的解，與精確解相比有足夠的準(zhǔn)確度。8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

8.3.1梁的彎曲剪應(yīng)力1.矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)32剪應(yīng)力計(jì)算公式為矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。

y=0，即中性軸上各點(diǎn)處：

即橫截面上、下邊緣各點(diǎn)處：

8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

剪應(yīng)力計(jì)算公式為矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律332.工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力腹板上的剪應(yīng)力8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

2.工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力腹板上的剪應(yīng)力8.34和計(jì)算結(jié)果表明：腹板內(nèi)的剪應(yīng)力近似計(jì)算公式8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

和計(jì)算結(jié)果表明：腹板內(nèi)的剪應(yīng)力近似計(jì)算公式353.圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力(2)ab弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量

τy為常量。橫截面上彎曲剪應(yīng)力分布的假設(shè)b為ab弦的長(zhǎng)度；

Sz*為ab弦以上的面積對(duì)中性軸z

的靜矩。(1)

ab弦上各點(diǎn)的剪應(yīng)力都匯交于D點(diǎn)；8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

3.圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力(2)ab弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力36在y=0處，即中性軸上各點(diǎn)處：

8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

在y=0處，即中性軸上各點(diǎn)處：8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度374.薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應(yīng)力因?yàn)楸”趫A環(huán)的壁厚

t遠(yuǎn)小于平均半徑

R，故可以認(rèn)為剪應(yīng)力τ

沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切。最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，其值為8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

4.薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應(yīng)力因?yàn)楸”趫A環(huán)38一般情況，在剪力為最大值的截面的中性軸上，出現(xiàn)最大剪應(yīng)力彎曲剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件細(xì)長(zhǎng)梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力。滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，一般都能滿足剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件。8.3.2梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

一般情況，在剪力為最大值的截面的中性軸上，出現(xiàn)最大剪應(yīng)力39必須進(jìn)行剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核的情況：(1)梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷；以致梁的彎矩較小，而剪力很大。

(2)焊接或鉚接的工字梁，如果腹板較薄而截面高度很大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值，這時(shí)，對(duì)腹板應(yīng)進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。(3)經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的組合梁，一般需對(duì)焊縫、鉚釘或膠合面進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

必須進(jìn)行剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核的情況：(1)梁的跨度較短，40例：梁由3根木條膠合而成。，，試求許可荷載F。FAFB（1）計(jì)算支反力解：（2）作剪力圖和彎矩圖（3）確定許可荷載F

8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

例：梁由3根木條膠合而成。，41由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件由膠合面上剪應(yīng)力強(qiáng)度條件8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件由膠合面上剪應(yīng)力強(qiáng)42綜上所述，膠合梁的許可荷載為8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

綜上所述，膠合梁的許可荷載為8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件43按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由上式可見(jiàn)，要提高梁的彎曲強(qiáng)度，即降低最大正應(yīng)力，可以從兩個(gè)方面來(lái)考慮，一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩

Mmax的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高彎曲截面系數(shù)W的數(shù)值。8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由上448.4.1合理安排梁的受力情況合理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

8.4.1合理安排梁的受力情況合理安排作用在梁上的荷45合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩。僅為原簡(jiǎn)支梁最大彎矩值的20%。8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩。僅為原簡(jiǎn)46在工程實(shí)際中，圖示的門(mén)式起重機(jī)的大梁，圖示的圓柱形容器，其支撐點(diǎn)都略向中間移動(dòng)，就考慮了降低由荷載和自重所產(chǎn)生的最大彎矩。8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

在工程實(shí)際中，圖示的門(mén)式起重機(jī)的大梁，圖示的圓柱形容器，478.4.2采用合理的截面形狀當(dāng)彎矩值一定時(shí)，橫截面上的最大正應(yīng)力與彎曲截面系數(shù)成反比，即彎曲截面系數(shù)W，越大越好。另一方面，橫截面面積越小，梁使用的材料越少，自重越輕，即橫截面面積A，越小越好。因此，合理的橫截面形狀應(yīng)該是截面面積

A較小，而彎曲截面系數(shù)

W較大。我們可以用比值來(lái)衡量截面形狀的合理性。所以，在截面面積一定時(shí)，環(huán)形截面比圓形截面合理，矩形截面比圓形截面合理，矩形截面豎放比平放合理，工字形截面比矩形截面合理。8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

8.4.2采用合理的截面形狀當(dāng)彎矩值一定時(shí)，橫截面上48對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料制成的梁，宜采用中性軸為其對(duì)稱軸的截面，例如，工字形、矩形、圓形和環(huán)形截面等。另外，截面是否合理，還應(yīng)考慮材料的特性。8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料制成的梁，宜采用中性軸為其對(duì)稱49對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料制成的梁，宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面。對(duì)這類截面，應(yīng)使最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)接近材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料制成的梁，宜采用中性軸偏于受508.4.3合理設(shè)計(jì)梁的外形在一般情況下，梁的彎矩沿軸線是變化的。因此，在按最大彎矩所設(shè)計(jì)的等截面梁中，除最大彎矩所在的截面外，其余截面的材料強(qiáng)度均未能得到充分利用。為了減輕梁的自重和節(jié)省材料，常常根據(jù)彎矩的變化情況，將梁設(shè)計(jì)成變截面的。在彎矩較大處，采用較大的截面；在彎矩較小處，采用較小的截面。這種截面沿軸線變化的梁，稱為變截面梁。例如：階梯軸、魚(yú)腹梁等。8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

8.4.3合理設(shè)計(jì)梁的外形在一般情況下，梁的彎矩沿軸51從彎曲強(qiáng)度考慮，理想的變截面梁應(yīng)該使所有截面上的最大彎曲正應(yīng)力均相同，且等于許用應(yīng)力，即這種梁稱為等強(qiáng)度梁。8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

從彎曲強(qiáng)度考慮，理想的變截面梁應(yīng)該使所有截面上的最大彎曲52

工程力學(xué)8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算工程力學(xué)8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算538梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施

8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力54例如：AC和DB段。橫截面上有彎矩又有剪力。稱為橫力彎曲(剪切彎曲)。

例如：CD段。橫截面上有彎矩沒(méi)有剪力。稱為純彎曲。

8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

例如：AC和DB段。橫截面上有彎矩又有剪力。稱為橫力彎558.1.1純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力平面假設(shè)：梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，且與變形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度。單向受力假設(shè)：各縱向纖維之間相互不擠壓。橫向線(mm、nn):仍保持為直線，發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，仍與弧線垂直。實(shí)驗(yàn)觀察變形縱向線(aa、bb)：變?yōu)榛【€，凹側(cè)縮短，凸側(cè)伸長(zhǎng)。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

8.1.1純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力平面假設(shè)：梁的橫截56中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)）中性軸垂直于縱向?qū)ΨQ面。設(shè)想梁由平行于軸線的眾多縱向纖維組成，由底部纖維的伸長(zhǎng)連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w維的縮短，中間必定有一層纖維的長(zhǎng)度不變。中性層：中間既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層纖維。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。57中性層中性軸橫截面橫截面的對(duì)稱軸中性層中性軸橫截面橫截面的對(duì)稱軸58變形幾何關(guān)系：式(a)表明線應(yīng)變?chǔ)排c它到中性層的距離y成正比。(a)設(shè)橫截面的對(duì)稱軸為y

軸，向下為正，中性軸為

z

軸（位置未定）。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

變形幾何關(guān)系：式(a)表明線應(yīng)變?chǔ)排c它到中性層的距離y59物理關(guān)系：式(b)表明橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力σ

與該點(diǎn)到中性軸的距離

y

成正比。(a)因?yàn)榭v向纖維之間無(wú)正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或壓縮。當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律知(b)在中性軸上：y＝0，σ＝0。將

(a)代入上式，得8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

物理關(guān)系：式(b)表明橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力σ與該點(diǎn)60＝常量，z

軸（中性軸）通過(guò)截面形心。梁的軸線在中性層內(nèi)，其長(zhǎng)度不變。靜力學(xué)關(guān)系(c)(d)(e)將式代入式(c)，得

8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

＝常量，z軸（中性軸）通過(guò)截面形心。梁的軸線在中性層內(nèi)，其61EIz

稱為梁的彎曲剛度。式中1/ρ為梁彎曲后軸線的曲率。將式(b)代入式(d)，得

(b)(d)(e)

y軸為對(duì)稱軸，必然有Iyz=0。(自然滿足)將式(b)代入式(e)，得

8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

EIz稱為梁的彎曲剛度。式中1/ρ為梁彎曲后軸線的曲62

由上面兩式，得純彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算公式：(b)將彎矩

M和坐標(biāo)

y按規(guī)定的正負(fù)代入，所得到的正應(yīng)力若為正，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)則為壓應(yīng)力。

一點(diǎn)的應(yīng)力是拉應(yīng)力或壓應(yīng)力，也可由彎曲變形直接判定。以中性層為界，梁在凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)受壓。

只要梁有一縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用于這個(gè)平面內(nèi)，上面的公式就可適用。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

由上面兩式，得純彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算公式：(b)將彎矩638.1.2橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力在工程實(shí)際中，一般都是橫力彎曲，此時(shí)，梁的橫截面上不但有正應(yīng)力還有剪應(yīng)力。因此，梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和各縱向纖維之間無(wú)擠壓的假設(shè)都不成立。雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應(yīng)用純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式來(lái)計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，所得結(jié)果誤差不大，足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比

l/h越大，其誤差越小。8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

8.1.2橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力在工程實(shí)際中，一64Wz稱為彎曲截面模量。它與截面的幾何形狀有關(guān)，單位為m3。橫力彎曲時(shí)，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠(yuǎn)處。即引用記號(hào)則8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

Wz稱為彎曲截面模量。它與截面的幾何形狀有關(guān)，單位為m3。65對(duì)于寬為

b

，高為

h的矩形截面對(duì)于直徑為

D的圓形截面對(duì)于內(nèi)外徑分別為

d、D的空心圓截面8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

對(duì)于寬為b，高為h的矩形截面對(duì)于直徑為D的圓形截66當(dāng)中性軸為對(duì)稱軸時(shí)，表示最大應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離，橫截面上的最大正應(yīng)力為yZC稱為抗彎截面模量當(dāng)中性軸為對(duì)稱軸時(shí)，表示最大應(yīng)力點(diǎn)到中性軸yZC稱為抗彎截面67橫截面上正應(yīng)力的畫(huà)法：

MsminsmaxMsminsmax橫截面上正應(yīng)力的畫(huà)法：MsminsmaxMsminsmax68對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面？求得相應(yīng)的最大正應(yīng)力yzyM對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面？求得相應(yīng)的最大正應(yīng)力yzyM69zMzM70例：長(zhǎng)為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN，試求B截面上a、b、c各點(diǎn)的正應(yīng)力。例：長(zhǎng)為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝71b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN（壓）b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN（壓72例：試計(jì)算圖示簡(jiǎn)支矩形截面木梁平放與豎放時(shí)的最大正應(yīng)力，并加以比較。200100豎放橫放例：試計(jì)算圖示簡(jiǎn)支矩形截面木梁平放與豎放時(shí)的最大正應(yīng)力，并加73例：

已知

l=1m，q=6kN/m，10號(hào)槽鋼。求最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。解：（1）作彎矩圖（2）由型鋼表查得，10號(hào)槽鋼（3）求最大應(yīng)力8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

例：已知l=1m，q=6kN/m，10號(hào)槽解：（1）作彎74如果梁的最大工作應(yīng)力，不超過(guò)材料的許用彎曲應(yīng)力，梁就是安全的。因此，梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料

(如炭鋼)，只要絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過(guò)許用彎曲應(yīng)力即可。對(duì)于抗拉和抗壓不等的材料(如鑄鐵)，則最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力分別不超過(guò)各自的許用彎曲應(yīng)力。8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

如果梁的最大工作應(yīng)力，不超過(guò)材料的許用彎曲應(yīng)力，梁就是安75例：圖a所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的尺寸見(jiàn)圖b。已知F=150kN，如果[]=165MPa，校核梁的強(qiáng)度

。例：圖a所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的尺寸見(jiàn)76

解：做彎矩彎矩圖。375KN.MxM+截面C為危險(xiǎn)截面解：做彎矩彎矩圖。375KN.MxM+截面C為危險(xiǎn)截77由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面于是有滿足強(qiáng)度要求由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面于是有滿足強(qiáng)度要求78例：T字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應(yīng)力=30MPa,許用壓應(yīng)力=160MPa。已知中性軸位置y1=52mm，截面對(duì)形心軸z的慣性矩為Iz=763cm4。試校核梁的強(qiáng)度。解：1.計(jì)算支反力2.繪彎矩圖FBFA8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

例：T字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應(yīng)力=30793.強(qiáng)度校核B截面：C截面：故該梁滿足強(qiáng)度條件。8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

3.強(qiáng)度校核B截面：C截面：故該梁滿足強(qiáng)度條80例：20a工字鋼梁。若，試求許可荷載

F

。FAFB解：（1）計(jì)算支反力（2）作彎矩圖（3）確定許可荷載8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

例：20a工字鋼梁。若81例：一矩形截面木梁，已知

F=10kN，a=1.2m。木材的許用應(yīng)力

=10MPa。設(shè)梁橫截面的高寬比為h/b=2，試選梁的截面尺寸。解：1.計(jì)算支反力2.作彎矩圖3.選擇截面尺寸A,B截面最危險(xiǎn)，該截面FAFB8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

例：一矩形截面木梁，已知F=10kN，a=1.2m82強(qiáng)度條件所以最后選用125×250mm2的截面。8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

強(qiáng)度條件所以最后選用125×250mm2的截838.3.1梁的彎曲剪應(yīng)力

1.矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力關(guān)于橫截面上剪應(yīng)力的分布規(guī)律，作以下兩個(gè)假設(shè)：(1)

橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力的方向都平行于剪力FS；(2)剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。在截面高度

h大于寬度

b的情況下，以上述假設(shè)為基礎(chǔ)得到的解，與精確解相比有足夠的準(zhǔn)確度。8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

8.3.1梁的彎曲剪應(yīng)力1.矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)84剪應(yīng)力計(jì)算公式為矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。

y=0，即中性軸上各點(diǎn)處：

即橫截面上、下邊緣各點(diǎn)處：

8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

剪應(yīng)力計(jì)算公式為矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律852.工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力腹板上的剪應(yīng)力8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

2.工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力腹板上的剪應(yīng)力8.86和計(jì)算結(jié)果表明：腹板內(nèi)的剪應(yīng)力近似計(jì)算公式8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

和計(jì)算結(jié)果表明：腹板內(nèi)的剪應(yīng)力近似計(jì)算公式873.圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力(2)ab弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量

τy為常量。橫截面上彎曲剪應(yīng)力分布的假設(shè)b為ab弦的長(zhǎng)度；

Sz*為ab弦以上的面積對(duì)中性軸z

的靜矩。(1)

ab弦上各點(diǎn)的剪應(yīng)力都匯交于D點(diǎn)；8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

3.圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力(2)ab弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力88在y=0處，即中性軸上各點(diǎn)處：

8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

在y=0處，即中性軸上各點(diǎn)處：8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度894.薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應(yīng)力因?yàn)楸”趫A環(huán)的壁厚

t遠(yuǎn)小于平均半徑

R，故可以認(rèn)為剪應(yīng)力τ

沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切。最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，其值為8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

4.薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應(yīng)力因?yàn)楸”趫A環(huán)90一般情況，在剪力為最大值的截面的中性軸上，出現(xiàn)最大剪應(yīng)力彎曲剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件細(xì)長(zhǎng)梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力。滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，一般都能滿足剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件。8.3.2梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

一般情況，在剪力為最大值的截面的中性軸上，出現(xiàn)最大剪應(yīng)力91必須進(jìn)行剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核的情況：(1)梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷；以致梁的彎矩較小，而剪力很大。

(2)焊接或鉚接的工字梁，如果腹板較薄而截面高度很大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值，這時(shí)，對(duì)腹板應(yīng)進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。(3)經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的組合梁，一般需對(duì)焊縫、鉚釘或膠合面進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

必須進(jìn)行剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核的情況：(1)梁的跨度較短，92例：梁由3根木條膠合而成。，，試求許可荷載F。FAFB（1）計(jì)算支反力解：（2）作剪力圖和彎矩圖（3）確定許可荷載F

8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

例：梁由3根木條膠合而成。，93由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件由膠合面上剪應(yīng)力強(qiáng)度條件8.3梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件由膠合面上剪應(yīng)力強(qiáng)94綜上所述，膠合梁的許可荷載為8.