（江蘇專用版 ）2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 學(xué)業(yè)分層測評6 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 蘇教版選修4-4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)業(yè)分層測評（六）圓錐曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用（建議用時：45分鐘）［學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)］1．過橢圓eq\f(x2，25）＋eq\f(y2,9)＝1的左焦點(diǎn)引一條直線與橢圓自上而下交于A、B兩點(diǎn)，若FA＝2FB，求直線l的斜率．【解】橢圓eq\f(x2,25）＋eq\f（y2,9）＝1中,a＝5，b＝3，c＝4,所以e＝eq\f（4，5），p＝eq\f（b2，c)＝eq\f(9,4）.取橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸正方向，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(\f（4，5）×\f(9，4）,1－\f(4，5）cosθ)＝eq\f(9,5－4cosθ）.設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，π＋θ）．由題設(shè)得ρ1＝2ρ2.于是eq\f（9，5－4cosθ)＝2×eq\f(9，5＋4cosθ），解得cosθ＝eq\f（5，12），所以tanθ＝eq\f（\r（119），5），即直線l的斜率為eq\f（\r(119），5)。2．已知橢圓方程為ρ＝eq\f（16,5－3cosθ），過左焦點(diǎn)引弦AB,已知AB＝8,求△AOB的面積．【解】如圖，設(shè)A（ρ1，θ)、B(ρ2,θ＋π)．所以ρ1＋ρ2＝eq\f(16，5－3cosθ）＋eq\f(16,5＋3cosθ)＝eq\f(160，25－9cos2θ）.因?yàn)锳B＝8，所以eq\f(160，25－9cos2θ)＝8，所以cos2θ＝eq\f（5，9），sinθ＝eq\f（2,3）.由橢圓方程知e＝eq\f（c，a)＝eq\f(3，5),eq\f（b2,c）＝eq\f(16,3)，則c＝3。S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝eq\f（1，2）OF·ρ1·sinθ＋eq\f（1，2)OF·ρ2·sinθ＝8。3．如圖4。2-4，過拋物線y2＝2px（p＞0)的焦點(diǎn)F的弦AB與x軸斜交，M為AB的中點(diǎn),MN⊥AB，并交對稱軸于N。圖4.2。4求證:MN2＝AF·BF。【證明】取F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系,則拋物線的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f（p,1－cosθ）.設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π），則AF·BF＝eq\f（p，1－cosθ）·eq\f（p,1＋cosθ）＝eq\f(p2，sin2θ).不妨設(shè)0＜θ＜eq\f(π,2），則MF＝eq\f(1,2）（ρ1－ρ2)＝eq\f(1，2)(eq\f（p，1－cosθ）－eq\f（p，1＋cosθ))＝eq\f(pcosθ,sin2θ)。所以MN＝MF·tanθ＝eq\f（pcosθ，sin2θ）tanθ＝eq\f(p,sinθ）.所以MN2＝AF·BF。4．如圖4。2.5，已知圓F：x2＋y2－4x＝0,拋物線G的頂點(diǎn)是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)是已知圓的圓心F，過圓心且傾斜角為θ的直線l與拋物線G、圓F從上至下順次交于A、B、C、D四點(diǎn)．圖4-2。5（1）當(dāng)直線的斜率為2時,求AB＋CD；(2）當(dāng)θ為何值時,AB＋CD有最小值？并求這個最小值．【解】圓F:x2＋y2－4x＝0的圓心坐標(biāo)為(2,0），半徑為2,所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.以圓心F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系．則圓F的坐標(biāo)方程為ρ＝2，拋物線G的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(4，1－cosθ).設(shè)A(ρ1,θ）、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－4＝ρ1＋ρ2－4＝eq\f(4,1－cosθ）＋eq\f(4，1－cosθ＋π)－4＝eq\f(4,1－cosθ）＋eq\f(4，1＋cosθ）－4＝eq\f（8,1－cos2θ)－4＝eq\f(8，sin2θ)－4.(1）由題意，得tanθ＝2，所以sin2θ＝eq\f（4，5）。所以AB＋CD＝eq\f(8，sin2θ)－4＝6。(2)AB＋CD＝eq\f（8，sin2θ)－4,當(dāng)sin2θ＝1,即θ＝eq\f(π,2）時△ABF2的面積取到最小值4。5．已知拋物線ρ＝eq\f(p,1－cosθ）,過焦點(diǎn)作互相垂直的極徑FA、FB,求△FAB的面積的最小值．【解】設(shè)A（ρ1,θ）、Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（ρ2,θ＋\f（π,2））），則ρ1＝eq\f(p，1－cosθ），ρ2＝eq\f(p，1－cos\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π,2）)))＝eq\f(p，1＋sinθ）?！鱂AB的面積為S＝eq\f(1,2)ρ1ρ2＝eq\f(1，2)·eq\f（p，1－cosθ）·eq\f(p,1＋sinθ）＝eq\f（p2，21－cosθ1＋sinθ）＝eq\f(p2，21－cosθ＋sinθ－sinθcosθ）.設(shè)t＝sinθ－cosθ，則sinθcosθ＝eq\f(1－t2,2)。所以1－cosθ＋sinθ－sinθcosθ＝1＋t－eq\f(1－t2，2）＝eq\f(1,2）（t＋1)2。又t＝sinθ－cosθ＝eq\r（2）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,4））)∈［－eq\r(2)，eq\r（2)],所以當(dāng)t＝eq\r（2）,即θ＝eq\f（3π，4）時,△FAB的面積S有最小值eq\f(p2,1＋\r(2）2）.6．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓短軸的一個頂點(diǎn)，且∠F1PF2＝90°。(1）求橢圓C的離心率；（2）若直線l過左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的面積的最大值為12，求橢圓C的方程．【導(dǎo)學(xué)號:98990017】【解】(1）因?yàn)椤螰1PF2＝90°，所以PFeq\o\al（2，1)＋PFeq\o\al(2,2）＝F1Feq\o\al（2,2)，即a2＋a2＝4c2.所以e＝eq\f(c,a）＝eq\f(\r（2）,2).(2)以橢圓的左焦點(diǎn)F1為極點(diǎn),Fx為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為ρ＝eq\f(\f(\r（2),2）p，1－\f(\r（2)，2）cosθ)＝eq\f(p，\r(2）－cosθ）。設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π），則AB＝AF＋FB＝ρ1＋ρ2＝eq\f（p，\r(2)－cosθ）＋eq\f(p，\r（2)－cosθ＋π）＝eq\f(p，\r(2)－cosθ)＋eq\f（p，\r(2)＋cosθ）＝eq\f(2\r(2）p，2－cos2θ）。因?yàn)镕1F2＝2c，所以△ABF2的邊AB上的高h(yuǎn)為2c｜sinθ｜,△ABF2的面積S＝eq\f（1,2）·AB·h＝eq\f（2\r（2）pc|sinθ｜，2－cos2θ）＝eq\f（2\r(2)pc｜sinθ｜,1＋sin2θ）＝eq\f(2\r(2）pc，\f(1,｜sinθ｜）＋｜sinθ|）.因?yàn)閑q\f（1，｜sinθ|）＋|sinθ|≥2，所以當(dāng)|sinθ|＝1，即θ＝eq\f（π，2）或θ＝eq\f(3π，2）時S取到最大值．所以當(dāng)l過左焦點(diǎn)且垂直于極軸時,△ABF2的面積取到最大值eq\r(2)pc,所以eq\r(2)pc＝12，即b2＝6eq\r（2).故a2－c2＝6eq\r（2)。又eq\f（c，a）＝eq\f（\r（2),2），所以a2＝12eq\r(2),c2＝6eq\r（2).所求橢圓的方程為eq\f(x2，12\r(2）)＋eq\f(y2，6\r（2）)＝1.7．已知橢圓eq\f（x2，24）＋eq\f(y2,16）＝1，直線l：eq\f（x,12）＋eq\f(y,8)＝1，P是l上一點(diǎn),射線OP交橢圓于R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足|OQ｜·|OP|＝｜OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動時,求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．【解】如圖，以O(shè)為極點(diǎn)，Ox為極軸,建立極坐標(biāo)系，則：橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f（48,2cos2θ＋3sin2θ），直線l的極坐標(biāo)方程ρ＝eq\f(24，2cosθ＋3sinθ).由于點(diǎn)Q、R、P在同一射線上,可設(shè)點(diǎn)Q、R、P的極坐標(biāo)分別為(ρ,θ）、(ρ1，θ）、(ρ2，θ),依題意，得ρeq\o\al(2,1）＝eq\f(48，2cos2θ＋3sin2θ)，①ρ2＝eq\f(24,2cosθ＋3sinθ）。②由｜OQ｜·｜OP|＝｜OR｜2得ρ·ρ2＝ρeq\o\al(2,1)(ρ≠0)．將①②代入，得ρ·eq\f（24，2cosθ＋3sinθ)＝eq\f（48，2cos2θ＋3sin2θ），則ρ＝eq\f（4cosθ＋6sinθ,2cos2θ＋3sin2θ）(ρ≠0）．這就是點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程,化為直角坐標(biāo)方程,得2x2＋3y2＝4x＋6y，即eq\f(x－12,\f(5，2))＋eq\f（y－12,\f(5，3))＝1(x、y不同時為0）．∴點(diǎn)Q的軌跡為以(1,1)為中心，長軸平行于x軸，長、短半軸長分別為eq\f(\r(10），2）,eq\f(\r（15）,3)的橢圓（去掉坐標(biāo)原點(diǎn)）．［能力提升]8．建立極坐標(biāo)系證明：已知半圓直徑｜AB｜＝2r（r＞0），半圓外一條直線l與AB所在直線垂直相交于點(diǎn)T，并且｜AT|＝2a（2a＜eq\f(r，2)）．若半圓上相異兩點(diǎn)M，N到l的距離｜MP｜、｜NQ｜滿足|MP|:｜MA｜＝|NQ｜：｜NA|＝1，則|MA｜＋｜NA｜＝|AB｜.【證明】法一以A為極點(diǎn),射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系,則半圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2rcosθ，設(shè)M(ρ1,θ1)，N(ρ2，θ2），則ρ1＝2rcosθ1,ρ2＝2rcosθ2，又|MP|＝2a＋ρ1cosθ1＝2a＋2rcos2θ1，｜NQ｜＝2a＋ρ2cosθ2＝2a＋2rcos2θ2，∴｜MP｜＝2a＋2rcos2θ1＝2rcosθ1,|NQ|＝2a＋2rcos2θ2＝2rcosθ2，∴cosθ1，cosθ2是方程rcos2θ－rcosθ＋a＝0的兩個根，由韋達(dá)定理：cosθ1＋cosθ2＝1，｜MA|＋｜NA|＝2rcosθ1＋2rcosθ2＝2r＝｜AB|。法二以A為極點(diǎn),射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)