專題平面向量常見題型與解題指導

平

面

向

量

常

見

題

型

與

解

題

指

導一、考點回顧1本章框圖2高考要求1、理解向量的概念，掌握向量幾何表示，了解共線向量的概念2、掌握向量的加法和減法的運算法則及運算律。、握實數(shù)與向量的積的運算法則及運算律，理解兩個向量共線的充要條件、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度角度和垂直的問題掌向量垂直的條件6掌線的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用；掌握平移公式掌握正、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形通過解三角形的應用的教學，繼續(xù)提高運用所學知識解決實際問題的能力。3熱點分析對本章內(nèi)容的考查主要分以下三類：以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性此類題一般難度不大，用以解決有關長度、夾角、直、判斷多邊形形狀等問.以解答題考查圓錐曲線中的典型問.此類題綜合性比較強，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為.向量在空間中的應（類材中.空間坐標系下通過向量的坐標的表示運計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì).在復習過程中抓住源于課本高課本的指導方.本章考題大多數(shù)是課本的變式題源課.因此，掌握雙基精課本是本章關鍵分近幾年來的高考試題關平面向量部分突出考查了向量的基本運算于和解析幾何相關的線段的定比分點和平移等交叉內(nèi)容，作為學習解析幾何的基本工具，在相內(nèi)容中會進行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重點?？偠灾矫嫦蛄窟@一章的學習應足基礎，強化運算，重視應用?？疾榈闹攸c是基礎知識和基本技能。4復習建議由于本章知識分向量與解斜三角形兩部分以用本章知識解決的問題也分為兩類類是根向量的概念、定理、法則、公式對向量進行運算，并能運用向量知識解決平面幾何中的一些計算和證問題；另一類是運用正、余弦定理正確地解斜三角形，并能應用解斜三角形知識解決測量不可到達的兩點間距離問題。在解決關于向量問題時，一是要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行量的各種運算，進一步加深對“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認識，并體會用向量處理問題的優(yōu)越性二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過向量法和坐標法的運用，進一步會數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學問題上的作用。在解決解斜三角形問題時，一方面要體會向量方法在解三角形方面的應用，另一方面要體會解三角形是重要的測量手段，通過學習提高解決實際問題的能力。二、常題型分類題一向的關念運此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在復習中要充分理解平面向量的相關概念，熟練掌握向的坐標運算、數(shù)量積運算，掌握兩向量共線、垂直的充要條.例：知是以點(3,為起點，且與向量=(行的單位向量，則向量是.

a的終點坐標思路分析：與a平的單位向量e

aa方法一：設向量a的終點坐標(x,),a=(-3,+1)則題意可知()3(1)（x－2＋1

解得

x5y5

或

18xy

1218，故填,-)或(,-)5方二

與向量=平行的單位向量是±

1(-3,4)，故可得＝±(-)，從而向量終點坐標是55(,y－(3,－1),便可得結(jié)果.點：量的概念較多，且容易混淆，在學習中要分清、理解各念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概例：知a|=1,|b，與b的夾為60°,a－，=3b－,則x與y夾角的余弦是多少？思分：計算x與的夾角，需求出|x|,·值計算時要注意計算的準確.解由已知|=|，與的夾角α為60°,得ab=|acos=

.要計算與y的夾θ需求出x|，x·y的值∵||=xab)=4a－4a·b+b=4

+1=3，||y=(3b－)=9b－6b·aa－6×

+1=7.x·y=(2－)·(3－)=6a·－2a－3+·=7ab－2－3b=7×

1－2－3=－，2又∵·y=||||，－

32

=

3

×

7

cos，∴cos=－

2114點：本題利用模的性||=，②在計算x的時，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設

=,

=,

=2a∠=60°.向量減法的幾何意義得

=

－

=2－.由余弦定理易得BD|=3，|=，理可得y|=.題二向共與直件考1aaac1aaac例．面直角坐標系中O為標原點，已兩點A(3,，B(，若點C滿足

OC

，其中且，點的軌方程.解法一）設Cxy，=(,)，由OCxy)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α,+3)∴

xy

,（從中解出α）又∵+消去αβ得xy-5=0（法二）利向量的幾何運算考慮定比分點公式的向量形式，結(jié)合條件知，B三點共線，故點C的跡方程即為直線的方x＋2－5=0例．知平面向量a＝(，，b＝(,2

).(1)若存實數(shù)k和，得x＋(－3)b,y＝－ka＋b，x⊥y，試求函的關系式＝f(t)；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k＝f(t)的單調(diào)區(qū).思分欲求數(shù)系k=f(t)只找k與t間等關k與之間的量系么到②函單區(qū)有些法（數(shù)、義）數(shù)是單調(diào)間簡有的法解）法一：由題意知x＝(

t33t2,

),y＝(

t－

3

k，t＋k)，又故·＝

t

2

1t×（t－k）＋×(＋k)2整理得：－3t－4k＝0，k＝

1t－t.4法二：＝(

3

，－1)，b＝(

1,),∴.2

，

b

＝1且a⊥b∵⊥，·＝0即k

＋t(t－3)

b＝0，∴t－3t－4k＝0,即k＝

13t－t44(2)由1)知：＝f(t)＝

13t－t∴kˊ＝fˊ(t)＝t－44令kˊ＜0得－＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.故k＝f(t)的調(diào)遞減區(qū)間是(1，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，）（1，＋∞點：（1）中兩解是決量直兩常的法一先用向的標算別得個量坐，利向垂的要件二直利向垂直充條，過要到量數(shù)積公及模式達同的解的但算程大化值得意.第2問求數(shù)極運的是導方，是舊識匯處綜運.1例：已知面向量＝(－1)b＝(，)若存在不為零的實數(shù)k和α向＝2α,d＝－k＋(sin,⊥，求實數(shù)k的值范圍1解由條件可得k＝(sinα－)－,而－1≤sinα416∴當sinα＝－1時k取大1sinα＝1時，取最小值－

.又∵k≠0∴k的取值范圍為

1[U(0,1]2

.點與示將例中t略改舊題新，現(xiàn)意想到效，很地查向與角數(shù)、不式合用力例：知向量

a2),2,1)

，若正數(shù)k和t使得量xt

1與abt

垂直，求的最值解

x

1y0即[at]?(b0ta

t

2(tt

a0∵

a2),

，a|=|=a

＝－

2

＋

2

，代上式－3k＋3

t

1tt1當且僅當t=，時取“＝”號，即的最小值是2.t題三向的標算三函的查向與角數(shù)合題新而精，符在識“匯處構，加了雙的查.例．函數(shù)f)＝a·b其中向量a＝(2cos,1),b＝(cos,

3

sin2),∈R.（1）若f(x)＝1

3且x∈[－

，]求若函數(shù)y＝2sin2x的圖象按向量c＝(m,3

m

﹤)平后得到函數(shù)＝f()2的圖象，求實數(shù)m的.思分：本題主要考查平面向量的概念和計算、平移公式以及三角函數(shù)的恒等變換等基本技能，解：依設f()＝（2cos，1,x)＝2cosx＋3sin2x＝1x＋)=1－，sin(2＋)＝－.由1＋2sin(2＋66≤≤∴－≤2＋≤,∴2＋=－,即＝－.∵－33663

6

)（2）函數(shù)y＝2sin2x的象按向量c＝,n平移后得到函數(shù)－m)+n的象，即函數(shù)y＝f(x)的圖象.由1)得f(＝

2sin

12

)

∵m＜

2

，＝

12

＝1.點評：①把數(shù)的圖像按向量移，可以看成是任一點按向量平移，由這些點平移后的對應所組成的圖象是Cˊ，明確了以上點的平與整體圖象平移間的這種關系，也就找到了此問題的解題途一般地，函數(shù)y＝f()圖象按向量a＝(h,k)平移后的函數(shù)解析式為y－k＝f（－h(huán)例：知a=（，sinαb=（cosβ,）(0<<<)）證：ab與ab互垂直；（2）若ka+與a-的模大小相等(∈k≠0)，求β解）證一∵=，sinα=（,）∴b＝cos+，sinαsin）,

a＝（cos-cosβ，sinα）∴(b)·(a-)=（cosαcos，sinα+-，-）=-cosβ+-β=0∴(b)⊥(ab)證二∵a（cos，sin）,=,sin）∴|＝1，|b∴(b)·(a-)=a2b2a-||=0∴(+)⊥()證三∵a（，α）,=（cosβsinβ）∴||＝1|＝1,記

OA

＝a，

OB

＝b，則

OA

|＝|

OB

|=1,又≠，∴O、、三不共線由向量加法的幾何意義知為邊的平行四邊形OACB是形中

OC

＝BA

＝-，由菱形對角線互相垂直，(ab)⊥(ab（2）解：由已知|ka+與a又∵|ka+|＝(α+cos)+(sinβ=k+1+2(β－),|+＝(cos-β+(sinαksin)=+1-2kcos(－α),∴2kcos(－)=kcosβ－)又∵k≠0∴(－α＝0∵0<α<<π

∴0<－<π,∴－=

2注本是平向的知為臺考查三函的關算，時體了量直題多證明法常的法三，是據(jù)量的義明二利用量的標算證，是用量運的何義證.題四向運的何義解幾由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換橋梁和紐帶，文應視向運的何意求的程橢方。例9：設G分別為非等邊三角形的重心與外心，，2)，B（0，－2且

GM

(λ∈R).（Ⅰ）求點C(，y)的跡E方程）過點(，0)直線L與線E交于M、N兩，設

OPOM

，是否存在這樣的直線L，四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理.思分）通過向量的共線關系到坐標的等量關.）根據(jù)矩形應該具備的充要條件，得到向量垂直關系，結(jié)合韋達定理，求得k的.xx121121xx121121解）由已知得

G(,),又GHAB，H3∵CH=HA∴

xx()2)33

即

2y23)124（2）設l方程為y=k(x-2)，代入曲線E得

（3k2+1）2-12k2x+12(k

-1)=012212(設N(，)，)，則+x，=kk2∵OPONOM，∴四形OMPN是平行四邊.若四邊形OMPN是形，則OM∴+y=0∴

12(k

12(2(3k2

24kk2

得

k=∴直為：=

y點：這是一道平面幾何、解析幾、向量三者之間巧妙結(jié)合的問.例10：已知橢圓方

4

2

，過B（）直線交圓于C、D兩，交直線＝于E點，B、E分

CD

的比分λ、λ．證：λ＋＝0解設的程為yx，代入橢圓方程整理得（4k＋1）＋8kx＋4(k＝0.設C（,）,D(,，則x＋＝－

8k4k

24kx4k

.由

1

BD

得

()

(x)所以

x12

xx2

.同，記E

(yE

2

ED得

xx4),11xx222

2xxx)1(xx4)22

其中

xxxx)2

8kk

01

.例11給定拋線C:yOB夾角的余弦。

＝4是C焦點，過點F的線l與C相于A兩設的率為1求

OA

與解C的焦為F（1）,線l的斜為1所以的程為y＝－1,將－1代入方程=4，整理得－6＋1＝0設A（,y）,B(,),則有x＋＝6,x＝1從而·＝＋y＝2xx+)+1－3OA13k22將m=代入(1)式,得1＋3kOA13k22將m=代入(1)式,得1＋3k︱OA︱︱︱2

2

·

＝41,cos

OB

＝＝OA

34141例12已知點G是△ABC的重心A(0,－1)在x軸有一點M足MAMC|GM(

∈R)．⑴求點C的跡方程；⑵若斜率為的線l與點的跡交于不同兩點P，Q且滿|

AP

|=|，求k的值范圍．分析本題托量出量系既考向的、線基知，考動的跡直