(最新整理)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性專題講座課件

(最新整理)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性專題講座2021/7/261(最新整理)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性專題講座2021/7/261復(fù)合函數(shù)單調(diào)性專題講座高中數(shù)學(xué)教師歐陽(yáng)文豐制作2021/7/262復(fù)合函數(shù)單調(diào)性專題講座高中數(shù)學(xué)教師歐陽(yáng)文豐制作2021/7/復(fù)合函數(shù)的概念的定義：如果y是u的函數(shù),u又是x的函數(shù)，即ｙ=f(ｕ),ｕ=g(ｘ),那么ｙ關(guān)于ｘ的函數(shù)ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］叫做函數(shù)y=f(ｕ)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量，x叫自變量，y叫函數(shù)值。2021/7/263復(fù)合函數(shù)的概念的定義：如果y是u的函數(shù),u又是x的函數(shù)，20復(fù)合函數(shù)：y=f[g(x)]令u=g(x)則y=f(u)內(nèi)函數(shù)外函數(shù)y=f[g(x)]原函數(shù)以x為自變量以u(píng)為自變量以x為自變量復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)2021/7/264復(fù)合函數(shù)：y=f[g(x)]令u=g(x)則y=復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由兩個(gè)函數(shù)共同決定；引理1：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域?yàn)?c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。證明：在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2,使a<x1<x2<b,因?yàn)閡=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，所以g(x1)<g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2，且u1,u2(c,d).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。2021/7/265復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由兩個(gè)函數(shù)共同決定；引理1：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性引理2：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。證明：在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2,使a<x1<x2<b,因?yàn)閡=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，所以g(x1)>g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2(c,d).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。2021/7/266復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性引理2：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)性

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)法則同增異減規(guī)律：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)。2021/7/267復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)性

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增類型1：外層函數(shù)為冪函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/268類型1：外層函數(shù)為冪函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/268

復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性可按下列步驟判斷：將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：y=f(u)與u=g(x)。其中y=f(u)又稱為外層函數(shù),u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù);(2)確定函數(shù)的定義域；(3)分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g(x)]

為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g(x)]

為減函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”。2021/7/269復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性可按下列步驟判斷：將復(fù)合函解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3當(dāng)-1/3≤x≤0,x增大時(shí)，1-9x2增大，f(x)減小當(dāng)0<x≤1/3，x增大時(shí)，1-9x2減小，f(x)增大∴函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是[-1/3，0]，[0，1/3]。2021/7/2610解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/32021/7/22021/7/26112021/7/2611變式練習(xí)(-∞,1][5,+∞)[-1/2,5/4][5/4,3]2021/7/2612變式練習(xí)(-∞,1][5,+∞)[-1/2,5/4][5/4小結(jié)：考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性要先考慮函數(shù)的定義域，在定義域范圍內(nèi)求函數(shù)的單調(diào)性。類型2：外層函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/2613小結(jié)：考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性要先考慮函數(shù)的定義域，在定義域范圍2021/7/26142021/7/26142021/7/26152021/7/2615變式練習(xí)（5）、已知函數(shù)在（1，4）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值。

2021/7/2616變式練習(xí)（5）、已知函數(shù)類型3：外層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/2617類型3：外層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/26172021/7/26182021/7/26182021/7/26192021/7/2619（6）若函數(shù)y=loga(2–ax)在[0,1]上是減函數(shù),求a的取值范圍1＜a＜2變式練習(xí)2021/7/2620（6）若函數(shù)y=loga(2–ax)在[0,1]1＜a＜2變（7）.求函數(shù)y=log0.3(x2-4x+3)的單調(diào)區(qū)間解：∵x2

–4x+3>0∴x>3或x<1∴函數(shù)y=log0.3(x2-4x+3)在（–∞，１)上遞增,在（３，+∞

）上遞減．

y=log0.3tt=x2-4x+3(0,+∞)(-∞,1)(3,+∞

)(-∞,1)(3,+∞)2021/7/2621（7）.求函數(shù)y=log0.3(x2-4x+3)的單調(diào)區(qū)間解（8）.若函數(shù)y=

–log2(x2–2ax+a)在(–∞

,–1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．解：令u=g(x)=x2–2ax+a,∵

函數(shù)y=–log2u為減函數(shù)∴

u=g(x)=x2–2ax+a在(–∞

,–1)為減函數(shù),且滿足u>0,∴a≥–1

g(–1)≥0解得：

a≥

-１／3所以a的取值范圍為[–1／3,+∞）2021/7/2622（8）.若函數(shù)y=–log2(x2–2ax+a)在(–已知函數(shù)y=loga(x2-4ax+2)在區(qū)間(1，4)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案：補(bǔ)充練習(xí)2021/7/2623已知函數(shù)y=loga(x2-4ax+2)在區(qū)間(1，4)上答類型4：外層函數(shù)為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/2624類型4：外層函數(shù)為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/2624類型4：外層函數(shù)為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/2625類型4：外層函數(shù)為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/2625小結(jié)：同增異減。研究函數(shù)的單調(diào)性，首先考慮函數(shù)的定義域，要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個(gè)區(qū)間。總結(jié)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷原則

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)2021/7/2626小結(jié)：同增異減。研究函數(shù)的單調(diào)性，首先考慮函數(shù)的定義域，要注復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解題步驟復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性可按下列步驟判斷：

(1)將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：y=f(u)與u=g(x)。其中y=f(u)又稱為外層函數(shù),u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù);(2)確定函數(shù)的定義域；

(3)分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；

(4)若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；

(5)若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g(x)]為減函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”。2021/7/2627復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解題步驟復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性可2021/7/26282021/7/2628(最新整理)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性專題講座2021/7/2629(最新整理)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性專題講座2021/7/261復(fù)合函數(shù)單調(diào)性專題講座高中數(shù)學(xué)教師歐陽(yáng)文豐制作2021/7/2630復(fù)合函數(shù)單調(diào)性專題講座高中數(shù)學(xué)教師歐陽(yáng)文豐制作2021/7/復(fù)合函數(shù)的概念的定義：如果y是u的函數(shù),u又是x的函數(shù)，即ｙ=f(ｕ),ｕ=g(ｘ),那么ｙ關(guān)于ｘ的函數(shù)ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］叫做函數(shù)y=f(ｕ)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量，x叫自變量，y叫函數(shù)值。2021/7/2631復(fù)合函數(shù)的概念的定義：如果y是u的函數(shù),u又是x的函數(shù)，20復(fù)合函數(shù)：y=f[g(x)]令u=g(x)則y=f(u)內(nèi)函數(shù)外函數(shù)y=f[g(x)]原函數(shù)以x為自變量以u(píng)為自變量以x為自變量復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)2021/7/2632復(fù)合函數(shù)：y=f[g(x)]令u=g(x)則y=復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由兩個(gè)函數(shù)共同決定；引理1：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域?yàn)?c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。證明：在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2,使a<x1<x2<b,因?yàn)閡=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，所以g(x1)<g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2，且u1,u2(c,d).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。2021/7/2633復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由兩個(gè)函數(shù)共同決定；引理1：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性引理2：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。證明：在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2,使a<x1<x2<b,因?yàn)閡=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，所以g(x1)>g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2(c,d).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。2021/7/2634復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性引理2：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)性

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)法則同增異減規(guī)律：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)。2021/7/2635復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)性

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增類型1：外層函數(shù)為冪函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/2636類型1：外層函數(shù)為冪函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/268

復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性可按下列步驟判斷：將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：y=f(u)與u=g(x)。其中y=f(u)又稱為外層函數(shù),u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù);(2)確定函數(shù)的定義域；(3)分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g(x)]

為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g(x)]

為減函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”。2021/7/2637復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性可按下列步驟判斷：將復(fù)合函解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3當(dāng)-1/3≤x≤0,x增大時(shí)，1-9x2增大，f(x)減小當(dāng)0<x≤1/3，x增大時(shí)，1-9x2減小，f(x)增大∴函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是[-1/3，0]，[0，1/3]。2021/7/2638解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/32021/7/22021/7/26392021/7/2611變式練習(xí)(-∞,1][5,+∞)[-1/2,5/4][5/4,3]2021/7/2640變式練習(xí)(-∞,1][5,+∞)[-1/2,5/4][5/4小結(jié)：考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性要先考慮函數(shù)的定義域，在定義域范圍內(nèi)求函數(shù)的單調(diào)性。類型2：外層函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/2641小結(jié)：考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性要先考慮函數(shù)的定義域，在定義域范圍2021/7/26422021/7/26142021/7/26432021/7/2615變式練習(xí)（5）、已知函數(shù)在（1，4）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值。

2021/7/2644變式練習(xí)（5）、已知函數(shù)類型3：外層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/2645類型3：外層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)2021/7/26172021/7/26462021/7/26182021/7/26472021/7/2619（6）若函數(shù)y=loga(2–ax)在[0,1]上是減函數(shù),求a的取值范圍1＜a＜2變式練習(xí)2021/7/2648（6）若函數(shù)y=loga(2–ax)在[0,1]1＜a＜2變（7）.求函數(shù)y=log0.3(x2-4x+3)的單調(diào)區(qū)間解：∵x2

–4x+3>0∴x>3或x<1∴函數(shù)y=log0.3(x2-4x+3)在（–∞，１)上遞增,在（３，+∞

）上遞減．

y=log0.3tt=x2-4x+3(0,+∞)(-∞,1)(3,+∞

)(-∞,1)(3,+∞)2021/7/2649（7）.求函數(shù)y=log0.3(x2-4x+3)的單調(diào)區(qū)間解（8）.若函數(shù)y=

–log2(x2–2ax+a)在(–∞

,–1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．解：令u=g(x)=x2–2ax+a,∵

函數(shù)y=–log2u為減函數(shù)∴

u=g(x)=x2–2ax+a在(–∞

,–1)為減函數(shù),且滿足u>0,∴a≥–1

g(–1)≥0解得：

a≥

-１／3所以a的取值范圍為[–1／3,+∞）2021/7/2650（8）.若函數(shù)y=–log2(x2–2ax+a)在(–已