《數(shù)學(xué)分析選講》作業(yè)參考答案

數(shù)學(xué)分析選講數(shù)學(xué)分析選講PAGE4第 頁(yè)P(yáng)AGE4第 頁(yè)4頁(yè)《數(shù)學(xué)分析選講》作業(yè)參考答案一．填空1．P0

的任一鄰域內(nèi)都有點(diǎn)集E的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。2．{(x,y):x2y23．E0(a,b)(c,d)4．{(x,y):(x2(y2)2;5．點(diǎn)P0

E的界點(diǎn)是指：點(diǎn)P0

的任一鄰域中既有E的點(diǎn)又有E的余集的點(diǎn);6．R2,．P0

的一個(gè)鄰域完全包含在點(diǎn)集E之中曲頂柱體的體積(ac)2(ac)2(bd)2lim

f(P)f(P)011．(2,1);12．連通二．判斷題1．對(duì); 2．對(duì); 3．對(duì); 4．對(duì); 5．錯(cuò); 6．錯(cuò)；7．對(duì); 8．對(duì); 9．對(duì); 10．錯(cuò);對(duì);．13．對(duì); 14．對(duì); 15．對(duì); 16．錯(cuò); 17．對(duì); 18．對(duì); 19．對(duì); 20．對(duì);錯(cuò)23．對(duì); 24．三．計(jì)算題1．解視y為x的函數(shù),對(duì)原方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得:x2y2yayaxy0

對(duì);對(duì);y得:yayx2y2ax2．令fx) x22,則函數(shù)f在上連續(xù)．從由定理19．1知:I()1

x22dx在,特別在0處連續(xù)．于是lim1 x22dxlimII(0)1|x1．

0

02pxD{(x,y2px

1y 2px,0xp}2為x-型閉區(qū)域,所以由定理2知:xydxdyD

p/2xdx2px2px2px2px

ydyp/2x0dx0．0解由公式計(jì)算知：xydx(yx)dyL1L2

x(2(x1)2

(2(x1)21x)4(x1)dx210x332x235x1)x10.1 35．解 由定理1．4: F(x)x2

exy2

dyex52xex3xx2x

x-y2e-y

dy2xex5ex3

2xex5

ex3x2y2e-xy2.xf(0,0)lim

f(0x,0)f(0,0)同理可得fy

(0,0)0．

x x0 xlim00x0 x0.解 視y為常關(guān)于x求導(dǎo)數(shù):z 2xycos(xy3)．視x為常,關(guān)于x求導(dǎo)數(shù): z x2y

3y2cos(xy3)．f在點(diǎn)x,,y3,x為自變量的一元函數(shù)f(x,3)x36x2d

27,x1,得f(1,3)x

f(x,3) (3x212x) 15．dx x1x1f在yx1,y為自變量的一元函數(shù)f(1,y)12yy3,求它在y3的導(dǎo)數(shù),得df (x,3)y dy

fy) (23y2)25.y3y3令f(xy)ax

by2,fx

(x,y)2ax,fy

(x,y)2by,知:f在P (x,y0 0

)處可微．因此,由定理17．4知該曲面在M(x,y,z0 0 0

z軸的切平面且其方程為再由(4．2)式知,法線方程為

zz0

2ax0

(xx0

)2by0

(yy)．0xx02ax

yy02by

zz0．10 010f(x)x2cosx,f在[0,219．1知:I()2x2在上連續(xù)特別在0處連續(xù)．于是0lim2x2limI()I(0)2x2dx8;0 0 0 0 311．0,0;:I(x)3

(x3yxy3)dy3(3x2yy3)dy1 1x 1 3x2 (3212) (3414)12x220.2 4解由公式知f(x2y2)dxdydRf(r2)rdr[1f(r2)]Rd[f(R2)f(0)0 0 0 2 0DAB14．解由于直線段的方程為x1t,y12t(0t1)，所以由公式（1）知：ABxdx(yx)dy1[1t)1t)tdtL 011tt2)dt25.0 6四．證明題1．證明因?yàn)閤0,y(,)有

cosxy1cosxy1x21x2且反常積分 1 dx收斂所以由判別法知含參量積分cosxydx在區(qū)0 1x2 0 1x2間(,)上一致收斂．:dz zdu zdv zdt vetu(sint)cosdt udt vdt tdtet(costsint)cost.證明應(yīng)用不等式：(1)(P,P)x x ||y y |;)n 0 n 0 n 0)(2)|

x (P,P), |y y (P,P)(n1,2,n 0可知。

n 0 n 0 n 01x2y2(x1x2y25．當(dāng)(x,y)(0,0)時(shí),有

x||yx2y2|fx2y2

|xy|

|x|

x2y2|yx2y2因此lim f(x,y)0f(0,0),可見(jiàn)f在P (0,0)點(diǎn)連續(xù)(x,y)(0,0) 06．證明因?yàn)閤0,y(,)有11x2cosxy11x且反常積分 1 dx收所以由判別法知含參量積分cosxydx在區(qū)0 1x2 0 1x2間(,)上一致收斂．7．由定義知

f(0,0)

f(0x,0)f(0,0)五、應(yīng)用題

(0,0)0y

x x0 xlim00x0 x0.解令f(x,y)ax

by2,fx

(x,y)2ax,

(x,y)2by在整個(gè)平面上連y,17．2知:fP0

(x,y0

)處可微．因此,由定理17．4知該曲面在M(x,y,z0 0 0

)點(diǎn)有不平行于z軸的切平面且其方程為再由(4．2)式知,法線方程為

zz0

2ax0

(xx0

)2by0

(yy)．0xx02ax

yy02by

zz0．10 0解(1):

f(x,