第一節(jié)-二重積分的概念與性質課件

為解決非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題導致了定積分的研究，其被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間．要解決非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題，就導致了多元函數(shù)的積分概念，根據(jù)被積函數(shù)和積分范圍的不同分為二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分．本章將介紹二重積分和三重積分的概念、性質、計算方法和它們的一些應用．

重積分為解決非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題導致了定積第一節(jié)二重積分的概念與性質

一、問題的提出二、二重積分的概念三、二重積分的性質四、小結思考題第一節(jié)二重積分的概念與性質一、問題的提出二、二重積分復習和總結（1）定積分是用來解決哪一類問題？（2）解決這一類問題采用了什么思想方法？定積分答：求非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題

被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間答：“分割,取近似,求和,取極限”

復習和總結（1）定積分是用來解決哪一類問題？（2）解決這一類現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計算的量與多元函數(shù)及平面或空間區(qū)域有關被積函數(shù)積分范圍二元函數(shù)平面區(qū)域二重積分三元函數(shù)空間區(qū)域三重積分一段曲線曲線積分一片曲面曲面積分問題:積分類型現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計算引例1．求平面薄片的質量分析=常數(shù)時，質量=·，其中為面積.若為非常數(shù),仍可用“分割,取近似,求和,取極限”解決.引例1．求平面薄片的質量分析=常數(shù)時，質量=·，若解決步驟⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，⑶求和：所有小塊質量之和近似等于薄片總質量⑷取極限：得薄片總質量解決步驟⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將柱體體積=底面積×高【特點】平頂.柱體體積=？【特點】曲頂.曲頂柱體1．曲頂柱體的體積引例2：曲頂柱體的體積柱體體積=底面積×高【特點】平頂.柱體體積=？【特點】曲頂.類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,取近似,求和,取極限”解法類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy面上的閉步驟如下②取近似、③求和：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，①分割：先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，得曲頂柱體的體積④取極限：步驟如下②取近似、③求和：用若干個小平頂柱體體積之和近似表兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“分割,取近似,求和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D任意分成n

2.對二重積分定義的說明(3)f(x,y)在D上有界是二重積分存在的必要條件.代替？不能連續(xù)是二重積分存在的充分條件用(1)積分存在時，其值與區(qū)域的分法和點的取法無關2.對二重積分定義的說明(3)f(x,y)3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.1)若表曲頂柱體體積的負值.2)若3)若表區(qū)域D的面積.體積的代數(shù)和3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：

重積分中d0,定積分中dx可正可負.2.根據(jù)分割的任意性，當二重積分存在時，在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D故二重積分可寫為D則直角坐標系下面積元素為即引例2曲頂柱體體積:引例1平面薄板質量:[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：重積分中d0,定性質1性質2（二重積分與定積分有類似的性質）三、二重積分的性質逐項積分線性性質可以推廣至有限個函數(shù)的情形。線性性質性質1性質2（二重積分與定積分有類似的性質）三、二重積分的性性質3對區(qū)域具有可加性性質4若為D的面積，性質5若在D上特殊地則有比較性質性質3對區(qū)域具有可加性性質4若為D的面積，性質5若性質6性質7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積等于一個平頂柱體的體積幾何意義性質6性質7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積8.二重積分的對稱性定理

在利用對稱性計算重積分時，不僅積分區(qū)域要對稱，而且被積函數(shù)也要對稱（即對x或y是奇或偶函數(shù)，二者缺一不可。8.二重積分的對稱性定理在利用對稱性計算重積分時，不第一節(jié)-二重積分的概念與性質課件第一節(jié)-二重積分的概念與性質課件例題8.1比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而區(qū)域D位從而于直線的上方,故在D上例1解例題8.1比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與例8.2解由于被積函數(shù)所以在D上的最大值M和最小值m分別為又由于區(qū)域D的面積為2，故知例8.2解由于被積函數(shù)所以在D上的最例8.3解注意到積分區(qū)域D關于x軸和y軸具有輪換對稱性，于是例8.3解注意到積分區(qū)域D關于x軸和y軸具有輪換對稱性，于是解例4解例4二重積分的定義二重積分的性質（8條）二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（積分和式的極限）

四、小結二重積分的物理意義（平面薄片的質量）[二重積分的比較大小]1.若區(qū)域D相同，則比較被積函數(shù)的大??；2.若被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域D的大小.二重積分的定義二重積分的性質（8條）二重積分的幾何意義（曲頂

為解決非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題導致了定積分的研究，其被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間．要解決非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題，就導致了多元函數(shù)的積分概念，根據(jù)被積函數(shù)和積分范圍的不同分為二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分．本章將介紹二重積分和三重積分的概念、性質、計算方法和它們的一些應用．

重積分為解決非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題導致了定積第一節(jié)二重積分的概念與性質

一、問題的提出二、二重積分的概念三、二重積分的性質四、小結思考題第一節(jié)二重積分的概念與性質一、問題的提出二、二重積分復習和總結（1）定積分是用來解決哪一類問題？（2）解決這一類問題采用了什么思想方法？定積分答：求非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題

被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間答：“分割,取近似,求和,取極限”

復習和總結（1）定積分是用來解決哪一類問題？（2）解決這一類現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計算的量與多元函數(shù)及平面或空間區(qū)域有關被積函數(shù)積分范圍二元函數(shù)平面區(qū)域二重積分三元函數(shù)空間區(qū)域三重積分一段曲線曲線積分一片曲面曲面積分問題:積分類型現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計算引例1．求平面薄片的質量分析=常數(shù)時，質量=·，其中為面積.若為非常數(shù),仍可用“分割,取近似,求和,取極限”解決.引例1．求平面薄片的質量分析=常數(shù)時，質量=·，若解決步驟⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，⑶求和：所有小塊質量之和近似等于薄片總質量⑷取極限：得薄片總質量解決步驟⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將柱體體積=底面積×高【特點】平頂.柱體體積=？【特點】曲頂.曲頂柱體1．曲頂柱體的體積引例2：曲頂柱體的體積柱體體積=底面積×高【特點】平頂.柱體體積=？【特點】曲頂.類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,取近似,求和,取極限”解法類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy面上的閉步驟如下②取近似、③求和：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，①分割：先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，得曲頂柱體的體積④取極限：步驟如下②取近似、③求和：用若干個小平頂柱體體積之和近似表兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“分割,取近似,求和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D任意分成n

2.對二重積分定義的說明(3)f(x,y)在D上有界是二重積分存在的必要條件.代替？不能連續(xù)是二重積分存在的充分條件用(1)積分存在時，其值與區(qū)域的分法和點的取法無關2.對二重積分定義的說明(3)f(x,y)3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.1)若表曲頂柱體體積的負值.2)若3)若表區(qū)域D的面積.體積的代數(shù)和3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：

重積分中d0,定積分中dx可正可負.2.根據(jù)分割的任意性，當二重積分存在時，在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D故二重積分可寫為D則直角坐標系下面積元素為即引例2曲頂柱體體積:引例1平面薄板質量:[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：重積分中d0,定性質1性質2（二重積分與定積分有類似的性質）三、二重積分的性質逐項積分線性性質可以推廣至有限個函數(shù)的情形。線性性質性質1性質2（二重積分與定積分有類似的性質）三、二重積分的性性質3對區(qū)域具有可加性性質4若為D的面積，性質5若在D上特殊地則有比較性質性質3對區(qū)域具有可加性性質4若為D的面積，性質5若性質6性質7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積等于一個平頂柱體的體積幾何意義性質6性質7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積8.二重積分的對稱性定理

在利用對稱性計算重積分時，不僅積分區(qū)域要對稱，而且被積函數(shù)也要對稱（即對x或y是奇或偶函數(shù)，二者缺一不可。8.二重積分的對稱性定理在利用對稱性計算重積分時，不第一節(jié)-二重積分的概念與性質課件第一節(jié)-二重積分的概念與性質課件例題8.1比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而區(qū)域D位從而于直線的上方,故在D上例1解例題8.1比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與例8.2解由于被積函數(shù)所以在D上的最大值M和最小值m分別為又由于區(qū)域D的面積為2，