測(cè)量誤差理論及其應(yīng)用課件

第二章測(cè)量誤差理論及其應(yīng)用測(cè)量學(xué)課件2.1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性2.2精度指標(biāo)及應(yīng)用2.3誤差傳播律及應(yīng)用2.4權(quán)與定權(quán)的常用方法2.5協(xié)因數(shù)傳播律及應(yīng)用2.6由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用第二章測(cè)量誤差理論及其應(yīng)用測(cè)量學(xué)課件2.1偶然誤差的

本章學(xué)習(xí)的目的要求:

掌握偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性；掌握衡量精度的指標(biāo)；掌握常用定權(quán)方法；掌握誤差傳播律及協(xié)因數(shù)傳播律。

重點(diǎn)、難點(diǎn):

偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性；衡量精度的指標(biāo)以及精度和準(zhǔn)確度的聯(lián)系與區(qū)別；誤差傳播律以及協(xié)因數(shù)傳播律的應(yīng)用；定權(quán)方法。本章學(xué)習(xí)的目的要求:重點(diǎn)、難點(diǎn):2.1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性幾個(gè)概念：真值：任一觀測(cè)量，客觀上總是存在一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，這一數(shù)值就稱為該觀測(cè)值真值，用表示。真誤差：真值與觀測(cè)值之差（偶然誤差），即：真誤差（?）=觀測(cè)值（）-真值（）測(cè)量平差研究對(duì)象是偶然誤差,為此,有必要對(duì)偶然誤差的性質(zhì)作進(jìn)一步的分析研究。2.1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性幾個(gè)概念：測(cè)量平差研究對(duì)象是偶然誤真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如：1）三角形內(nèi)角和等于180度；2）閉合水準(zhǔn)路線高差閉合差等于零；3）往返測(cè)量一段距離，其差數(shù)的真值等于零。真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，當(dāng)觀測(cè)值只含有偶然誤差時(shí)，其數(shù)學(xué)期望就等于真值（），即：

真誤差（?）=觀測(cè)值（）-數(shù)學(xué)期望（）殘差（改正數(shù)）：

改正數(shù)（V）=觀測(cè)值（）-平差值（）大量實(shí)踐證明：大量偶然誤差的分布呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。大量實(shí)踐證明：大量偶然誤差的分布呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。三角形閉合差例子

在相同觀測(cè)條件下，獨(dú)立觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的真誤差i由下式計(jì)算：

以誤差區(qū)間d=0.2秒將真誤差i按其絕對(duì)值進(jìn)行排列。統(tǒng)計(jì)出誤差落入各個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)，計(jì)算出其頻率WWWWWWWWWWWWWW三角形閉合差例子在相同觀測(cè)條件下，獨(dú)立觀測(cè)了358個(gè)三角表1-2-1偶然誤差分布表誤差區(qū)間0.00～0.200.20～0.400.40～0.600.60～0.800.80～1.001.00～1.201.20～1.401.40～1.601.60以上∑

△為負(fù)值個(gè)數(shù)頻率

0.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.011001810.505△為正值個(gè)數(shù)頻率460.128410.115330.092210.059160.045130.03650.01420.006001770.495

誤差絕對(duì)值個(gè)數(shù)頻率910.254810.226660.184440.123330.092260.072110.03160.017003581.000表1-2-1偶然誤差分布表表1-2-1偶然誤差分布表誤差區(qū)間△為負(fù)值從表中看出：絕對(duì)值最大不超過某一限值（1.6秒）；絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)多；絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)個(gè)數(shù)大致相等。大量的測(cè)量實(shí)踐證明，在其它測(cè)量結(jié)果中，也都顯示出上述同樣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從表中看出：絕對(duì)值最大不超過某一限值（1.6秒）；大量的測(cè)量誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表達(dá)，還可用直方圖來表達(dá)。一定的觀測(cè)條件對(duì)應(yīng)著一種確定的誤差分布。誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表達(dá)，還可用直方圖來表達(dá)。一當(dāng)誤差個(gè)數(shù)無限增大時(shí)，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的曲線：該圖同樣可以說明觀測(cè)誤差特性，稱為“誤差分布曲線”。當(dāng)誤差個(gè)數(shù)無限增大時(shí)，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的可以證明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數(shù)為：

σ

—標(biāo)準(zhǔn)差，在測(cè)量上稱為中誤差。當(dāng)σ不同時(shí)，曲線位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化。可以證明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數(shù)為

用概率的術(shù)語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測(cè)條件下，誤差絕對(duì)值有一定限值（有限性）；2、絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)概率大（漸降性）；3、絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)概率相同（對(duì)稱性）；4、偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零（抵償性）；用概率的術(shù)語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測(cè)條件下，誤以上分析可知：1）觀測(cè)誤差呈現(xiàn)偶然性；2）偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律；（均值為零的正態(tài)隨機(jī)分變量）

測(cè)量平差任務(wù)之一：評(píng)定測(cè)量成果精度。以上分析可知：測(cè)量平差任務(wù)之一：評(píng)定測(cè)量成果精度。

當(dāng)觀測(cè)值中僅含有偶然誤差時(shí)，由統(tǒng)計(jì)學(xué)知：

若觀測(cè)誤差中系統(tǒng)誤差，即當(dāng)觀測(cè)值中僅含有偶然誤差時(shí)，由統(tǒng)計(jì)學(xué)知：若觀測(cè)誤差中系統(tǒng)2.2精度指標(biāo)

觀測(cè)條件與觀測(cè)精度1、觀測(cè)條件：指測(cè)量過程中的觀測(cè)者、儀器、外界條件的綜合。一定的觀測(cè)條件，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布；可見：分布曲線陡峭的說明誤差分布密集，或者離散度小，觀測(cè)精度高些，也就是觀測(cè)條件好；另一條說明誤差分布較為離散或者說它的離散度大，也即觀測(cè)條件差。2.2精度指標(biāo)觀測(cè)條件與觀測(cè)精度可見：2、觀測(cè)精度：

是指一組偶然誤差分布的密集與離散的程度，是觀測(cè)值與其期望值接近的程度，表征觀測(cè)結(jié)果偶然誤差大小的程度。密集離散在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一組觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)或同精度觀測(cè)。2、觀測(cè)精度：密集離散在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一

精度與準(zhǔn)確度、精確度精度：就是指在一定觀測(cè)條件下，一組觀測(cè)值密集或離散的程度，即反應(yīng)的是：L與E（L）接近程度。表征觀測(cè)結(jié)果的偶然誤差大小程度。精度是以觀測(cè)值自身的平均值為標(biāo)準(zhǔn)的。精度高。成績：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6成績：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.28109精度與準(zhǔn)確度、精確度精度：就是指在一定觀測(cè)條件下，一組觀測(cè)準(zhǔn)確度：是指觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。表征觀測(cè)結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的程度。若觀測(cè)值數(shù)學(xué)期望與其真值得偏差越大，則準(zhǔn)確度越低。準(zhǔn)確度低。精度高。準(zhǔn)確度：是指觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。準(zhǔn)確度低。精確度：是精度與準(zhǔn)確度的合成。是指觀測(cè)結(jié)果與其真值的接近程度。反映偶然誤差和系統(tǒng)誤差以及粗差聯(lián)合影響大小程度。若觀測(cè)值數(shù)學(xué)期望與其真值得偏差越大，則準(zhǔn)確度越低。精確度衡量指標(biāo)是均方誤差：精度低準(zhǔn)確度低精確度低。精確度：是精度與準(zhǔn)確度的合成。是指觀測(cè)結(jié)果與其真值的接近程度可見：精度高，不一定準(zhǔn)確度也高！

圖(a)表示精度、精確度均高，而準(zhǔn)確度低；圖(b)表示精度高，精確度低，而準(zhǔn)確度低；圖(c)表示精度、精確度均低，因而準(zhǔn)確度低；圖(d)表示精度、精確度均低，但準(zhǔn)確度較高?？梢姡壕雀?，不一定準(zhǔn)確度也高！圖(a)表示精度、精確度當(dāng)系統(tǒng)誤差相對(duì)于偶然誤差小到可以忽略時(shí)，精度=精確度！當(dāng)系統(tǒng)誤差相對(duì)于偶然誤差小到可以忽略時(shí)，1、方差由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，隨機(jī)變量X的方差定義為：觀測(cè)值L和觀測(cè)誤差△均為隨機(jī)變量，因此其方差為當(dāng)觀測(cè)值只含偶然誤差時(shí)，任一觀測(cè)值的方差與觀測(cè)誤差的方差是相同的。2.2.2衡量精度的指標(biāo)1、方差由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，隨機(jī)變量X的方差定義為：觀測(cè)值L和可見：中誤差不是代表個(gè)別誤差大小，而是代表誤差分布的離散度大??；中誤差越小，說明絕對(duì)值較小的誤差越多！由數(shù)學(xué)期望定義，方差（或中誤差）又可表示為：和實(shí)際工作中，由于觀測(cè)個(gè)數(shù)有限的，故可求得方差或中誤差的估值：真誤差用殘差計(jì)算觀測(cè)值的中誤差：P8可見：由數(shù)學(xué)期望定義，方差（或中誤差）又可表示為：和實(shí)際工作例:某距離等精度丈量6次，結(jié)果如下，試求該距離的最或是值及觀測(cè)值中誤差。L1=546.535mL2=546.548mL3=546.520mL4=546.546mL5=546.550mL6=546.537m解：該距離的最或是值例:某距離等精度丈量6次，結(jié)果如下，試求該距離的最或是值及觀定義：在一定的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望，稱為平均誤差，并以θ表示，即平均誤差和中誤差的理論關(guān)系式可見，不同大小的平均誤差，對(duì)應(yīng)著不同的中誤差，也就對(duì)應(yīng)著不同的誤差分布。即說明也可應(yīng)用平均誤差作為衡量精度的指標(biāo)。2、平均誤差定義：在一定的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望3、或然誤差定義：在一組等精度測(cè)量中，若某一偶然誤差具有這樣的特性：絕對(duì)值比它大的誤差個(gè)數(shù)與絕對(duì)值比它小的誤差個(gè)數(shù)相同，這個(gè)誤差即稱為或然誤差。也就是說全部誤差按絕對(duì)值大小順序排列，中間的那個(gè)誤差就是或然誤差。觀測(cè)誤差落入正、負(fù)或然誤差之間的概率恰好等于1/2，即誤差的概率分布曲線：或然誤差3、或然誤差定義：在一組等精度測(cè)量中，若某一偶然誤差具有這樣3、或然誤差或然誤差與中誤差的關(guān)系：實(shí)際或然誤差得到方法：1）將相同條件下得到一組誤差，排列，取中間或中間兩個(gè)的平均數(shù)；2）先求中誤差，然后用上述公式求得。3、或然誤差或然誤差與中誤差的關(guān)系：實(shí)際或然誤差得到方法：例：設(shè)有一列等精度觀測(cè)真誤差，按絕對(duì)值遞增順序排列于下表。試計(jì)算其中誤差、平均誤差以及或然誤差。序號(hào)123456789真誤差（秒）-0.1+0.4+1.2+1.2+1.8+1.9+2.6-4.7-5.1序號(hào)101112131415161718真誤差（秒）+5.6-7.2+8.9+9.6-9.7+9.8+9.9-10.0-10.3解：例：設(shè)有一列等精度觀測(cè)真誤差，按絕對(duì)值遞增順序排列于下表。試不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差作為精度指標(biāo)。中誤差、平均誤差以及或然誤差都可以作為衡量精度的指標(biāo)；但當(dāng)n不大時(shí)，中誤差比平均誤差能更靈敏地反映大的真誤差的影響；或然誤差又可由中誤差求得；計(jì)算時(shí)，精度指標(biāo)通常取2-3個(gè)有效數(shù)字，數(shù)值后面要寫上對(duì)應(yīng)單位！不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差作為精度指標(biāo)4、極限誤差觀測(cè)成果中不能含有粗差，那么如何來判斷誤差中的粗差呢？引入極限誤差，也即最大誤差。由偶然誤差的特性可知，在一定的條件下，偶然誤差不會(huì)超過一個(gè)界值，這個(gè)界值就是極限誤差。確定極限誤差依據(jù)：概率理論和大量實(shí)踐統(tǒng)計(jì)證明，大量同精度觀測(cè)的一組誤差中誤差落在各區(qū)間的概率為則定義為：通常將三倍（或兩倍）的中誤差作為極限誤差，即4、極限誤差觀測(cè)成果中不能含有粗差，那么如何來判斷誤差中的粗5、相對(duì)誤差定義：中誤差與觀測(cè)值之比，即相對(duì)誤差是一個(gè)無名數(shù)，為方便計(jì)，通常將分子化為1，即1/T的形式。相對(duì)誤差是用來衡量長度精度的一種指標(biāo)。相對(duì)誤差又分為相對(duì)中誤差，相對(duì)真誤差，相對(duì)極限誤差。5、相對(duì)誤差相對(duì)誤差是一個(gè)無名數(shù)，為方便計(jì)，通常將分子化為1例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，問兩者的精度是否相同？解：根據(jù)相對(duì)中誤差定義，得前者的相對(duì)中誤差為：

0.02／200＝1／10000后者相對(duì)中誤差則為：

0.02／40＝l／2000故前者的量距精度高于后者。思考：1）對(duì)于相同中誤差但角值大小不等的情況，其精度又怎樣？2）導(dǎo)線測(cè)量中規(guī)范規(guī)定的相對(duì)閉合差不超過1/2000，指的是何種誤差？例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±衡量精度指標(biāo)中誤差平均誤差或然誤差極限誤差相對(duì)誤差絕對(duì)誤差為了工作方便，需要引入一個(gè)新的指標(biāo)-------權(quán)。相對(duì)指標(biāo)衡量精度指標(biāo)中誤差平均誤差或然誤差極限誤差相對(duì)誤差絕對(duì)誤差為1、協(xié)方差陣

設(shè)有n個(gè)觀測(cè)量，描述其精度的方差陣DXX的定義為2.3方差陣、誤差傳播律1、協(xié)方差陣2.3方差陣、誤差傳播律可以得到：可以得到：不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個(gè)特點(diǎn)：對(duì)稱方陣；

DXX中的主對(duì)角線上的各元素σxi2

為Xi

的方差；非主對(duì)角線中的元素σxixj為Xi關(guān)于Xj的協(xié)方差，是描述Xi

與Xj

之間相關(guān)性的量；協(xié)方差估值計(jì)算公式：方差陣DXX也稱方差—協(xié)方差陣，簡稱為方差陣或協(xié)方差陣；DXX是描述觀測(cè)向量的精度指標(biāo)。它不僅給出了各觀測(cè)值的方差，而且還給出了其中兩兩觀測(cè)值之間的協(xié)方差即相關(guān)程度。不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個(gè)特點(diǎn)：

當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)觀測(cè)量互不相關(guān)。如任意兩個(gè)觀測(cè)量均為互不相關(guān)時(shí)，此時(shí)方差陣Dx即變?yōu)閷?duì)角陣:

當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)觀測(cè)量在實(shí)際工作中，往往有些值不是直接測(cè)定的，而是由觀測(cè)值通過一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算的，即觀測(cè)值函數(shù)。那么如何確定函數(shù)的精度呢？？中誤差應(yīng)用協(xié)方差傳播律（或誤差傳播律)中誤差2.3誤差傳播定律及應(yīng)用在實(shí)際工作中，往往有些值不是直接測(cè)定的，而是由觀測(cè)值通過一定所謂協(xié)方差傳播律：

描述由觀測(cè)值的方差來推求觀測(cè)值函數(shù)的方差關(guān)系的公式，稱為“協(xié)方差傳播律”。

所謂協(xié)方差傳播律：從測(cè)量工作的現(xiàn)狀可以看出:

觀測(cè)值函數(shù)與觀測(cè)值之間的關(guān)系可分為以下兩種情況：1）線性函數(shù)（如觀測(cè)高差與高程的關(guān)系）；如2）非線性函數(shù)（觀測(cè)角度、邊長與待定點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系）。故，分別從線性函數(shù)、非線性函數(shù)研究協(xié)方差傳播律。H2=HA+h1+h2從測(cè)量工作的現(xiàn)狀可以看出:故，分別從線性函數(shù)、非線性函數(shù)研究設(shè)有觀測(cè)值,數(shù)學(xué)期望為,協(xié)方差陣為，又設(shè)有X線性函數(shù)為:

求Z的方差DZZ2.3.1線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律或：K為已知系數(shù)陣，K0為方程常數(shù)向量。（2-18）P102.3.1線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律或：K為已知系數(shù)陣，K0為為求K的方差，我們需從方差的定義入手。根據(jù)方差的定義,Y的方差為：由數(shù)學(xué)期望運(yùn)算可得：將Z的函數(shù)式以及數(shù)學(xué)期望E（Z）代入得：（2-22）P11為求K的方差，我們需從方差的定義入手。（2-22）P11方差的純量形式為：可見：若DXX為對(duì)角陣時(shí)，協(xié)方差傳播律即為“誤差傳播律”。（2-20）P11（2-19）P11觀測(cè)值不相關(guān)方差的純量形式為：可見：若DXX為對(duì)角陣時(shí)，協(xié)方差傳播律即為由上推導(dǎo)可得出以下結(jié)論：若有函數(shù):純量形式：則函數(shù)的方差為:以上就是已知觀測(cè)量的方差,求其函數(shù)方差的公式。也稱為“協(xié)方差傳播律”。（2-22）P11由上推導(dǎo)可得出以下結(jié)論：以上就是已知觀測(cè)量的方差,求其函數(shù)方舉三個(gè)例子例:用鋼尺分五段測(cè)量某距離，得到各段距離及相應(yīng)的中誤差如下，該求該距離S的中誤差及相對(duì)中誤差。

S1=50.350m±1.5mmS2=150.555m±2.5mmS3=100.650m±2.0mmS4=100.450m±2.0mmS5=50.455m±1.5mm解：

S=S1+S2+S3+S4+S5=452.460m按線性函數(shù)誤差傳播律，得S的中誤差為：其相對(duì)中誤差為：

觀測(cè)值不相關(guān)舉三個(gè)例子例:用鋼尺分五段測(cè)量某距離，得到各段距離及相應(yīng)的例、設(shè)有觀測(cè)值向量的方差陣為：（1）試寫出各觀測(cè)值的方差以及兩兩協(xié)方差；（2）若有函數(shù)，則該函數(shù)F的方差又如何？解：觀測(cè)值相關(guān)觀測(cè)值相關(guān)例：已知向量，且若有函數(shù)：試求各函數(shù)的方差。解：觀測(cè)值不相關(guān)觀測(cè)值不相關(guān)測(cè)量誤差理論及其應(yīng)用課件2.3.2線性函數(shù)誤差傳播率在測(cè)量工作中的應(yīng)用

水準(zhǔn)測(cè)量的精度hABAB大地水準(zhǔn)面HBＨA上兩式是水準(zhǔn)測(cè)量計(jì)算高差中誤差的基本公式。2.3.2線性函數(shù)誤差傳播率在測(cè)量工作中的應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量的

導(dǎo)線邊方位角的精度

同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算術(shù)平均值精度導(dǎo)線邊方位角的精度同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算術(shù)平均值精度2.3.3多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測(cè)值，它們的期望、方差為若有X的r個(gè)線性函數(shù)為:求函數(shù)的方差以及它們之間的協(xié)方差？（2-33）P132.3.3多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測(cè)值令:則X的t個(gè)線性函數(shù)式可寫為:同樣,根據(jù)協(xié)方差陣的定義可得Z的協(xié)方差陣為:（2-34）P13（2-35）P13令:（2-34）P13（2-35）P13例1：已知向量，且：若有函數(shù)：并記，試求、。例1：已知向量，且：解：對(duì)于函數(shù)式利用協(xié)方差傳播律解：對(duì)于對(duì)于函數(shù)式利用協(xié)方差傳播律本題關(guān)健是:將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為“同一”變量的形式!對(duì)于本題關(guān)健是:將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為“同一”變量的形式!例2：設(shè)有觀測(cè)值向量,其協(xié)方差陣為設(shè)函數(shù)并記,試求解：例2：設(shè)有觀測(cè)值向量,其協(xié)方差陣為并從以上兩個(gè)例子可以看出單個(gè)線性函數(shù)的協(xié)方差和多個(gè)線性函數(shù)的協(xié)方差陣在形式上完全相同,且推導(dǎo)過程也相同;所不同的是：前者是一個(gè)函數(shù)值的方差（1行1列）;而后者是t個(gè)函數(shù)值的協(xié)方差陣（r行r列）。即：前者是后者的特殊情況。從以上兩個(gè)例子可以看出前者是一個(gè)函數(shù)值的方差（1行1列）;2.3.4非線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測(cè)值的非線性函數(shù)為：

且已知X的協(xié)方差陣求Y的方差陣DZZ。

解決這類問題的關(guān)鍵是必需先將非線性函數(shù)線性化,得到和前面已推導(dǎo)出的公式“一致”的形式!2.3.4非線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測(cè)值將非線性函數(shù)進(jìn)行全微分為：按照線性函數(shù)進(jìn)行協(xié)方差傳播：（2-37）P14等價(jià)將非線性函數(shù)進(jìn)行全微分為：（2-37）P14等價(jià)例1：已知長方形的廠房，經(jīng)過測(cè)量，其長度x的觀測(cè)值為90m，其寬度y的觀測(cè)值為50m，它們的中誤差分別為2mm、3mm，求其面積及相應(yīng)的中誤差。解：面積S=xy=90*50=4500（m2）對(duì)S進(jìn)行全微分：應(yīng)用協(xié)方差傳播定律：例1：已知長方形的廠房，經(jīng)過測(cè)量，其長度x的觀測(cè)值為90m，例2：設(shè)有觀測(cè)值向量,其協(xié)方差陣為設(shè)函數(shù),試求解：對(duì)函數(shù)Z進(jìn)行全微分：應(yīng)用協(xié)方差傳播定律：例2：設(shè)有觀測(cè)值向量,其協(xié)方差陣為解1）按要求寫出函數(shù)式；2）若是非線性函數(shù)式，則先對(duì)函數(shù)式兩邊求全微分；3）將函數(shù)式（或微分關(guān)系式）寫成矩陣形式（有時(shí)要顧及單位的統(tǒng)一）；4）應(yīng)用協(xié)方差傳播律公式求方差或協(xié)方差陣。歸納應(yīng)用協(xié)方差傳播律的計(jì)算步驟：1）按要求寫出函數(shù)式；歸納應(yīng)用協(xié)方差傳播律的計(jì)算步驟：1、權(quán)

在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，不僅需要用中誤差表示觀測(cè)量的絕對(duì)精度的高低，還需引入一個(gè)表示觀測(cè)值之間精度相對(duì)高低的指標(biāo)，即權(quán)。定義：設(shè)有觀測(cè)值Li（i=1，2…，n）的方差為，如選任一常數(shù)，則定義：

并稱Pi為觀測(cè)值Li的權(quán)。2.4權(quán)與定權(quán)（2-40）P161、權(quán)

在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，不僅需要用中誤差表示觀測(cè)量的

如右圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是各路線的觀測(cè)高差，S1=1.0km，S2=2.0km，S3=2.5km，S4=4.0km，S5=8.0km，S6=10.0km是各水準(zhǔn)路線長度。定權(quán)：設(shè)每千米觀測(cè)值高差的方差為，根據(jù)而，則如右圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是令，則令，則相等×10令，則令不難看出權(quán)與方差成反比；權(quán)是表征觀測(cè)值之間的相對(duì)精度指標(biāo)（權(quán)是不唯一的，單個(gè)權(quán)沒意義的）；選定不同的，權(quán)之間的比例關(guān)系依就不變；對(duì)同一問題中，為使權(quán)能起到比較精度高低的作用，C應(yīng)取同一定值（否則就破壞了權(quán)間的比例關(guān)系）。不難看出權(quán)與方差成反比；“單位權(quán)”的定義：等于1的權(quán)為單位權(quán)。對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值為單位權(quán)觀測(cè)值。對(duì)應(yīng)觀測(cè)值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差?？梢姡簷?quán)定義中，C稱為單位權(quán)方差,記為σ02。幾個(gè)概念：“單位權(quán)”的定義：等于1的權(quán)為單位權(quán)。可見：幾個(gè)概念：例：在相同觀測(cè)條件下，應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量測(cè)定了三角點(diǎn)A、B、C之間的高差，設(shè)該三角形邊長分別為S1=10km，S2=8km，S3=4km，令40km的高差觀測(cè)值為單位權(quán)觀測(cè)，試求各段觀測(cè)高差之權(quán)及單位權(quán)中誤差。解：假設(shè)每千米觀測(cè)值高差的方差為，則例：在相同觀測(cè)條件下，應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量測(cè)定了三角點(diǎn)A、B、C之間1.水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)公式的應(yīng)用前提：

（1）當(dāng)各測(cè)站的觀測(cè)高差為同精度時(shí)；（2）當(dāng)每公里觀測(cè)高差為同精度時(shí)。或2.4.3測(cè)量中常用定權(quán)的方法測(cè)站數(shù)在起伏不大的地區(qū)，每千米的測(cè)站數(shù)大致相同，則可按水準(zhǔn)路線的距離定權(quán)；而在起伏較大的地區(qū)，每千米的測(cè)站數(shù)相差較大，則按測(cè)站數(shù)定權(quán)。1.水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)公式的應(yīng)用前提：或2.4.3測(cè)量中常用定例：如圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)，各水準(zhǔn)路線長度分別為（設(shè)每公里觀測(cè)高差中誤差相等）：

S1=2.0(km)S2=2.0(km)S3=3.0(km)S4=3.0(km)S5=4.0(km)S6=4.0(km)

試確定各路線觀測(cè)高差的權(quán)。ADCBh1h6h5h2h4h3解：設(shè)取4KM的觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)(C=4KM)，則由水準(zhǔn)測(cè)量常用定權(quán)公式得：

P1=2，P2=2，P3=1.3，P4=1.3，P5=1，P6=1例：如圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)，各水準(zhǔn)路線長度分別為（設(shè)每公里觀測(cè)高差例：在邊角網(wǎng)中，已知測(cè)角中誤差為1.0′，測(cè)邊的中誤差為2.0厘米，試確定它們的權(quán)。解：設(shè)σ0=σβ=1.0′

則由權(quán)定義得：

說明了權(quán)有時(shí)是有量綱的。例：在邊角網(wǎng)中，已知測(cè)角中誤差為1.0′，測(cè)邊的中誤差為2.1、觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)定義：協(xié)因數(shù)就是權(quán)倒數(shù)，用Qii表示。即：表明：

任一觀測(cè)值的方差總是等于單位權(quán)方差與該觀測(cè)值協(xié)因數(shù)（權(quán)倒數(shù)）的乘積?；颍?.5協(xié)因數(shù)傳播律1、觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)表明：或：2.5協(xié)因數(shù)傳播律2、協(xié)因數(shù)陣互協(xié)因數(shù)（相關(guān)權(quán)倒數(shù)）對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量之間的互協(xié)因數(shù)，可表示為：協(xié)因數(shù)陣QXX

將隨機(jī)向量X的方差陣DXX，乘以一個(gè)純量因子1/σ02，則得協(xié)因數(shù)陣QXX，即：2、協(xié)因數(shù)陣?yán)阂阎^測(cè)值向量的協(xié)方差陣為單位權(quán)方差，協(xié)因數(shù)

QLL。解：例：已知觀測(cè)值向量的協(xié)方差陣為解：3、權(quán)陣定義：協(xié)因數(shù)陣的逆陣為權(quán)陣。即

如何根據(jù)協(xié)因數(shù)陣來確定觀測(cè)量的權(quán)呢？3、權(quán)陣如何根據(jù)協(xié)因數(shù)陣來確定觀測(cè)量的權(quán)呢？解：由權(quán)陣定義得又由得觀測(cè)值的權(quán)為：可見：1）當(dāng)QLL或PLL為非對(duì)角陣時(shí)，觀測(cè)值的權(quán)與權(quán)陣中的兩個(gè)主對(duì)角線元素并不一定相等,不可從權(quán)陣中求權(quán)，而由協(xié)因數(shù)陣來計(jì)算權(quán)。例：已知觀測(cè)向量L的協(xié)因數(shù)陣為：試求觀測(cè)向量L的權(quán)陣P及觀測(cè)值L1、L2的權(quán)。解：由權(quán)陣定義得可見：例：已知觀測(cè)向量L的協(xié)因數(shù)陣為：可見：當(dāng)QLL是對(duì)角陣時(shí)，其PLL也為對(duì)角陣，則權(quán)陣中主對(duì)角線上元素才是對(duì)應(yīng)觀測(cè)向量的權(quán)；例：已知觀測(cè)向量L的權(quán)陣為：試求觀測(cè)值L1、L2、L3的權(quán)。解：可見：例：已知觀測(cè)向量L的權(quán)陣為：解：例：已知觀測(cè)向量L的權(quán)陣為：求觀測(cè)值L1、L2的權(quán)。解：例：已知觀測(cè)向量L的權(quán)陣為：解：2.5.3協(xié)因數(shù)傳播律已知觀測(cè)向量的協(xié)因數(shù)陣QXX,,且有函數(shù)式：求其函數(shù)的協(xié)因數(shù)陣以及互協(xié)因數(shù)陣，即對(duì)于函數(shù)精度，還可以用協(xié)因數(shù)來表示。當(dāng)已知隨機(jī)向量的協(xié)因數(shù)陣時(shí)，求函數(shù)的協(xié)因數(shù)陣，稱之為“協(xié)因數(shù)傳播律”。2.5.3協(xié)因數(shù)傳播律已知觀測(cè)向量的協(xié)因數(shù)陣QXX,,且有下面由協(xié)方差傳播律來導(dǎo)出協(xié)因數(shù)傳播律稱“協(xié)因數(shù)傳播律”或“權(quán)逆陣傳播律”。下面由協(xié)方差傳播律來導(dǎo)出協(xié)因數(shù)傳播律稱“協(xié)因數(shù)傳播律”或“權(quán)將以上協(xié)方差傳播律、協(xié)因數(shù)傳播律合稱為“廣義傳播律”。歸納協(xié)方差傳播律和協(xié)因數(shù)傳播律得：將以上協(xié)方差傳播律、協(xié)因數(shù)傳播律合稱為“廣義傳播律”。歸納協(xié)例：已知觀測(cè)值向量的協(xié)方差陣為單位權(quán)方差，現(xiàn)有函數(shù)，試求：（1）函數(shù)F的方差DF和協(xié)因數(shù)

QF。解：例：已知觀測(cè)值向量的協(xié)方差陣為解：例：已知觀測(cè)值向量的協(xié)方差陣為單位權(quán)方差，現(xiàn)有函數(shù)，試求：（1）函數(shù)F的方差DF和協(xié)因數(shù)

QF。解：例：已知觀測(cè)值向量的協(xié)方差陣為解：權(quán)陣、協(xié)因數(shù)陣、方差陣之間的聯(lián)系例：設(shè)有觀測(cè)值向量的權(quán)陣為解：由權(quán)陣、協(xié)因數(shù)陣、方差陣之間的聯(lián)系例：設(shè)有觀測(cè)值向量例：已知觀測(cè)值向量的協(xié)方差陣為例：已知觀測(cè)值向量的協(xié)方差陣為

由三角形閉合差求測(cè)角中誤差

由雙觀測(cè)值之差求中誤差2.6由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用由三角形閉合差求測(cè)角中誤差由雙觀測(cè)值之差求中誤差2.6本章內(nèi)容小節(jié)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性有限性、漸降性、對(duì)稱性、抵償性精度、準(zhǔn)確度、精確度衡量精度的指標(biāo)

中誤差、平均誤差、或然誤差、極限誤差、相對(duì)誤差

本章內(nèi)容小節(jié)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性本章內(nèi)容小節(jié)方差、單位權(quán)方差、權(quán)、協(xié)因數(shù)方差陣、協(xié)因數(shù)陣、權(quán)陣協(xié)方差傳播定律、協(xié)因數(shù)傳播定律

本章內(nèi)容小節(jié)方差、單位權(quán)方差、權(quán)、協(xié)因數(shù)

第二章測(cè)量誤差理論及其應(yīng)用測(cè)量學(xué)課件2.1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性2.2精度指標(biāo)及應(yīng)用2.3誤差傳播律及應(yīng)用2.4權(quán)與定權(quán)的常用方法2.5協(xié)因數(shù)傳播律及應(yīng)用2.6由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用第二章測(cè)量誤差理論及其應(yīng)用測(cè)量學(xué)課件2.1偶然誤差的

本章學(xué)習(xí)的目的要求:

掌握偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性；掌握衡量精度的指標(biāo)；掌握常用定權(quán)方法；掌握誤差傳播律及協(xié)因數(shù)傳播律。

重點(diǎn)、難點(diǎn):

偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性；衡量精度的指標(biāo)以及精度和準(zhǔn)確度的聯(lián)系與區(qū)別；誤差傳播律以及協(xié)因數(shù)傳播律的應(yīng)用；定權(quán)方法。本章學(xué)習(xí)的目的要求:重點(diǎn)、難點(diǎn):2.1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性幾個(gè)概念：真值：任一觀測(cè)量，客觀上總是存在一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，這一數(shù)值就稱為該觀測(cè)值真值，用表示。真誤差：真值與觀測(cè)值之差（偶然誤差），即：真誤差（?）=觀測(cè)值（）-真值（）測(cè)量平差研究對(duì)象是偶然誤差,為此,有必要對(duì)偶然誤差的性質(zhì)作進(jìn)一步的分析研究。2.1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性幾個(gè)概念：測(cè)量平差研究對(duì)象是偶然誤真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如：1）三角形內(nèi)角和等于180度；2）閉合水準(zhǔn)路線高差閉合差等于零；3）往返測(cè)量一段距離，其差數(shù)的真值等于零。真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，當(dāng)觀測(cè)值只含有偶然誤差時(shí)，其數(shù)學(xué)期望就等于真值（），即：

真誤差（?）=觀測(cè)值（）-數(shù)學(xué)期望（）殘差（改正數(shù)）：

改正數(shù)（V）=觀測(cè)值（）-平差值（）大量實(shí)踐證明：大量偶然誤差的分布呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。大量實(shí)踐證明：大量偶然誤差的分布呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。三角形閉合差例子

在相同觀測(cè)條件下，獨(dú)立觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的真誤差i由下式計(jì)算：

以誤差區(qū)間d=0.2秒將真誤差i按其絕對(duì)值進(jìn)行排列。統(tǒng)計(jì)出誤差落入各個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)，計(jì)算出其頻率WWWWWWWWWWWWWW三角形閉合差例子在相同觀測(cè)條件下，獨(dú)立觀測(cè)了358個(gè)三角表1-2-1偶然誤差分布表誤差區(qū)間0.00～0.200.20～0.400.40～0.600.60～0.800.80～1.001.00～1.201.20～1.401.40～1.601.60以上∑

△為負(fù)值個(gè)數(shù)頻率

0.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.011001810.505△為正值個(gè)數(shù)頻率460.128410.115330.092210.059160.045130.03650.01420.006001770.495

誤差絕對(duì)值個(gè)數(shù)頻率910.254810.226660.184440.123330.092260.072110.03160.017003581.000表1-2-1偶然誤差分布表表1-2-1偶然誤差分布表誤差區(qū)間△為負(fù)值從表中看出：絕對(duì)值最大不超過某一限值（1.6秒）；絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)多；絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)個(gè)數(shù)大致相等。大量的測(cè)量實(shí)踐證明，在其它測(cè)量結(jié)果中，也都顯示出上述同樣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從表中看出：絕對(duì)值最大不超過某一限值（1.6秒）；大量的測(cè)量誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表達(dá)，還可用直方圖來表達(dá)。一定的觀測(cè)條件對(duì)應(yīng)著一種確定的誤差分布。誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表達(dá)，還可用直方圖來表達(dá)。一當(dāng)誤差個(gè)數(shù)無限增大時(shí)，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的曲線：該圖同樣可以說明觀測(cè)誤差特性，稱為“誤差分布曲線”。當(dāng)誤差個(gè)數(shù)無限增大時(shí)，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的可以證明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數(shù)為：

σ

—標(biāo)準(zhǔn)差，在測(cè)量上稱為中誤差。當(dāng)σ不同時(shí)，曲線位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化?？梢宰C明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數(shù)為

用概率的術(shù)語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測(cè)條件下，誤差絕對(duì)值有一定限值（有限性）；2、絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)概率大（漸降性）；3、絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)概率相同（對(duì)稱性）；4、偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零（抵償性）；用概率的術(shù)語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測(cè)條件下，誤以上分析可知：1）觀測(cè)誤差呈現(xiàn)偶然性；2）偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律；（均值為零的正態(tài)隨機(jī)分變量）

測(cè)量平差任務(wù)之一：評(píng)定測(cè)量成果精度。以上分析可知：測(cè)量平差任務(wù)之一：評(píng)定測(cè)量成果精度。

當(dāng)觀測(cè)值中僅含有偶然誤差時(shí)，由統(tǒng)計(jì)學(xué)知：

若觀測(cè)誤差中系統(tǒng)誤差，即當(dāng)觀測(cè)值中僅含有偶然誤差時(shí)，由統(tǒng)計(jì)學(xué)知：若觀測(cè)誤差中系統(tǒng)2.2精度指標(biāo)

觀測(cè)條件與觀測(cè)精度1、觀測(cè)條件：指測(cè)量過程中的觀測(cè)者、儀器、外界條件的綜合。一定的觀測(cè)條件，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布；可見：分布曲線陡峭的說明誤差分布密集，或者離散度小，觀測(cè)精度高些，也就是觀測(cè)條件好；另一條說明誤差分布較為離散或者說它的離散度大，也即觀測(cè)條件差。2.2精度指標(biāo)觀測(cè)條件與觀測(cè)精度可見：2、觀測(cè)精度：

是指一組偶然誤差分布的密集與離散的程度，是觀測(cè)值與其期望值接近的程度，表征觀測(cè)結(jié)果偶然誤差大小的程度。密集離散在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一組觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)或同精度觀測(cè)。2、觀測(cè)精度：密集離散在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一

精度與準(zhǔn)確度、精確度精度：就是指在一定觀測(cè)條件下，一組觀測(cè)值密集或離散的程度，即反應(yīng)的是：L與E（L）接近程度。表征觀測(cè)結(jié)果的偶然誤差大小程度。精度是以觀測(cè)值自身的平均值為標(biāo)準(zhǔn)的。精度高。成績：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6成績：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.28109精度與準(zhǔn)確度、精確度精度：就是指在一定觀測(cè)條件下，一組觀測(cè)準(zhǔn)確度：是指觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。表征觀測(cè)結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的程度。若觀測(cè)值數(shù)學(xué)期望與其真值得偏差越大，則準(zhǔn)確度越低。準(zhǔn)確度低。精度高。準(zhǔn)確度：是指觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。準(zhǔn)確度低。精確度：是精度與準(zhǔn)確度的合成。是指觀測(cè)結(jié)果與其真值的接近程度。反映偶然誤差和系統(tǒng)誤差以及粗差聯(lián)合影響大小程度。若觀測(cè)值數(shù)學(xué)期望與其真值得偏差越大，則準(zhǔn)確度越低。精確度衡量指標(biāo)是均方誤差：精度低準(zhǔn)確度低精確度低。精確度：是精度與準(zhǔn)確度的合成。是指觀測(cè)結(jié)果與其真值的接近程度可見：精度高，不一定準(zhǔn)確度也高！

圖(a)表示精度、精確度均高，而準(zhǔn)確度低；圖(b)表示精度高，精確度低，而準(zhǔn)確度低；圖(c)表示精度、精確度均低，因而準(zhǔn)確度低；圖(d)表示精度、精確度均低，但準(zhǔn)確度較高?？梢姡壕雀?，不一定準(zhǔn)確度也高！圖(a)表示精度、精確度當(dāng)系統(tǒng)誤差相對(duì)于偶然誤差小到可以忽略時(shí)，精度=精確度！當(dāng)系統(tǒng)誤差相對(duì)于偶然誤差小到可以忽略時(shí)，1、方差由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，隨機(jī)變量X的方差定義為：觀測(cè)值L和觀測(cè)誤差△均為隨機(jī)變量，因此其方差為當(dāng)觀測(cè)值只含偶然誤差時(shí)，任一觀測(cè)值的方差與觀測(cè)誤差的方差是相同的。2.2.2衡量精度的指標(biāo)1、方差由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，隨機(jī)變量X的方差定義為：觀測(cè)值L和可見：中誤差不是代表個(gè)別誤差大小，而是代表誤差分布的離散度大??；中誤差越小，說明絕對(duì)值較小的誤差越多！由數(shù)學(xué)期望定義，方差（或中誤差）又可表示為：和實(shí)際工作中，由于觀測(cè)個(gè)數(shù)有限的，故可求得方差或中誤差的估值：真誤差用殘差計(jì)算觀測(cè)值的中誤差：P8可見：由數(shù)學(xué)期望定義，方差（或中誤差）又可表示為：和實(shí)際工作例:某距離等精度丈量6次，結(jié)果如下，試求該距離的最或是值及觀測(cè)值中誤差。L1=546.535mL2=546.548mL3=546.520mL4=546.546mL5=546.550mL6=546.537m解：該距離的最或是值例:某距離等精度丈量6次，結(jié)果如下，試求該距離的最或是值及觀定義：在一定的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望，稱為平均誤差，并以θ表示，即平均誤差和中誤差的理論關(guān)系式可見，不同大小的平均誤差，對(duì)應(yīng)著不同的中誤差，也就對(duì)應(yīng)著不同的誤差分布。即說明也可應(yīng)用平均誤差作為衡量精度的指標(biāo)。2、平均誤差定義：在一定的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望3、或然誤差定義：在一組等精度測(cè)量中，若某一偶然誤差具有這樣的特性：絕對(duì)值比它大的誤差個(gè)數(shù)與絕對(duì)值比它小的誤差個(gè)數(shù)相同，這個(gè)誤差即稱為或然誤差。也就是說全部誤差按絕對(duì)值大小順序排列，中間的那個(gè)誤差就是或然誤差。觀測(cè)誤差落入正、負(fù)或然誤差之間的概率恰好等于1/2，即誤差的概率分布曲線：或然誤差3、或然誤差定義：在一組等精度測(cè)量中，若某一偶然誤差具有這樣3、或然誤差或然誤差與中誤差的關(guān)系：實(shí)際或然誤差得到方法：1）將相同條件下得到一組誤差，排列，取中間或中間兩個(gè)的平均數(shù)；2）先求中誤差，然后用上述公式求得。3、或然誤差或然誤差與中誤差的關(guān)系：實(shí)際或然誤差得到方法：例：設(shè)有一列等精度觀測(cè)真誤差，按絕對(duì)值遞增順序排列于下表。試計(jì)算其中誤差、平均誤差以及或然誤差。序號(hào)123456789真誤差（秒）-0.1+0.4+1.2+1.2+1.8+1.9+2.6-4.7-5.1序號(hào)101112131415161718真誤差（秒）+5.6-7.2+8.9+9.6-9.7+9.8+9.9-10.0-10.3解：例：設(shè)有一列等精度觀測(cè)真誤差，按絕對(duì)值遞增順序排列于下表。試不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差作為精度指標(biāo)。中誤差、平均誤差以及或然誤差都可以作為衡量精度的指標(biāo)；但當(dāng)n不大時(shí)，中誤差比平均誤差能更靈敏地反映大的真誤差的影響；或然誤差又可由中誤差求得；計(jì)算時(shí)，精度指標(biāo)通常取2-3個(gè)有效數(shù)字，數(shù)值后面要寫上對(duì)應(yīng)單位！不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差作為精度指標(biāo)4、極限誤差觀測(cè)成果中不能含有粗差，那么如何來判斷誤差中的粗差呢？引入極限誤差，也即最大誤差。由偶然誤差的特性可知，在一定的條件下，偶然誤差不會(huì)超過一個(gè)界值，這個(gè)界值就是極限誤差。確定極限誤差依據(jù)：概率理論和大量實(shí)踐統(tǒng)計(jì)證明，大量同精度觀測(cè)的一組誤差中誤差落在各區(qū)間的概率為則定義為：通常將三倍（或兩倍）的中誤差作為極限誤差，即4、極限誤差觀測(cè)成果中不能含有粗差，那么如何來判斷誤差中的粗5、相對(duì)誤差定義：中誤差與觀測(cè)值之比，即相對(duì)誤差是一個(gè)無名數(shù)，為方便計(jì)，通常將分子化為1，即1/T的形式。相對(duì)誤差是用來衡量長度精度的一種指標(biāo)。相對(duì)誤差又分為相對(duì)中誤差，相對(duì)真誤差，相對(duì)極限誤差。5、相對(duì)誤差相對(duì)誤差是一個(gè)無名數(shù)，為方便計(jì)，通常將分子化為1例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，問兩者的精度是否相同？解：根據(jù)相對(duì)中誤差定義，得前者的相對(duì)中誤差為：

0.02／200＝1／10000后者相對(duì)中誤差則為：

0.02／40＝l／2000故前者的量距精度高于后者。思考：1）對(duì)于相同中誤差但角值大小不等的情況，其精度又怎樣？2）導(dǎo)線測(cè)量中規(guī)范規(guī)定的相對(duì)閉合差不超過1/2000，指的是何種誤差？例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±衡量精度指標(biāo)中誤差平均誤差或然誤差極限誤差相對(duì)誤差絕對(duì)誤差為了工作方便，需要引入一個(gè)新的指標(biāo)-------權(quán)。相對(duì)指標(biāo)衡量精度指標(biāo)中誤差平均誤差或然誤差極限誤差相對(duì)誤差絕對(duì)誤差為1、協(xié)方差陣

設(shè)有n個(gè)觀測(cè)量，描述其精度的方差陣DXX的定義為2.3方差陣、誤差傳播律1、協(xié)方差陣2.3方差陣、誤差傳播律可以得到：可以得到：不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個(gè)特點(diǎn)：對(duì)稱方陣；

DXX中的主對(duì)角線上的各元素σxi2

為Xi

的方差；非主對(duì)角線中的元素σxixj為Xi關(guān)于Xj的協(xié)方差，是描述Xi

與Xj

之間相關(guān)性的量；協(xié)方差估值計(jì)算公式：方差陣DXX也稱方差—協(xié)方差陣，簡稱為方差陣或協(xié)方差陣；DXX是描述觀測(cè)向量的精度指標(biāo)。它不僅給出了各觀測(cè)值的方差，而且還給出了其中兩兩觀測(cè)值之間的協(xié)方差即相關(guān)程度。不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個(gè)特點(diǎn)：

當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)觀測(cè)量互不相關(guān)。如任意兩個(gè)觀測(cè)量均為互不相關(guān)時(shí)，此時(shí)方差陣Dx即變?yōu)閷?duì)角陣:

當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)觀測(cè)量在實(shí)際工作中，往往有些值不是直接測(cè)定的，而是由觀測(cè)值通過一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算的，即觀測(cè)值函數(shù)。那么如何確定函數(shù)的精度呢？？中誤差應(yīng)用協(xié)方差傳播律（或誤差傳播律)中誤差2.3誤差傳播定律及應(yīng)用在實(shí)際工作中，往往有些值不是直接測(cè)定的，而是由觀測(cè)值通過一定所謂協(xié)方差傳播律：

描述由觀測(cè)值的方差來推求觀測(cè)值函數(shù)的方差關(guān)系的公式，稱為“協(xié)方差傳播律”。

所謂協(xié)方差傳播律：從測(cè)量工作的現(xiàn)狀可以看出:

觀測(cè)值函數(shù)與觀測(cè)值之間的關(guān)系可分為以下兩種情況：1）線性函數(shù)（如觀測(cè)高差與高程的關(guān)系）；如2）非線性函數(shù)（觀測(cè)角度、邊長與待定點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系）。故，分別從線性函數(shù)、非線性函數(shù)研究協(xié)方差傳播律。H2=HA+h1+h2從測(cè)量工作的現(xiàn)狀可以看出:故，分別從線性函數(shù)、非線性函數(shù)研究設(shè)有觀測(cè)值,數(shù)學(xué)期望為,協(xié)方差陣為，又設(shè)有X線性函數(shù)為:

求Z的方差DZZ2.3.1線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律或：K為已知系數(shù)陣，K0為方程常數(shù)向量。（2-18）P102.3.1線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律或：K為已知系數(shù)陣，K0為為求K的方差，我們需從方差的定義入手。根據(jù)方差的定義,Y的方差為：由數(shù)學(xué)期望運(yùn)算可得：將Z的函數(shù)式以及數(shù)學(xué)期望E（Z）代入得：（2-22）P11為求K的方差，我們需從方差的定義入手。（2-22）P11方差的純量形式為：可見：若DXX為對(duì)角陣時(shí)，協(xié)方差傳播律即為“誤差傳播律”。（2-20）P11（2-19）P11觀測(cè)值不相關(guān)方差的純量形式為：可見：若DXX為對(duì)角陣時(shí)，協(xié)方差傳播律即為由上推導(dǎo)可得出以下結(jié)論：若有函數(shù):純量形式：則函數(shù)的方差為:以上就是已知觀測(cè)量的方差,求其函數(shù)方差的公式。也稱為“協(xié)方差傳播律”。（2-22）P11由上推導(dǎo)可得出以下結(jié)論：以上就是已知觀測(cè)量的方差,求其函數(shù)方舉三個(gè)例子例:用鋼尺分五段測(cè)量某距離，得到各段距離及相應(yīng)的中誤差如下，該求該距離S的中誤差及相對(duì)中誤差。

S1=50.350m±1.5mmS2=150.555m±2.5mmS3=100.650m±2.0mmS4=100.450m±2.0mmS5=50.455m±1.5mm解：

S=S1+S2+S3+S4+S5=452.460m按線性函數(shù)誤差傳播律，得S的中誤差為：其相對(duì)中誤差為：

觀測(cè)值不相關(guān)舉三個(gè)例子例:用鋼尺分五段測(cè)量某距離，得到各段距離及相應(yīng)的例、設(shè)有觀測(cè)值向量的方差陣為：（1）試寫出各觀測(cè)值的方差以及兩兩協(xié)方差；（2）若有函數(shù)，則該函數(shù)F的方差又如何？解：觀測(cè)值相關(guān)觀測(cè)值相關(guān)例：已知向量，且若有函數(shù)：試求各函數(shù)的方差。解：觀測(cè)值不相關(guān)觀測(cè)值不相關(guān)測(cè)量誤差理論及其應(yīng)用課件2.3.2線性函數(shù)誤差傳播率在測(cè)量工作中的應(yīng)用

水準(zhǔn)測(cè)量的精度hABAB大地水準(zhǔn)面HBＨA上兩式是水準(zhǔn)測(cè)量計(jì)算高差中誤差的基本公式。2.3.2線性函數(shù)誤差傳播率在測(cè)量工作中的應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量的

導(dǎo)線邊方位角的精度

同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算術(shù)平均值精度導(dǎo)線邊方位角的精度同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算術(shù)平均值精度2.3.3多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測(cè)值，它們的期望、方差為若有X的r個(gè)線性函數(shù)為:求函數(shù)的方差以及它們之間的協(xié)方差？（2-33）P132.3.3多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測(cè)值令:則X的t個(gè)線性函數(shù)式可寫為:同樣,根據(jù)協(xié)方差陣的定義可得Z的協(xié)方差陣為:（2-34）P13（2-35）P13令:（2-34）P13（2-35）P13例1：已知向量，且：若有函數(shù)：并記，試求、。例1：已知向量，且：解：對(duì)于函數(shù)式利用協(xié)方差傳播律解：對(duì)于對(duì)于函數(shù)式利用協(xié)方差傳播律本題關(guān)健是:將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為“同一”變量的形式!對(duì)于本題關(guān)健是:將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為“同一”變量的形式!例2：設(shè)有觀測(cè)值向量,其協(xié)方差陣為設(shè)函數(shù)并記,試求解：例2：設(shè)有觀測(cè)值向量,其協(xié)方差陣為并從以上兩個(gè)例子可以看出單個(gè)線性函數(shù)的協(xié)方差和多個(gè)線性函數(shù)的協(xié)方差陣在形式上完全相同,且推導(dǎo)過程也相同;所不同的是：前者是一個(gè)函數(shù)值的方差（1行1列）;而后者是t個(gè)函數(shù)值的協(xié)方差陣（r行r列）。即：前者是后者的特殊情況。從以上兩個(gè)例子可以看出前者是一個(gè)函數(shù)值的方差（1行1列）;2.3.4非線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測(cè)值的非線性函數(shù)為：

且已知X的協(xié)方差陣求Y的方差陣DZZ。

解決這類問題的關(guān)鍵是必需先將非線性函數(shù)線性化,得到和前面已推導(dǎo)出的公式“一致”的形式!2.3.4非線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測(cè)值將非線性函數(shù)進(jìn)行全微分為：按照線性函數(shù)進(jìn)行協(xié)方差傳播：（2-37）P14等價(jià)將非線性函數(shù)進(jìn)行全微分為：（2-37）P14等價(jià)例1：已知長方形的廠房，經(jīng)過測(cè)量，其長度x的觀測(cè)值為90m，其寬度y的觀測(cè)值為50m，它們的中誤差分別為2mm、3mm，求其面積及相應(yīng)的中誤差。解：面積S=xy=90*50=4500（m2）對(duì)S進(jìn)行全微分：應(yīng)用協(xié)方差傳播定律：例1：已知長方形的廠房，經(jīng)過測(cè)量，其長度x的觀測(cè)值為90m，例2：設(shè)有觀測(cè)值向量,其協(xié)方差陣為設(shè)函數(shù),試求解：對(duì)函數(shù)Z進(jìn)行全微分：應(yīng)用協(xié)方差傳播定律：例2：設(shè)有觀測(cè)值向量,其協(xié)方差陣為解1）按要求寫出函數(shù)式；2）若是非線性函數(shù)式，則先對(duì)函數(shù)式兩邊求全微分；3）將函數(shù)式（或微分關(guān)系式）寫成矩陣形式（有時(shí)要顧及單位的統(tǒng)一）；4）應(yīng)用協(xié)方差傳播律公式求方差或協(xié)方差陣。歸納應(yīng)用協(xié)方差傳播律的計(jì)算步驟：1）按要求寫出函數(shù)式；歸納應(yīng)用協(xié)方差傳播律的計(jì)算步驟：1、權(quán)

在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，不僅需要用中誤差表示觀測(cè)量的絕對(duì)精度的高低，還需引入一個(gè)表示觀測(cè)值之間精度相對(duì)高低的指標(biāo)，即權(quán)。定義：設(shè)有觀測(cè)值Li（i=1，2…，n）的方差為，如選任一常數(shù)，則定義：

并稱Pi為觀測(cè)值Li的權(quán)。2.4權(quán)與定權(quán)（2-40）P161、權(quán)

在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，不僅需要用中誤差表示觀測(cè)量的

如右圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是各路線的觀測(cè)高差，S1=1.0km，S2=2.0km，S3=2.5km，S4=4.0km，S5=8.0km，S6=10.0km是各水準(zhǔn)路線長度。定權(quán)：設(shè)每千米觀測(cè)值高差的方差為，根據(jù)而，則如右圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是令，則令，則相等×10令，則令不難看出權(quán)與方差成反比；權(quán)是表征觀測(cè)值之間的相對(duì)精度指標(biāo)（權(quán)是不唯一的，單個(gè)權(quán)沒意義的）；選定不同的，權(quán)之間的比例關(guān)系依就不變；對(duì)同一問題中，為使權(quán)能起到比較精度高低的作用，C應(yīng)取同一定值（否則就破壞了權(quán)間的比例關(guān)系）。不難看出權(quán)與方差成反比；“單位權(quán)”的定義：等于1的權(quán)為單位權(quán)。對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值為單位權(quán)觀測(cè)值。對(duì)應(yīng)觀測(cè)值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差?？梢姡簷?quán)定義中，C稱為單位權(quán)方差,記為σ02。幾個(gè)概念：“單位權(quán)”的定義：等于1的權(quán)為單位權(quán)?？梢姡簬讉€(gè)概念：例：在相同觀測(cè)條件下，應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量測(cè)定了三角點(diǎn)A、B、C之間的高差，設(shè)該三角形邊長分別為S1=10km，S2=8km，S3=