動量與角動量課件

第三章

動量與角動量

第三章

動量與角動量

1本章主要內(nèi)容§3-1

沖量與動量定理

§3-2

動量守恒定律§3-3

質(zhì)心運動定理§3-4

火箭飛行原理§3-5

質(zhì)點的角動量和角動量定理角動量守恒定律本章主要內(nèi)容2第三章動量與角動量動量和角動量不僅是經(jīng)典力學(xué)，也是物理學(xué)中十分重要的物理量，因為與它們相聯(lián)系的守恒定律是自然界普遍遵循的基本規(guī)律。動量守恒定律

角動量守恒定律

經(jīng)典力學(xué)

牛頓運動定律量子力學(xué)

相對論力學(xué)牛頓運動定律第三章動量與角動量動量和角動量不僅是經(jīng)典力學(xué)，也是物理學(xué)3前言我們往往只關(guān)心過程中力的效果——力對時間和空間的積累效應(yīng)。力在時間上的積累效應(yīng)：平動沖量動量的改變轉(zhuǎn)動沖量矩角動量的改變力在空間上的積累效應(yīng)功改變能量牛頓定律是瞬時的規(guī)律。在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）…散射前言我們往往只關(guān)心過程中力的效果——力對時間和空間的積累效應(yīng)4§3-1沖量與動量定理

§3-1沖量與動量定理

5瞬時式——動量——力的作用可以使動量變化?！r間的積累等于動量增量。力對時間間隔

0

t的沖量為沖量（對dt）動量定理或1.沖量與動量定理瞬時式——動量——力的作用可以使動量變化?！r6關(guān)于沖力（動量是狀態(tài)量）Fx(t)t物體受到?jīng)_擊，動量會明顯改變。沖擊過程持續(xù)一般時間很短，因此沖擊中物體受力——沖力具有作用時間短、量值大的特點，通常是變力。平均沖力：沖量可表為說明：沖量是矢量，是過程量。關(guān)于沖力（動量是狀態(tài)量）Fx(t)t物體受到?jīng)_擊，動量7平均沖力[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，

求：籃球?qū)Φ氐钠骄鶝_力解：籃球到達(dá)地面的速率從h=2.0m的高度下落，到達(dá)地面后，接觸地面時間t=0.019s。FFto

t速率反彈，以同樣平均沖力[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，求：8例題、一質(zhì)量為10千克的質(zhì)點，在變力F=3+2t（SI）作用下由靜止開始作直線運動。試求：在t=3秒時質(zhì)點的運動速度。解：根據(jù)動量定理，先計算0到3秒內(nèi)的沖量例題、一質(zhì)量為10千克的質(zhì)點，在變力F=3+2t（SI）作用9質(zhì)點系——多個質(zhì)點組成的系統(tǒng)。（質(zhì)點的集合）相加質(zhì)點系的總動量——每個質(zhì)點動量的矢量和。即設(shè)第

i個質(zhì)點受外力為，受質(zhì)點系其他質(zhì)點的合力，即內(nèi)力為對第

i個質(zhì)點應(yīng)用動量定理：2.質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系——多個質(zhì)點組成的系統(tǒng)。（質(zhì)點的集合）相加質(zhì)點系的總動10對任選的一對質(zhì)點

質(zhì)點系的動量定理：

（積分形式）微分形式：

或定理表述：合外力的沖量等于質(zhì)點系總動量的增量。

系統(tǒng)總動量由外力的沖量決定，與內(nèi)力無關(guān)。用質(zhì)點系動量定理處理問題可避開內(nèi)力。對任選的一對質(zhì)點質(zhì)點系的動量定理：

（積分形11[例題]一輛運煤車以速率

v從上方高h(yuǎn)處的煤斗下面通過，煤從煤斗中以恒定的速率

b

=

dm/dt

裝煤漏入車廂，如圖所示。設(shè)煤車與地面的摩擦系數(shù)為，t

時刻車箱和所載煤的質(zhì)量為M，如果保持車的速率不變，應(yīng)以多大的牽引力拉車廂？解：以M和dt時間里落到車廂的煤粒dm為質(zhì)點系。水平方向運用動量定理：鉛直方向:略去二階無窮小量：解得[例題]一輛運煤車以速率v從上方高h(yuǎn)處的煤斗下面通12克服車廂和其中的煤的重量引起的摩擦力克服落下煤粒對車廂沖力引起的摩擦力將下落煤獲得水平動量所需牽引力解的意義：克服車廂和其克服落下煤粒將下落煤獲解的意義：13§3-2動量守恒定律

§3-2動量守恒定律

14如果質(zhì)點系所受合外力為零考慮質(zhì)點系的動量定理：則有，常矢量守恒動量守恒定律：當(dāng)一個質(zhì)點系所受的合外力為零時，這一質(zhì)點系的總動量保持不變。說明：守恒條件：合外力為零。與內(nèi)力無關(guān)。沖擊碰撞過程中，一般有，動量近似守恒。內(nèi)力改變各質(zhì)點的動量，但總動量不變。如果質(zhì)點系所受合外力為零考慮質(zhì)點系的動量定理：則有15動量守恒可以在單一方向上守恒。動量守恒定律僅在慣性系中成立。動量守恒定律是自然界的普遍規(guī)律，它不依賴于牛頓定律而成立。微觀粒子的實驗（如電子轉(zhuǎn)化為光子）動量守恒定律的分量形式：動量守恒可以在單一方向上守恒。動量守恒定律僅在慣性系中16[例題]

一個在水平地面上的炮車發(fā)射炮彈，炮車的質(zhì)量m0，炮筒的仰角為，炮彈的質(zhì)量為m，炮彈射出炮口時，相對于炮身的速度為u。若不計地面摩擦，試求炮彈射出炮口時，炮車的速度。

解

在炮彈發(fā)射過程中，對炮彈和炮身作為一個系統(tǒng)進行受力分析。系統(tǒng)外力有重力G和地面對炮車的支持力N。這些力都沿豎直方向，即外力在水平方向上投影為零，因此系統(tǒng)在水平方向上動量守恒。

設(shè)炮彈射出炮口時的速度相對于地面的投影為，炮車速度在水平方向上的投影為。，

由于炮車原來是靜止的，故有：由速度變換，得：二式聯(lián)立得：[例題]一個在水平地面上的炮車發(fā)射炮彈，炮車的質(zhì)量m0，17

[例]如圖所示，一帶有四分之一圓弧、質(zhì)量為M的滑塊置于光滑桌面上，圓弧半徑為R。今有一質(zhì)量為m的小滑塊從圓弧頂端沿圓弧面自由下滑，圓弧面的摩擦力忽略不計。求當(dāng)小滑塊滑至圓弧底端時，大滑塊相對桌面移動的距離。解：大小滑塊在水平方向上不受外力，二者組成的質(zhì)點系的水平動量守恒。RMmM運動方向與X軸反向RMm[例]如圖所示，一帶有四分之一圓弧、質(zhì)量為M的滑塊置于光18§3-3質(zhì)心運動定理

§3-3質(zhì)心運動定理

19質(zhì)心——質(zhì)量中心。1.質(zhì)心的定義質(zhì)心的位置矢量表示為設(shè)一質(zhì)點系中各質(zhì)點m1,

m2

,…,

mN

的空間坐標(biāo)分別為(x1,

y1,

z1),(x2,

y2,

z2),…,(xN

,

yN

,

zN

)。則質(zhì)心C的坐標(biāo)定義為xzOy質(zhì)心——質(zhì)量中心。1.質(zhì)心的定義質(zhì)心的位置矢量表示為設(shè)一質(zhì)點20說明：質(zhì)心的位置由質(zhì)點系各質(zhì)點的相對位置決定，與坐標(biāo)原點的位置無關(guān)。對質(zhì)量連續(xù)的物體，質(zhì)心位置可用積分式計算：重力的著力點——重心，就在物體的質(zhì)心上。質(zhì)元dm視為質(zhì)點說明：質(zhì)心的位置由質(zhì)點系各質(zhì)點的相對位置決定，與坐標(biāo)原點21

[例題]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量分別為M=

5.981024kg和m=

7.351022kg，地球中心與月球中心的距離為

L=

3.84105km。解：地球和月球本身的質(zhì)心位于它們各自的幾何中心。地月系統(tǒng)的質(zhì)心必定在它們的連線上。選取坐標(biāo)如圖，原點在地球中心。LmMOxC[例題]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量22例：一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。解：選如圖坐標(biāo)系，取長為dl的鐵絲，質(zhì)量為dm，以λ表示線密度，dm=dl.分析得質(zhì)心應(yīng)在y軸上。注意：質(zhì)心不在鐵絲上。例：一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。232.質(zhì)心運動定理代入質(zhì)點系的動量定理，有考慮一質(zhì)點系，其總動量為質(zhì)心運動定理質(zhì)心的運動如同一個在質(zhì)心位置處的質(zhì)點的運動，該質(zhì)點集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量和所受的外力。在質(zhì)點力學(xué)中所謂“物體”的運動，實際上是物體質(zhì)心的運動。2.質(zhì)心運動定理代入質(zhì)點系的動量定理，有考慮一質(zhì)點系，其總動24系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運動，▲在光滑水平面上滑動的扳手，▲做跳馬落地動作的運動員盡管在翻轉(zhuǎn)，但▲爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質(zhì)心仍在做拋物線運動其質(zhì)心仍做拋物線運動例如：其質(zhì)心做勻速直線運動系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運動，▲在光滑水平面上滑動的25質(zhì)心的定義o質(zhì)點系返回質(zhì)心的定義o質(zhì)點系返回26例題一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，下端剛與地面接觸。此時放開繩子，從靜止?fàn)顟B(tài)開始下落。已知繩子質(zhì)量為m，長為l，求下落到所剩長度為z時，地面對這段繩子的作用力.解：解法一（質(zhì)心法）把繩子看作一質(zhì)點系。當(dāng)繩子下落到所剩長度為z時，其質(zhì)心高度和速度分別為

所謂完全柔軟的繩子,指的是繩子上端的下落速度v=dz/dt與一個質(zhì)點自由下落的速度相同，即zOz質(zhì)心定義例題一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，下端剛27由此可得質(zhì)心加速度為

設(shè)地板對上段繩子的作用力為F，對整根繩子應(yīng)用質(zhì)心運動定理，則有由此可得質(zhì)心加速度為設(shè)地板對上段繩子的作用力為F，對整28忽略二級小量，并考慮dt內(nèi)落地繩子的長度為-vdt，可得加上已經(jīng)落地的一段繩子所受到的支持力，總的作用力為

繩子上端的下落速度為，而緊靠地面的質(zhì)元dm與地面相碰時其動量由vdm變?yōu)榱?故若設(shè)該質(zhì)元受到的支持力為，根據(jù)質(zhì)點動量定理有解法二：（動量定理法）忽略二級小量，并考慮dt內(nèi)落地繩子的長度為-vdt，可得加上29§3-4火箭飛行原理

§3-4火箭飛行原理

30火箭在無大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動力。由于無外力作用，動量守恒。由動量守恒定律設(shè)M為火箭在t時刻的總質(zhì)量，dt時間噴出dm質(zhì)量的燃料，相對火箭以u的速度噴射。xMvdmMdmv+dvt時刻t+dt時刻t時刻總動量t+dt時刻總動量火箭在無大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動力。由31積分火箭受燃料的反沖力為結(jié)論：

火箭在燃燒后所增加的速度正比于相對噴射速度u和火箭的始末質(zhì)量比(M0/M1)的自然對數(shù)。火箭通過噴射燃料獲得的推力正比u于和dm/dt。推導(dǎo)積分火箭受燃料的反沖力為結(jié)論：火箭在燃燒后所增加的速度正32t+dt時刻：速度v-u，動量dm(v-u)由動量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量火箭所受的反推力研究對象：噴出氣體dmt時刻：速度v(和主體速度相同)，動量vdmF箭對氣dt=dm(v-u)-vdm=-F氣對箭dt由此得火箭所受燃?xì)獾姆赐屏榉祷豻+dt時刻：速度v-u，動量dm(v-u)由33§3-5質(zhì)點的角動量和角動量定理角動量守恒定律

§3-5質(zhì)點的角動量和角動量定理角動量守恒定律

34引入角動量的意義：和動量一樣，角動量服從守恒定律，因此它是力學(xué)中最重要的物理量之一。1.質(zhì)點的角動量

角動量的定義：（對點）設(shè)一質(zhì)點具有動量，由慣性系中某一固定點O指向它的位置矢量為，則該質(zhì)點對O點的角動量為的大?。旱姆较颍捍怪庇诤蜆?gòu)成的平面。右手螺旋法則引入角動量的意義：和動量一樣，角動量服從守恒定律，因此它是力35矢量的叉乘(矢量積)在物理中常有兩個矢量相互作用，呈現(xiàn)出某些特殊效應(yīng)，例如動量矩、力矩及運動電荷伴存的磁場等。叉乘是描述這類效應(yīng)的矢量運算。叉乘用×表示，其積為矢量，所以叫矢量積。若是交角為的兩個矢量，則叉乘定義為是由叉乘符號規(guī)定的，兩矢量所在平面的右手系法線方向的單位矢量.右手系：將右手拇指伸直，其余四指并攏指向的方向，并沿的計算方向彎向，拇指所指的方向就是的方向。返回矢量的叉乘(矢量積)在物理中常有兩個矢量相互作36叉乘的運算規(guī)則1)叉乘的反交換律2)叉乘與數(shù)乘的結(jié)合律3)叉乘的分配律4)叉乘可得同向和反向(平行)的充分必要條件直角坐標(biāo)系中的叉乘運算若按行列式展開易記返回叉乘的運算規(guī)則1)叉乘的反交換律2)叉乘與數(shù)乘的結(jié)合律3)叉37注意：角動量是矢量。舉例：圓周運動的質(zhì)點對圓心的角動量：粒子散射實驗中，粒子對固定的重原子核的角動量：角動量的分量式：注意：角動量是矢量。舉例：圓周運動的質(zhì)點對圓心的角動量：382.質(zhì)點的角動量定理

力矩的定義（對點）設(shè)O為慣性系中的某一固定點，由它指向質(zhì)點的位置矢量為，則該質(zhì)點對O點的力矩為的大?。?/p>

角動量定理（對點）考慮角動量的變化率：2.質(zhì)點的角動量定理力矩的定義（對點）設(shè)O為慣性系39角動量定理

：質(zhì)點所受合外力矩等于它的角動量對時間的變化率，即[例]利用拋體運動的速度方程證明角動量定理。注意：合外力矩和角動量是對某慣性系中同一固定點的。證：速度方程為查看角動量定理：質(zhì)點所受合外力矩等于它的角動量對時間的變化率，40角動量定理：質(zhì)點所受合外力矩等于它的角動量對時間的變化率，即注意：合外力矩和角動量是對某慣性系中同一固定點的。角動量定理：質(zhì)點所受合外力矩等于它的角動量對時間的變化率，41說明：

守恒與否與所對的點有關(guān)。只有當(dāng)質(zhì)點不受外力（做勻速直線運動）時，對任何點角動量守恒。角動量守恒定律：如果對于某一固定點，質(zhì)點所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點對該點的角動量保持不變。由角動量定理，可知：當(dāng)外力矩為零時，，于是如果質(zhì)點受力與矢量平行或反平行，力矩必為零，則對該點角動量守恒。如：有心力場3.角動量守恒定律說明：守恒與否與所對的點有關(guān)。只有當(dāng)質(zhì)點不受外力（做勻42

[例]試證明Kepler第二定律：行星對太陽的位矢在相同的時間里掃過的面積相等。證：由于行星受力總是指向恒星（即為有心力）故，角動量守恒。[例]試證明Kepler第二定律：行星對太陽的位矢在相同43例題我國第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球的中心O為該軌道的一個焦點（圖）。已知地球的平均半徑R=6378km，人造衛(wèi)星距地面最近距離l1=439km，最遠(yuǎn)距離l2=2384km。若人造衛(wèi)星在近地點A1的速度v1=8.10km/s，求人造衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點A2的速度。人造衛(wèi)星在近地點A1的角動量解：運動過程中對O點的角動量守恒人造衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點A2的角動量A2l2l1A1例題我國第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球的中44因為角動量守恒，所以將R、l1、l2和各值代入，得于是因為角動量守恒，所以將R、l1、l2和各值代入，得于是45質(zhì)點系的總角動量質(zhì)點系對某點的總角動量定義為：質(zhì)點系的各質(zhì)點對該定點的角動量的矢量和，即質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理：質(zhì)點系的各質(zhì)點所受外力矩之和等于該質(zhì)點系總角動量對時間的變化率，即該定理可以由質(zhì)點的角動量定理導(dǎo)出。4.質(zhì)點系的角動量定理與角動量守恒定律質(zhì)點系的總角動量質(zhì)點系對某點的總角動量定義為：質(zhì)點系的各46證明：對第i個質(zhì)點應(yīng)用角動量定理相加內(nèi)力矩之和為零證明：對第i個質(zhì)點應(yīng)用角動量定理相加內(nèi)力矩之和為零47守恒質(zhì)點系的角動量守恒定律質(zhì)點系的角動量守恒定律：如果質(zhì)點系所受合外力矩為零，則該質(zhì)點系的總角動量保持不變。說明：質(zhì)點系的角動量守恒定律比質(zhì)點的更具普遍意義。

與動量守恒定律一樣，角動量守恒定律是自然界普遍遵循的守恒定律之一，它并不依賴于牛頓定律而成立。如果質(zhì)點系所受合外力為零，對任何固定點的角動量都守恒。如果，守恒質(zhì)點系的角動量守恒定律質(zhì)點系的角動量守恒定律：如果質(zhì)48[例題]兩個質(zhì)量都是m的小球由一長度a的輕質(zhì)硬桿連結(jié)起來，靜止于光滑的水平桌面，今有另一質(zhì)量是m的k倍的小球以速率v0，沿水平面內(nèi)垂直于連桿的方向飛來，與桿上其中一個小球發(fā)生碰撞后，粘在一起。求碰撞發(fā)生后它們的運動速度。解：以三個小球組成質(zhì)點系，質(zhì)點系不受外力，動量和角動量均守恒。（2）（1）（3）x方向動量守恒：對O點的角動量守恒：解得[例題]兩個質(zhì)量都是m的小球由一長度a的輕質(zhì)硬桿連49（2）（1）（3）ABC如對A、B點討論：角動量對其他點也守恒（因合外力為零）。動量守恒：（2）（1）（3）ABC如對A、B點討論：角動量對其50質(zhì)心平動+繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動

有

常量如考慮質(zhì)心運動，，（2）（1）（3）ABC如對A、B點討論：角動量對其他點也守恒（因合外力為零）。動量守恒：質(zhì)心平動+繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動有51動量定理角動量定理力力矩或角力動量角動量或動量矩力的沖量力矩的沖量或沖量矩動量定理52本章結(jié)束

本章結(jié)束

53掌握動量，動量定理，系統(tǒng)的動量定理，動量守恒定律，并能熟練用來分析解決常見問題；了解火箭飛行原理；理解質(zhì)心概念和質(zhì)心運動定律；掌握質(zhì)點的角動量概念，角動量守恒定律，并能用來分析解決簡單問題。大綱要求掌握動量，動量定理，系統(tǒng)的動量定理，動量守恒定律，并能熟練用54第三章

動量與角動量

第三章

動量與角動量

55本章主要內(nèi)容§3-1

沖量與動量定理

§3-2

動量守恒定律§3-3

質(zhì)心運動定理§3-4

火箭飛行原理§3-5

質(zhì)點的角動量和角動量定理角動量守恒定律本章主要內(nèi)容56第三章動量與角動量動量和角動量不僅是經(jīng)典力學(xué)，也是物理學(xué)中十分重要的物理量，因為與它們相聯(lián)系的守恒定律是自然界普遍遵循的基本規(guī)律。動量守恒定律

角動量守恒定律

經(jīng)典力學(xué)

牛頓運動定律量子力學(xué)

相對論力學(xué)牛頓運動定律第三章動量與角動量動量和角動量不僅是經(jīng)典力學(xué)，也是物理學(xué)57前言我們往往只關(guān)心過程中力的效果——力對時間和空間的積累效應(yīng)。力在時間上的積累效應(yīng)：平動沖量動量的改變轉(zhuǎn)動沖量矩角動量的改變力在空間上的積累效應(yīng)功改變能量牛頓定律是瞬時的規(guī)律。在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）…散射前言我們往往只關(guān)心過程中力的效果——力對時間和空間的積累效應(yīng)58§3-1沖量與動量定理

§3-1沖量與動量定理

59瞬時式——動量——力的作用可以使動量變化?！r間的積累等于動量增量。力對時間間隔

0

t的沖量為沖量（對dt）動量定理或1.沖量與動量定理瞬時式——動量——力的作用可以使動量變化?！r60關(guān)于沖力（動量是狀態(tài)量）Fx(t)t物體受到?jīng)_擊，動量會明顯改變。沖擊過程持續(xù)一般時間很短，因此沖擊中物體受力——沖力具有作用時間短、量值大的特點，通常是變力。平均沖力：沖量可表為說明：沖量是矢量，是過程量。關(guān)于沖力（動量是狀態(tài)量）Fx(t)t物體受到?jīng)_擊，動量61平均沖力[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，

求：籃球?qū)Φ氐钠骄鶝_力解：籃球到達(dá)地面的速率從h=2.0m的高度下落，到達(dá)地面后，接觸地面時間t=0.019s。FFto

t速率反彈，以同樣平均沖力[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，求：62例題、一質(zhì)量為10千克的質(zhì)點，在變力F=3+2t（SI）作用下由靜止開始作直線運動。試求：在t=3秒時質(zhì)點的運動速度。解：根據(jù)動量定理，先計算0到3秒內(nèi)的沖量例題、一質(zhì)量為10千克的質(zhì)點，在變力F=3+2t（SI）作用63質(zhì)點系——多個質(zhì)點組成的系統(tǒng)。（質(zhì)點的集合）相加質(zhì)點系的總動量——每個質(zhì)點動量的矢量和。即設(shè)第

i個質(zhì)點受外力為，受質(zhì)點系其他質(zhì)點的合力，即內(nèi)力為對第

i個質(zhì)點應(yīng)用動量定理：2.質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系——多個質(zhì)點組成的系統(tǒng)。（質(zhì)點的集合）相加質(zhì)點系的總動64對任選的一對質(zhì)點

質(zhì)點系的動量定理：

（積分形式）微分形式：

或定理表述：合外力的沖量等于質(zhì)點系總動量的增量。

系統(tǒng)總動量由外力的沖量決定，與內(nèi)力無關(guān)。用質(zhì)點系動量定理處理問題可避開內(nèi)力。對任選的一對質(zhì)點質(zhì)點系的動量定理：

（積分形65[例題]一輛運煤車以速率

v從上方高h(yuǎn)處的煤斗下面通過，煤從煤斗中以恒定的速率

b

=

dm/dt

裝煤漏入車廂，如圖所示。設(shè)煤車與地面的摩擦系數(shù)為，t

時刻車箱和所載煤的質(zhì)量為M，如果保持車的速率不變，應(yīng)以多大的牽引力拉車廂？解：以M和dt時間里落到車廂的煤粒dm為質(zhì)點系。水平方向運用動量定理：鉛直方向:略去二階無窮小量：解得[例題]一輛運煤車以速率v從上方高h(yuǎn)處的煤斗下面通66克服車廂和其中的煤的重量引起的摩擦力克服落下煤粒對車廂沖力引起的摩擦力將下落煤獲得水平動量所需牽引力解的意義：克服車廂和其克服落下煤粒將下落煤獲解的意義：67§3-2動量守恒定律

§3-2動量守恒定律

68如果質(zhì)點系所受合外力為零考慮質(zhì)點系的動量定理：則有，常矢量守恒動量守恒定律：當(dāng)一個質(zhì)點系所受的合外力為零時，這一質(zhì)點系的總動量保持不變。說明：守恒條件：合外力為零。與內(nèi)力無關(guān)。沖擊碰撞過程中，一般有，動量近似守恒。內(nèi)力改變各質(zhì)點的動量，但總動量不變。如果質(zhì)點系所受合外力為零考慮質(zhì)點系的動量定理：則有69動量守恒可以在單一方向上守恒。動量守恒定律僅在慣性系中成立。動量守恒定律是自然界的普遍規(guī)律，它不依賴于牛頓定律而成立。微觀粒子的實驗（如電子轉(zhuǎn)化為光子）動量守恒定律的分量形式：動量守恒可以在單一方向上守恒。動量守恒定律僅在慣性系中70[例題]

一個在水平地面上的炮車發(fā)射炮彈，炮車的質(zhì)量m0，炮筒的仰角為，炮彈的質(zhì)量為m，炮彈射出炮口時，相對于炮身的速度為u。若不計地面摩擦，試求炮彈射出炮口時，炮車的速度。

解

在炮彈發(fā)射過程中，對炮彈和炮身作為一個系統(tǒng)進行受力分析。系統(tǒng)外力有重力G和地面對炮車的支持力N。這些力都沿豎直方向，即外力在水平方向上投影為零，因此系統(tǒng)在水平方向上動量守恒。

設(shè)炮彈射出炮口時的速度相對于地面的投影為，炮車速度在水平方向上的投影為。，

由于炮車原來是靜止的，故有：由速度變換，得：二式聯(lián)立得：[例題]一個在水平地面上的炮車發(fā)射炮彈，炮車的質(zhì)量m0，71

[例]如圖所示，一帶有四分之一圓弧、質(zhì)量為M的滑塊置于光滑桌面上，圓弧半徑為R。今有一質(zhì)量為m的小滑塊從圓弧頂端沿圓弧面自由下滑，圓弧面的摩擦力忽略不計。求當(dāng)小滑塊滑至圓弧底端時，大滑塊相對桌面移動的距離。解：大小滑塊在水平方向上不受外力，二者組成的質(zhì)點系的水平動量守恒。RMmM運動方向與X軸反向RMm[例]如圖所示，一帶有四分之一圓弧、質(zhì)量為M的滑塊置于光72§3-3質(zhì)心運動定理

§3-3質(zhì)心運動定理

73質(zhì)心——質(zhì)量中心。1.質(zhì)心的定義質(zhì)心的位置矢量表示為設(shè)一質(zhì)點系中各質(zhì)點m1,

m2

,…,

mN

的空間坐標(biāo)分別為(x1,

y1,

z1),(x2,

y2,

z2),…,(xN

,

yN

,

zN

)。則質(zhì)心C的坐標(biāo)定義為xzOy質(zhì)心——質(zhì)量中心。1.質(zhì)心的定義質(zhì)心的位置矢量表示為設(shè)一質(zhì)點74說明：質(zhì)心的位置由質(zhì)點系各質(zhì)點的相對位置決定，與坐標(biāo)原點的位置無關(guān)。對質(zhì)量連續(xù)的物體，質(zhì)心位置可用積分式計算：重力的著力點——重心，就在物體的質(zhì)心上。質(zhì)元dm視為質(zhì)點說明：質(zhì)心的位置由質(zhì)點系各質(zhì)點的相對位置決定，與坐標(biāo)原點75

[例題]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量分別為M=

5.981024kg和m=

7.351022kg，地球中心與月球中心的距離為

L=

3.84105km。解：地球和月球本身的質(zhì)心位于它們各自的幾何中心。地月系統(tǒng)的質(zhì)心必定在它們的連線上。選取坐標(biāo)如圖，原點在地球中心。LmMOxC[例題]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量76例：一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。解：選如圖坐標(biāo)系，取長為dl的鐵絲，質(zhì)量為dm，以λ表示線密度，dm=dl.分析得質(zhì)心應(yīng)在y軸上。注意：質(zhì)心不在鐵絲上。例：一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。772.質(zhì)心運動定理代入質(zhì)點系的動量定理，有考慮一質(zhì)點系，其總動量為質(zhì)心運動定理質(zhì)心的運動如同一個在質(zhì)心位置處的質(zhì)點的運動，該質(zhì)點集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量和所受的外力。在質(zhì)點力學(xué)中所謂“物體”的運動，實際上是物體質(zhì)心的運動。2.質(zhì)心運動定理代入質(zhì)點系的動量定理，有考慮一質(zhì)點系，其總動78系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運動，▲在光滑水平面上滑動的扳手，▲做跳馬落地動作的運動員盡管在翻轉(zhuǎn)，但▲爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質(zhì)心仍在做拋物線運動其質(zhì)心仍做拋物線運動例如：其質(zhì)心做勻速直線運動系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運動，▲在光滑水平面上滑動的79質(zhì)心的定義o質(zhì)點系返回質(zhì)心的定義o質(zhì)點系返回80例題一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，下端剛與地面接觸。此時放開繩子，從靜止?fàn)顟B(tài)開始下落。已知繩子質(zhì)量為m，長為l，求下落到所剩長度為z時，地面對這段繩子的作用力.解：解法一（質(zhì)心法）把繩子看作一質(zhì)點系。當(dāng)繩子下落到所剩長度為z時，其質(zhì)心高度和速度分別為

所謂完全柔軟的繩子,指的是繩子上端的下落速度v=dz/dt與一個質(zhì)點自由下落的速度相同，即zOz質(zhì)心定義例題一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，下端剛81由此可得質(zhì)心加速度為

設(shè)地板對上段繩子的作用力為F，對整根繩子應(yīng)用質(zhì)心運動定理，則有由此可得質(zhì)心加速度為設(shè)地板對上段繩子的作用力為F，對整82忽略二級小量，并考慮dt內(nèi)落地繩子的長度為-vdt，可得加上已經(jīng)落地的一段繩子所受到的支持力，總的作用力為

繩子上端的下落速度為，而緊靠地面的質(zhì)元dm與地面相碰時其動量由vdm變?yōu)榱?故若設(shè)該質(zhì)元受到的支持力為，根據(jù)質(zhì)點動量定理有解法二：（動量定理法）忽略二級小量，并考慮dt內(nèi)落地繩子的長度為-vdt，可得加上83§3-4火箭飛行原理

§3-4火箭飛行原理

84火箭在無大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動力。由于無外力作用，動量守恒。由動量守恒定律設(shè)M為火箭在t時刻的總質(zhì)量，dt時間噴出dm質(zhì)量的燃料，相對火箭以u的速度噴射。xMvdmMdmv+dvt時刻t+dt時刻t時刻總動量t+dt時刻總動量火箭在無大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動力。由85積分火箭受燃料的反沖力為結(jié)論：

火箭在燃燒后所增加的速度正比于相對噴射速度u和火箭的始末質(zhì)量比(M0/M1)的自然對數(shù)?；鸺ㄟ^噴射燃料獲得的推力正比u于和dm/dt。推導(dǎo)積分火箭受燃料的反沖力為結(jié)論：火箭在燃燒后所增加的速度正86t+dt時刻：速度v-u，動量dm(v-u)由動量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量火箭所受的反推力研究對象：噴出氣體dmt時刻：速度v(和主體速度相同)，動量vdmF箭對氣dt=dm(v-u)-vdm=-F氣對箭dt由此得火箭所受燃?xì)獾姆赐屏榉祷豻+dt時刻：速度v-u，動量dm(v-u)由87§3-5質(zhì)點的角動量和角動量定理角動量守恒定律

§3-5質(zhì)點的角動量和角動量定理角動量守恒定律

88引入角動量的意義：和動量一樣，角動量服從守恒定律，因此它是力學(xué)中最重要的物理量之一。1.質(zhì)點的角動量

角動量的定義：（對點）設(shè)一質(zhì)點具有動量，由慣性系中某一固定點O指向它的位置矢量為，則該質(zhì)點對O點的角動量為的大小：的方向：垂直于和構(gòu)成的平面。右手螺旋法則引入角動量的意義：和動量一樣，角動量服從守恒定律，因此它是力89矢量的叉乘(矢量積)在物理中常有兩個矢量相互作用，呈現(xiàn)出某些特殊效應(yīng)，例如動量矩、力矩及運動電荷伴存的磁場等。叉乘是描述這類效應(yīng)的矢量運算。叉乘用×表示，其積為矢量，所以叫矢量積。若是交角為的兩個矢量，則叉乘定義為是由叉乘符號規(guī)定的，兩矢量所在平面的右手系法線方向的單位矢量.右手系：將右手拇指伸直，其余四指并攏指向的方向，并沿的計算方向彎向，拇指所指的方向就是的方向。返回矢量的叉乘(矢量積)在物理中常有兩個矢量相互作90叉乘的運算規(guī)則1)叉乘的反交換律2)叉乘與數(shù)乘的結(jié)合律3)叉乘的分配律4)叉乘可得同向和反向(平行)的充分必要條件直角坐標(biāo)系中的叉乘運算若按行列式展開易記返回叉乘的運算規(guī)則1)叉乘的反交換律2)叉乘與數(shù)乘的結(jié)合律3)叉91注意：角動量是矢量。舉例：圓周運動的質(zhì)點對圓心的角動量：粒子散射實驗中，粒子對固定的重原子核的角動量：角動量的分量式：注意：角動量是矢量。舉例：圓周運動的質(zhì)點對圓心的角動量：922.質(zhì)點的角動量定理

力矩的定義（對點）設(shè)O為慣性系中的某一固定點，由它指向質(zhì)點的位置矢量為，則該質(zhì)點對O點的力矩為的大?。?/p>

角動量定理（對點）考慮角動量的變化率：2.質(zhì)點的角動量定理力矩的定義（對點）設(shè)O為慣性系93角動量定理

：質(zhì)點所受合外力矩等于它的角動量對時間的變化率，即[例]利用拋體運動的速度方程證明角動量定理。注意：合外力矩和角動量是對某慣性系中同一固定點的。證：速度方程為查看角動量定理：質(zhì)點所受合外力矩等于它的角動量對時間的變化率，94角動量定理：質(zhì)點所受合外力矩等于它的角動量對時間的變化率，即注意：合外力矩和角動量是對某慣性系中同一固定點的。角動量定理：質(zhì)點所受合外力矩等于它的角動量對時間的變化率，95說明：

守恒與否與所對的點有關(guān)。只有當(dāng)質(zhì)點不受外力（做勻速直線運動）時，對任何點角動量守恒。角動量守恒定律：如果對于某一固定點，質(zhì)點所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點對該點的角動量保持不變。由角動量定理，可知：當(dāng)外力矩為零時，，于是如果質(zhì)點受力與矢量平行或反平行，力矩必為零，則對該點角動量守恒。如：有心力場3.角動量守恒定律說明：守恒與否與所對的點有關(guān)。只有當(dāng)質(zhì)點不受外力（做勻96

[例]試證明Kepler第二定律：行星對太陽的位矢在相同的時間里掃過的面積相等。證：由于行星受力總是指向恒星（即為有心力）故，角動量守恒。[例]試證明Kepler第二定律：行星對太陽的位矢在相同97