挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題-平行四邊形存在性問題

挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題--平行四邊形存在性問題挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題--平行四邊形存在性問題挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題--平行四邊形存在性問題挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題--平行四邊形存在性問題編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:教師：學生：時間：2017年月日課題內(nèi)容平行四邊形存在性問題專題攻略一、解平行四邊形的存在性問題一般分三個步驟第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算.二、難點在于尋找分類標準，尋找恰當?shù)姆诸悩藴?，可以使得解的個數(shù)不重復不遺漏，也可以使計算又準又快.三、如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交點.四、如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況.靈活運用向量和中心對稱的性質(zhì)，可以使得解題簡便.典型例題例1．如圖，拋物線：y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B（A在B左側(cè)），A（﹣1，0）、B（3，0），頂點為C（1，﹣2）（1）求過A、B、C三點的圓的半徑．（2）在拋物線上找點P，在y軸上找點E，使以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P、E的坐標．（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，﹣2），∴AB=3﹣（﹣1）=4，AC==2，BC==2，∴AB2=16，AC2+BC2=8+8=16，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，AB是直徑，故半徑為2；（2）①當AB是平行四邊形的邊時，PE=AB=4，且點P、E的縱坐標相等，∴點P的橫坐標為4或﹣4，∴y=×42﹣4﹣=，或y=×42+4﹣=，∴點P、E的坐標為P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，），②如圖，當AB是平行四邊形的對角線時，PE平分AB，∴PE與x軸的交點坐標D（1，0），過點P作PF⊥AB，則OD=FD，∴點F的坐標為（2，0），∴點P的橫坐標為2，y=×22﹣2﹣=﹣，∴點P的縱坐標為，∴點P、E的坐標為P3（2，﹣）、E3（0，），綜上所述，點P、E的坐標為：P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，）或P3（2，﹣）、E3（0，）．例2．將拋物線沿c1：y=﹣x2+沿x軸翻折，得拋物線c2，如圖所示．（1）請直接寫出拋物線c2的表達式．（2）現(xiàn)將拋物線C1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E．①當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．方法一：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可求拋物線c2的表達式；（2）①求出拋物線c1與x軸的兩個交點坐標，分當AD=AE時，當BD=AE時兩種情況討論求解；②存在．理由：連接AN，NE，EM，MA．根據(jù)矩形的判定即可得出．方法二：（1）求出翻折后拋物線頂點坐標，并求出拋物線表達式．（2）①拋物線c1平移m個單位長度后，求出點A，B，D，E的坐標，并分類討論點B在點D左側(cè)和右側(cè)的兩種情況，進而求出m的值．②以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，則AN⊥EN，利用黃金法則二，可求出m的值．【解答】方法一：解：（1）y=x2﹣．（2）①令﹣x2+=0，得x1=﹣1，x2=1則拋物線c1與x軸的兩個交點坐標為（﹣1，0），（1，0）．∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）．當AD=AE時，（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=．當BD=AE時，（1﹣m）﹣（﹣1+m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=2．故當B，D是線段AE的三等分點時，m=或2．②存在．理由：連接AN，NE，EM，MA．依題意可得：M（﹣m，），N（m，﹣）．即M，N關(guān)于原點O對稱，∴OM=ON．∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），∴A，E關(guān)于原點O對稱，∴OA=OE∴四邊形ANEM為平行四邊形．∵AM2=（﹣m﹣1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，則4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，∴m=1，此時△AME是直角三角形，且∠AME=90°．∴當m=1時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形．方法二：（1）略，（2）①拋物線C1：y=﹣x2+，與x軸的兩個交點為（﹣1，0），（1，0），頂點為（0，），拋物線C2：y=﹣x2﹣，與x軸的兩個交點也為（﹣1，0），（1，0），頂點為（0，﹣），拋物線C1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標為（﹣m，），與x軸的兩個交點為A（﹣1﹣m，0）、B（1﹣m，0），AB=2，拋物線C2向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標為（m，﹣），與x軸的兩個交點為D（﹣1+m，0）、E（1+m，0），∴AE=（1+m）﹣（﹣1﹣m）=2（1+m），B、D是線段AE的三等分點，有兩種情況．1、B在D的左側(cè)，AB=AE=2，AE=6，∴2（1+m）=6，m=2，2、B在D的右側(cè)，AB=AE=2，AE=3，∴2（1+m）=3，m=．（3）若A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣）、M（﹣m，），∴點A，E關(guān)于原點對稱，點N，M關(guān)于原點對稱，∴A、N、E、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則AN⊥EN，KAN×KEN=﹣1，∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣），∴=﹣1，∴m=1．強化訓練1．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸交于點A（0，1），過點A的直線與拋物線交于另一點B（3，），過點B作BC⊥x軸，垂足為C．點P是x軸正半軸上的一動點，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，設(shè)OP的長度為m．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在線段OC上（不與點O、C重合）時，試用含m的代數(shù)式表示線段PM的長度；（3）連結(jié)CM，BN，當m為何值時，以B、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，1）和點B（3，），∴，∴，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+1；（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），∵A（0，1），B（3，），∴，∴直線AB的解析式為y=x+1，∵PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，OP=m，∴P（m，0），M（m，m+1），∴PM=m+1；（3）由題意可得：N（m，﹣m2+m+1），∵MN∥BC，∴當MN=BC時，四邊形BCMN為平行四邊形，當點P在線段OC上時，MN=﹣m2+m，又∵BC=，∴﹣m2+m=，解得m1=1，m2=2；當點P在線段OC的延長線上時，MN=m2﹣m，∴m2﹣m=，解得m1=（不合題意，舍去），m2=，綜上所述，當m的值為1或2或時，以B、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形．2．如圖，已知二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）三點．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點G是線段AC上的動點（點G與線段AC的端點不重合），若△ABG與△ABC相似，求點G的坐標；（3）設(shè)圖象M的對稱軸為l，點D（m，n）（﹣1＜m＜2）是圖象M上一動點，當△ACD的面積為時，點D關(guān)于l的對稱點為E，能否在圖象M和l上分別找到點P、Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）．∵二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過C（2，﹣6）點，∴﹣6=a（2+1）（2﹣4），解得a=1．∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+1）（x﹣4），即y=x2﹣3x﹣4．（2）設(shè)直線AC的解析式為y=sx+t，把A、C坐標代入可得，解得，∴線段AC的解析式為y=﹣2x﹣2，設(shè)點G的坐標為（k，﹣2k﹣2）．∵G與C點不重合，∴△ABG與△ABC相似只有△AGB∽△ABC一種情況．∴=．∵AB=5，AC==3，AG==|k+1|，∴=，∴|k+1|=∴k=或k=﹣（舍去），∴點G的坐標為（，﹣）．（3）能．理由如下：如圖，過D點作x軸的垂線交AC于點H，∵D（m，n）（﹣1＜m＜2），∴H（m，﹣2m﹣2）．∵點D（m，n）在圖象M上，∴D（m，m2﹣3m﹣4）．∵△ACD的面積為，∴[﹣2m﹣2﹣（m2﹣3m﹣4）][（m+1）+（2﹣m）]=，即4m2﹣4m+1=0，解得m=．∴D（，﹣）．∵y=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴圖象M的對稱軸l為x=．∵點D關(guān)于l的對稱點為E，∴E（，﹣），∴DE=﹣=2，若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，有兩種情況：當DE為邊時，則有PQ∥DE且PQ=DE=2．∴點P的橫坐標為+2=或﹣2=﹣，∴點P的縱坐標為（﹣）2﹣=﹣，∴點P的坐標為（，﹣）或（﹣，﹣）；當DE為對角線時，則可知P點為拋物線的頂點，即P（，﹣）；綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標為（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．3．已知直線y=kx+b（k≠0）過點F（0，1），與拋物線y=x2相交于B、C兩點．（1）如圖1，當點C的橫坐標為1時，求直線BC的解析式；（2）在（1）的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，設(shè)B（m．n）（m＜0），過點E（0．﹣1）的直線l∥x軸，BR⊥l于R，CS⊥l于S，連接FR、FS．試判斷△RFS的形狀，并說明理由．解：（1）因為點C在拋物線上，所以C（1，），又∵直線BC過C、F兩點，故得方程組：解之，得，所以直線BC的解析式為：y=﹣x+1；（2）要使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，則MD=OF，如圖1所示，設(shè)M（x，﹣x+1），則D（x，x2），∵MD∥y軸，∴MD=﹣x+1﹣x2，由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，①當﹣x+1﹣x2=1時，解得x1=0（舍）或x1=﹣3，所以M（﹣3，），②當﹣x+1﹣x2，=﹣1時，解得，x=，所以M（，）或M（，），綜上所述，存在這樣的點M，使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，M點坐標為（﹣3，）或（，）或（，）；（3）過點F作FT⊥BR于點T，如圖2所示，∵點B（m，n）在拋物線上，∴m2=4n，在Rt△BTF中，BF====，∵n＞0，∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l，∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，∴∠RFS=∠BFC=90°，∴△RFS是直角三角形．4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a（x+1）2﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣），頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線l交拋物線于P，Q兩點，點Q在y軸的右側(cè)．（1）求a的值及點A，B的坐標；（2）當直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時，求直線l的函數(shù)表達式；（3）當點P位于第二象限時，設(shè)PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點N的坐標；若不能，請說明理由．解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0，﹣）．∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3當y=0時，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）．（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）∴S四邊形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：①當直線l邊AD相交與點M1時，則S=×10=3，∴×3×（﹣y）=3∴y=﹣2，點M1（﹣2，﹣2），過點H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直線l的解析式為y=2x+2．②當直線l邊BC相交與點M2時，同理可得點M2（，﹣2），過點H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直線l的解析式為y=﹣x﹣．綜上所述：直線l的函數(shù)表達式為y=2x+2或y=﹣x﹣．（3）設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2）且過點H（﹣1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由，∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，∵點M是線段PQ的中點，∴由中點坐標公式的點M（k﹣1，k2）．假設(shè)存在這樣的N點如圖，直線DN∥PQ，設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k﹣3由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）∵四邊形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=±，∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四邊形DMPN是平行四邊形，∵DM=DN，∴四邊形DMPN為菱形，∴以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時點N的坐標為（﹣2﹣1，1）．5．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）點N是二次函數(shù)圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標．方法一：解：（1）由直線y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又點（﹣1，4）經(jīng)過二次函數(shù)，根據(jù)題意得：，解得：，則二次函數(shù)的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）設(shè)N（x，﹣x2﹣x+1），則M（x，﹣x+1），P（x，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，則當x=﹣時，MN的最大值為；（3）連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．故當N（﹣1，4）時，BM和NC互相垂直平分．方法二：（1）略．（2）設(shè)N（t，﹣），∴M（t，﹣t+1），∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1，∴MN=﹣，當t=﹣時，MN有最大值，MN=．（3）若BM與NC相互垂直平分，則