相似三角形的判定講義全

相似三角形的判定一、知識(shí)點(diǎn)講解判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另外一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定定理2:兩邊對(duì)應(yīng)相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。理解：（1）當(dāng)給出的條件上角為主時(shí)，應(yīng)考慮“兩角對(duì)應(yīng)相等"；當(dāng)給出的條件有邊有角時(shí)，應(yīng)考慮“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等”；當(dāng)給出的條件全是邊時(shí)應(yīng)考慮“三邊對(duì)應(yīng)成比例”。（2）在利用判定定理2時(shí)，一是兩邊的夾角相等，如果不是夾角則不成立。二、典例分析（一）運(yùn)用判定定理判定三角形相似例1在矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DF^AE于點(diǎn)F。（1）求證：aABEsaDFA;（2）若AB=6,AD=12,AE=10，求DF的長(zhǎng)。變式練習(xí)：1、如圖，變式練習(xí)：1、如圖，DE//BC,EF//AB,則圖中相似的三角形一共有（）A、1對(duì)B、2對(duì)C、3對(duì)D、4對(duì)2、具備下列各組條件的兩個(gè)三角形中，不一定相似的是（）A、有一個(gè)角是40°兩個(gè)等腰三角形 B、兩個(gè)等腰直角三角形C、有一個(gè)角為100°的兩個(gè)等腰三角形 D、兩個(gè)等邊三角形例2已知：如圖，在四邊形ABCD中，/B=/ACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=71,求2AD的長(zhǎng)。變式練習(xí):1、如圖，在4ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，下列條件中不能判定aABCsaAED的是（）1、如圖，在4ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，下列條件中不能判定aABCsaAED的是（）A、ZAED=/BB、/ADE=/CaADACC、 = AEABD、2、已知，P是正方形ABCD的邊BC上的點(diǎn)，且BP=3PC,M是CD的中點(diǎn)，求證:△ADM^AMCPoB pC（第2題）ADAEABAC變式練習(xí):例3如圖，小正方形的邊長(zhǎng)為1,則下列選項(xiàng)中的三角形（陰影部分）與MBC相似的是（）1、在4ABC和aA'B'C'中，AB=3cm,BC=6cm,CA=5cm,AB'=3cm,B'C'=2.5cm,ACz=1.5cm,則下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A、4ABC與aA'B'0'相似B、AB與A'B'是對(duì)應(yīng)邊 C、相似比為2：1D、AB與A'C'是對(duì)應(yīng)邊2、網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為12、網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格點(diǎn)，試證明：MBCsaDEFo（二）判定定理的運(yùn)用例4如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接EC,過點(diǎn)E作直線EF交AB于點(diǎn)F。當(dāng)EF與CE滿足什么條件時(shí)，4AEF與4DCE相似？并說明理由。變式練習(xí):1、如圖，在4ABC中，/ADE=/C,則下列等式成立的是（ ）八ADAB AEADA、=——B、——=——八ADAB AEADA、=——B、——=——ABAC BCBDC、DE_AE

BC-AD、DE_AD

BC-AB第3題第1題 第2題2、如圖，/ABD=/C,AB=5,AD=3.5,則AC=。3、如圖，D是AC上一點(diǎn)，BE//AC,BE=AD,AE分別交BD、80于點(diǎn)F、G,/1=/2。求證：FD2=FG-FE.反饋練習(xí)基礎(chǔ)夯實(shí)1、如圖，ADLBC于點(diǎn)D,CELAB于點(diǎn)E交AD于點(diǎn)F,則圖中與4AEF相似的三角形的個(gè)數(shù)是（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)D（第1題）B C（第2題）即 1（第3題）D（第1題）B C（第2題）即 1（第3題）RDD（第4題）（第5題）2、如圖，在RtaABC中，/ACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則CE的長(zhǎng)為（）A、B、D、23、如圖，4ABC中，AB=AC,/A=36°,BD平分/ABC,3、如圖，4ABC中，AB=AC,/A=36°CD;③BC2=AC?CD;④AD：DC=AB：BC,其中正確的結(jié)論有（A、A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)4、A、/ABD=/ACBB、/4、A、/ABD=/ACBB、/ADB=/ABCC>AB2=AD-ACD、ADABAB

B如下圖，下列條件不能判定aADBs^ABC的是（）5、A、△ADC^AACBB>ABDC^ABCAC>AADC^ACDBD、無相似三角形6、滿足下列條件的各對(duì)三角形中是相似三角形的是（）A、/A=60°,AB=5cm,AC=10cm；/A'=60°,A'B'=3cm,AC=10cmB、/A=45°,AB=4cm5、A、△ADC^AACBB>ABDC^ABCAC>AADC^ACDBD、無相似三角形6、滿足下列條件的各對(duì)三角形中是相似三角形的是（）A、/A=60°,AB=5cm,AC=10cm；/A'=60°,A'B'=3cm,AC=10cmB、/A=45°,AB=4cm,BC=6cm；/D=45°,DE=2cm,DF=3cmC、/C=/E=30°,AB=8cm,BC=4cm；DF=6cm,FE=3cmD、/A=/A'，且AB?A'C’=AC?A'B’7、如圖，已知AB^BD,ED1BD,C是線段BD的中點(diǎn)，且AC^CE,ED=1,BD=4,那么AB=8、如圖，在DABCD中，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，直線DF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,BP//DF,且與AD相交于點(diǎn)P,請(qǐng)從圖中找出一組相似的三角形第7題第8題第9題第10題第11題如圖，在aABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AC2=AD-AB,則9、如圖，在邊長(zhǎng)為9的正三角形ABC中，BD=3,/ADE=60°,則AE的長(zhǎng)為。10、如圖，在4ABC中，D是ABA邊上一點(diǎn)，連接CD，要使4ADC與4ACB相似，應(yīng)添加的條件是 。(寫出一個(gè)即可)11、如圖，在MBC中，CDLAB,垂足為D,下列條件中，能證明MBC是直角三角形的有①/A+/B=90°;②AB2=AC2+BC2；③AC=CD；@CD2=AD-BDOABBD12、如圖，已知，/ACB=/ABD=90°,BC=6,AC=8,當(dāng)BD=圖中的兩個(gè)直角三角形相似。13、如圖，/1=/2,/B=/D,AB=DE=5,BC=4。(1)求證：aABCsaADE;(2)求AD的長(zhǎng)。14、如圖，4ABC中，CD是邊AB上的高，且AD=CD。CDBD(1)求證：aACDsaCBD;(2)求/ACB的大小。15、如圖，矩形ABCD為臺(tái)球桌面，AD=260cm,AB=130cm。球目前在點(diǎn)E的位置，AE=60cm,如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過去，經(jīng)過反彈后，球剛好彈到點(diǎn)D的位置。(1)求證：△BEFsaCDF;(2)求CF的長(zhǎng)。

AFAF16、已知，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,AE=EB，MN=1，線段MN的兩端在BC、CD上滑動(dòng)，在滑動(dòng)過程中，以M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與^AED可能相似嗎？若能，求出相似時(shí)CM的長(zhǎng)。能力提升17、如圖，在直角梯形能力提升17、如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD,/C=90°,/BDA=90則下列等式成立的是（）,AB=a,BD=b,CD=c,BC=d,AD=c,A、A、b2=ac B、b2=ceC、be=ac D、bd=aeDdB第17題第18題DdB第17題第18題D第19題18、如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B為止，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)到點(diǎn)A止，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/s，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s。如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與^ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A、3秒或4.8秒B、3秒C、4.5秒D、4.5秒或4.8秒19、如圖，D是等邊4ABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD：DB=1：2,現(xiàn)將4ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E、F分別在AC和BC上，則CE：CF=（ ）A3456A、一B、一C、一D、一456720、如圖，4AOB是直角三角形，/AOB=90°,OB=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=1的圖像上，若點(diǎn)B在反x比例函數(shù)y=-的圖像上，則k的值為（ ） A、-4 B、4C、-2D、2x第20題 第21題 第22題21、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（4,0）,B（0,2）,如果點(diǎn)C在x軸上（點(diǎn)C與點(diǎn)A不重合），當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，使得以點(diǎn)B、O、C為頂點(diǎn)的三角形與4AOB相似。22、已知，如圖，DABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在邊BC上延長(zhǎng)線上，且OE=OB,連接DE。求證：（1）DE1BE;（2）如果OE^CD,求證：△CEDsaDEB。23、如圖，在DABCD中，過點(diǎn)A作AE^BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點(diǎn)，且/AFE=/B°(1)求證：△ADFsaDEC;(2)若AB=8,AD=6<3,AF=4,3，求AE的長(zhǎng)。24、學(xué)習(xí)《圖形的相似》后，我們可以根據(jù)探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得的經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直角三角形相似的條件。“充分于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等”，類似在，你可以得到“滿足,或 ，兩個(gè)直角三角形相似”；“滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，類似地，你可以得到“滿足的兩個(gè)直角三角形相似”。請(qǐng)結(jié)合下列所給圖形，寫出已知，并完成證明過程。已知：如圖， 。求證：RtaABCsRtaA'B'C'。25、如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，EF1AE,EF分別交AC、CD于點(diǎn)M、F,BG^AC,垂足為G,BG交AE于點(diǎn)H。(1)求證：△ABEsaECF;(2)找出與^ABH相似的三角形，并證明；(3)若E是BC中點(diǎn)，BC=2AB,AB=2,求EM的長(zhǎng)。思維拓展26、如圖1,直線AB分別與兩坐標(biāo)軸將于點(diǎn)A(4,0),B(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0)。(1)求直線AB的解析式；(2)在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P。①如圖2,過點(diǎn)P分別作x、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F,若矩形OEPF的面積為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo);②連接CP,是否存在點(diǎn)P,使4ACP與^AOB相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。27、如圖，矩形ABCD中，AD=3cm,AB=acm(a>3)。動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，分別沿"/運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s。過點(diǎn)M作直線垂直于AB,分別交AN、CD于點(diǎn)P、Q，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。(1)若a=4cm，t=1s，則PM=cm；(2)連接PD、PB,若a=5cm,求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t,命名△PNBs^PAD,并求出它們的相似比；(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍。參考答案反饋練習(xí)基礎(chǔ)夯實(shí)1、C 2、B3、D4、D5、A6、D 1、C 2、B3、D4、D5、A6、D 7、48>ADCF^AEBF9、710、ADACAC

A11、①②④15-4012、二或二2 313、(1)25T14、(1)略(2)90°15、(1)16916、上5或2.<5

5 5能力提高能力提高17、17、A18、A19、聚源里歌普工式箱黯僦對(duì)苣蒸麗演技；ZEDF=ZC=600,CE=]聚源里歌普工式箱黯僦對(duì)苣蒸麗演技；ZEDF=ZC=600,CE=]相等的兩三角相相似可得△AEDS21EDK所以