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向量數(shù)乘運算及其幾何意義說課稿說課內容:普通高中課程標準實驗教科書(人教A版)《數(shù)學必修4》第二章第二節(jié)“平面向量的線性運算”的第三課時---向量數(shù)乘運算及其幾何意義。下面,我從背景分析、教學目標設計、課堂結構設計、教學過程設計、教學媒體設計及教學評價設計六個方面對本節(jié)課的思考進行說明。一、背景分析1、學習任務分析向量的數(shù)乘運算是繼向量的加、減運算之后的又一重要運算,也是高中數(shù)學的一個重要概念,在數(shù)學、物理等學科中應用十分廣泛。本節(jié)內容教材共安排一課時,主要研究數(shù)乘運算及其幾何意義、共線向量定理及其應用。本節(jié)課的主要學習任務是通過物理中“位移”的事例抽象出向量數(shù)乘運算的概念,在此基礎上探究數(shù)乘運算的定義與運算律,使學生體會類比的思想方法,進一步培養(yǎng)學生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)乘運算的定義既是對物理背景的抽象,又是研究幾何意義和運算律的基礎。2、學生情況分析學生在學習本節(jié)內容之前,已熟知了向量的概念,掌握了向量的加、減運算,具備了位移等物理知識,并且初步體會了研究向量運算的一般方法:即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念,然后再從概念出發(fā),在與實數(shù)運算類比的基礎上研究運算律。這為學生學習向量數(shù)乘運算做了很好的鋪墊,使學生倍感親切。二、教學目標設計《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》對本節(jié)課的要求有以下三條:①通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算法則及幾何意義的過程,掌握實數(shù)與向量積的定義,理解實數(shù)與向量積的幾何意義,掌握實數(shù)與向量的積的運算律.理解兩個向量共線的等價條件,能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行.通過探究,體會類比遷移的思想方法,滲透研究新問題的思想和方法,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神.通過解決具體問題,體會數(shù)學在生活中的重要作用.從以上的背景分析可以看出,數(shù)乘運算既是本節(jié)課的重點,也是難點。為了突破這一難點,首先無論是在概念的引入還是應用過程中,物理中“位移”的實例都發(fā)揮了重要作用。綜上所述,結合“課標”要求和學生實際,我將本節(jié)課的教學目標定為:1、理解數(shù)乘運算的定義及其幾何意義;2、掌握數(shù)乘運算的運算律,并能運用運算律進行相關的運算和判斷;3、理解共線向量定理,并能熟練應用定理。三、課堂結構設計依據(jù)數(shù)學課程改革應關注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念,結合本節(jié)課的知識的邏輯關系,我按照以下順序安排本節(jié)課的教學:回顧向量的加減運算創(chuàng)設問題情景回顧向量加減運算的研究方法物理背景位移抽象概念幾何意義探究運算律探究運算律證明運算律探究定理探究定理應用定理應用概念例題與練習即先從數(shù)學和物理兩個角度創(chuàng)設問題情景,通過歸納和抽象得到數(shù)乘運算的概念,在此基礎上研究數(shù)乘運算的運算律和定理,使學生進一步加深對概念的理解,然后通過例題和練習使學生鞏固概念,加深印象,最后通過課堂小結提高學生認識,形成知識體系。四、教學媒體設計為了保證教學任務的完成,順利實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標,考慮到本節(jié)課的實際特點,在教學媒體的使用上,我的設想主要有以下兩點:1、制作高效實用的電腦多媒體課件,主要作用是改變相關內容的呈現(xiàn)方式,以此來節(jié)約課時,增加課堂容量。2、設計科學合理的板書,一方面使學生加深對主要知識的印象,另一方面使學生清楚本節(jié)內容知識間的邏輯關系,形成知識網(wǎng)絡。五、教學過程設計課標指出:數(shù)學教學過程是教師引導學生進行學習活動的過程,是教師和學生間互動的過程,是師生共同發(fā)展的過程。為有序、有效地進行教學,本節(jié)課我主要安排以下六個活動:活動一:創(chuàng)設問題情景,激發(fā)學習興趣正如教材主編寄語所言,數(shù)學是自然的,而不是強加于人的。向量的數(shù)乘運算,和向量的加減運算一樣,也有其數(shù)學背景和物理背景,為了體現(xiàn)這一點,我設計以下幾個問題:問題1:我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什么?問題2:我們是怎么引入向量的加法運算的?我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的?期望學生回答:物理模型f概念f性質f運算律f應用問題3:一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S,問題1的設計意圖在于使學生了解數(shù)乘運算的數(shù)學背景,讓學生明白本節(jié)課所要研究的數(shù)乘運算與向量的加法、減法一樣,都是向量的運算。問題2的設計意圖在于使學生在與向量加法類比的基礎上明了本節(jié)課的研究方法和順序,為教學活動指明方向。問題3的設計意圖在于使學生了解數(shù)乘運算的物理背景,讓學生知道,我們研究數(shù)乘運算絕不僅僅是為了數(shù)學自身的完善,而是有其客觀背景和現(xiàn)實意義的,從而產(chǎn)生了進一步研究這種新運算的愿望。同時,也為抽象數(shù)乘運算的概念做好鋪墊?;顒佣禾骄繑?shù)乘運算的概念1、概念的抽象在分析“位移”的計算公式的基礎上提出問題4問題4:你能分別畫出一秒的位移和3秒的位移嗎?他們之間有什么樣的聯(lián)系?學生通過作圖不難回答:3秒的位移的大小是一秒的3倍。這樣,學生事實上已經(jīng)得到數(shù)乘運算的概念了,在此基礎上,我進一步明晰數(shù)乘運算的概念。2、概念的明晰一般地,我們規(guī)定實數(shù)入與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作,它的長度和方向規(guī)定如下:3、探究數(shù)乘運算的幾何意義活動三:探究數(shù)乘運算的運算律設入、p為實數(shù),那么(1)入(pa)=(入p)a;(2)(入+p)a=入a+pa;(3)入(a+b)二入a+入b.特別地,我們有(-入)a=-(入a)二入(-a),入(a-b)二入a-入b.活動四:應用與提高例1計算:(1)(-3)X4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).活動:本例是數(shù)乘運算的簡單應用,可讓學生自己完成,要求學生熟練運用向量數(shù)乘運算的運算律.教學中,點撥學生不能將本題看作字母的代數(shù)運算,可以讓他們在代數(shù)運算的同時說出其幾何意義,使學生明確向量數(shù)乘運算的特點.同時向學生點出,向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量a、b,以及任意實數(shù)入、p1、p2,恒有入(p1a±p2b)二入p1a土入p2b.變式訓練若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.解:因3m+2n=a,①m-3n=b.②3X②得3m-9n=3b.③①-③得11n=a-3b...?n=111a-113b.將④代入②,有m=b+3n=113a+112b.點評:此題可把已知條件看作向量m、n的方程,通過方程組的求解獲得m、n.在此題求解過程中,利用了實數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結合律,從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數(shù)的二元一次方程組的方法一致.圖2例2如圖2,已知任意兩個非零向量a、b,試作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎?為什么?活動:本例給出了利用向量共線判斷三點共線的方法,這是判斷三點共線常用的方法.教學中可以先引導學生作圖,通過觀察圖形得到A,B,C三點共線的猜想,再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉化為用向量共線證明三點共線.本題只要引導學生理清思路,具體過程可由學生自己完成.另外,本題是一個很好的與信息技術整合的題材,教學中可以通過計算機作圖,進行動態(tài)演示,揭示向量a、b變化過程中,A、B、C三點始終在同一條直線上的規(guī)律.活動五:小結提升與作業(yè)布置1、本節(jié)課我們學習的主要內容是什么?2、共線向量定理的應用是什么?3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的探究?在運算律的探究過程中,滲透了哪些數(shù)學思想?4、類比向量的加減運算,我們還應該怎樣研究數(shù)乘運算?通過上述問題,使學生不僅對本節(jié)課的知識、技能及方法有了更加全面深刻的認識,同時也為下一節(jié)做好鋪墊,繼續(xù)激發(fā)學生的求知欲。布置作業(yè):1、課本P91習題2.2A組9、10。2、拓展與提高:B組3在這個環(huán)節(jié)中,我首先考慮檢測全體學生是否都達到了“課標”的基本要求,因此安排了一組教材中的習題,目的是讓所有的學生繼續(xù)加深對數(shù)乘運算的理解和應用,為后續(xù)學習打好基礎。其次,為了能讓不同的學生在數(shù)學領域得到不同的發(fā)展,我又安排了一道有一定難度的問題供學有余力的同學選做。六、教學評價設計評價方式的轉變是新課程改革的一大亮點,課標指出:相對于結果,過程更能反映每個學生的發(fā)展變化,體現(xiàn)出學生成長的歷程。因此,數(shù)學學習的評價既要重視結果,也要重視過程。結合“課標”對數(shù)學學習的評價建議,對本節(jié)課的教學我主要

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