機械工程控制基礎課件頻率特性分析

第四章

頻率特性分析第四章

頻率特性分析機械工程控制基礎課件頻率特性分析機械工程控制基礎課件頻率特性分析4.1頻率特性概述4.2頻率特性的圖示方法4.3閉環(huán)頻率特性（自學）4.4頻率特性的特征量4.5最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)4.6利用MATLAB對系統(tǒng)進行頻率特性分析4.1頻率特性概述

時域分析的缺陷高階系統(tǒng)的分析難以進行；難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結構變化對系統(tǒng)性能的影響；當系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進行。時域分析的缺陷高階系統(tǒng)的分析難以進行；頻域分析：頻率特性分析法是經典控制理論中常用的分析與研究系統(tǒng)特性的方法。頻域分析的目的：以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結構參數(shù)與性能的關系。頻率特性包括幅頻特性和相頻特性，它在頻率域里全面地描述了系統(tǒng)輸入和輸出之間的關系即系統(tǒng)的特性。頻率特性在有些書中又稱為頻率響應。本書中頻率響應是指系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)輸出。通過本章的學習將會看到，頻率特性和頻率響應是兩個聯(lián)系密切但又有區(qū)別的概念。頻域分析：頻率特性分析方法具有如下特點：這種方法可以通過分析系統(tǒng)對不同頻率的穩(wěn)態(tài)響應來獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性。頻率特性有明確的物理意義，可以用實驗的方法獲得。這對那些不能或難于用分析方法建立數(shù)學模型的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，具有非常重要的意義。不需要解閉環(huán)特征方程。由開環(huán)頻率特性即可研究閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性。頻率特性分析方法具有如下特點：優(yōu)點：無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進性能的方向易于實驗分析可推廣應用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）；可方便設計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。優(yōu)點：無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能4.1頻率特性概述解：例：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當輸入信號為xi(t)=Asint時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。4.1頻率特性概述解：例：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當輸入由Laplace反變換得：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為由Laplace反變換得：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為幅值是頻率的函數(shù)相位是頻率的函數(shù)輸出頻率不變系統(tǒng)xi(t)x0(t)Asint穩(wěn)態(tài)輸出信號幅值是頻率的函數(shù)系統(tǒng)xi(t)x0(t)Asint穩(wěn)態(tài)輸出2、頻率特性

線性系統(tǒng)在諧波信號輸入時，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率變化的特性，稱為該系統(tǒng)的頻率特性.注意：頻率特性是系統(tǒng)在頻域的數(shù)學模型幅頻特性A()相頻特性φ()包括=輸出相位-輸入相位=φ()2、頻率特性線性系統(tǒng)在諧波信號輸入二、頻率特性的求法1、利用系統(tǒng)的頻率響應來求xo(t)(穩(wěn)態(tài)響應)頻率響應Xo(s)=Xi(s)G(s)Laplace變換xo(t)=limxo(t)t→∞二、頻率特性的求法1、利用系統(tǒng)的頻率響應來求xo(t)(穩(wěn)態(tài)2、用傳函G(s)的s換為j來求復數(shù)表示法：（1）代數(shù)表示法：a+jb（2）指數(shù)表示法：|A|ej（3）極坐標表示法：|A|∠φImReabA--------幅值-------相位2、用傳函G(s)的s換為j來求復數(shù)表示法：（2）指數(shù)表復數(shù)的運算法則：已知復數(shù)：

A=a+jb=A1∠

1

B=c+jd=B1∠

21）兩復數(shù)相加：實部相加，虛部相加

A+B=(a+c)+j(b+d)2）兩復數(shù)相減：實部相減，虛部相減

A-B=(a-b)+j(b-d)復數(shù)的運算法則：已知復數(shù)：3）兩復數(shù)相乘：幅值相乘，相位相加

A×B=(A1×B1)∠1+

24）兩復數(shù)相除：幅值相除，相位相減3）兩復數(shù)相乘：幅值相乘，相位相加A×B=(A相頻特性：()=-arctanT例求慣性環(huán)節(jié)的頻率特性相頻特性：()=-arctanT例求慣性環(huán)節(jié)例求閉環(huán)傳函為的頻率特性例求閉環(huán)傳函為機械工程控制基礎課件頻率特性分析機械工程控制基礎課件頻率特性分析3、實驗方法求頻率特性進而求G(s)

(當傳函未知時采用)正弦發(fā)生器被測系統(tǒng)改變頻率圖形顯示器3、實驗方法求頻率特性進而求G(s)

(當傳函未知系統(tǒng)s傳遞函數(shù)j頻率特性ddtsddtjsj微分方程系統(tǒng)s傳遞函數(shù)j頻率特性ddtsddtjsj微分方程2、通過分析不同的諧波輸入，以獲得系統(tǒng)

的動態(tài)特性3、可方便的分析系統(tǒng)的結構及參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響4、可方便分析高階系統(tǒng)的性能5、可設計出合適的通頻帶，以控制系統(tǒng)噪音的影響2、通過分析不同的諧波輸入，以獲得系統(tǒng)

的動態(tài)特性3、4.2頻率特性的圖示方法

一、頻率特性的極坐標圖1、定義其中，P()、Q()分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。顯然：4.2頻率特性的圖示方法一、頻率特性的極坐標圖其

以頻率特性|G(j)|G

(j)作為一矢量，當由0變化到時，矢量的端點在復平面上形成的軌跡稱為Nyquist圖。ReImA()()相角()的符號規(guī)定逆時針方向旋轉為正。以頻率特性|G(j)|G(j)作為一2、典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（1）比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： G(s)=K頻率特性： G(j)=K=Kej0=K∠0幅頻特性： A()=K相頻特性： ()=0實頻特性： P()=K虛頻特性： Q()=02、典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（1）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)Nyquist圖（K,j0）ImRe比例環(huán)節(jié)Nyquist圖（K,j0）ImRe（2）積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性：()=-90°虛頻特性： 實頻特性： （2）積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 相積分環(huán)節(jié)Nyquist圖ImRe積分環(huán)節(jié)具有恒定的相位滯后。積分環(huán)節(jié)Nyquist圖ImRe積分環(huán)節(jié)具有恒定的相位（3）微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 實頻特性： 虛頻特性： 幅頻特性： 相頻特性：()=90°（3）微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 實頻特性： 虛微分環(huán)節(jié)Nyquist圖9000ImRe微分環(huán)節(jié)具有恒定的相位超前。微分環(huán)節(jié)Nyquist圖9000ImRe微分環(huán)節(jié)具有恒（4）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 相頻特性：()=-arctgT幅頻特性： 實頻特性： 虛頻特性： （4）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 相頻特性：(注意到：即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2,0)處，半徑為1/2的一個圓。0ReIm注意到：即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2,0)處，半徑為（5）一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性：()=arctan（5）一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 無論為何值實頻特性：Re()=1相頻特性：()=arctan0ReIm=0=arctan1無論為何值實頻特性：Re()=10ReIm=0=（6）振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

（6）振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 幅頻特性： 相頻特性： 幅頻特性： 相頻特性： 實頻特性： 虛頻特性： 實頻特性： 虛頻特性： 幾點說明

頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動態(tài)結構參數(shù)，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。幾點說明頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復平面應用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：

實際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)，因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類典型信號的響應可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的運動情況。應用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：實際施加于控三、頻率特性的特點和作用1、對頻率特性的分析就是對單位脈沖響應函數(shù)的頻譜分析三、頻率特性的特點和作用1、對頻率特性的分析就是對單位脈沖響振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖

=0時

=n時

=時振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖=0時=n時二階系統(tǒng)的Nyquist圖=0==0.1=0.2=0.5=1=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10=0.3=n二階系統(tǒng)的Nyquist圖=0==0.1=0.諧振現(xiàn)象00.20.40.60.811.21.41.61.8201234

=0.05

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.40

=0.50

=0.707

=1.00/nA()諧振現(xiàn)象00.20.40.60.811.21.41.61.8由振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見，當

較小時，在

=n附近，A()出現(xiàn)峰值，即發(fā)生諧振。諧振峰值Mr對應的頻率r稱為諧振頻率。由于：由振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見，當較小時，在=n附由此可求出：顯然r應大于0，由此可得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振的條件為：由此可求出：顯然r應大于0，由此可得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振的條諧振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910123456789100102030405060708090100MrMp(％)MrMp諧振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.8（7）二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖當

=0時當

=1/時

當

=時（7）二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖當=0時當=二階微分環(huán)節(jié)Nyquist圖G(j)=010=ReIm

=1/2，二階微分環(huán)節(jié)Nyquist圖G(j)=010=（8）延時環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： （8）延時環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 相延時環(huán)節(jié)Nyquist圖01=0ReIm延時環(huán)節(jié)Nyquist圖01=0ReIm3、Nyquist圖的一般形狀（1）

Nyquist圖的繪制步驟1）求出系統(tǒng)對應的頻率特性3、Nyquist圖的一般形狀（1）Nyquist圖的繪制2）分別求=0和=時的幅值和相位|G(j0)|=0.5∠G(j0)=0|G(j)|=0∠G(j)=-180o2）分別求=0和=時的幅值和相位|G(j0)|=03）當曲線跨象限時，求曲線和實軸或虛軸的交點；當曲線不跨象限時，求起始點的漸進線0(0.5,j0)ImRe3）當曲線跨象限時，求曲線和實軸或虛軸的交點；當曲線不跨象限機械工程控制基礎課件頻率特性分析4）勾畫大致曲線0(0,-j0.288)(0.5,j0)ImRe4）勾畫大致曲線0(0,-j0.288)(0.5,例：解：系統(tǒng)的頻率特性為：則有：|G(j0)|=∞∠G(j0)=-900|G(j)|=0∠G(j)=-180o例：解：系統(tǒng)的頻率特性為：則有：|G(j0)|=∞確定漸近線：當=0時：實頻特性：u()=-KT虛頻特性：v()=-ReIm0(-KT,j0)確定漸近線：當=0時：ReIm0(-KT,j0)（2）Nyquist圖的一般形狀1）一般形狀0型系統(tǒng)：G(j0)=K∠0I型系統(tǒng)：G(j0)=∞∠-90oII型系統(tǒng)：G(j0)=∞∠-180o（2）Nyquist圖的一般形狀1）一般形狀0型系統(tǒng)：G(jb.當=∞時由于系統(tǒng)的分母的階次n>分子的階次m

G(j∞)=0∠(n-m)×(-90o)b.當=∞時由于系統(tǒng)的分母的階次n>分子的階次m系統(tǒng)類型起點（=0)終點(=∞)0正實軸上一個有限值按順時針方向越過若干象限與坐標軸相切而趨于原點I曲線漸進于與負虛軸平行的直線II第二象限的無窮大0型I型ImReII型系統(tǒng)類型起點（=0)終點(=∞)0正實軸上一個有限值按順2）當系統(tǒng)含有一階微分環(huán)節(jié)（導前環(huán)節(jié)）時，

Nyquist曲線將發(fā)生“彎曲”G(j0)=∞∠-90oG(j∞)=0∠-90oReIm=0=∞2）當系統(tǒng)含有一階微分環(huán)節(jié)（導前環(huán)節(jié)）時，

Ny二、頻率特性的對數(shù)坐標圖(Bode圖）1、組成1）由幅頻對數(shù)坐標圖和相頻對數(shù)坐標圖組成φ()L()二、頻率特性的對數(shù)坐標圖(Bode圖）1、組成φ()L(1234lgL()2）坐標分度橫坐標：按lg進行分度，但標注真值1010010001000010倍頻dec123縱坐標幅頻：按20lg|G(j)|dB分度相頻：按真實角度線性分度10100100010000101001000100002040L()dB904500φ()縱坐標幅頻：按20lg|G(j)|dB分度10采用Bode圖表示頻率特性的優(yōu)點：可以將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除，化為幅值的加、減，簡化了計算與作圖過程；可以用近似方法作圖，方便了作圖；可分別作出各個環(huán)節(jié)的Bode圖，然后用疊加方法得出系統(tǒng)的Bode圖，并由此看出各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)總特性的影響；對于橫坐標采用對數(shù)分度，所以能把較寬頻率范圍的圖形緊湊地表示出來。采用Bode圖表示頻率特性的優(yōu)點：可以將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除2、典型環(huán)節(jié)的Bode圖（1）比例環(huán)節(jié)

G(jω)=K∠0L(ω)=20lgA(ω)=20lgKL()(20lgK2、典型環(huán)節(jié)的Bode圖（1）比例環(huán)節(jié)L()(2=01=-20dB10=-40dB100(-90110100L()20-20-20dB/decL()=-20lg（2）積分環(huán)節(jié)=01=-20dL()204011023.5-20dB/dec當=1時，L()=20lgK(-90L()2040110（3）微分環(huán)節(jié)G(s)=s與積分環(huán)節(jié)互為鏡像90o+20dB/decL()(20110100-20-90o-20dB/dec（3）微分環(huán)節(jié)G(s)=s與積分環(huán)節(jié)互為鏡像90o+20d（4）慣性環(huán)節(jié)低頻段(

<<1/T)即低頻段可近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。對數(shù)相頻特性：()=-arctgT對數(shù)幅頻特性：（4）慣性環(huán)節(jié)低頻段(<<1/T)即低頻段可近似為0高頻段(

>>1/T)

即高頻段可近似為斜率為-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。高頻段(>>1/T)即高頻段可一階慣性環(huán)節(jié)Bode圖-30-20-10010-90°-45°0°1/TL()/(dB)()(rad/sec)實際幅頻特性漸近線-20dB/dec一階慣性環(huán)節(jié)Bode圖-30-20-10010-90°-45轉折頻率（＝

1/T)

低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點＝

1/T，稱為轉折頻率（截止頻率）。在轉折頻率處，L()-3dB，()＝-45。慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。漸近線誤差轉折頻率（＝1/T)低頻漸近-4-3-2-100.1110T轉折頻率慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線誤差曲線-4-3-2-100.1110T轉折頻率慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特L()-20dB/dec1T00-45o-90o(T0.1T10L()-20dB/dec1T00-45o-90o(（5）一階微分環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1與慣性環(huán)節(jié)互為鏡像010203090°45°0°1/TL()/(dB)()(rad/sec)0.1/T10/T轉折頻率實際幅頻特性漸近線20dB/dec（5）一階微分環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1與慣性環(huán)節(jié)互為鏡像0一階微分環(huán)節(jié)相當于高通濾波器因此，一階微分環(huán)節(jié)對高頻信號有較大的放大作用，這意味著系統(tǒng)抑制噪聲能力的下降。一階微分環(huán)節(jié)相當于高通濾波器（6）振蕩環(huán)節(jié)

對數(shù)幅頻特性

低頻段(

<<n)即低頻漸近線為0dB的水平線。（6）振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 低頻段(<<n)即低高頻段(

>>n)即高頻漸近線為斜率為-40dB/dec的直線。兩條漸近線的交點為n。即振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率等于其無阻尼固有頻率。高頻段(>>n)即高頻漸近線為斜率為-40dB/de對數(shù)相頻特性易知：對數(shù)相頻特性易知：振蕩環(huán)節(jié)Bode圖-180-135-90-4500.1110/n()/(deg)

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2

=0.3-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec

=0.3

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2漸近線振蕩環(huán)節(jié)Bode圖-180-135-90-4500.1110漸近線誤差分析漸近線誤差分析由圖可見，當

較小時，由于在

=n附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實際特性存在較大的誤差，

越小，誤差越大。-8-40481216200.1110

=0.05

=0.10

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.35

=0.40

=0.80

=0.90

=1.00

=0.50

=0.60

=0.707/nError(dB)由圖可見，當較小時，由于在=n附近存在諧振，幅

當0.38<<0.7時，誤差不超過3dB。因此，在此

范圍內，可直接使用漸近對數(shù)幅頻特性，而在此范圍之外，應使用準確的對數(shù)幅頻曲線。-8-40481216200.1110

=0.05

=0.10

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.35

=0.40

=0.80

=0.90

=1.00

=0.50

=0.60

=0.707/nError(dB)當0.38<<0.7時，誤差不超過3dB。

準確的對數(shù)幅頻曲線可在漸近線的基礎上，通過誤差曲線修正而獲得或直接計算。準確的對數(shù)幅頻曲線可在漸近線的基礎上（7）二階微分環(huán)節(jié)

注意到二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)(

＝1/n)，根據(jù)對數(shù)頻率特性圖的特點，二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線關于0dB線對稱，相頻特性曲線關于零度線對稱。（7）二階微分環(huán)節(jié)注意到二階微分環(huán)-40dB/dec90180-90-180+40dB/decφ(λ)λL(λ)λ11-40dB/dec90180-90-180+40dB/dec（8）延時環(huán)節(jié)（G(jω)=1∠-Tω）L(ω)=0φ(ω)=-Tω-600-500-400-300-200-10000.1110

(rad/s)()/(deg)10L()/(dB)0-20-10（8）延時環(huán)節(jié)（G(jω)=1∠-Tω）L(ω)=03、繪制系統(tǒng)Bode圖的步驟1）由G(s)確定系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)形式2）確定積分環(huán)節(jié)的個數(shù)和比例系數(shù)K一個積分環(huán)節(jié)起始直線斜率為-20dB/decK=5在=1處直線的值為20lgK=14dB3、繪制系統(tǒng)Bode圖的步驟1）由G(s)確定系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)3）確定各環(huán)節(jié)的轉折頻率（ω=1/T）ω1=1ω2=204）確定坐標的起始頻率(ωo≈0.1ωmin)ωo=0.15）將傳函按轉折頻率的大小依次由小到大排列-20-20-203）確定各環(huán)節(jié)的轉折頻率（ω=1/T）ω16）畫出系統(tǒng)的Bode圖的漸進線（依據(jù)：當直線和直線相加，則兩直線的斜率相加）0.111010020-20L(ω)2014-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec6）畫出系統(tǒng)的Bode圖的漸進線（依據(jù)：當直線和直線相加，則-90-180-2700.1110100-90-180-2700.14.3閉環(huán)頻率特性（自學）4.3閉環(huán)頻率特性（自學）4.4頻率特性的特征量

一、零頻幅值A(0)：反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度A(0)A()A(0)→1→系統(tǒng)的誤差↓4.4頻率特性的特征量一、零頻幅值A(0)：反映系統(tǒng)的二、諧振頻率r和相對諧振峰值反映系統(tǒng)的相對平穩(wěn)性A(0)A()Amaxr↑→Mr↓→系統(tǒng)的平穩(wěn)性↑二、諧振頻率r和相對諧振峰值反映系統(tǒng)的相對平穩(wěn)性A(0)A三、截止頻率b和截止帶寬0~bb-----A()衰減到0.707A(0)處的頻率A(0)A()b0.707A(0)反映了系統(tǒng)的靜態(tài)噪音濾波特性b↑b↓→系統(tǒng)的tr↓→系統(tǒng)的濾波效果↓→系統(tǒng)的tr↑→系統(tǒng)輸出信號失真較大三、截止頻率b和截止帶寬0~bb-----A()衰§4.5最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)一、定義在復平面的右半平面上沒有極點和零點的傳函為最小相位傳函，對應的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)延遲環(huán)節(jié)通常視為非最小相位環(huán)節(jié)?！?.5最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)一、定義最小相位系統(tǒng)ImReReIm非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)ImReReIm非最小相位系統(tǒng)二、最小相位系統(tǒng)的特點1、最小相位系統(tǒng)的相位變化范圍最小相位差：=(n-m)×(-90o)二、最小相位系統(tǒng)的特點1、最小相位系統(tǒng)的相位變化范圍最小相位第四章

頻率特性分析第四章

頻率特性分析機械工程控制基礎課件頻率特性分析機械工程控制基礎課件頻率特性分析4.1頻率特性概述4.2頻率特性的圖示方法4.3閉環(huán)頻率特性（自學）4.4頻率特性的特征量4.5最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)4.6利用MATLAB對系統(tǒng)進行頻率特性分析4.1頻率特性概述

時域分析的缺陷高階系統(tǒng)的分析難以進行；難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結構變化對系統(tǒng)性能的影響；當系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進行。時域分析的缺陷高階系統(tǒng)的分析難以進行；頻域分析：頻率特性分析法是經典控制理論中常用的分析與研究系統(tǒng)特性的方法。頻域分析的目的：以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結構參數(shù)與性能的關系。頻率特性包括幅頻特性和相頻特性，它在頻率域里全面地描述了系統(tǒng)輸入和輸出之間的關系即系統(tǒng)的特性。頻率特性在有些書中又稱為頻率響應。本書中頻率響應是指系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)輸出。通過本章的學習將會看到，頻率特性和頻率響應是兩個聯(lián)系密切但又有區(qū)別的概念。頻域分析：頻率特性分析方法具有如下特點：這種方法可以通過分析系統(tǒng)對不同頻率的穩(wěn)態(tài)響應來獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性。頻率特性有明確的物理意義，可以用實驗的方法獲得。這對那些不能或難于用分析方法建立數(shù)學模型的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，具有非常重要的意義。不需要解閉環(huán)特征方程。由開環(huán)頻率特性即可研究閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性。頻率特性分析方法具有如下特點：優(yōu)點：無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進性能的方向易于實驗分析可推廣應用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）；可方便設計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。優(yōu)點：無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能4.1頻率特性概述解：例：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當輸入信號為xi(t)=Asint時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。4.1頻率特性概述解：例：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當輸入由Laplace反變換得：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為由Laplace反變換得：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為幅值是頻率的函數(shù)相位是頻率的函數(shù)輸出頻率不變系統(tǒng)xi(t)x0(t)Asint穩(wěn)態(tài)輸出信號幅值是頻率的函數(shù)系統(tǒng)xi(t)x0(t)Asint穩(wěn)態(tài)輸出2、頻率特性

線性系統(tǒng)在諧波信號輸入時，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率變化的特性，稱為該系統(tǒng)的頻率特性.注意：頻率特性是系統(tǒng)在頻域的數(shù)學模型幅頻特性A()相頻特性φ()包括=輸出相位-輸入相位=φ()2、頻率特性線性系統(tǒng)在諧波信號輸入二、頻率特性的求法1、利用系統(tǒng)的頻率響應來求xo(t)(穩(wěn)態(tài)響應)頻率響應Xo(s)=Xi(s)G(s)Laplace變換xo(t)=limxo(t)t→∞二、頻率特性的求法1、利用系統(tǒng)的頻率響應來求xo(t)(穩(wěn)態(tài)2、用傳函G(s)的s換為j來求復數(shù)表示法：（1）代數(shù)表示法：a+jb（2）指數(shù)表示法：|A|ej（3）極坐標表示法：|A|∠φImReabA--------幅值-------相位2、用傳函G(s)的s換為j來求復數(shù)表示法：（2）指數(shù)表復數(shù)的運算法則：已知復數(shù)：

A=a+jb=A1∠

1

B=c+jd=B1∠

21）兩復數(shù)相加：實部相加，虛部相加

A+B=(a+c)+j(b+d)2）兩復數(shù)相減：實部相減，虛部相減

A-B=(a-b)+j(b-d)復數(shù)的運算法則：已知復數(shù)：3）兩復數(shù)相乘：幅值相乘，相位相加

A×B=(A1×B1)∠1+

24）兩復數(shù)相除：幅值相除，相位相減3）兩復數(shù)相乘：幅值相乘，相位相加A×B=(A相頻特性：()=-arctanT例求慣性環(huán)節(jié)的頻率特性相頻特性：()=-arctanT例求慣性環(huán)節(jié)例求閉環(huán)傳函為的頻率特性例求閉環(huán)傳函為機械工程控制基礎課件頻率特性分析機械工程控制基礎課件頻率特性分析3、實驗方法求頻率特性進而求G(s)

(當傳函未知時采用)正弦發(fā)生器被測系統(tǒng)改變頻率圖形顯示器3、實驗方法求頻率特性進而求G(s)

(當傳函未知系統(tǒng)s傳遞函數(shù)j頻率特性ddtsddtjsj微分方程系統(tǒng)s傳遞函數(shù)j頻率特性ddtsddtjsj微分方程2、通過分析不同的諧波輸入，以獲得系統(tǒng)

的動態(tài)特性3、可方便的分析系統(tǒng)的結構及參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響4、可方便分析高階系統(tǒng)的性能5、可設計出合適的通頻帶，以控制系統(tǒng)噪音的影響2、通過分析不同的諧波輸入，以獲得系統(tǒng)

的動態(tài)特性3、4.2頻率特性的圖示方法

一、頻率特性的極坐標圖1、定義其中，P()、Q()分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。顯然：4.2頻率特性的圖示方法一、頻率特性的極坐標圖其

以頻率特性|G(j)|G

(j)作為一矢量，當由0變化到時，矢量的端點在復平面上形成的軌跡稱為Nyquist圖。ReImA()()相角()的符號規(guī)定逆時針方向旋轉為正。以頻率特性|G(j)|G(j)作為一2、典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（1）比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： G(s)=K頻率特性： G(j)=K=Kej0=K∠0幅頻特性： A()=K相頻特性： ()=0實頻特性： P()=K虛頻特性： Q()=02、典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（1）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)Nyquist圖（K,j0）ImRe比例環(huán)節(jié)Nyquist圖（K,j0）ImRe（2）積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性：()=-90°虛頻特性： 實頻特性： （2）積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 相積分環(huán)節(jié)Nyquist圖ImRe積分環(huán)節(jié)具有恒定的相位滯后。積分環(huán)節(jié)Nyquist圖ImRe積分環(huán)節(jié)具有恒定的相位（3）微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 實頻特性： 虛頻特性： 幅頻特性： 相頻特性：()=90°（3）微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 實頻特性： 虛微分環(huán)節(jié)Nyquist圖9000ImRe微分環(huán)節(jié)具有恒定的相位超前。微分環(huán)節(jié)Nyquist圖9000ImRe微分環(huán)節(jié)具有恒（4）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 相頻特性：()=-arctgT幅頻特性： 實頻特性： 虛頻特性： （4）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 相頻特性：(注意到：即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2,0)處，半徑為1/2的一個圓。0ReIm注意到：即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2,0)處，半徑為（5）一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性：()=arctan（5）一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 無論為何值實頻特性：Re()=1相頻特性：()=arctan0ReIm=0=arctan1無論為何值實頻特性：Re()=10ReIm=0=（6）振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

（6）振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 幅頻特性： 相頻特性： 幅頻特性： 相頻特性： 實頻特性： 虛頻特性： 實頻特性： 虛頻特性： 幾點說明

頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動態(tài)結構參數(shù)，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。幾點說明頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復平面應用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：

實際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)，因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類典型信號的響應可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的運動情況。應用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：實際施加于控三、頻率特性的特點和作用1、對頻率特性的分析就是對單位脈沖響應函數(shù)的頻譜分析三、頻率特性的特點和作用1、對頻率特性的分析就是對單位脈沖響振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖

=0時

=n時

=時振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖=0時=n時二階系統(tǒng)的Nyquist圖=0==0.1=0.2=0.5=1=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10=0.3=n二階系統(tǒng)的Nyquist圖=0==0.1=0.諧振現(xiàn)象00.20.40.60.811.21.41.61.8201234

=0.05

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.40

=0.50

=0.707

=1.00/nA()諧振現(xiàn)象00.20.40.60.811.21.41.61.8由振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見，當

較小時，在

=n附近，A()出現(xiàn)峰值，即發(fā)生諧振。諧振峰值Mr對應的頻率r稱為諧振頻率。由于：由振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見，當較小時，在=n附由此可求出：顯然r應大于0，由此可得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振的條件為：由此可求出：顯然r應大于0，由此可得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振的條諧振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910123456789100102030405060708090100MrMp(％)MrMp諧振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.8（7）二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖當

=0時當

=1/時

當

=時（7）二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖當=0時當=二階微分環(huán)節(jié)Nyquist圖G(j)=010=ReIm

=1/2，二階微分環(huán)節(jié)Nyquist圖G(j)=010=（8）延時環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： （8）延時環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 相延時環(huán)節(jié)Nyquist圖01=0ReIm延時環(huán)節(jié)Nyquist圖01=0ReIm3、Nyquist圖的一般形狀（1）

Nyquist圖的繪制步驟1）求出系統(tǒng)對應的頻率特性3、Nyquist圖的一般形狀（1）Nyquist圖的繪制2）分別求=0和=時的幅值和相位|G(j0)|=0.5∠G(j0)=0|G(j)|=0∠G(j)=-180o2）分別求=0和=時的幅值和相位|G(j0)|=03）當曲線跨象限時，求曲線和實軸或虛軸的交點；當曲線不跨象限時，求起始點的漸進線0(0.5,j0)ImRe3）當曲線跨象限時，求曲線和實軸或虛軸的交點；當曲線不跨象限機械工程控制基礎課件頻率特性分析4）勾畫大致曲線0(0,-j0.288)(0.5,j0)ImRe4）勾畫大致曲線0(0,-j0.288)(0.5,例：解：系統(tǒng)的頻率特性為：則有：|G(j0)|=∞∠G(j0)=-900|G(j)|=0∠G(j)=-180o例：解：系統(tǒng)的頻率特性為：則有：|G(j0)|=∞確定漸近線：當=0時：實頻特性：u()=-KT虛頻特性：v()=-ReIm0(-KT,j0)確定漸近線：當=0時：ReIm0(-KT,j0)（2）Nyquist圖的一般形狀1）一般形狀0型系統(tǒng)：G(j0)=K∠0I型系統(tǒng)：G(j0)=∞∠-90oII型系統(tǒng)：G(j0)=∞∠-180o（2）Nyquist圖的一般形狀1）一般形狀0型系統(tǒng)：G(jb.當=∞時由于系統(tǒng)的分母的階次n>分子的階次m

G(j∞)=0∠(n-m)×(-90o)b.當=∞時由于系統(tǒng)的分母的階次n>分子的階次m系統(tǒng)類型起點（=0)終點(=∞)0正實軸上一個有限值按順時針方向越過若干象限與坐標軸相切而趨于原點I曲線漸進于與負虛軸平行的直線II第二象限的無窮大0型I型ImReII型系統(tǒng)類型起點（=0)終點(=∞)0正實軸上一個有限值按順2）當系統(tǒng)含有一階微分環(huán)節(jié)（導前環(huán)節(jié)）時，

Nyquist曲線將發(fā)生“彎曲”G(j0)=∞∠-90oG(j∞)=0∠-90oReIm=0=∞2）當系統(tǒng)含有一階微分環(huán)節(jié)（導前環(huán)節(jié)）時，

Ny二、頻率特性的對數(shù)坐標圖(Bode圖）1、組成1）由幅頻對數(shù)坐標圖和相頻對數(shù)坐標圖組成φ()L()二、頻率特性的對數(shù)坐標圖(Bode圖）1、組成φ()L(1234lgL()2）坐標分度橫坐標：按lg進行分度，但標注真值1010010001000010倍頻dec123縱坐標幅頻：按20lg|G(j)|dB分度相頻：按真實角度線性分度10100100010000101001000100002040L()dB904500φ()縱坐標幅頻：按20lg|G(j)|dB分度10采用Bode圖表示頻率特性的優(yōu)點：可以將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除，化為幅值的加、減，簡化了計算與作圖過程；可以用近似方法作圖，方便了作圖；可分別作出各個環(huán)節(jié)的Bode圖，然后用疊加方法得出系統(tǒng)的Bode圖，并由此看出各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)總特性的影響；對于橫坐標采用對數(shù)分度，所以能把較寬頻率范圍的圖形緊湊地表示出來。采用Bode圖表示頻率特性的優(yōu)點：可以將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除2、典型環(huán)節(jié)的Bode圖（1）比例環(huán)節(jié)

G(jω)=K∠0L(ω)=20lgA(ω)=20lgKL()(20lgK2、典型環(huán)節(jié)的Bode圖（1）比例環(huán)節(jié)L()(2=01=-20dB10=-40dB100(-90110100L()20-20-20dB/decL()=-20lg（2）積分環(huán)節(jié)=01=-20dL()204011023.5-20dB/dec當=1時，L()=20lgK(-90L()2040110（3）微分環(huán)節(jié)G(s)=s與積分環(huán)節(jié)互為鏡像90o+20dB/decL()(20110100-20-90o-20dB/dec（3）微分環(huán)節(jié)G(s)=s與積分環(huán)節(jié)互為鏡像90o+20d（4）慣性環(huán)節(jié)低頻段(

<<1/T)即低頻段可近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。對數(shù)相頻特性：()=-arctgT對數(shù)幅頻特性：（4）慣性環(huán)節(jié)低頻段(<<1/T)即低頻段可近似為0高頻段(

>>1/T)

即高頻段可近似為斜率為-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。高頻段(>>1/T)即高頻段可一階慣性環(huán)節(jié)Bode圖-30-20-10010-90°-45°0°1/TL()/(dB)()(rad/sec)實際幅頻特性漸近線-20dB/dec一階慣性環(huán)節(jié)Bode圖-30-20-10010-90°-45轉折頻率（＝

1/T)

低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點＝

1/T，稱為轉折頻率（截止頻率）。在轉折頻率處，L()-3dB，()＝-45。慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。漸近線誤差轉折頻率（＝1/T)低頻漸近-4-3-2-100.1110T轉折頻率慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線誤差曲線-4-3-2-100.1110T轉折頻率慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特L()-20dB/dec1T00-45o-90o(T0.1T10L()-20dB/dec1T00-45o-90o(（5）一階微分環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1與慣性環(huán)節(jié)互為鏡像010203090°45°0°1/TL()/(dB)()(rad/sec)0.1/T10/T轉折頻率實際幅頻特性漸近線20dB/dec（5）一階微分環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1與慣性環(huán)節(jié)互為鏡像0一階微分環(huán)節(jié)相當于高通濾波器因此，一階微分環(huán)節(jié)對高頻信號有較大的放大作用，這意味著系統(tǒng)抑制噪聲能力的下降。一階微分環(huán)節(jié)相當于高通濾波器（6）振蕩環(huán)節(jié)

對數(shù)幅頻特性

低頻段(

<<n)即低頻漸近線為0dB的水平線。（6）振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 低頻段(<<n)即低高頻段(

>>n)即高頻漸近線為斜率為-40dB/dec的直線。兩條漸近線的交點為n。即振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率等于其無阻尼固有頻率。高頻段(>>n)即高頻漸近線為斜率為-40dB/de對數(shù)相頻特性易知：對數(shù)相頻特性易知：振蕩環(huán)節(jié)Bode圖-180-135-90-4500.1110/n()/(deg)

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2

=0.3-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec

=0.3

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2漸近線振蕩環(huán)節(jié)Bode圖-180-135-90-4500.1110漸近線誤差分析漸近線誤差分析由圖可見，當

較小時，由于在

=n附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實際特性存在較大的誤差，

越小，誤差越大。-8-40481216200.1110

=0.05

=0.10

=0.15

=0.20

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