數(shù)學(xué)分析9.3可積條件

數(shù)學(xué)分析9.3可積條件數(shù)學(xué)分析9.3可積條件數(shù)學(xué)分析9.3可積條件資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月數(shù)學(xué)分析9.3可積條件版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：第九章定積分3可積條件一、可積的必要條件定理：若函數(shù)f在[a,b]上可積，則f在[a,b]上必定有界.證：若f在[a,b]上無界，則對(duì)于[a,b]的任一分割T，必存在屬于T的某個(gè)小區(qū)間△k，f在△k上無界.在i≠k的各個(gè)小區(qū)間△i上任取ξi，并記G=||.對(duì)任意大的正數(shù)M，存在ξk∈△k，使得|f(ξk)|>，于是有||≥|f(ξk)△xk|-||>·△xk-G=M.因此，對(duì)于無論多小的║T║，按上述方法選取的點(diǎn)集{ξi}，總能使積分和的絕對(duì)值大于任何預(yù)先給出的正數(shù)，與f在[a,b]上可積矛盾.∴原命題得證.注：任何可積函數(shù)有界，但有界函數(shù)不一定可積。例1：證明狄利克雷函數(shù)D(x)=在[0,1]上有界但不可積.證：∵|D(x)|≤1,x∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又對(duì)于[0,1]的任一分割T，由有理數(shù)和無理數(shù)在實(shí)數(shù)中的稠密可知，在屬于T的任一小區(qū)間△i上，當(dāng)取ξi全為有理數(shù)時(shí)，=1；當(dāng)取ξi全為無理數(shù)時(shí)，=0.即不論║T║多么小，只要點(diǎn)集{ξi}取法不同（全取有理數(shù)或全取無理數(shù)），積分和有不同極限，∴D(x)在[0,1]上不可積.二、可積的充要條件設(shè)f在[a,b]上有界，T是[a,b]上的任一分割，則在每個(gè)△i存在上、下確界：Mi=f(x)，mi=f(x)，i=1,2,…,n.記S(T)=,s(T)=，分別稱為f關(guān)于分割T的上和與下和(或稱為達(dá)布上和與達(dá)布下和，統(tǒng)稱為達(dá)布和)，則任給ξi∈△i,i=1,2,…,n，有s(T)≤≤S(T).注：達(dá)布和與點(diǎn)集{ξi}無關(guān)，只與分割T有關(guān).定理：(可積準(zhǔn)則)函數(shù)f在[a,b]上可積的充要條件是：任給ε>0，總存在相應(yīng)的一個(gè)分割T，使得S(T)-s(T)<ε.注：設(shè)ωi=Mi-mi，稱為f在△i上的振幅，可記為ωif，則有S(T)-s(T)=，可記作.定理’：函數(shù)f在[a,b]上可積的充要條件是：任給ε>0，總存在相應(yīng)的某一分割T，使<ε.可積的充要條件的幾何意義：若f在[a,b]上可積，則如圖，只要分割充分地細(xì)，包圍曲線y=f(x)的一系列小矩形面積之和可以達(dá)到任意??；反之亦然.三、可積函數(shù)類定理：若f為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在[a,b]上可積.證：f在[a,b]上連續(xù)，從而一致連續(xù).∴任給ε>0，存在δ>0，對(duì)[a,b]中任意兩點(diǎn)x’,x”，只要|x’-x”|<δ，就有|f(x’)-f(x”)|<.對(duì)[a,b]作分割T使║T║<δ，則在T所屬的任一區(qū)間△i上，就能使f的振幅滿足ωi=|f(x’)-f(x”)|≤，從而有≤=ε，原命題得證.定理：若f為[a,b]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，則f在[a,b]上可積.證：設(shè)端點(diǎn)b是f在[a,b]上的間斷點(diǎn)，任給ε>0，取δ’>0，滿足δ’<<b-a，其中M與m分別為f在[a,b]上的上確界與下確界.當(dāng)m=M時(shí),f為常量函數(shù)，可積.當(dāng)m<M時(shí)，記f在小區(qū)間△’=[b-δ’,b]上的振幅為ω’，則ω’δ’<(M-m)·=.又f在[a,b-δ’]上連續(xù)，所以可積.∴對(duì)[a,b-δ’]存在某個(gè)分割T’={△1,△2,…,△n-1}，使得<.令△n=△’，則T={△1,△2,…,△n-1,△n}是對(duì)[a,b]的一個(gè)分割，對(duì)于T，有=+ω’δ’<+=ε.∴f在[a,b]上可積.同理可證f在[a,b]上存在其它間斷點(diǎn)時(shí)，原命題仍成立.定理：若f是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)，則f在[a,b]上可積.證：設(shè)f為增函數(shù)，且f(a)<f(b).對(duì)[a,b]的任一分割T，由f的增性，f在T所屬的每個(gè)小區(qū)間△i上的振幅為ωi=f(xi)-f(xi-1)，于是有≤=[f(b)-f(a)]║T║.可見，任給ε>0，只要║T║<，就有<ε.∴f在[a,b]上可積.注：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)有無限多個(gè)間斷點(diǎn)仍可積.例2：試用兩種方法證明函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,1]上可積.證法一：在[0,1]上任取兩點(diǎn)x1<x2.若<x1<x2≤,n=1,2…，則f(x1)=f(x2)；若<x1≤<x2≤或<x1≤<x2≤,n=1,2…，則=f(x1)<f(x2)=或=f(x1)<f(x2)=.同理可證，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)≤f(x2)，∴f在[0,1]上的單調(diào)增.∴f在[0,1]上可積.證法二：任給ε>0，∵=0，∴當(dāng)n充分大時(shí)，有<.即f在[,1]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn).∴f在[,1]上可積，且存在對(duì)[,1]的某一分割T’，使得<.∴對(duì)[0,1]的一個(gè)分割T，由f在[0,]的振幅ω0<0，可得=ω0+<+=ε.∴f在[0,1]上可積.例3：證明黎曼函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,1]上可積，且dx=0.證：任給ε>0，在[0,1]內(nèi)使得>的有理點(diǎn)只有有限個(gè)，設(shè)它們?yōu)閞1,r2…,rk.現(xiàn)對(duì)[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n},使║T║<，將T中所有小區(qū)間分為{△i’|i=1,2,…,m}和{△i”|i=1,2,…,n-m}兩類，其中{△i’}為含有點(diǎn){ri|i=1,2,…,k}的所有小區(qū)間，其個(gè)數(shù)m≤2k.而{△i”}為T中所有其父不含{ri}的小區(qū)間.∵f在△i’上的振幅ωi’≤，∴≤≤·2k║T║<，又f在△i”上的振幅ωi”≤，∴≤<.∴=+<+=ε，∴f在區(qū)間[0,1]上可積.當(dāng)取ξi全為無理數(shù)時(shí)，使f(ξi)=0，∴dx==0.習(xí)題1、證明：若T’是T增加若干個(gè)分點(diǎn)后所得的分割，則≤.證：依題意s(T’)≤s(T),S(T’)≥S(T).∴s(T’)-S(T’)≤s(T)-S(T)，得證.2、證明：若f在[a,b]上可積，[α,β]?[a,b]，則f在[α,β]上也可積.證：∵f在[a,b]上可積，∴任給ε>0，總存在相應(yīng)的一個(gè)分割T，使得S(T)-s(T)<ε.又[α,β]?[a,b]，∴在[α,β]上存在相應(yīng)的一個(gè)分割T’，T’是T減少若干個(gè)分點(diǎn)所點(diǎn)后所得的分割，即有s(T’)≥s(T),S(T’)≤S(T).∴S(T’)-s(T’)≤S(T)-s(T)<ε，得證.3、設(shè)f,g均為定義在[a,b]上的有界函數(shù).證明：若僅在[a,b]中有限個(gè)點(diǎn)處f(x)≠g(x)，則當(dāng)f在[a,b]上可積時(shí)，g在[a,b]上也可積，且dx=dx.證：記F=g-f，則F在[a,b]上只有有限個(gè)點(diǎn)不為零，∴F是[a,b]上可積.對(duì)[a,b]上任何分割T，取每個(gè)△i上的介點(diǎn)ξi，使F(ξi)=0，就有=0，∴==0.又對(duì)任意T，和每個(gè)△i上的任意一點(diǎn)ξi’，有=+=+.由F,f在[a,b]上可積，令║T║→0，等式右邊兩式極限都存在，∴等式左邊的極限也存在，即g在[a,b]上可積，且=+=.4、設(shè)f在[a,b]上有界，{an}?[a,b]，an=c.證明：若f在[a,b]上只有an(n=1,2,…)為其間斷點(diǎn)，則f在[a,b]上可積.證：設(shè)c∈(a,b)，f在[a,b]上的振幅為ω，任給ε>0(<min{c-a,b-c})，由an=c知存在N，使得n>N時(shí)，an∈U(c,)，從而在[a,c-]∪[c+,b]上至多只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，即存在[a,c-],[c+,b]上的分割T’,T”使得<,<.記T為T’,