理論力學(xué)03剛體力學(xué)課件

剛體的概念及特點(diǎn)剛體（rigidbody）：假如質(zhì)點(diǎn)組中任何兩質(zhì)點(diǎn)間的距離都不會(huì)因力的作用而改變，我們就稱該質(zhì)點(diǎn)組為剛體。屬理想模型。現(xiàn)實(shí)中沒有真正的剛體，但當(dāng)物體的大小和形狀變化可以忽略不計(jì)時(shí)，通常便把它看作剛體。作用在剛體上的力可以剛性傳遞，為滑移矢量。剛體特點(diǎn)：各質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，因此也無(wú)相對(duì)速度，無(wú)內(nèi)力作功。剛體的概念及特點(diǎn)剛體（rigidbody）：假如質(zhì)點(diǎn)組中任剛體運(yùn)動(dòng)的分類和描述平動(dòng)：剛體中的任意兩點(diǎn)的連線始終保持方向不變的運(yùn)動(dòng)。特點(diǎn)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都具有相同的速度和加速度；等同于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；剛體平動(dòng)的描述需三個(gè)獨(dú)立變量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中兩點(diǎn)始終保持不動(dòng)，兩點(diǎn)連線外的其它部分繞這兩點(diǎn)確定的軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述需一個(gè)獨(dú)立變量。平面平行運(yùn)動(dòng)（平面運(yùn)動(dòng)）：剛體中所有點(diǎn)始終保持平行于某一固定面的運(yùn)動(dòng)。相當(dāng)于“平面平動(dòng)＋定軸轉(zhuǎn)動(dòng)”。剛體平面運(yùn)動(dòng)的描述需三個(gè)獨(dú)立變量。定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，其它部分繞該點(diǎn)的瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的描述需三個(gè)獨(dú)立變量（歐拉角）。一般運(yùn)動(dòng)：自由剛體的運(yùn)動(dòng)。可以分解為平動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的描述需六個(gè)獨(dú)立變量。剛體運(yùn)動(dòng)的分類和描述平動(dòng)：剛體中的任意兩點(diǎn)的連線始終保持方向有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)1有限轉(zhuǎn)動(dòng)不滿足矢量對(duì)易律，不是矢量。圖象參見教材P159。無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是否滿足對(duì)易律，是否是矢量？角坐標(biāo)：角位移：大?。悍较颍河沂致菪▌t。有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)1有限轉(zhuǎn)動(dòng)不滿足矢量對(duì)易律，不是矢量。圖有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)2無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是否滿足對(duì)易律，是否是矢量？？對(duì)線位移比較了解，故先尋求角位移與線位移間的關(guān)系：有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)2無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是否滿足對(duì)易律，是否是矢量？有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)3線位移：線位移：有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)3線位移：線位移：有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)4線位移滿足：！有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)4線位移滿足：！角速度角速度（Angularvelocity）：大?。悍较颍貉豻時(shí)刻的轉(zhuǎn)軸，即轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸線速度：又：角速度與線速度關(guān)系單位：角速度角速度（Angularvelocity）：大?。悍较蜓a(bǔ)充_歐勒公式&泊松公式&矢量運(yùn)算一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的定長(zhǎng)矢量對(duì)于時(shí)間的變化率，等于該矢量轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢乘該矢量本身。判斷對(duì)錯(cuò)泊松公式歐勒公式補(bǔ)充_歐勒公式&泊松公式&矢量運(yùn)算一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的定長(zhǎng)矢量對(duì)于時(shí)間角加速度角加速度（Angularacceleraton）：方向：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的改變方向單位：線加速度：又：向軸加速度轉(zhuǎn)動(dòng)加速度角加速度角加速度（Angularacceleraton）：角量與線量的關(guān)系對(duì)于圖示運(yùn)動(dòng)有：角量與線量的關(guān)系對(duì)于圖示運(yùn)動(dòng)有：力的可傳性力的可傳性原理：剛體上的力所產(chǎn)生的力學(xué)效果，決定于力的大小、方向和作用線的地位，與力的作用點(diǎn)在作用線上的地位無(wú)關(guān)。剛體上的力可沿作用線滑移，故稱滑移矢量，但不能隨意改變作用線位置，否則力的作用效果將改變！力的可傳性力的可傳性原理：剛體上的力所產(chǎn)生的力學(xué)效果，決定于力系的簡(jiǎn)化1對(duì)于共點(diǎn)力：利用平行四邊形法則進(jìn)行矢量合成；對(duì)于不共點(diǎn)但作用線相交的力，可以都滑移到交點(diǎn)處，再利用共點(diǎn)力合成。？力系的簡(jiǎn)化1對(duì)于共點(diǎn)力：利用平行四邊形法則進(jìn)行矢量合成；？力偶（couple）力偶：作用在同一物體上，大小相等、方向相反、又不在同一直線的兩個(gè)力稱力偶。力偶的合力為0：力偶面：力偶所在的平面。力偶對(duì)于力偶面內(nèi)任意一點(diǎn)P的力矩:兩力間的垂直距離：力偶臂力偶（couple）力偶：作用在同一物體上，大小相等、方向相力偶矩力偶矩：是力與力偶臂的乘積。力偶矩是力偶唯一的力學(xué)效果。垂直于力偶面，遵從右手螺旋法則。為自由矢量，可以作用在力偶面內(nèi)的任意一點(diǎn)。多個(gè)共面力偶可以進(jìn)行力偶矩合成，不受作用點(diǎn)限制?。ㄅc力有別）？力偶矩力偶矩：是力與力偶臂的乘積。力偶矩是力偶唯一的力學(xué)效果力系的簡(jiǎn)化2作用在剛體上的每個(gè)力，都可化為經(jīng)過(guò)任意一點(diǎn)P的一個(gè)力和一個(gè)力偶。因此不論多復(fù)雜的力系都可以求得一個(gè)合力和一個(gè)合力偶。P點(diǎn)稱為簡(jiǎn)化中心；合力稱為主矢；力偶矩矢量和（合力偶）稱為主矩。力系的簡(jiǎn)化2作用在剛體上的每個(gè)力，都可化為經(jīng)過(guò)任意一點(diǎn)P的一力系的簡(jiǎn)化3力系的簡(jiǎn)化中心可以任意選取，選取原則是簡(jiǎn)化問(wèn)題的研究。通常以質(zhì)心為剛體力系的簡(jiǎn)化中心。主矢將使剛體質(zhì)心的平動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化；主矩將使剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。在對(duì)剛體力系做了簡(jiǎn)化后，就可以討論描述剛體運(yùn)動(dòng)的微分方程了。對(duì)于不同的簡(jiǎn)化中心，主矢和主矩是否相同？如果不同，會(huì)不會(huì)影響剛體的運(yùn)動(dòng)？思考力系的簡(jiǎn)化3力系的簡(jiǎn)化中心可以任意選取，選取原則是簡(jiǎn)化問(wèn)題的剛體運(yùn)動(dòng)微分方程1剛體質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程：剛體質(zhì)量質(zhì)心加速度主矢剛體在質(zhì)心動(dòng)系中的動(dòng)量矩定理：對(duì)質(zhì)心的主矩質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心的總動(dòng)量矩六個(gè)獨(dú)立變量六個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程剛體運(yùn)動(dòng)可唯一描述！剛體運(yùn)動(dòng)微分方程1剛體質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程：剛體質(zhì)量質(zhì)心加速剛體運(yùn)動(dòng)微分方程2（1）它的質(zhì)心好象一個(gè)具有質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)，而所有外力作用在此質(zhì)點(diǎn)上，且此時(shí)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微商等于所有外力的矢量和。（2）剛體在相對(duì)于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)中，對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的微商，等于所有外力對(duì)C的力矩的矢量和。（當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)于固定系的某定點(diǎn)而言時(shí)，也有類似結(jié)果）。有時(shí)也可用動(dòng)能定理來(lái)代替以上得到的某個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程。絕對(duì)元位移由前面結(jié)果可知，對(duì)于自由剛體，假如在多個(gè)外力作用下在空間運(yùn)動(dòng)，則有：剛體運(yùn)動(dòng)微分方程2（1）它的質(zhì)心好象一個(gè)具有質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)，而剛體平衡方程只有當(dāng)剛體受力的矢量和為零，并且受力對(duì)于任意一點(diǎn)力矩的矢量和也為零時(shí)，剛體才會(huì)處于平衡狀態(tài)。剛體平衡方程：共面（xy）力系：共點(diǎn)（O）力系：共面（xy）共點(diǎn)（O）力系：共線（x）力系：剛體平衡方程只有當(dāng)剛體受力的矢量和為零，并且受力對(duì)于任意一點(diǎn)剛體平衡方程_例題例（教材P172）：一根均勻的棍子，重為P，長(zhǎng)為2l。將其一端置于粗糙地面，而C點(diǎn)靠在離地面h高的墻上。當(dāng)棍子與地面的角度為最小值時(shí)，棍子在上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍子與地面的摩擦系數(shù)。解：根據(jù)題意畫出受力圖，在如圖所示的坐標(biāo)系中，有平衡方程：即：剛體平衡方程_例題例（教材P172）：一根均勻的棍子，重為P剛體平衡方程_例題求解上面的方程組：剛體平衡方程_例題求解上面的方程組：剛體的動(dòng)量矩1剛體的動(dòng)量矩：剛體的動(dòng)量矩1剛體的動(dòng)量矩：剛體的動(dòng)量矩2剛體的動(dòng)量矩2剛體的動(dòng)量矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量令：以上為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以上為慣量積剛體的動(dòng)量矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量令：以上為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以上為慣量積剛體的動(dòng)量矩和慣量張量剛體動(dòng)量矩在各坐標(biāo)軸上的投影：該矩陣稱剛體對(duì)O點(diǎn)的慣量張量，矩陣中的各元素（軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積）稱慣量張量的組元，也叫慣量系數(shù)。剛體的動(dòng)量矩和慣量張量剛體動(dòng)量矩在各坐標(biāo)軸上的投影：該矩陣稱剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能1剛體對(duì)定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能1剛體對(duì)定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2剛體對(duì)定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也可寫為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度。其大小取決于剛體質(zhì)量分布、形狀和轉(zhuǎn)軸的位置。注意剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2剛體對(duì)定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也可寫為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1只要計(jì)算出剛體的三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和三個(gè)慣量積，再代入轉(zhuǎn)軸的方向余弦，就可求得剛體相對(duì)于該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I了。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1只要計(jì)算出剛體的三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和三個(gè)慣量積，再代入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2具有質(zhì)量分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可等效于集所有質(zhì)量于一身的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，該等效質(zhì)點(diǎn)離軸線的垂直距離為k，稱為剛體對(duì)該軸線的回轉(zhuǎn)半徑。平行軸定理：剛體對(duì)于某軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于它對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，外加剛體質(zhì)量與兩軸間垂直距離的平方的乘積。即：練習(xí)1：自行證明該定理！正交軸定理：當(dāng)剛體的質(zhì)量為面分布時(shí)，剛體對(duì)該平面內(nèi)任意兩個(gè)正交軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，等于它對(duì)過(guò)交點(diǎn)的另一正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如果質(zhì)量分布在xoy平面內(nèi)則有：練習(xí)2：自行證明該定理！轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2具有質(zhì)量分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可等效于集所有質(zhì)量于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3求質(zhì)量按規(guī)律分布，且形狀規(guī)則的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求和變積分：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣表達(dá)：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3求質(zhì)量按規(guī)律分布，且形狀規(guī)則的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求和慣量橢球1通過(guò)剛體上的某定點(diǎn)O的軸線可以有無(wú)數(shù)條，剛體對(duì)于各條都有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，現(xiàn)考慮將各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I大小反應(yīng)為幾何量。做法：在轉(zhuǎn)軸上截取一點(diǎn)Q，使它到O點(diǎn)的線段長(zhǎng)度滿足：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：將其代入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方程：此為一橢球方程，由反映各軸慣量大小的線段端點(diǎn)構(gòu)成的，稱為O點(diǎn)的慣量橢球。慣量橢球1通過(guò)剛體上的某定點(diǎn)O的軸線可以有無(wú)數(shù)條，剛體對(duì)于各慣量橢球2剛體上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)慣量橢球。質(zhì)心所對(duì)應(yīng)的慣量橢球稱為中心慣量橢球。已知慣量橢球，可以由某軸上矢徑的長(zhǎng)度求出剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；反之，已知?jiǎng)傮w對(duì)三坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和它們的慣量積，便可以寫出坐標(biāo)原點(diǎn)的慣量橢球方程。選擇合適的坐標(biāo)軸可以消去慣量積。每個(gè)慣量橢球都有三條相互垂直的主軸，稱為慣量主軸。設(shè)其長(zhǎng)度分別為a，b，c。若把它們分別取為x，y，z軸，則該慣量橢球的方程可表示為：慣量橢球2剛體上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)慣量橢球。每個(gè)慣量橢球都有慣量橢球3由定義知：可見在這種坐標(biāo)選擇下，慣量積項(xiàng)已經(jīng)被消去了。僅剩三個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量項(xiàng)，無(wú)需雙下標(biāo)，故通常記為：剛體動(dòng)量矩：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：慣量橢球3由定義知：可見在這種坐標(biāo)選擇下，慣量積項(xiàng)已經(jīng)被消去慣量主軸求法如果剛體具有對(duì)稱面，那么對(duì)稱面中任意一點(diǎn)的垂線必為過(guò)該點(diǎn)的一條慣量主軸。如果剛體具有對(duì)稱軸，那么對(duì)稱軸必為軸上任意一點(diǎn)的慣量主軸。對(duì)于一個(gè)質(zhì)量對(duì)稱分布或者具有幾何對(duì)稱性的質(zhì)量均勻的剛體，在求慣量主軸時(shí)，有下列簡(jiǎn)便的幾何法則：慣量主軸求法如果剛體具有對(duì)稱面，那么對(duì)稱面中任意一點(diǎn)的垂線必例題_轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法直接根據(jù)定義用積分來(lái)求先計(jì)算慣量張量中的各組元，和轉(zhuǎn)軸的方向余弦，再代入公式求繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I。先找出慣量轉(zhuǎn)軸，取慣量主軸為坐標(biāo)軸，再作計(jì)算。例題（參見教材P182）附加問(wèn)題：寫出該長(zhǎng)方形薄片定點(diǎn)及質(zhì)心處的慣量橢球方程。該問(wèn)題是“薄片”問(wèn)題，不必考慮厚度。例題_轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法直接根據(jù)定義用積分來(lái)求例題（參見教材P1剛體的平動(dòng)剛體平動(dòng)時(shí)可用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表。由于剛體平動(dòng)時(shí)，剛體其它部分與質(zhì)心作類似運(yùn)動(dòng)，無(wú)相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。所以存在剛體相對(duì)于質(zhì)心的力矩平衡：但實(shí)際中，作平動(dòng)的剛體通常受到約束，即上式的F表達(dá)式中包含未知的約束力，所以還需要附加方程。質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)微分方程：1、平動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律2、約束反作用力騎自行車時(shí)，為何不能急剎前閘？思考剛體的平動(dòng)剛體平動(dòng)時(shí)可用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表。由于剛體平動(dòng)時(shí)，剛剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，通常選該定軸為z軸。剛體上的各點(diǎn)軌道都是一個(gè)平行于xoy平面，且以z軸上的垂足為圓心的圓圈。剛體上的各點(diǎn)間不同的量：剛體上的各點(diǎn)間相同的量：相互關(guān)系1：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，通常選該定軸為z軸。剛體上剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2相互關(guān)系2：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2相互關(guān)系2：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3動(dòng)量矩定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程求解動(dòng)力學(xué)方程便得描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能：若所受外力皆為保守力，則：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3動(dòng)量矩定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)例題_復(fù)擺1例（教材P188）：設(shè)質(zhì)量為m的復(fù)擺繞通過(guò)某點(diǎn)O的水平軸作微小振動(dòng)，試求其運(yùn)動(dòng)方程及振動(dòng)周期，并加以討論。單擺：數(shù)學(xué)擺復(fù)擺：物理擺剛體復(fù)擺懸于O點(diǎn)，其質(zhì)心C距懸點(diǎn)O為l，它繞通過(guò)懸點(diǎn)且垂直于紙面的軸擺動(dòng)。圖示為剛體包含質(zhì)心的一個(gè)剖面。假設(shè)剛體繞該定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，回旋半徑為k0，即：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：例題_復(fù)擺1例（教材P188）：設(shè)質(zhì)量為m的復(fù)擺繞通過(guò)某點(diǎn)O例題_復(fù)擺2通解例題_復(fù)擺2通解例題_復(fù)擺3復(fù)擺周期：?jiǎn)螖[周期：?jiǎn)螖[擺長(zhǎng)此為該剛體的等值單擺擺長(zhǎng)即：相當(dāng)于集所有質(zhì)量于O’點(diǎn)的一個(gè)單擺。復(fù)擺的振動(dòng)中心例題_復(fù)擺3復(fù)擺周期：?jiǎn)螖[周期：?jiǎn)螖[擺長(zhǎng)此為該剛體的等值單擺例題_復(fù)擺4以O(shè)為懸點(diǎn)的周期：以O(shè)’為懸點(diǎn)的周期：懸點(diǎn)和振動(dòng)中心可以互換。應(yīng)用：實(shí)驗(yàn)測(cè)定重力加速度g。優(yōu)于單擺方法。例題_復(fù)擺4以O(shè)為懸點(diǎn)的周期：以O(shè)’為懸點(diǎn)的周期：懸點(diǎn)和振動(dòng)思考棒球手或壘球手怎樣打球可以避免手受到很強(qiáng)的沖擊，減小疼痛？思考利用復(fù)擺測(cè)定重力加速度比單擺精確的原因？思考棒球手或壘球手怎樣打球可以避免手受到很強(qiáng)的沖擊，減小疼痛補(bǔ)充例題_教材P228設(shè)均質(zhì)棒的線密度為，可證明長(zhǎng)為x的棒對(duì)于過(guò)其端點(diǎn)的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：。所以：該擺對(duì)于過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：要想得角度的關(guān)系（運(yùn)動(dòng)方程），需解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，而這首先要得到相對(duì)于定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和力矩的表達(dá)式。選夾角增大的方向(向內(nèi))為正方向，則擺對(duì)于過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩為：補(bǔ)充例題_教材P228設(shè)均質(zhì)棒的線密度為，可證明長(zhǎng)補(bǔ)充例題_教材P228定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：即：兩邊都乘以后根據(jù)初始條件積分：補(bǔ)充例題_教材P228定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：即：兩邊都乘以補(bǔ)充例題_教材P228此即夾角最大值所滿足的關(guān)系，然而我們從中仍然沒有一個(gè)直觀和明了的感覺。不過(guò)我們對(duì)于這樣一個(gè)擺在平衡狀態(tài)下的夾角是很容易測(cè)得的，設(shè)為，下面我們來(lái)看一下兩者是否有一定的關(guān)系。平衡時(shí)力矩和為零：補(bǔ)充例題_教材P228此即夾角最大值所滿足的關(guān)系，然而我們從補(bǔ)充例題_教材P228即：短棒與垂線間的最大夾角為平衡時(shí)夾角的兩倍。補(bǔ)充例題_教材P228即：短棒與垂線間的最大夾角為平衡時(shí)夾角定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)為非自由運(yùn)動(dòng)。軸對(duì)剛體具有約束作用。如何求出約束反力呢？定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體A、B兩點(diǎn)不動(dòng)軸的約束A、B兩點(diǎn)的約束反力動(dòng)量定理（3）動(dòng)量矩定理（3）剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律（1）A、B處的約束反力（5）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)為非自由運(yùn)動(dòng)。軸對(duì)剛體具有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力2動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力2動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力4剛體對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力4剛體對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力5此為剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩定理動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力5此為剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力6附加壓力為零的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，我們稱其達(dá)到了動(dòng)平衡狀態(tài)。此時(shí)的轉(zhuǎn)軸稱為自由轉(zhuǎn)軸。剛體處于平衡狀態(tài)，A、B兩點(diǎn)的力稱靜力反作用力。剛體處于非平衡狀態(tài)，A、B兩點(diǎn)的力稱動(dòng)力反作用力。靜力反作用力動(dòng)力反作用力附加壓力定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力6附加壓力為零的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，我們稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力7動(dòng)平衡的充要條件：即剛體的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，且轉(zhuǎn)動(dòng)軸是一慣量主軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力7動(dòng)平衡的充要條件：即剛體的質(zhì)心位于例題_附加壓力例：(教材P192)，參看書本。高速運(yùn)轉(zhuǎn)物體的附加壓力遠(yuǎn)大于靜力反作用力，且為周期性沖擊，會(huì)對(duì)軸承造成嚴(yán)重?fù)p傷。因此，保證高速運(yùn)轉(zhuǎn)物體的動(dòng)平衡是機(jī)器安裝的一個(gè)重要方面。注意例題_附加壓力例：(教材P192)，參看書本。高速運(yùn)轉(zhuǎn)物體的剛體平面平行運(yùn)動(dòng)對(duì)于作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體，空間運(yùn)動(dòng)問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為一平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。只需研究剛體內(nèi)任意一個(gè)與固定平面平行的截面即可。純平動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)純轉(zhuǎn)動(dòng)薄片上所有點(diǎn)的速度、加速度都與基點(diǎn)相同。任意一點(diǎn)的速度、加速度可由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律得到。AB剛體平面平行運(yùn)動(dòng)對(duì)于作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體，空間運(yùn)動(dòng)問(wèn)題可以簡(jiǎn)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_速度、加速度設(shè)基點(diǎn)A的速度為，而它的位矢為，則薄片中位矢為的任意一點(diǎn)的速度為：加速度為：方向？！剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_速度、加速度設(shè)基點(diǎn)A的速度為，而剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心1轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心：當(dāng)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體（薄片）的角速度不為零時(shí)，在任一時(shí)刻，薄片所在的平面上總會(huì)有一個(gè)速度為零的點(diǎn)，該點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，記為C。令速度為零可得轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心相對(duì)于固定系的坐標(biāo)：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心相對(duì)于A點(diǎn)動(dòng)系的坐標(biāo)：構(gòu)成空間極跡（固定平面）構(gòu)成本體極跡（薄片動(dòng)系）剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心1轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心：當(dāng)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體（剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)_轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心2若選轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心C為基點(diǎn)，薄片的運(yùn)動(dòng)會(huì)是什么情況？薄片的平面平動(dòng)繞基點(diǎn)（轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心）的轉(zhuǎn)動(dòng)如何尋找和確定轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心？對(duì)于純轉(zhuǎn)動(dòng)而言，速度垂直于位矢，所以只要知道薄片上任兩點(diǎn)的速度，就可以找出轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。本體極跡和空間極跡在某時(shí)刻的公切點(diǎn)即此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。薄片的平面平動(dòng)本體極跡在空間極跡上無(wú)滑滾動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的速度為零，但加速度不為零!轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心不一定在薄片上，在其所在的平面！注意從基點(diǎn)速度矢量開始，順轉(zhuǎn)一直角的方向上，取線段剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)_轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心2若選轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心C為基點(diǎn)，薄片的例題_尋找轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心例題_尋找轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_動(dòng)力學(xué)基點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)任選:基點(diǎn)平動(dòng)＋繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心平面平行運(yùn)動(dòng)質(zhì)心平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理外力包含約束反力，所以需外加約束方程。剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_動(dòng)力學(xué)基點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)任選:基點(diǎn)平動(dòng)＋繞剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_機(jī)械能守恒平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)能：柯尼希定理質(zhì)心動(dòng)能相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能假如只有保守力作功，則機(jī)械能守恒：它可以代替前面動(dòng)力學(xué)方程中的某一個(gè)。剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_機(jī)械能守恒平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)能：柯尼希定理質(zhì)心例題（P201）_平面平行運(yùn)動(dòng)1解：根據(jù)題意畫圖、建系、并給出受力分析。純滾動(dòng)，有：約束方程圓柱體動(dòng)力學(xué)方程：其中k為圓柱體對(duì)過(guò)質(zhì)心垂直軸線的回轉(zhuǎn)半徑。例題（P201）_平面平行運(yùn)動(dòng)1解：根據(jù)題意畫圖、建系、并給例題（P201）_平面平行運(yùn)動(dòng)2純滾動(dòng)：討論連滾帶滑：例題（P201）_平面平行運(yùn)動(dòng)2純滾動(dòng)：討論連滾帶滑：滾動(dòng)摩擦在前面例題中，若傾角為0，即在粗糙水平面滾動(dòng)，則：圓柱體保持以初速的慣性運(yùn)動(dòng)。非絕對(duì)剛性接觸形變反作用力N不經(jīng)過(guò)質(zhì)心滾動(dòng)摩擦力矩阻礙運(yùn)動(dòng)，最終靜止?jié)L動(dòng)摩擦系數(shù)滾動(dòng)摩擦在前面例題中，若傾角為0，即在粗糙水平面滾動(dòng)，則：圓剛體繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，其它部分繞該點(diǎn)的瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的描述需三個(gè)獨(dú)立變量（歐拉角）。定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)章動(dòng)、進(jìn)動(dòng)、自轉(zhuǎn)的合成一系列連續(xù)地繞轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸：瞬時(shí)角速度所在的軸。瞬時(shí)速度為0的點(diǎn)組成的軸。轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在空間中所描繪的錐面，稱空間極面；轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在剛體上所描繪的錐面，稱本體極面；本體極面在在空間極面上的無(wú)滑滾動(dòng)剛體繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，其它部分歐勒（歐拉）角1歐勒角（Eulerangles）：三個(gè)獨(dú)立變化的角度，在剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以該定點(diǎn)作為坐標(biāo)系原點(diǎn)，可以用這三個(gè)角來(lái)確定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的空間取向和剛體繞該軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。章動(dòng)角ON稱為節(jié)線進(jìn)動(dòng)角自轉(zhuǎn)角歐勒（歐拉）角1歐勒角（Eulerangles）：三個(gè)獨(dú)立歐勒（歐拉）角2章動(dòng)角進(jìn)動(dòng)角自轉(zhuǎn)角描述剛體可能運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的歐勒角范圍：歐勒（歐拉）角2章動(dòng)角進(jìn)動(dòng)角自轉(zhuǎn)角描述剛體可能運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的歐勒歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程1固定坐標(biāo)系中角速度與運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中角速度的關(guān)系。代表方向矢量，絕對(duì)值1。任意一角速度，可表示為：也可表示為：歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程1固定坐標(biāo)系中角速度與運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中角速度的關(guān)系歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程2歐勒角與運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中角速度的關(guān)系。歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程2歐勒角與運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中角速度的關(guān)系。歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程3和對(duì)比可知：歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程3和對(duì)比可知：歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度、速度角速度（Angularvelocity）：大小：方向：沿t時(shí)刻的轉(zhuǎn)軸，即轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸線速度：又：角速度與線速度關(guān)系單位：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度、速度角速度（Angularvelocity定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度、加速度角加速度（Angularacceleraton）：方向：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的改變方向單位：線加速度：又：向軸加速度轉(zhuǎn)動(dòng)加速度定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度、加速度角加速度（Angularaccel一般運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng)：自由剛體的運(yùn)動(dòng)?？梢苑纸鉃槠絼?dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的描述需六個(gè)獨(dú)立變量。一般運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)平動(dòng)繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)于基點(diǎn)的位矢一般運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng)：自由剛體的運(yùn)動(dòng)?？梢苑纸鉃槠絼?dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。例題（P207）_剛體運(yùn)動(dòng)速度、加速度1解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，水平面為xAy面建立坐標(biāo)系（動(dòng)系，y在切線方向）如圖：螺旋槳運(yùn)動(dòng)由兩部分組成：螺旋槳在xAz面內(nèi)自轉(zhuǎn)隨飛機(jī)在xAy面內(nèi)轉(zhuǎn)彎螺旋槳的總角速度：例題（P207）_剛體運(yùn)動(dòng)速度、加速度1解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，水例題（P207）_剛體運(yùn)動(dòng)速度、加速度2例題（P207）_剛體運(yùn)動(dòng)速度、加速度2例題（P207）_剛體運(yùn)動(dòng)速度、加速度3常矢變矢例題（P207）_剛體運(yùn)動(dòng)速度、加速度3常矢變矢例題（P207）_剛體運(yùn)動(dòng)速度、加速度3例題（P207）_剛體運(yùn)動(dòng)速度、加速度3回轉(zhuǎn)效應(yīng)回轉(zhuǎn)效應(yīng)：高速旋轉(zhuǎn)物體所具有的一種“反抗”外力矩“意志”的行為現(xiàn)象。思考生雞蛋容易立起來(lái)嗎？用什么辦法能夠快速地做到這一點(diǎn)？回轉(zhuǎn)儀：能夠繞幾何對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)的剛體。目標(biāo)魚雷導(dǎo)航:回轉(zhuǎn)效應(yīng)回轉(zhuǎn)效應(yīng)：高速旋轉(zhuǎn)物體所具有的一種“反抗”外力矩“意剛體的概念及特點(diǎn)剛體（rigidbody）：假如質(zhì)點(diǎn)組中任何兩質(zhì)點(diǎn)間的距離都不會(huì)因力的作用而改變，我們就稱該質(zhì)點(diǎn)組為剛體。屬理想模型。現(xiàn)實(shí)中沒有真正的剛體，但當(dāng)物體的大小和形狀變化可以忽略不計(jì)時(shí)，通常便把它看作剛體。作用在剛體上的力可以剛性傳遞，為滑移矢量。剛體特點(diǎn)：各質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，因此也無(wú)相對(duì)速度，無(wú)內(nèi)力作功。剛體的概念及特點(diǎn)剛體（rigidbody）：假如質(zhì)點(diǎn)組中任剛體運(yùn)動(dòng)的分類和描述平動(dòng)：剛體中的任意兩點(diǎn)的連線始終保持方向不變的運(yùn)動(dòng)。特點(diǎn)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都具有相同的速度和加速度；等同于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；剛體平動(dòng)的描述需三個(gè)獨(dú)立變量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中兩點(diǎn)始終保持不動(dòng)，兩點(diǎn)連線外的其它部分繞這兩點(diǎn)確定的軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述需一個(gè)獨(dú)立變量。平面平行運(yùn)動(dòng)（平面運(yùn)動(dòng)）：剛體中所有點(diǎn)始終保持平行于某一固定面的運(yùn)動(dòng)。相當(dāng)于“平面平動(dòng)＋定軸轉(zhuǎn)動(dòng)”。剛體平面運(yùn)動(dòng)的描述需三個(gè)獨(dú)立變量。定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，其它部分繞該點(diǎn)的瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的描述需三個(gè)獨(dú)立變量（歐拉角）。一般運(yùn)動(dòng)：自由剛體的運(yùn)動(dòng)?？梢苑纸鉃槠絼?dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的描述需六個(gè)獨(dú)立變量。剛體運(yùn)動(dòng)的分類和描述平動(dòng)：剛體中的任意兩點(diǎn)的連線始終保持方向有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)1有限轉(zhuǎn)動(dòng)不滿足矢量對(duì)易律，不是矢量。圖象參見教材P159。無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是否滿足對(duì)易律，是否是矢量？角坐標(biāo)：角位移：大小：方向：右手螺旋法則。有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)1有限轉(zhuǎn)動(dòng)不滿足矢量對(duì)易律，不是矢量。圖有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)2無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是否滿足對(duì)易律，是否是矢量？？對(duì)線位移比較了解，故先尋求角位移與線位移間的關(guān)系：有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)2無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是否滿足對(duì)易律，是否是矢量？有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)3線位移：線位移：有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)3線位移：線位移：有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)4線位移滿足：！有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)4線位移滿足：！角速度角速度（Angularvelocity）：大?。悍较颍貉豻時(shí)刻的轉(zhuǎn)軸，即轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸線速度：又：角速度與線速度關(guān)系單位：角速度角速度（Angularvelocity）：大?。悍较蜓a(bǔ)充_歐勒公式&泊松公式&矢量運(yùn)算一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的定長(zhǎng)矢量對(duì)于時(shí)間的變化率，等于該矢量轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢乘該矢量本身。判斷對(duì)錯(cuò)泊松公式歐勒公式補(bǔ)充_歐勒公式&泊松公式&矢量運(yùn)算一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的定長(zhǎng)矢量對(duì)于時(shí)間角加速度角加速度（Angularacceleraton）：方向：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的改變方向單位：線加速度：又：向軸加速度轉(zhuǎn)動(dòng)加速度角加速度角加速度（Angularacceleraton）：角量與線量的關(guān)系對(duì)于圖示運(yùn)動(dòng)有：角量與線量的關(guān)系對(duì)于圖示運(yùn)動(dòng)有：力的可傳性力的可傳性原理：剛體上的力所產(chǎn)生的力學(xué)效果，決定于力的大小、方向和作用線的地位，與力的作用點(diǎn)在作用線上的地位無(wú)關(guān)。剛體上的力可沿作用線滑移，故稱滑移矢量，但不能隨意改變作用線位置，否則力的作用效果將改變！力的可傳性力的可傳性原理：剛體上的力所產(chǎn)生的力學(xué)效果，決定于力系的簡(jiǎn)化1對(duì)于共點(diǎn)力：利用平行四邊形法則進(jìn)行矢量合成；對(duì)于不共點(diǎn)但作用線相交的力，可以都滑移到交點(diǎn)處，再利用共點(diǎn)力合成。？力系的簡(jiǎn)化1對(duì)于共點(diǎn)力：利用平行四邊形法則進(jìn)行矢量合成；？力偶（couple）力偶：作用在同一物體上，大小相等、方向相反、又不在同一直線的兩個(gè)力稱力偶。力偶的合力為0：力偶面：力偶所在的平面。力偶對(duì)于力偶面內(nèi)任意一點(diǎn)P的力矩:兩力間的垂直距離：力偶臂力偶（couple）力偶：作用在同一物體上，大小相等、方向相力偶矩力偶矩：是力與力偶臂的乘積。力偶矩是力偶唯一的力學(xué)效果。垂直于力偶面，遵從右手螺旋法則。為自由矢量，可以作用在力偶面內(nèi)的任意一點(diǎn)。多個(gè)共面力偶可以進(jìn)行力偶矩合成，不受作用點(diǎn)限制?。ㄅc力有別）？力偶矩力偶矩：是力與力偶臂的乘積。力偶矩是力偶唯一的力學(xué)效果力系的簡(jiǎn)化2作用在剛體上的每個(gè)力，都可化為經(jīng)過(guò)任意一點(diǎn)P的一個(gè)力和一個(gè)力偶。因此不論多復(fù)雜的力系都可以求得一個(gè)合力和一個(gè)合力偶。P點(diǎn)稱為簡(jiǎn)化中心；合力稱為主矢；力偶矩矢量和（合力偶）稱為主矩。力系的簡(jiǎn)化2作用在剛體上的每個(gè)力，都可化為經(jīng)過(guò)任意一點(diǎn)P的一力系的簡(jiǎn)化3力系的簡(jiǎn)化中心可以任意選取，選取原則是簡(jiǎn)化問(wèn)題的研究。通常以質(zhì)心為剛體力系的簡(jiǎn)化中心。主矢將使剛體質(zhì)心的平動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化；主矩將使剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。在對(duì)剛體力系做了簡(jiǎn)化后，就可以討論描述剛體運(yùn)動(dòng)的微分方程了。對(duì)于不同的簡(jiǎn)化中心，主矢和主矩是否相同？如果不同，會(huì)不會(huì)影響剛體的運(yùn)動(dòng)？思考力系的簡(jiǎn)化3力系的簡(jiǎn)化中心可以任意選取，選取原則是簡(jiǎn)化問(wèn)題的剛體運(yùn)動(dòng)微分方程1剛體質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程：剛體質(zhì)量質(zhì)心加速度主矢剛體在質(zhì)心動(dòng)系中的動(dòng)量矩定理：對(duì)質(zhì)心的主矩質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心的總動(dòng)量矩六個(gè)獨(dú)立變量六個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程剛體運(yùn)動(dòng)可唯一描述！剛體運(yùn)動(dòng)微分方程1剛體質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程：剛體質(zhì)量質(zhì)心加速剛體運(yùn)動(dòng)微分方程2（1）它的質(zhì)心好象一個(gè)具有質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)，而所有外力作用在此質(zhì)點(diǎn)上，且此時(shí)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微商等于所有外力的矢量和。（2）剛體在相對(duì)于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)中，對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的微商，等于所有外力對(duì)C的力矩的矢量和。（當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)于固定系的某定點(diǎn)而言時(shí)，也有類似結(jié)果）。有時(shí)也可用動(dòng)能定理來(lái)代替以上得到的某個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程。絕對(duì)元位移由前面結(jié)果可知，對(duì)于自由剛體，假如在多個(gè)外力作用下在空間運(yùn)動(dòng)，則有：剛體運(yùn)動(dòng)微分方程2（1）它的質(zhì)心好象一個(gè)具有質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)，而剛體平衡方程只有當(dāng)剛體受力的矢量和為零，并且受力對(duì)于任意一點(diǎn)力矩的矢量和也為零時(shí)，剛體才會(huì)處于平衡狀態(tài)。剛體平衡方程：共面（xy）力系：共點(diǎn)（O）力系：共面（xy）共點(diǎn)（O）力系：共線（x）力系：剛體平衡方程只有當(dāng)剛體受力的矢量和為零，并且受力對(duì)于任意一點(diǎn)剛體平衡方程_例題例（教材P172）：一根均勻的棍子，重為P，長(zhǎng)為2l。將其一端置于粗糙地面，而C點(diǎn)靠在離地面h高的墻上。當(dāng)棍子與地面的角度為最小值時(shí)，棍子在上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍子與地面的摩擦系數(shù)。解：根據(jù)題意畫出受力圖，在如圖所示的坐標(biāo)系中，有平衡方程：即：剛體平衡方程_例題例（教材P172）：一根均勻的棍子，重為P剛體平衡方程_例題求解上面的方程組：剛體平衡方程_例題求解上面的方程組：剛體的動(dòng)量矩1剛體的動(dòng)量矩：剛體的動(dòng)量矩1剛體的動(dòng)量矩：剛體的動(dòng)量矩2剛體的動(dòng)量矩2剛體的動(dòng)量矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量令：以上為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以上為慣量積剛體的動(dòng)量矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量令：以上為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以上為慣量積剛體的動(dòng)量矩和慣量張量剛體動(dòng)量矩在各坐標(biāo)軸上的投影：該矩陣稱剛體對(duì)O點(diǎn)的慣量張量，矩陣中的各元素（軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積）稱慣量張量的組元，也叫慣量系數(shù)。剛體的動(dòng)量矩和慣量張量剛體動(dòng)量矩在各坐標(biāo)軸上的投影：該矩陣稱剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能1剛體對(duì)定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能1剛體對(duì)定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2剛體對(duì)定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也可寫為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度。其大小取決于剛體質(zhì)量分布、形狀和轉(zhuǎn)軸的位置。注意剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2剛體對(duì)定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也可寫為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1只要計(jì)算出剛體的三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和三個(gè)慣量積，再代入轉(zhuǎn)軸的方向余弦，就可求得剛體相對(duì)于該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I了。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1只要計(jì)算出剛體的三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和三個(gè)慣量積，再代入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2具有質(zhì)量分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可等效于集所有質(zhì)量于一身的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，該等效質(zhì)點(diǎn)離軸線的垂直距離為k，稱為剛體對(duì)該軸線的回轉(zhuǎn)半徑。平行軸定理：剛體對(duì)于某軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于它對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，外加剛體質(zhì)量與兩軸間垂直距離的平方的乘積。即：練習(xí)1：自行證明該定理！正交軸定理：當(dāng)剛體的質(zhì)量為面分布時(shí)，剛體對(duì)該平面內(nèi)任意兩個(gè)正交軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，等于它對(duì)過(guò)交點(diǎn)的另一正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如果質(zhì)量分布在xoy平面內(nèi)則有：練習(xí)2：自行證明該定理！轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2具有質(zhì)量分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可等效于集所有質(zhì)量于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3求質(zhì)量按規(guī)律分布，且形狀規(guī)則的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求和變積分：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣表達(dá)：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3求質(zhì)量按規(guī)律分布，且形狀規(guī)則的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求和慣量橢球1通過(guò)剛體上的某定點(diǎn)O的軸線可以有無(wú)數(shù)條，剛體對(duì)于各條都有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，現(xiàn)考慮將各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I大小反應(yīng)為幾何量。做法：在轉(zhuǎn)軸上截取一點(diǎn)Q，使它到O點(diǎn)的線段長(zhǎng)度滿足：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：將其代入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方程：此為一橢球方程，由反映各軸慣量大小的線段端點(diǎn)構(gòu)成的，稱為O點(diǎn)的慣量橢球。慣量橢球1通過(guò)剛體上的某定點(diǎn)O的軸線可以有無(wú)數(shù)條，剛體對(duì)于各慣量橢球2剛體上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)慣量橢球。質(zhì)心所對(duì)應(yīng)的慣量橢球稱為中心慣量橢球。已知慣量橢球，可以由某軸上矢徑的長(zhǎng)度求出剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；反之，已知?jiǎng)傮w對(duì)三坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和它們的慣量積，便可以寫出坐標(biāo)原點(diǎn)的慣量橢球方程。選擇合適的坐標(biāo)軸可以消去慣量積。每個(gè)慣量橢球都有三條相互垂直的主軸，稱為慣量主軸。設(shè)其長(zhǎng)度分別為a，b，c。若把它們分別取為x，y，z軸，則該慣量橢球的方程可表示為：慣量橢球2剛體上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)慣量橢球。每個(gè)慣量橢球都有慣量橢球3由定義知：可見在這種坐標(biāo)選擇下，慣量積項(xiàng)已經(jīng)被消去了。僅剩三個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量項(xiàng)，無(wú)需雙下標(biāo)，故通常記為：剛體動(dòng)量矩：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：慣量橢球3由定義知：可見在這種坐標(biāo)選擇下，慣量積項(xiàng)已經(jīng)被消去慣量主軸求法如果剛體具有對(duì)稱面，那么對(duì)稱面中任意一點(diǎn)的垂線必為過(guò)該點(diǎn)的一條慣量主軸。如果剛體具有對(duì)稱軸，那么對(duì)稱軸必為軸上任意一點(diǎn)的慣量主軸。對(duì)于一個(gè)質(zhì)量對(duì)稱分布或者具有幾何對(duì)稱性的質(zhì)量均勻的剛體，在求慣量主軸時(shí)，有下列簡(jiǎn)便的幾何法則：慣量主軸求法如果剛體具有對(duì)稱面，那么對(duì)稱面中任意一點(diǎn)的垂線必例題_轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法直接根據(jù)定義用積分來(lái)求先計(jì)算慣量張量中的各組元，和轉(zhuǎn)軸的方向余弦，再代入公式求繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I。先找出慣量轉(zhuǎn)軸，取慣量主軸為坐標(biāo)軸，再作計(jì)算。例題（參見教材P182）附加問(wèn)題：寫出該長(zhǎng)方形薄片定點(diǎn)及質(zhì)心處的慣量橢球方程。該問(wèn)題是“薄片”問(wèn)題，不必考慮厚度。例題_轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法直接根據(jù)定義用積分來(lái)求例題（參見教材P1剛體的平動(dòng)剛體平動(dòng)時(shí)可用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表。由于剛體平動(dòng)時(shí)，剛體其它部分與質(zhì)心作類似運(yùn)動(dòng)，無(wú)相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。所以存在剛體相對(duì)于質(zhì)心的力矩平衡：但實(shí)際中，作平動(dòng)的剛體通常受到約束，即上式的F表達(dá)式中包含未知的約束力，所以還需要附加方程。質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)微分方程：1、平動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律2、約束反作用力騎自行車時(shí)，為何不能急剎前閘？思考剛體的平動(dòng)剛體平動(dòng)時(shí)可用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表。由于剛體平動(dòng)時(shí)，剛剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，通常選該定軸為z軸。剛體上的各點(diǎn)軌道都是一個(gè)平行于xoy平面，且以z軸上的垂足為圓心的圓圈。剛體上的各點(diǎn)間不同的量：剛體上的各點(diǎn)間相同的量：相互關(guān)系1：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，通常選該定軸為z軸。剛體上剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2相互關(guān)系2：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2相互關(guān)系2：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3動(dòng)量矩定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程求解動(dòng)力學(xué)方程便得描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能：若所受外力皆為保守力，則：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3動(dòng)量矩定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)例題_復(fù)擺1例（教材P188）：設(shè)質(zhì)量為m的復(fù)擺繞通過(guò)某點(diǎn)O的水平軸作微小振動(dòng)，試求其運(yùn)動(dòng)方程及振動(dòng)周期，并加以討論。單擺：數(shù)學(xué)擺復(fù)擺：物理擺剛體復(fù)擺懸于O點(diǎn)，其質(zhì)心C距懸點(diǎn)O為l，它繞通過(guò)懸點(diǎn)且垂直于紙面的軸擺動(dòng)。圖示為剛體包含質(zhì)心的一個(gè)剖面。假設(shè)剛體繞該定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，回旋半徑為k0，即：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：例題_復(fù)擺1例（教材P188）：設(shè)質(zhì)量為m的復(fù)擺繞通過(guò)某點(diǎn)O例題_復(fù)擺2通解例題_復(fù)擺2通解例題_復(fù)擺3復(fù)擺周期：?jiǎn)螖[周期：?jiǎn)螖[擺長(zhǎng)此為該剛體的等值單擺擺長(zhǎng)即：相當(dāng)于集所有質(zhì)量于O’點(diǎn)的一個(gè)單擺。復(fù)擺的振動(dòng)中心例題_復(fù)擺3復(fù)擺周期：?jiǎn)螖[周期：?jiǎn)螖[擺長(zhǎng)此為該剛體的等值單擺例題_復(fù)擺4以O(shè)為懸點(diǎn)的周期：以O(shè)’為懸點(diǎn)的周期：懸點(diǎn)和振動(dòng)中心可以互換。應(yīng)用：實(shí)驗(yàn)測(cè)定重力加速度g。優(yōu)于單擺方法。例題_復(fù)擺4以O(shè)為懸點(diǎn)的周期：以O(shè)’為懸點(diǎn)的周期：懸點(diǎn)和振動(dòng)思考棒球手或壘球手怎樣打球可以避免手受到很強(qiáng)的沖擊，減小疼痛？思考利用復(fù)擺測(cè)定重力加速度比單擺精確的原因？思考棒球手或壘球手怎樣打球可以避免手受到很強(qiáng)的沖擊，減小疼痛補(bǔ)充例題_教材P228設(shè)均質(zhì)棒的線密度為，可證明長(zhǎng)為x的棒對(duì)于過(guò)其端點(diǎn)的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：。所以：該擺對(duì)于過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：要想得角度的關(guān)系（運(yùn)動(dòng)方程），需解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，而這首先要得到相對(duì)于定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和力矩的表達(dá)式。選夾角增大的方向(向內(nèi))為正方向，則擺對(duì)于過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩為：補(bǔ)充例題_教材P228設(shè)均質(zhì)棒的線密度為，可證明長(zhǎng)補(bǔ)充例題_教材P228定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：即：兩邊都乘以后根據(jù)初始條件積分：補(bǔ)充例題_教材P228定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：即：兩邊都乘以補(bǔ)充例題_教材P228此即夾角最大值所滿足的關(guān)系，然而我們從中仍然沒有一個(gè)直觀和明了的感覺。不過(guò)我們對(duì)于這樣一個(gè)擺在平衡狀態(tài)下的夾角是很容易測(cè)得的，設(shè)為，下面我們來(lái)看一下兩者是否有一定的關(guān)系。平衡時(shí)力矩和為零：補(bǔ)充例題_教材P228此即夾角最大值所滿足的關(guān)系，然而我們從補(bǔ)充例題_教材P228即：短棒與垂線間的最大夾角為平衡時(shí)夾角的兩倍。補(bǔ)充例題_教材P228即：短棒與垂線間的最大夾角為平衡時(shí)夾角定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)為非自由運(yùn)動(dòng)。軸對(duì)剛體具有約束作用。如何求出約束反力呢？定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體A、B兩點(diǎn)不動(dòng)軸的約束A、B兩點(diǎn)的約束反力動(dòng)量定理（3）動(dòng)量矩定理（3）剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律（1）A、B處的約束反力（5）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)為非自由運(yùn)動(dòng)。軸對(duì)剛體具有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力2動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力2動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力4剛體對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力4剛體對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力5此為剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩定理動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力5此為剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力6附加壓力為零的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，我們稱其達(dá)到了動(dòng)平衡狀態(tài)。此時(shí)的轉(zhuǎn)軸稱為自由轉(zhuǎn)軸。剛體處于平衡狀態(tài)，A、B兩點(diǎn)的力稱靜力反作用力。剛體處于非平衡狀態(tài)，A、B兩點(diǎn)的力稱動(dòng)力反作用力。靜力反作用力動(dòng)力反作用力附加壓力定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力6附加壓力為零的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，我們稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力7動(dòng)平衡的充要條件：即剛體的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，且轉(zhuǎn)動(dòng)軸是一慣量主軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力7動(dòng)平衡的充要條件：即剛體的質(zhì)心位于例題_附加壓力例：(教材P192)，參看書本。高速運(yùn)轉(zhuǎn)物體的附加壓力遠(yuǎn)大于靜力反作用力，且為周期性沖擊，會(huì)對(duì)軸承造成嚴(yán)重?fù)p傷。因此，保證高速運(yùn)轉(zhuǎn)物體的動(dòng)平衡是機(jī)器安裝的一個(gè)重要方面。注意例題_附加壓力例：(教材P192)，參看書本。高速運(yùn)轉(zhuǎn)物體的剛體平面平行運(yùn)動(dòng)對(duì)于作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體，空間運(yùn)動(dòng)問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為一平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。只需研究剛體內(nèi)任意一個(gè)與固定平面平行的截面即可。純平動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)純轉(zhuǎn)動(dòng)薄片上所有點(diǎn)的速度、加速度都與基點(diǎn)相同。任意一點(diǎn)的速度、加速度可由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律得到。AB剛體平面平行運(yùn)動(dòng)對(duì)于作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體，空間運(yùn)動(dòng)問(wèn)題可以簡(jiǎn)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_速度、加速度設(shè)基點(diǎn)A的速度為，而它的位矢為，則薄片中位矢為的任意一點(diǎn)的速度為：加速度為：方向？！剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_速度、加速度設(shè)基點(diǎn)A的速度為，而剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心1轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心：當(dāng)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體（薄片）的角速度不為零時(shí)，在任一時(shí)刻，薄片所在的平面上總會(huì)有一個(gè)速度為零的點(diǎn)，該點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，記為C。令速度為零可得轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心相對(duì)于固定系的坐標(biāo)：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心相對(duì)于A點(diǎn)動(dòng)系的坐標(biāo)：構(gòu)成空間極跡（固定平面）構(gòu)成本體極跡（薄片動(dòng)系）剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心1轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心：當(dāng)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體（剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)_轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心2若選轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心C為基點(diǎn)，薄片的運(yùn)動(dòng)會(huì)是什么情況？薄片的平面平動(dòng)繞基點(diǎn)（轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心）的轉(zhuǎn)動(dòng)如何尋找和確定轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心？對(duì)于純轉(zhuǎn)動(dòng)而言，速度垂直于位矢，所以只要知道薄片上任兩點(diǎn)的速度，就可以找出轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。本體極跡和空間極跡在某時(shí)刻的公切點(diǎn)即此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。薄片的平面平動(dòng)本體極跡在空間極跡上無(wú)滑滾動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的速度為零，但加速度不為零!轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心不一定在薄片上，在其所在的平面！注意從基點(diǎn)速度矢量開始，順轉(zhuǎn)一直角的方向上，取線段剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)_轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心2若選轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心C為基點(diǎn)，薄片的例題_尋找轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心例題_尋找轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心剛體平面平行運(yùn)動(dòng)_動(dòng)力學(xué)基點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)任選:基點(diǎn)平動(dòng)＋繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心平面平行運(yùn)動(dòng)質(zhì)心平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)于質(zhì)