2006年考研數(shù)學三真題及答案

2006年考研數(shù)學三真題一、填空題424）(1)??????(??1??→∞ ??

)(1) ??= 。【答案】1。【解析】

(??1

)(1) ??,因為??????

=??????2k1

=1,且?? ??→∞

2??

??→∞ 2??????????

=??????(2k2

=1,故??????

=1。??→∞

2??1

??→∞2??1

??→∞ ??【方法二】??????(??1

)(1)

??????????(1) ????????1 而??→∞ ??

????→∞????????????1 =??????ln(1 1)=0(無窮小)，(1) ??為有界變量，??→∞ ?? ??→∞ ??=??0=。綜上所述，本題正確答案是1?！究键c】高等數(shù)學—函數(shù)、極限、連續(xù)—極限的四則運算(2)設函數(shù)??(??)在??=2的某領域內可導，且??′(??)=????(??),??(2)=1,則??′′(2)= ?！敬鸢浮???3?！窘馕觥勘绢}主要考查復合函數(shù)求導。由??′(??)=????(??)知??′′(??)=????(??)??′(??)=????(??)?????(??)=??2??(??)??′′′(??)=??2??(??)?2??′(??)=2??3??(??)??′′′(2)=2??3??(2)=2??3。綜上所述，本題正確答案是2??3?！究键c】高等數(shù)學—一元函數(shù)微分學—復合函數(shù)的導數(shù)(3)設函數(shù)??(??)可微，且??′(0)=全微????|(1,2)= ?！敬鸢浮??????2????。

1,??=??(4??2???2)處的2????【解析】因為????|(1,2)=??′(4??2???2)?8??|(1,2)=4,????????????

|(1,2)=??′(4??2???2)?(?2??)|(1,2)=?2,????|(1,2)=????

????+

????

|

=4?????2????。????

(1,2)

???? (1,2)綜上所述，本題正確答案是4?????2????。【考點】高等數(shù)學—多元函數(shù)微積分學—偏導數(shù)、全微分(4)設矩??=[2 為二階單位矩陣矩滿????=??+?1 2則|??|= ?！敬鸢浮??！窘馕觥????=??+2?????(?????)=2???|??(?????)|=|????|?|??||?????|==4|?????|=|

1|=2，所以|??|=2。?1 1綜上所述，本題正確答案是2?！究键c】線性代數(shù)—行列式—行列式的概念和基本性質線性代數(shù)—矩陣—矩陣的線性運算(5)設隨機變量??與??相互獨立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，則??{??????{??,??}≤}= ?！敬鸢浮?。9【解析】本題考查均勻分布，兩個隨機變量的獨立性和他們的簡單函數(shù)的分布。事件{??????{??,??}≤1}={??≤1,??≤1}={??≤1}∩{??≤1},又根據(jù)X,Y相互獨立，均服從均勻分布，可以直接寫出{ } 1 1 1P??≤1

= ? = 。3 3 9綜上所述，本題正確答案是1。9【考點】概率論—多維隨機變量的分布—二維隨機變量的分布(6)設總體??的概率密度為??(??)=

1?? |??|(∞ <??<+∞),??,

,?,2 1 2????為總??的隨機簡單樣本，其樣本方差??2,????2= 。??【答案】2。【解析????2=??(X)=??(??2) [??(??)]2=??(??2)=∫+∞??2??(??)????=2∫+∞??21??∞ ∞ 2綜上所述，本題正確答案是2。

|??|????=2。【考點】概率論—隨機變量的數(shù)字特征—隨機變量的數(shù)學期望(均值)、方差、標準差及其性質（7~14432）)??=)??′(??)>,??′′(??)>0??為自變量??在點??0處的增量，???與????分別為??(??)在點??0處對應的增量與微分，若???>0，則(A)0<????<??? (B)0<???<????(C)???<????<0 (C)????<???<0【答案】A?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧坑珊瘮?shù)??=??(??)單調上升且凹，根據(jù)???和????的幾何意義，得如下所示的圖由圖可得0<????<???【方法二】0??(??0+???)>0

)+??′(??0

)?????≠??(??0

+???)???(??0

)>??′(??0

)???>0,???>0，即0<????<???綜上所述，本題正確答案是A。【考點】高等數(shù)學—一元函數(shù)微分學—導數(shù)和微分的概念，導數(shù)的幾何意義和物理意義(8)設函數(shù)??(??)在??=0處連續(xù)，且????????(?2)?→0 ?2

=1,則(A)??(0)=0??′(0)存在 (B)??(0)=1且??′(0)存在? ?(C)??(0)=0且??′(0)存在 (D)??(0)=1且??′(0)存在+ +【答案】C。【解析】由????????(?2)?→0 ?2

=1,且???????2=0,則????????(?2)=0,由于f(x)?→0 ?→0在??=0處連續(xù)，且????????(?2)=??(0)=0,從而?→0????????(?2)?→0

=????????(?2)???(0)=1?→0 由于上式中?2→0(只有從大于零一邊趨于零)，則由上式可得??′(0)綜上所述，本題正確答案是

=1。【考點】高等數(shù)學—函數(shù)、極限、連續(xù)—函數(shù)連續(xù)的概念高等數(shù)學—一元函數(shù)微分學—導數(shù)的概念∑∞??=1

????收斂，則級數(shù)∑∞??=1

|????

|收斂 ∞(B)∑(B)∑

(?1)????收斂??(A)∑∞????=1

????

??1

收斂 ∞(A)∑(A)∑

?????? ??1 收斂2【答案】D?！啤窘馕觥坑伞蕖??=1

????收斂知∑∞

??=1????1 收斂，所以級數(shù)??=1

?????? ??12??=1收斂。??=1綜上所述，本題正確答案是D?！究键c】高等數(shù)學—無窮級數(shù)—收斂級數(shù)的和的概念非齊次線性微分方程??′ ??(??)??=??(??)有兩個不同的解??(??),??1 2

(??),??為任意常數(shù)，則該方程的通解是(A)??[??1

(??)???2

(??)] (B)??1

(??) ??[??1

(??)???2

(??)](C)??[??1

(??) ??2

(??)] (D)??1

(??) ??[??1

(??) ??2

(??)]【答案】B。2(??)?2

(??)是對應其次線性微分方??′ ??(??)??=??(??)的非零解，所以它的通解是??=??[??1

(??)???2

(??)],故原方程的通解為??=??1

(??)+??=??1

(??)+??[??1

(??)???2

(??)]。綜上所述，本題正確答案是B。【考點】高等數(shù)學—常微分方程與差分方程—非齊次線性微分方程性質及解的結構設??(??,??)??(????)??′(????)≠0(????)是?? 0 0??(??,??)在約束條件??(??,??)=0下的一個極值點，下列選項正確的是(A)若??′(??,??)=0，則??′(??,??

)=0?? 0 0 ?? 0 0(B)??′(??

)=0??′(??,

)≠0?? 0 0 ?? 0 (C)若??′(??,??)≠0，則??′(??,??

)=0?? 0 0 ?? 0 0(D)??′(??,??)≠0??′(??,

)≠0?? 0 0 ?? 0 0【答案】D?！窘馕觥勘绢}主要考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法。0作拉格朗日函數(shù)??(??,??,??)=??(??,??)+????(??,??),并記對應??0,??的0??′(??

,

,

)=0????則

0 0 0 即0 ??′(??,??,??)=0?? 0 0 0??0??′(????0

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)=0,消去??得：00??00??′(??,??)+????′(??,00??00

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)≠0,

,

)≠0。?? 0 0 ?? 0 0綜上所述，本題正確答案是D【考點】高等數(shù)學—多元函數(shù)微積分學—二元函數(shù)的極限(12)設??1

,

,?,

??是??×??是??1??

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,?,,?,????

線性相關線性無關

1,

2,?,

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1,

2,?,

??線性相關1??1

2,

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1

2,

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線性無關【答案】A?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧恳驗??1,??2,?,????線性相關，故存在不全為零的數(shù)??,??1 2

,?,

使得??1??

+

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????=011從而有??(??1??11

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)=??0=01即??1????1

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=0,由于??1

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,?,

不全為0而是上式成立，說明????1,????2,?,??????線性相關?！痉椒ǘ坷弥葋砬蠼猓梅謮K矩陣有(????1

,

,?,

)=??(??1

,

,?,????)那么??(????1,????2,?,??????)≤??(??1,??2,?,????)因為??1,??2,?,????線性相關，有??(??1,??2,?,????)<s1從而??(????1,????2,?,??????)<??,故????,????2,?,??????線性相關。1綜上所述，本題正確答案是A【考點】線性代數(shù)—向量—向量組的線性相關與線性無關、向量組的秩設????21????1列110的?1倍加到第2列得??，記??=010，則001(A)??=???1???? (B)??=???????1(C)??=??T???? (D)??=??????T【答案】B?！窘馕觥堪匆阎獥l件，用初等矩陣描述有1 1 0 1 ?1 0??=0 10??,??=??0100 01001所以??=101100??10?1100=?????????。001001綜上所述，本題正確答案是B【考點】線性代數(shù)—矩陣—矩陣的線性運算(14)設隨機變量??服從正態(tài)分布??(??,??2),??服從正態(tài)分布??(??,??2),1 1 2 22且??{|?????1|<1}>??{|?????|<1},則必有2(A)??1(C)??1

<??2<??2

(A)??1(D)??1

>??2>??2【答案】A。【解析】由于??與??的分布不同，不能直接判斷??{|???|<1}和??{|?????|<2較。??{|?????|<1}=??{|?????1|<1},隨機變量?????1~??(0,1),且其概1

??1

??1率密度函數(shù)為偶函數(shù)，故??{|???? 1|<1}=2??{0<???? 1<1}=2[Φ(1) Φ(0)]??1

??1

??1

??1

??1=2Φ(1) 1,同??|<=2Φ(1) 1,??1

2 2因是單調增函數(shù)當<>??{|?? 2

|<1}時，2Φ1) 1>2Φ1) 1即Φ1)>Φ11>1即σ1

?? <??1

??1。

??2

??1

??2綜上所述，本題正確答案是A【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計—隨機變量及其分布—正態(tài)分布及應用三、解答題（15~23小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）(15)（本題滿分7分）設??

??1????

1???????? ????????????????

,??>0,??>0,求= ????????);??→∞(II)????????→0【解析】本題主要考查洛必達法則和等價無窮小的替換。??????時x??????

?? =1,??→∞

??→∞ 1???? ????????????????????= ????????)??→∞

?? ??→∞ ??=????則= ????????)

1 1???? 。??→∞

??????????????(II)????????????(1??→0 ??→0 ??

1????

) π??→0

????????????????=????????→0

???????????????? ??????????????????=??→0=

??????????????????2

??(等價無窮小替換)11??2111??21??→0 2????1????1??22??→0 2??

??=???！究键c】高等數(shù)學—函數(shù)、極限、連續(xù)—無窮小量的比較、洛必達法則(16)（本題滿分7分）計算二重積分?√??2 ????????????,其中??是由直線??=??,??=??1,??=0所圍成的平面區(qū)域。【解析】畫出二重積分，將二重積分化為累次積分即可。??1??=????01????1??=????01??1 ???√??2 ????????????=∫ ????∫ √??2 ?????????? 0 0=2∫1(??2????)

32|??????3 0 ?? 0=2??2????。3 0 9【考點】高等數(shù)學—多元函數(shù)微積分學—二重積分的計算(17)（本題滿分10分）證明：當0<??<??<??時，?????????? 2???????? ????>2???????? ????.【解析】本題可構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性來證明設??(??)=??????????+2????????+?????? ∈[0,??]則??′(??)=????????+???????????2????????+??=???????????????????+????′′(??)=????????????????????????????=???????????<0,?? ∈(0,??)則??′(??)[0,??]上單調減，從而??′(??)>??′(??)=0?? ∈(0,??)因此，??(??)在[0,??]上單調增，0<a<b<π時，??(??)>??(??)即 ??????????+2????????+????>??????????+2????????+?????！究键c】高等數(shù)學—函數(shù)、極限、連續(xù)—基本初等函數(shù)的性質(18)（本題滿分8分）在??0????過點??(0,1),??(??,??)(??≠0)處的切線斜率與直線????????(常數(shù)??>0)。求??的方程；(II)當??與直線??=????所圍成的平面圖形的面積為8時，確定??的值。3【解析】本題需要利用導數(shù)的幾何意義建立微分方程，用定積分計算圖形的面積。(I)設曲線??的方程為??=??(??),則由題設可得??′?????

=????,這是一階線性微分方程，其中??(??)=?1,??(??)=????,代入通解公式得??????????=??

??∫1????

(∫???????∫1????????+??)=??(????+??)=????2+????,又??(1)=0,所以??=???,L??=????2????(??≠0)。(II)??與直線??=????(??>0)所圍成平面圖形如下圖所示，所以：????=????01????=????012??0

?????)]????=??∫2(2?????2)????0=4??=8,故??=2。3 3——基本初等函數(shù)的性質—∑∞??=1

(?1)???1????(2???1)

的收斂域及和函數(shù)??(??)。【解析】因為冪級數(shù)缺項，按函數(shù)項技術收斂域的求法計算；利用逐項求導或積分并結合已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式計算和函數(shù)。記????

(??)=(?1)???1??2??1 ??(2???1)

(?1)????2??3?? (??)??????| ??1 |

(?? 1)(2?? 1)=??????| |=|??|2,????→∞ ????

(??) ??→∞ (?1)???1??2??11)所以|??|2<1,即|??|<1時，所給冪級數(shù)收斂；當|??|>1時,所給冪級數(shù)發(fā)散；當??=±1時，所給冪級數(shù)為(?1)???1

, (?1)?? 均收斂，故所給冪級數(shù)的收斂域[?1,1].在(?1,1)內，

??(2???1) ??(2???1)??(??)=

(?1)???1??

=2??

(?1)???1??

=

(??),??=1 ??(2???1) ??=1(2??)(2???1) 1而??′(??)=∑∞

(?1)???1??2???1,??

=

(?1)???1??2???2= 1 ,1

2???1

??=1

1?? 2所??′(??)???′=∫????′′(??)????=∫??

????=??????????????,1 1 0

01?? 21又??′(0)1

0??(??)1

=??????????????,同理??(??)???1

?? ??(0)=∫??′(??)????=∫??????????????????10 0?? ?? 1=????????????????|???∫ ????=????????????????? ????(1+??2),0 1+??2 201又??1(0)=0,1

(??)=?????????????????1????(1+??2),2故??(??)=2??2?????????????????????(1+??2),??∈(?1,1).由于所給冪級數(shù)在??=±1處都收斂，且??(??)=2x2?????????????????????(1+??2)在??=±1處連續(xù)，所以??(??)在??=±1成立，即??(??)=2??2?????????????????????(1+??2),??∈[?1,1]?！究键c】高等數(shù)學—無窮級數(shù)—理冪級數(shù)及其收斂域、冪級數(shù)的和函數(shù)(20)（本題滿分13分）設四維向量組????=(1+??,1,1,1)??,????=(2,2+??,2,2)??,????=(3,3,3+??,3)??,????=(4,4,4,4+??)??,問??為何值時，????,????,????,????線性相關？當????,????,????,????線性相關時，求其一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表出?！窘馕觥勘绢}考查求極大線性無關組并把其他向量用極大線性無關組線性表出的方法。??個??維向量線性相關?|????,????,?,????|=0,記??=(????,????,????,????)1+??23412+??34123+??41234+??1+??23412+??34123+??41234+??于是當??=0或??=?10時，????,????,????,????線性相關，當??=0時，????為????,????,????,????的一個極大線性無關組，且????=2????,????=3????,????=4????.當??=?10時，對??施以初等行變換，有?9 2 3 4 ?9 ?2 3 412?741012?74100?100123?61000?10

?8 3

→ 10 ?10 0 0?9 2 3 4 0 0 0 012?1012?1010?10120?1100?1

0 → 1 ?1 0

=(????

,????

,????

,??),???? ?? ?? ?? ?? 由于????,??,??為??,??,??,???? ?? ?? ?? ?? ?? 的一個極大?? =??? ??? ???,故??,??,?? 的一個極大?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??????=??????????????！究键c】線性代數(shù)—向量—向量的線性表示、向量組的線性相關與線性無關、向量組的極大線性無關組(21)（本題滿分13分）設三階實對稱矩陣??的各行元素之和均為3，向量=(?1,2?1)T??2=(0?1,1)T????=??的兩個解。??的特征值與特征向量；(II)求正交矩陣??和對角矩陣??，使得????????=??;(III)求??及(???3??)6,其中??為三階單位矩陣。2【解析】本題中??未知，故用定義法求解。131(I)因為矩陣??的各行元素之和均為3,即有??1=3=31,所131以3是矩陣??的特征值，??=(1,1,1)??是??屬于3的特征向量。1又=??=0??2,故1

,??2是矩陣??屬于??=0的兩個線性無關的特征向量。因此矩陣??的特征值是3,0,0.??=3的特征向量為??(1,1,1)??,其中??≠0為常數(shù)；??=0的特征向量為??1

(?1,2,?1)??+??2

(0,?1,1)??,其中??1

,??2是不全為0的常數(shù)。??1

,

不正交，故需要?????????????正交化，?? =???? 1

=(?1,2,?1)??,(??

,??

0 ?3 ?1 1 ?1?? =???? 2

? (????

?? ??,??) ??

= ?1 ? 2 = 0,6 1 ?1 16 ?1 ?1 1??單位?? =1??√6

2 ,????=1?1

0 ,????=1 1.1 √3 1?1 ?1 12√6 √2 √32??=

,

,??)= 0 1 ,??√6 √3???1 1 1√6 √2 √30得 ????????=??= 03(III)由前面???1????=??,??=???????1=???????? 即?1 ?1 1 ?1 2 ?1 √6 √2

√3

√6 √6

1 1 1??= 2 0 1√6

0 ?1 3 √2

1 = 1 1 1,√2 1 1 1?1 1 1√6 √2 √3

1 1 1√3 √3 √3又???1????=??????1(???3??)??=???3??2 23 3 3????1(???2??)6??=(???2??)6=(2)6E所以(???3??)6

=??(

3)6E ???1=(3)6E。2 2 2【考點】線性代數(shù)—矩陣的特征值和特征向量—矩陣的特征值和特征向量的概念、性質、計算(22)（本題滿分13分）??(??)

1? 1<??<0,210 ≤??<2,令??=??2,4{0 .??(??,??)為二維隨機變量(??,??)的分布函數(shù)，求：(I)??的概率密度????

(??);(II)??????(??,??);1,2【解析】(I)設Y的分布函數(shù)為????

(??),則????

(??)=????≤??}=????2≤??}??當??≤0(??)=0??

(??)=0;當0<??<1時，????(??)=≤??≤√??}=≤??<0}+??{0≤??≤??√??}=

1√??+1√??=3√??,????(??)=??′??(??)= 3 ;2 4

8√??當0≤??<4時，??(??)=??{?1≤??<0}+??{0≤??<√??}=1+1√??,??