平面的基本性質共點共線共面課件

平面的基本性質—共點共線共面平面的基本性質—共點共線共面公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。公理3經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面推論1

經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面

推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面知識回顧公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所(2)公理2：

“共點”、“共線”、“共面”問題(3)公理3,推論1、2、3:２、反證法１、理論依據：(1)公理1：判定兩平面相交證點、線共面的依據，確定平面也是作輔助面的依據（“點共線”，“線共點”）判斷或證明直線是否在平面內確定兩個平面的交線，(2)公理2：“共點”、“共線”、“共面”問題(3)公理點共面、線共面、三點共線、三線共點問題的一般方法．1．證明若干點或直線共面通常有兩種思路（1）先由部分元素確定一個平面，再證明其余元素在這平面內．（2）先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合。2．證明三點共線，通常先確定經過兩點的直線是某兩個平面的交線，再證明第三點是這兩個平面的公共點，即該點分別在這兩個平面內．3．證明三線共點通常先證其中的兩條直線相交于一點，然后再證第三條直線經過這一點。點共面、線共面、三點共線、三線共點問題的一般方法．1．證明若已知：如圖1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．求證：p∈a．證明：∵b∩c＝p，∴p∈b．∵β∩γ＝b，∴p∈β．同理，p∈α．又∵α∩β=a，∴p∈a．例、兩個平面兩兩相交，有三條交線，若其中兩條相交于一點，證明第三條交線也過這一點．證法：先證兩條交線交于一點，再證第三條直線也過改點已知：如圖1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩例2、如圖：在四面體ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點，G,H分別在CD,AD上,且DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)求證：直線EH與FG,BD相交于一點例2、如圖：在四面體ABCD中，E,F分別BAQRCP證明：同理Q、R也為公共點所以P、Q、R共線要證明各點共線,只要證明它們是兩個平面的公共點例2、已知△ABC在平面α外，它的的三條邊所在直線分別交平面α于P、Q、R

求證：P、Q、R共線BAQRCP證明：同理Q、R也為公共點所以P、Q、R共線要證3.已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點,平面經過D,E兩點(1)求直線AB與平面的交點P(2)求證:D,E,P三點共線.ABCDEP3.已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點,A例1、已知四條直線兩兩相交，且不共點，求證這四條直線在同一平面內已知:直線a、b、c、d、兩兩相交,且不共點求證:a、

b、c、d在同一平面內分析：四條直線兩兩相交且不共點，可能有兩種：一是有三條直線共點；二是沒有三條直線共點，故證明要分兩種情況．例1、已知四條直線兩兩相交，且不共點，求證這四條直線在同一平（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于點O．求證：a、b、c、d共面．證明：∵d∩a＝P，∴過d、a確定一個平面α（推論2）．同理過d、b和d、c各確定一個平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都經過直線d和d外一點O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本題的方法是“同一法”．（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且無三線共點．求證：a、b、c、d共面證明：∵d∩a＝P，∴d和a確定一個平面α（推論2）．∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．∴a、b、c、d四線共面．（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，已知：直線a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C求證：a,b,c,l共面aA證明：又∵a∩l=A,b∩l=B,

∵a∥b∴a,b,c,l共面bcBCl已知：直線a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=CaA例1:已知:Al,

Bl,Cl,Dl,求證:直線AD,BD,CD在同一平面內.證明:∵Dl,

∴點D與直線l可以確定平面(推論1)lBACD∵Al∴A

又D∴AD平面(公理1)同理:BD平面,CD平面∴直線AD,BD,CD在同一平面內例1:已知:Al,Bl,Cl,Dl,證明:∵共面問題：例題4：已知三條平行線a,b,c都與直線d相交，求證：四條直線共面。Cd共面問題：Cd2.已知:空間四點A、B、C、D不在同一個平面內,求證：直線AB和CD既不相交也不平行.反證法

ABCD2.已知:空間四點A、B、C、D不在同一個平面內,反證法AB１、要證“點共面”

、“線共面”可先由部分點、直線確定一平面，在證其余點、直線也在此平面內，小結２、反證法的應用的意識即納入法１、要證“點共面”、“線共面”可先由部分點、直線確定一平面1．空間四點A、B、C、D共面但不共線，則下列結論成立的是（）A．四點中必有三點共線．B．四點中有三點不共線．C．AB、BC、CD、DA四條直線中總有兩條平行．D．直線AB與CD必相交．課堂練習1．空間四點A、B、C、D共面但不共線，則下列結論成立的是（2．下列命題中，①有三個公共點的兩個平面重合；②梯形的四個頂點在同一平面內；③三條互相平行的直線必共面；④兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中正確命題個數是（）A．0B．1C．2D．32．下列命題中，①有三個公共點的兩個平面重合；②梯形的四個頂3．空間五個點，沒有三點共線，但有四點共面，這樣的五個點可以確定平面數最多為（）A．3B．5C．6D．74．直線l1//l2，在l1上取三點，在l2上取兩點，由這五個點能確_____個平面．3．空間五個點，沒有三點共線，但有四點共面，這樣的五個點可以

填空題:（2)兩個平面可以把空間分成________部分，三個平面呢?_________________。（1）三條直線相交于一點，用其中的兩條確定平面，四條直線相交于一點呢?_____________。最多確定的平面數是_______;看看答案吧看看答案吧363或44，6或7，8看看答案吧填空題:（2)兩個平面可以把空間分成________部3條直線相交于一點時：三條直線相交于一點，用其中的兩條確定平面，最多可以確定3個。（1）、3條直線共面時（2）、每2條直線確定一平面時3條直線相交于一點時：三條直線相交于一點，用其4條直線相交于一點時：三條直線相交于一點，用其中的兩條確定平面，最多可以確定6個。（1）、4條直線全共面時（2）、有3條直線共面時（c）、每2條直線都確定一平面時4條直線相交于一點時：三條直線相交于一點，用2個平面分空間有兩種情況：兩個平面把空間分成3或4個部分。（1）兩平面沒有公共點時（2）兩平面有公共點時2個平面分空間有兩種情況：兩個平面把空間分成3或4個部分。（3個平面（2）（1）（3）（4）（5）3個平面把空間分成4，6，7或8個部分。3個平面（2）（1）（3）（4）（5）3個平面把空間分成4，平面的基本性質—共點共線共面平面的基本性質—共點共線共面公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。公理3經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面推論1

經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面

推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面知識回顧公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所(2)公理2：

“共點”、“共線”、“共面”問題(3)公理3,推論1、2、3:２、反證法１、理論依據：(1)公理1：判定兩平面相交證點、線共面的依據，確定平面也是作輔助面的依據（“點共線”，“線共點”）判斷或證明直線是否在平面內確定兩個平面的交線，(2)公理2：“共點”、“共線”、“共面”問題(3)公理點共面、線共面、三點共線、三線共點問題的一般方法．1．證明若干點或直線共面通常有兩種思路（1）先由部分元素確定一個平面，再證明其余元素在這平面內．（2）先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合。2．證明三點共線，通常先確定經過兩點的直線是某兩個平面的交線，再證明第三點是這兩個平面的公共點，即該點分別在這兩個平面內．3．證明三線共點通常先證其中的兩條直線相交于一點，然后再證第三條直線經過這一點。點共面、線共面、三點共線、三線共點問題的一般方法．1．證明若已知：如圖1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．求證：p∈a．證明：∵b∩c＝p，∴p∈b．∵β∩γ＝b，∴p∈β．同理，p∈α．又∵α∩β=a，∴p∈a．例、兩個平面兩兩相交，有三條交線，若其中兩條相交于一點，證明第三條交線也過這一點．證法：先證兩條交線交于一點，再證第三條直線也過改點已知：如圖1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩例2、如圖：在四面體ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點，G,H分別在CD,AD上,且DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)求證：直線EH與FG,BD相交于一點例2、如圖：在四面體ABCD中，E,F分別BAQRCP證明：同理Q、R也為公共點所以P、Q、R共線要證明各點共線,只要證明它們是兩個平面的公共點例2、已知△ABC在平面α外，它的的三條邊所在直線分別交平面α于P、Q、R

求證：P、Q、R共線BAQRCP證明：同理Q、R也為公共點所以P、Q、R共線要證3.已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點,平面經過D,E兩點(1)求直線AB與平面的交點P(2)求證:D,E,P三點共線.ABCDEP3.已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點,A例1、已知四條直線兩兩相交，且不共點，求證這四條直線在同一平面內已知:直線a、b、c、d、兩兩相交,且不共點求證:a、

b、c、d在同一平面內分析：四條直線兩兩相交且不共點，可能有兩種：一是有三條直線共點；二是沒有三條直線共點，故證明要分兩種情況．例1、已知四條直線兩兩相交，且不共點，求證這四條直線在同一平（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于點O．求證：a、b、c、d共面．證明：∵d∩a＝P，∴過d、a確定一個平面α（推論2）．同理過d、b和d、c各確定一個平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都經過直線d和d外一點O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本題的方法是“同一法”．（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且無三線共點．求證：a、b、c、d共面證明：∵d∩a＝P，∴d和a確定一個平面α（推論2）．∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．∴a、b、c、d四線共面．（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，已知：直線a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C求證：a,b,c,l共面aA證明：又∵a∩l=A,b∩l=B,

∵a∥b∴a,b,c,l共面bcBCl已知：直線a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=CaA例1:已知:Al,

Bl,Cl,Dl,求證:直線AD,BD,CD在同一平面內.證明:∵Dl,

∴點D與直線l可以確定平面(推論1)lBACD∵Al∴A

又D∴AD平面(公理1)同理:BD平面,CD平面∴直線AD,BD,CD在同一平面內例1:已知:Al,Bl,Cl,Dl,證明:∵共面問題：例題4：已知三條平行線a,b,c都與直線d相交，求證：四條直線共面。Cd共面問題：Cd2.已知:空間四點A、B、C、D不在同一個平面內,求證：直線AB和CD既不相交也不平行.反證法

ABCD2.已知:空間四點A、B、C、D不在同一個平面內,反證法AB１、要證“點共面”

、“線共面”可先由部分點、直線確定一平面，在證其余點、直線也在此平面內，小結２、反證法的應用的意識即納入法１、要證“點共面”、“線共面”可先由部分點、直線確定一平面1．空間四點A、B、C、D共面但不共線，則下列結論成立的是（）A．四點中必有三點共線．B．四點中有三點不共線．C．AB、BC、CD、DA四條直線中總有兩條平行．D．直線AB與CD必相交．課堂練習1．空間四點A、B、C、D共面但不共線，則下列結論成立的是（2．下列命題中，①有三個公共點的兩個平面重合；②梯形的四個頂點在同一平面內；③三條互相平行的直線必共面；④兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中正確命題個數是（）A．0B．1C．2D．32．下列命題中，①有三個公共點的兩個平面重合；②梯形的四個頂3．空間五個點，沒有三點共線，但有四點共面，這樣的五個點可以確定平面數最多為