七年級(jí)數(shù)學(xué)探索規(guī)律專(zhuān)題(教師版)

探索規(guī)律【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過(guò)觀察、分析、總結(jié)等一系列過(guò)程，經(jīng)歷探索數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用代數(shù)式表示規(guī)律，通過(guò)運(yùn)算驗(yàn)證規(guī)律是否正確的過(guò)程；會(huì)用代數(shù)式表示簡(jiǎn)單問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，能用合并同類(lèi)項(xiàng)、去括號(hào)等法則驗(yàn)證所探索的規(guī)律是否正確；通過(guò)動(dòng)手操作、觀察、思考，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)是充滿(mǎn)著探索性和創(chuàng)造性的過(guò)程.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、規(guī)律探索型問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型1、數(shù)式規(guī)律通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫(xiě)出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫(xiě)成要求的格式.要點(diǎn)詮釋?zhuān)河捎趯ふ乙?guī)律并用字母表示這一規(guī)律體現(xiàn)了從特殊到一般和歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.解題中應(yīng)注意先從特殊的結(jié)果入手尋找規(guī)律，再用字母表示，最后加以驗(yàn)證.2、圖形規(guī)律根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類(lèi)圖形規(guī)律問(wèn)題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問(wèn)題，一種是通過(guò)圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律.要點(diǎn)詮釋?zhuān)簣D案、圖表具有直觀、形象、簡(jiǎn)明，包含的信息量多等特點(diǎn)，解決此類(lèi)問(wèn)題需要把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.3、數(shù)表規(guī)律解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時(shí)也需要看看有沒(méi)有一個(gè)數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時(shí)還需要先局部看，再整體找規(guī)律.要點(diǎn)二、規(guī)律探索型問(wèn)題解題技巧1、抓住條件中的變與不變找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會(huì)涉及到一個(gè)或者幾個(gè)變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問(wèn)題的關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào).2、化繁為簡(jiǎn)，形轉(zhuǎn)化為數(shù)有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜，實(shí)際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對(duì)題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來(lái)，題目的難度就會(huì)大幅度降低，問(wèn)題也就容易解決了.3、要進(jìn)行計(jì)算嘗試找規(guī)律，當(dāng)然是找數(shù)學(xué)規(guī)律.而數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算.因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學(xué)運(yùn)算式子.所以，從運(yùn)算入手，嘗試著做一些計(jì)算，也是解答找規(guī)律題的好途徑.4、尋找事物的循環(huán)節(jié)有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問(wèn)題就可以迎刃而解.【典型例題1】類(lèi)型一、數(shù)式規(guī)律1．在下列數(shù)列里，寫(xiě)出后面兩個(gè)數(shù)：1)1，10，3，13，5，16,7,19,,??2)2，5，6，10，18，20,54,40,9???3)4，16,36,64,,144,196,???4)0，1,2,3,6,11,20,,???15913172125295)-3,6,9,12,15,18,21,24,【對(duì)點(diǎn)演練1】Q1A觀察下列各數(shù)：1,舟，卡，畀，…，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算這列數(shù)的第6個(gè)數(shù)為()5t15A.，B.，C.星D.'3135763【總結(jié)升華】(1)(2)(4)的第n項(xiàng)不容易用一個(gè)代數(shù)式表示出來(lái)，(3)的第n項(xiàng)為4n24n—3(5)的第n項(xiàng)為(—1)”+1-3n【典型例題2】我們知道簡(jiǎn)便計(jì)算的好處，事實(shí)上，簡(jiǎn)便計(jì)算在好多地方都存在，觀察下列等式：152=1X2X100+25=225,252=2X3X100+25=625,352=3X4X100+25=1225,…根據(jù)上述格式反應(yīng)出的規(guī)律填空：952=；設(shè)這類(lèi)等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a,請(qǐng)用一個(gè)含a的代數(shù)式表示其結(jié)果；這種簡(jiǎn)便計(jì)算也可以推廣應(yīng)用：個(gè)位數(shù)字是5的三位數(shù)的平方,請(qǐng)寫(xiě)出1952的簡(jiǎn)便計(jì)算過(guò)程及結(jié)果．【對(duì)點(diǎn)演練2】觀察下面組成的圖案和算式,解答問(wèn)題：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；請(qǐng)猜想1+3+5+7+9+…+19=；請(qǐng)猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=.【總結(jié)升華】本題考査了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類(lèi)，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律(a5)2=aX(a+1)X100+25=100a(a+1)+25”.解決該題型題目時(shí)，根據(jù)給定等式子的變化，找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．圖形編號(hào)①②③④⑤⑥

火柴棒根數(shù)（2）第N個(gè)圖形需要多少根火柴?對(duì)點(diǎn)演練3】從一個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊引一條線段，此時(shí)圖中共有3個(gè)三角形（如圖2）；若再向它的對(duì)邊引一條線段，此時(shí)圖中共有6個(gè)三角形（如圖3）；……依次類(lèi)推，則第N個(gè)圖中共有個(gè)三角形?【總結(jié)升華】在數(shù)圖形的數(shù)量時(shí)，如能掌握：先單一、后2個(gè)復(fù)合、再3個(gè)復(fù)合……依次類(lèi)推，數(shù)出相應(yīng)所有的結(jié)論，這樣做不易重復(fù)和遺漏.【典型例題4】將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去.若用有序?qū)崝?shù)對(duì)（m,n）表示第m排、從左到右第n個(gè)數(shù)，如（3,2）表示實(shí)數(shù)5.（1）圖中（7,3）位置上的數(shù)；數(shù)據(jù)45對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)是.（2）第2n行的最后一個(gè)數(shù)為，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.1第一行24第二與37第三疔S1012911?,131517對(duì)點(diǎn)演練4】根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，在最后一個(gè)空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字．【總結(jié)升華】此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問(wèn)題，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：每行數(shù)字的個(gè)數(shù)等于行數(shù)，而且奇數(shù)行的數(shù)字都是奇數(shù)，偶數(shù)行的數(shù)字都是偶數(shù)．【典型例題5】觀察下列球的排列規(guī)律（其中?是實(shí)心球，O是空心球）：從第1個(gè)球起到第2004個(gè)球止，共有實(shí)心球個(gè).【對(duì)點(diǎn)演練5】白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002個(gè)中有幾個(gè)是黑的？2.如圖，一串有黑有白，其排列有一定規(guī)律的珠子，被盒子遮住一部分，則這串珠子被盒子6，7，8，9，10個(gè)為空心球．【鞏固練習(xí)】一、選擇題為慶祝“六?一”兒童節(jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚(yú)”比賽.如圖所示:按照上面的規(guī)律，擺n個(gè)“金魚(yú)”需用火柴棒的根數(shù)為（）.A.2+6A.2+6nB.8+6nC.4+4nD.8n2?請(qǐng)你觀察表一，尋找規(guī)律.表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，其中a、b、12345???24681012345???246810???3691215???48121620???510152025???????????????c的值分別為（）.1215a表二A.20、29、30B.18、30、2624|25b18c32表四表三C.18、20、26D.18、30、283.從1開(kāi)始得到如下的一列數(shù):1,2,4,8,16,22,24,28,…其中每一個(gè)數(shù)加上自己的個(gè)位數(shù)，成為下一個(gè)數(shù)，上述一列數(shù)中小于100的個(gè)數(shù)為（）21B.21B.22C.23D.994?伸出你的左手，從大拇指開(kāi)始如圖示那樣數(shù)數(shù)：1,2,3,4……數(shù)到2013時(shí)，你數(shù)到的手A.小指B.無(wú)名指C.中指D.食指下列數(shù)據(jù)具有一定的排列規(guī)律：TOC\o"1-5"\h\z第一行1第二行23第三行456第四行78910若整數(shù)2016位于第a行，從左數(shù)第b個(gè)數(shù)，則a+b的值是（）a+11,i|A.63B.126C.2015D.10026-已知整數(shù)ai,a2,aa+11,i|…，依此類(lèi)推，則氣12的值為（

A.—1005—1006—1007—2012A.—1005—1006—1007—2012二、填空題7?古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1,3,6,10,15,21,…叫做三角形數(shù)，其中1是第一個(gè)三角形數(shù)，3是第2個(gè)三角形數(shù)，6是第3個(gè)三角形數(shù)，…依此類(lèi)推，那么第9個(gè)三角形數(shù)■—,2016是第—個(gè)三角形數(shù).有數(shù)組：(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),…，則第100組的三個(gè)數(shù)之和.一個(gè)用數(shù)字1和0組成的2003位數(shù)碼，其排列規(guī)律是：101101110101101110……則這個(gè)數(shù)碼中數(shù)字“0”共有個(gè).觀察下列等式：2=2=1X22+4=6=2X32+4+6=12=3X42+4+6+8=20=4X5TOC\o"1-5"\h\z可以猜想，從2開(kāi)始到第n(n為自然數(shù))個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是；當(dāng)n=10時(shí)，從2開(kāi)始到第10個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是.13+23=9=(1+2)2；13+23+33=36二(1+2+3)2；13+23+33+43二(1+2+3+4)2,…，則13+23+33+43+^+993+1003=.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽的頒獎(jiǎng)會(huì)上，10位獲獎(jiǎng)?wù)呙课欢枷嗷ノ帐肿ＹR，則他們共握了次手.如果有n位獲獎(jiǎng)?wù)撸瑒t他們共握了次手.三、解答題(2015?廣東模擬)觀察下列等式：第一個(gè)等式，=「事

第二個(gè)等式:第三個(gè)等式:第四個(gè)等式:4112X3X第二個(gè)等式:第三個(gè)等式:第四個(gè)等式:4112X3X232X223X2a，5113X4X243X234X2r6114X5X254X245X盧a4=a2=a二按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題：TOC\o"1-5"\h\z用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：a==z;n式子a+a+a+???+a=-.12320觀察下面的圖形(每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為1)和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律111=—X1+—111+111=—X1+—111+2=x22+x22222111+2+3=x32+x322111+2+3+4=x42+x422⑴寫(xiě)出第五個(gè)等式，并在左邊畫(huà)出與之對(duì)應(yīng)的圖示；⑵猜想并寫(xiě)出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式用棋子擺出下列一組圖形:1)填寫(xiě)下表:圖形編號(hào)①②③④⑤⑥圖形中的棋子（2）照這樣的方式擺下去，寫(xiě)出擺第n個(gè)圖形棋子的枚數(shù)；（3）如果某一圖形共有99枚棋子，你知道它是第幾個(gè)圖形嗎？【答案與解析】一、選擇題【答案】A；【答案】D;【解析】觀察表一，尋找規(guī)律:每個(gè)數(shù)可以看成它所在的行數(shù)與列數(shù)的乘積，由表一得12=4X3,15=5X3,a=6X3=18；由表二得：20=4X5,24=4X6,25=5X5,b=5X6=30；由表三得：18=6X3,32=8X4,c=7X4=28.【答案】A.【解析】由題意知：1,2,4,8,16,22,24,28,…由此可知，每4個(gè)數(shù)一組，后面依次為36,42,44,48,56,62,64,68,76,82,84,88,96,故小于100的個(gè)數(shù)為：21個(gè).【答案】A；【解析】從大拇指到小指再到食指的過(guò)程堪稱(chēng)一個(gè)循環(huán),一個(gè)循環(huán)就是8,*.*2013^8=251^5，余數(shù)是5,所以是從大拇指開(kāi)始第五個(gè)，就是小指.【答案】B；【解析】解：設(shè)第n行中最大的數(shù)為a（n為正整數(shù)），n觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,…，???叮1+2+…+n=.令a“W2016，即口第°W2016,解得：-64WnW63..??1WnW63,即整數(shù)2016為63行的最后一個(gè)數(shù).?a+b=63+63=126.【答案】B；

【解析】解：a^O,a=－|a＋1|=－|0+1|=－1，21a=－|a＋2|=－|－1＋2|=－132a4=－|a3＋3|=－|－1＋3|=－2a=－|a＋4|=－|－2＋4|=－254所以，n是奇數(shù)時(shí),a=nn所以，n是奇數(shù)時(shí),a=nnn是偶數(shù)時(shí)，叮-二，a2O1220122=-1006.二、填空題【答案】45，63．【解析】第9個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,l+2+3+4+???+n=2016,n(n+1)=4032，解得:n=63.故答案為:45,63.【答案】1010100；【解析】觀察可得：第一個(gè)數(shù)表示序列號(hào),第二數(shù)是序列號(hào)的平方,第三個(gè)數(shù)是序列號(hào)的立方,所以第100組數(shù)是(100,1002,1003).9．【答案】668；【解析】2003一9=222..5，“0”的個(gè)數(shù)：3x222+2=668.【答案】(1)n(n+1)；(2)110.【答案】50502；【解析】從給出的三個(gè)條件式子中不難發(fā)現(xiàn)各式的特點(diǎn)：從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的立方和，等于這幾個(gè)數(shù)的和的平方.不難找到第N個(gè)式子為：13+23+33+??+N3=(1+2+3+??+N)2.因此，13+23+33+43+……+993+1003=(1+2+3+4+……+99+100)2=50502.12.答案】45，12.答案】45，n(n-1)""2【答案】226.【解析】解：根據(jù)題意得出規(guī)律：14+a=15X16,解得：a=226；故答案為：226．三、解答題