2022年全國(guó)甲卷文科高考數(shù)學(xué)真題試題答案詳解（精校打印版）

試卷第=page2222頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)試卷第=page2121頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A.2．某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).故選:B.3．若．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：D.4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，則該直四棱柱的體積.故選：B.5．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.6．從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先列舉出所有情況，再?gòu)闹刑舫鰯?shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無(wú)序從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：將抽出的卡片看成一個(gè)組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：將抽出的卡片看成一個(gè)排列，再利用古典概型的概率公式解出；7．函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.故選：A.8．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.9．在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為【答案】D【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．10．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.11．已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗裕瑢⒋?，解得，故橢圓的方程為.故選：B.12．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：A.【整體點(diǎn)評(píng)】法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．二、填空題13．已知向量．若，則______________．【答案】##【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.14．設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為_(kāi)_____________．【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點(diǎn)共圓∵點(diǎn)M在直線上，∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(diǎn)(1,-1).,的方程為.故答案為：15．記雙曲線的離心率為e，寫(xiě)出滿足條件“直線與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______________．【答案】2（滿足皆可）【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，可滿足條件“直線與C無(wú)公共點(diǎn)”所以，又因?yàn)?，所以，故答案為?（滿足皆可）16．已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．【答案】##【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.

三、解答題17．甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)A，B兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為，(2)有【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算，再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則；B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則.A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.（2）列聯(lián)表準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān).18．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時(shí)，．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．19．小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識(shí)可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出．【詳解】（1）如圖所示：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切危?，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）[方法一]：分割法一如圖所示：分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍．因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，所以該幾何體的體積．[方法二]：分割法二如圖所示：連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長(zhǎng).所以該幾何體的體積20．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先由上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?21．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡(jiǎn)得，反之，若,可得MN過(guò)定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過(guò)定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過(guò)尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線