微積分復(fù)習(xí)無(wú)窮小問(wèn)題課件

微積分復(fù)習(xí)無(wú)窮小問(wèn)題課件2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-歷史微積分是經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)時(shí)間的醞釀才產(chǎn)生的。積分的思想，在阿基米德時(shí)代已經(jīng)萌芽。16、17世紀(jì)之交，開(kāi)普勒、卡瓦列里、費(fèi)馬、沃利斯，特別是巴羅等人作了許多準(zhǔn)備工作。因而微分學(xué)的起點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在積分學(xué)之后。

Leibniz萊布尼茲（1646～1716）31歲時(shí)，作為巴黎外交官，結(jié)識(shí)惠更斯、巴羅、牛頓等名流，開(kāi)始對(duì)微積分進(jìn)行研究。1684年，萊布尼茨發(fā)表《關(guān)于極大極小以及切線的新方法》2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-歷史牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣精深；但萊布尼茲的表達(dá)形式簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確，勝過(guò)牛頓。任何一項(xiàng)重大發(fā)明，都不可能一開(kāi)始便完整無(wú)瑕。17世紀(jì)的微積分帶有嚴(yán)重的邏輯困難，以致受到多方面的非議，它的主要原因之一就是無(wú)窮小問(wèn)題。2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-歷史萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微分和積分是一對(duì)互逆的運(yùn)算，并建立微積分基本定理，從而使微積分學(xué)成為統(tǒng)一整體。牛頓從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度出發(fā)，以“瞬”（無(wú)窮小的“o”）的觀點(diǎn)創(chuàng)建了微積分。萊布尼茲認(rèn)為dx和x相比，如同點(diǎn)和地球，或地球半徑與宇宙半徑相比。牛頓、萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的。究竟極限是什么，無(wú)窮小是什么，在當(dāng)時(shí)是帶有根本性質(zhì)的難題。現(xiàn)在，無(wú)窮小理論也是大家學(xué)習(xí)微積分的關(guān)鍵。2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小的定義1.定義:極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小.2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小的性質(zhì)-無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)1

在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.性質(zhì)2

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.性質(zhì)3

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)4

在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)5

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)6

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小與無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大.定理

同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;

恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)，為無(wú)窮大.2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小與函數(shù)極限注意1.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).3.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);4.2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小理論一切極限問(wèn)題均可以表示為無(wú)窮小問(wèn)題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-從極限計(jì)算開(kāi)始定理，則解商的法則不能用例所以2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1解例(消去零因子法)2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1例解(無(wú)窮小因子分出法)2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小推廣極限法2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用求下列各極限1、2；2、；3、-1；4、-2；5、；6、0；7、答案：2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小的比較2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@常用等價(jià)無(wú)窮小2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@兩個(gè)重要極限(1)(2)用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小到底有多少小從中學(xué)的無(wú)窮等比數(shù)列求和談起2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1

常用函數(shù)公式2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@特別提示：證明此處，也成立2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1例解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1例計(jì)算解令2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@例解無(wú)窮小及其應(yīng)用-12022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1例解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@例解原極限=無(wú)窮小及其應(yīng)用-12022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@解練習(xí)均為正數(shù).2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@例解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小應(yīng)用-洛必塔法則定理2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@微積分復(fù)習(xí)無(wú)窮小問(wèn)題課件微積分復(fù)習(xí)無(wú)窮小問(wèn)題課件2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-歷史微積分是經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)時(shí)間的醞釀才產(chǎn)生的。積分的思想，在阿基米德時(shí)代已經(jīng)萌芽。16、17世紀(jì)之交，開(kāi)普勒、卡瓦列里、費(fèi)馬、沃利斯，特別是巴羅等人作了許多準(zhǔn)備工作。因而微分學(xué)的起點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在積分學(xué)之后。

Leibniz萊布尼茲（1646～1716）31歲時(shí)，作為巴黎外交官，結(jié)識(shí)惠更斯、巴羅、牛頓等名流，開(kāi)始對(duì)微積分進(jìn)行研究。1684年，萊布尼茨發(fā)表《關(guān)于極大極小以及切線的新方法》2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-歷史牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣精深；但萊布尼茲的表達(dá)形式簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確，勝過(guò)牛頓。任何一項(xiàng)重大發(fā)明，都不可能一開(kāi)始便完整無(wú)瑕。17世紀(jì)的微積分帶有嚴(yán)重的邏輯困難，以致受到多方面的非議，它的主要原因之一就是無(wú)窮小問(wèn)題。2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-歷史萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微分和積分是一對(duì)互逆的運(yùn)算，并建立微積分基本定理，從而使微積分學(xué)成為統(tǒng)一整體。牛頓從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度出發(fā)，以“瞬”（無(wú)窮小的“o”）的觀點(diǎn)創(chuàng)建了微積分。萊布尼茲認(rèn)為dx和x相比，如同點(diǎn)和地球，或地球半徑與宇宙半徑相比。牛頓、萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的。究竟極限是什么，無(wú)窮小是什么，在當(dāng)時(shí)是帶有根本性質(zhì)的難題?，F(xiàn)在，無(wú)窮小理論也是大家學(xué)習(xí)微積分的關(guān)鍵。2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小的定義1.定義:極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小.2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小的性質(zhì)-無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)1

在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.性質(zhì)2

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.性質(zhì)3

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)4

在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)5

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)6

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小與無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大.定理

同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;

恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)，為無(wú)窮大.2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小與函數(shù)極限注意1.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).3.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);4.2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小理論一切極限問(wèn)題均可以表示為無(wú)窮小問(wèn)題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-從極限計(jì)算開(kāi)始定理，則解商的法則不能用例所以2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1解例(消去零因子法)2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1例解(無(wú)窮小因子分出法)2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小推廣極限法2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用求下列各極限1、2；2、；3、-1；4、-2；5、；6、0；7、答案：2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小的比較2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@常用等價(jià)無(wú)窮小2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@兩個(gè)重要極限(1)(2)用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小到底有多少小從中學(xué)的無(wú)窮等比數(shù)列求和談起2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1

常用函數(shù)公式2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@特別提示：證明此處，也成立2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1例解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1例計(jì)算解令2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@例解無(wú)窮小及其應(yīng)用-12022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1例解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@例解原極限=無(wú)窮小及其應(yīng)用-12022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@無(wú)窮小及其應(yīng)用-1解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@解練習(xí)均為正數(shù).2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@例解2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12馮國(guó)臣gcfeng@2022/12/16馮國(guó)臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2022/12/12