現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件

第6章塑性本構(gòu)方程

Chapter6ConstitutiveEquations

ofPlasticDeformation第6章塑性本構(gòu)方程

Chapter6Consti16.1塑性變形的力學(xué)特點(回顧)6.1.1變形力學(xué)特點(與彈性變形相比)1.（彈塑性共存）——線性函數(shù)——非線性函數(shù)2.塑性變形階段加載階段非線性變形階段卸載階段線性變形階段σ0.2對應(yīng)于0.2%的永久應(yīng)變時的應(yīng)力，作為條件屈服限。6.1塑性變形的力學(xué)特點(回顧)6.1.1變形力學(xué)特點(2

3.存在加工硬化（硬化指數(shù)n）↑→↑，↓，組織劣化——加工硬化（——變形抗力）

4.塑性變形的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系與加載歷史有關(guān)

5.使變形材料的組織與性能發(fā)生變化defects,dislocation,texture,phases,matrix……

6.變形機理：滑移，孿生，晶界機制，擴散機制彈性變形的本質(zhì)是原子間距的變化。3.存在加工硬化（硬化指數(shù)n）36.1.2本構(gòu)方程材料在外力作用下的或的關(guān)系方程，反映變形體的物理本質(zhì)。

1.各向同性彈性體的廣義虎克定律：

（單向受力狀態(tài)）6.1.2本構(gòu)方程（單向受力狀態(tài)）4也即各向同性材料（isotropicmaterials）E——elasticmodulusμ——Posson’sratio反過來，——柔度矩陣——剛度矩陣且有：G=E/2（1+μ）也即G=E/2（1+μ）52.各向異性彈性體的廣義虎克定律在線性彈性體中，物體的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系服從廣義虎克定律。根據(jù)這個定律，在物體的任何一點上，6個應(yīng)力量中的每一個分量都可以表示成6個應(yīng)變分量的線性函數(shù)，即

式中為材料的彈性常數(shù)。應(yīng)該指出：由于彈性體存在變形能，彈性常數(shù)應(yīng)滿足對稱性，所以物體即使是在各向異性的最一般情況下，獨立的彈性常數(shù)只有21個。2.各向異性彈性體的廣義虎克定律式中63.正交各向異性彈性體的廣義虎克定律正交各向異性彈性體的柔度矩陣為其中——依次為2-3，3-1，1-2平面的剪切模量?！謩e為1，2，3方向上的彈性模量。——為應(yīng)力在i方向作用時j方向的橫向應(yīng)變的泊松比，即

對于正交各向異性材料，只有9個獨立常數(shù)，因為3.正交各向異性彈性體的廣義虎克定律其中74.塑性變形：（后面詳述）5.塑性變形本構(gòu)關(guān)系：——應(yīng)變速度敏感指數(shù)此即Backfon公式，主要應(yīng)用于超塑性變形。4.塑性變形：（后面詳述）86.1.3基本假設(shè)與材料模型1.基本假設(shè)a.變形材料均質(zhì)、連續(xù)、各向同性；b.靜水壓力不影響材料的大??；c.拉伸與壓縮的相同（即不計包辛格效應(yīng)）2.材料變形模型理想彈塑性材料（例如熱軋）理想剛塑性材料（例如熱擠壓）線性硬化彈塑性材料（例如冷變形）6.1.3基本假設(shè)與材料模型理想彈塑性材料理想剛塑性材料線9線性硬化剛塑性材料一般硬化材料粘塑性材料線性硬化剛塑性一般硬化材料粘塑性材料106.2屈服條件(塑性條件)定義:材料從彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，并使塑性變形繼續(xù)進(jìn)行的力學(xué)條件。例如:單向拉伸：時材料開始屈服。多向變形：(i,j=1,2,3)更一般的—屈服函數(shù)，在應(yīng)力空間構(gòu)成一個屈服面。描述這個屈服面的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為屈服函數(shù)或屈服條件。

建立，有兩種方法：①數(shù)理邏輯推理（預(yù)測→實驗驗證）②實驗研究（理論原理→揭示實質(zhì)→獲得經(jīng)驗公式）(i,j=x,y,z)6.2屈服條件(塑性條件)定義:材料從彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性11實驗研究方法：Tresca屈服準(zhǔn)則

1864年法國工程師Tresca在研究單向拉伸時發(fā)現(xiàn)金屬表面出現(xiàn)呂德斯帶（與拉伸方向成45o），其后在壓縮、剪切、擠壓（擠鉛管）等實驗中也出現(xiàn)類似現(xiàn)象。于是作了一系列的擠壓實驗來研究屈服條件，發(fā)現(xiàn)從金屬變形上來看，可以在變形表面看到很細(xì)的痕跡，而這些痕紋的方向很接近由最大剪切應(yīng)力所引起的晶體網(wǎng)格的滑移線。于是Tresca認(rèn)為，當(dāng)最大剪切應(yīng)力達(dá)到某一極限值時，材料即進(jìn)入塑性狀態(tài)。這個條件可以寫成如下公式：

這就是Tresca屈服準(zhǔn)則（最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則，第3強度理論）或?qū)懗蓪嶒炑芯糠椒ǎ篢resca屈服準(zhǔn)則或?qū)懗?2數(shù)理邏輯推理：Mises屈服準(zhǔn)則

1913年，Mises曾指出，在的平面（π平面）上Tresca六邊形的六個頂點是由實驗得到的，但是連接六個點的直線卻是假設(shè)的。這種假設(shè)是否合理尚需證明。他認(rèn)為，如果用一個圓來連接這六個點可能更合理，而且又可以避免由于曲線不光滑而產(chǎn)生數(shù)學(xué)上的困難。他認(rèn)為Tresca條件是個準(zhǔn)確的條件，而他的條件卻是個近似的條件。Mises條件是一個垂直于π平面的圓柱面，在平面上則是個橢圓。

Mises屈服準(zhǔn)則的提出：單項拉伸：得到數(shù)理邏輯推理：Mises屈服準(zhǔn)則13

多向變形：，有6個獨立分量。

由于不計包申格效應(yīng)，故應(yīng)為偶函數(shù)（拉伸和壓縮時σs相同）。

（應(yīng)力偏量影響形狀改變和塑性變形相關(guān)）(I1，I2，I3是點的應(yīng)力狀態(tài)改變的確定判據(jù)）而（奇函數(shù)）多向變形：14將單向拉伸屈服條件代入，則有

既Misese屈服條件（歪形能定理，第四強度理論）將單向拉伸屈服條件代入，則有15兩種準(zhǔn)則的比較1.區(qū)別

①表達(dá)式不同：②物理含義不同：Tresca——最大剪切應(yīng)力到某極限Mises——形狀變形能到某極限③對中間主應(yīng)力的考慮不同：Trseca——只有最大和最小主應(yīng)力對屈服有影響Mises——三個主應(yīng)力對屈服都有影響④幾何表達(dá)不同兩種準(zhǔn)則的比較16現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件172.聯(lián)系①幾何上：內(nèi)接關(guān)系，兩種準(zhǔn)則有六個點重合。②表達(dá)式上：

（β為中間應(yīng)力影響系數(shù)，μσ為lode參數(shù)）

2.聯(lián)系18應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則隨著ε的提高，σT也提高。①等強硬化準(zhǔn)則：同心圓——等強強化。

（后繼加載曲面）②移動強化（復(fù)雜）略應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則19雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則（有意可參考《雙剪理論》俞茂宏著，52.55）

或

回顧：主剪切應(yīng)力在主應(yīng)力空間是（110）面族。如果：材料屈服材料屈服雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則材料屈服材料屈服20

當(dāng)b=0時：（Tresca準(zhǔn)則）

當(dāng)b=1時：或

即當(dāng)兩個較大的主剪切應(yīng)力之和達(dá)到某一極限時材料屈服

現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件21即時，材料屈服?；驎r材料屈服Hill準(zhǔn)則（后節(jié)詳述）即時，材料屈服。226.3塑性本構(gòu)方程

■引言

回顧：1）塑性變形過程的特點

2）塑性變形過程與加載歷史（路徑）的關(guān)系

■增量理論

1．Levy-Mises增量理論

Levy-Mises增量理論包括以下假設(shè)：

（1）材料是剛塑性體。

（2）材料符合Mises塑性條件。

（3）塑性變形時體積不變，即。

（4）應(yīng)變增量主軸與偏應(yīng)力主軸相重合。

（5）

式中dλ為瞬時非負(fù)比例系數(shù)，它在加載過程中是變化的。經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)和整理，可得：

6.3塑性本構(gòu)方程

■引言

回顧：1）塑性變形過23于是可得出類似廣義Hooke定律的塑性本構(gòu)方程：式中，類似于彈性模量與剪切模量。

于是可得出類似廣義Hooke定律的塑性本構(gòu)方程：24

應(yīng)當(dāng)指出的是，Levy-Mises增量理論對于理想材料而言，若已知σij只能求出dεij之間的比值，而無法求出它們的值。若已知dεij，只能求出，而無法求出σij，這是該理論的主要缺陷。對于強化材料（應(yīng)力與應(yīng)變一一對應(yīng)）而言，若已知σij，要求出dεij之間的比值，則必須給出dσij;若已知dεij，在給出了εij的條件下，也只能求出。

應(yīng)當(dāng)指出的是，Levy-Mises增量理論對于理想252．Saint-Venant塑性流動理論（應(yīng)力應(yīng)變速率關(guān)系方程）

假設(shè)條件幾乎同前，有：其中

同樣也可寫成廣義Hooke定律形式。由于上式和粘性流體的牛頓公式相似，故稱為塑性流動方程。Levy-Mises方程實際上是塑性流動方程的增量形式。若不考慮應(yīng)變速度對材料性能的影響，二者是一致的。2．Saint-Venant塑性流動理論（應(yīng)力應(yīng)變速率關(guān)系方263．Prandtl-Reuss增量理論在Levy-Mises增量理論基礎(chǔ)上考慮了彈性變形的影響，得出了Prandtl-Reuss增量理論，其中彈性部分同彈性廣義Hooke定律。

式中G、E分別為彈性剪切模量和彈性模量。

分析上式可知，若已知和，不論材料是理想還是強化的，均可以確定。反過來，若已知，對理想材料而言，仍不能求出。對硬化材料而言，則可給出。

3．Prandtl-Reuss增量理論27全量理論（形變理論）若已知應(yīng)變變化歷史，即知道了加載路徑，則沿這個路徑可以積分得出應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系，建立全量理論或形變理論，尤其是在簡單加載條件下，把增量理論中的增量符號“d”取消即可。用Prandtl-Reuss增量理論的積分形式表達(dá)即為：

上式稱為Hencky全量理論方程，只適用于小塑性變形或簡單加載的大塑性變形。全量理論（形變理論）若已知應(yīng)變28全量理論（形變理論）在簡單加載條件不成立的情況下全量理論照理是不能使用的。但由于全量理論解題的方便與直觀，在簡單加載條件不成立的情況下，也經(jīng)常使用全量理論求解。最令人奇怪的是象板材的塑性失穩(wěn)問題，在失穩(wěn)時刻，應(yīng)力分量之間的比例變化激烈，而實驗結(jié)果卻更接近于全量理論的計算結(jié)果。這就使人們估計全量理論的適應(yīng)范圍比簡單加載寬得多，因此提出了所謂偏離簡單加載問題，探討應(yīng)力路徑可以偏離簡單加載路徑多遠(yuǎn)而仍能應(yīng)用全量理論的問題。至于為什么在失穩(wěn)問題中全量理論計算結(jié)果比增量理論好，目前仍未得到很好的解釋，還在繼續(xù)研究之中。全量理論（形變理論）在簡單加載條件不成立的情況296.4塑性勢6.4.1彈性應(yīng)變能與彈性勢

現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件30加載儲能Ue卸載釋放Ue加載儲能Ue316.4.2塑性勢

1938年Melon類比彈性勢提出塑性勢○塑性勢概念：g（）——塑性勢函數(shù)○性質(zhì)：數(shù)量函數(shù)○物理意義：應(yīng)該具有能量內(nèi)涵現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件32現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件33現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件346.4.3塑性勢的應(yīng)用例1：應(yīng)用于各向異性材料的屈服準(zhǔn)則與流動法則(本構(gòu)關(guān)系)正交各向異性材料的Hill屈服準(zhǔn)則,即是Mises屈服準(zhǔn)則的推廣6.4.3塑性勢的應(yīng)用例1：應(yīng)用于各向異性材料的屈服準(zhǔn)則與流356個各向異性參數(shù)可以通過試驗確定即在6個不同方向取6組樣品,進(jìn)行單拉試驗,可以得到6個方程；聯(lián)合求解,這樣就可以求得6個各向異性參數(shù)。然后利用塑性勢求解該材料的本構(gòu)方程（應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系）及等效應(yīng)力與等效應(yīng)變。6個各向異性參數(shù)可以通過試驗確定即在6個不同方向取6組樣品,36設(shè):軋制方向為x方向,寬為y方向,原向為z方向

例2:深沖板成形性能Al合金深沖板:1.制罐料3004；2.汽車深沖.r-----厚向異性系數(shù),塑性比冷軋薄板:平面各向異性(R與T各向異性)深沖時,材料處于平面應(yīng)力狀態(tài)設(shè):軋制方向為x方向,寬為y方向,原向為z方向例2:深沖37現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件38現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件396.5Drucker公設(shè)與最大塑性消耗原理1951年,Drucker提出了關(guān)于材料變形穩(wěn)定性的判據(jù)例如:單向拉伸6.5Drucker公設(shè)與最大塑性消耗原理1951年,D40A’dσdεε0σdσdεA’dσdεε0σdσdε41有關(guān)推論:加載曲線是外凸的,②與最大功耗原理等價的循環(huán)路徑.③應(yīng)力與應(yīng)變增量主軸重合時才符合增量理論.Drucker將這種情況推廣到一般應(yīng)力狀態(tài):有關(guān)推論:加載曲線是外凸的,②與最大功耗原理等價的循環(huán)路徑.42思考:塑性(plasticity)是材料的屬性還是材料的狀態(tài)?材料在不同狀態(tài)下表現(xiàn)出不同的力學(xué)行為(塑變方式,大小),屈服條件的改變,引起塑性本構(gòu)關(guān)系的改變；變形條件（如應(yīng)力狀態(tài)）的改變不僅會引起變形狀態(tài)的改變，還將引起材料性能的變化。塑性是表征材料在不同條件下發(fā)生塑性變形(永久的不可恢復(fù)的變形)而不開裂的能力,

區(qū)別于塑性變形。

參考: 《金屬塑性成形原理》王祖唐75/WZT類似的問題同樣可以針對材料的超塑性、硬度、強度、剛度、韌性、熱膨脹系數(shù)、導(dǎo)電率等提出。思考:塑性(plasticity)是材料的屬性還是材料的狀態(tài)43第6章塑性本構(gòu)方程

Chapter6ConstitutiveEquations

ofPlasticDeformation第6章塑性本構(gòu)方程

Chapter6Consti446.1塑性變形的力學(xué)特點(回顧)6.1.1變形力學(xué)特點(與彈性變形相比)1.（彈塑性共存）——線性函數(shù)——非線性函數(shù)2.塑性變形階段加載階段非線性變形階段卸載階段線性變形階段σ0.2對應(yīng)于0.2%的永久應(yīng)變時的應(yīng)力，作為條件屈服限。6.1塑性變形的力學(xué)特點(回顧)6.1.1變形力學(xué)特點(45

3.存在加工硬化（硬化指數(shù)n）↑→↑，↓，組織劣化——加工硬化（——變形抗力）

4.塑性變形的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系與加載歷史有關(guān)

5.使變形材料的組織與性能發(fā)生變化defects,dislocation,texture,phases,matrix……

6.變形機理：滑移，孿生，晶界機制，擴散機制彈性變形的本質(zhì)是原子間距的變化。3.存在加工硬化（硬化指數(shù)n）466.1.2本構(gòu)方程材料在外力作用下的或的關(guān)系方程，反映變形體的物理本質(zhì)。

1.各向同性彈性體的廣義虎克定律：

（單向受力狀態(tài)）6.1.2本構(gòu)方程（單向受力狀態(tài)）47也即各向同性材料（isotropicmaterials）E——elasticmodulusμ——Posson’sratio反過來，——柔度矩陣——剛度矩陣且有：G=E/2（1+μ）也即G=E/2（1+μ）482.各向異性彈性體的廣義虎克定律在線性彈性體中，物體的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系服從廣義虎克定律。根據(jù)這個定律，在物體的任何一點上，6個應(yīng)力量中的每一個分量都可以表示成6個應(yīng)變分量的線性函數(shù)，即

式中為材料的彈性常數(shù)。應(yīng)該指出：由于彈性體存在變形能，彈性常數(shù)應(yīng)滿足對稱性，所以物體即使是在各向異性的最一般情況下，獨立的彈性常數(shù)只有21個。2.各向異性彈性體的廣義虎克定律式中493.正交各向異性彈性體的廣義虎克定律正交各向異性彈性體的柔度矩陣為其中——依次為2-3，3-1，1-2平面的剪切模量?！謩e為1，2，3方向上的彈性模量?！獮閼?yīng)力在i方向作用時j方向的橫向應(yīng)變的泊松比，即

對于正交各向異性材料，只有9個獨立常數(shù)，因為3.正交各向異性彈性體的廣義虎克定律其中504.塑性變形：（后面詳述）5.塑性變形本構(gòu)關(guān)系：——應(yīng)變速度敏感指數(shù)此即Backfon公式，主要應(yīng)用于超塑性變形。4.塑性變形：（后面詳述）516.1.3基本假設(shè)與材料模型1.基本假設(shè)a.變形材料均質(zhì)、連續(xù)、各向同性；b.靜水壓力不影響材料的大小；c.拉伸與壓縮的相同（即不計包辛格效應(yīng)）2.材料變形模型理想彈塑性材料（例如熱軋）理想剛塑性材料（例如熱擠壓）線性硬化彈塑性材料（例如冷變形）6.1.3基本假設(shè)與材料模型理想彈塑性材料理想剛塑性材料線52線性硬化剛塑性材料一般硬化材料粘塑性材料線性硬化剛塑性一般硬化材料粘塑性材料536.2屈服條件(塑性條件)定義:材料從彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，并使塑性變形繼續(xù)進(jìn)行的力學(xué)條件。例如:單向拉伸：時材料開始屈服。多向變形：(i,j=1,2,3)更一般的—屈服函數(shù)，在應(yīng)力空間構(gòu)成一個屈服面。描述這個屈服面的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為屈服函數(shù)或屈服條件。

建立，有兩種方法：①數(shù)理邏輯推理（預(yù)測→實驗驗證）②實驗研究（理論原理→揭示實質(zhì)→獲得經(jīng)驗公式）(i,j=x,y,z)6.2屈服條件(塑性條件)定義:材料從彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性54實驗研究方法：Tresca屈服準(zhǔn)則

1864年法國工程師Tresca在研究單向拉伸時發(fā)現(xiàn)金屬表面出現(xiàn)呂德斯帶（與拉伸方向成45o），其后在壓縮、剪切、擠壓（擠鉛管）等實驗中也出現(xiàn)類似現(xiàn)象。于是作了一系列的擠壓實驗來研究屈服條件，發(fā)現(xiàn)從金屬變形上來看，可以在變形表面看到很細(xì)的痕跡，而這些痕紋的方向很接近由最大剪切應(yīng)力所引起的晶體網(wǎng)格的滑移線。于是Tresca認(rèn)為，當(dāng)最大剪切應(yīng)力達(dá)到某一極限值時，材料即進(jìn)入塑性狀態(tài)。這個條件可以寫成如下公式：

這就是Tresca屈服準(zhǔn)則（最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則，第3強度理論）或?qū)懗蓪嶒炑芯糠椒ǎ篢resca屈服準(zhǔn)則或?qū)懗?5數(shù)理邏輯推理：Mises屈服準(zhǔn)則

1913年，Mises曾指出，在的平面（π平面）上Tresca六邊形的六個頂點是由實驗得到的，但是連接六個點的直線卻是假設(shè)的。這種假設(shè)是否合理尚需證明。他認(rèn)為，如果用一個圓來連接這六個點可能更合理，而且又可以避免由于曲線不光滑而產(chǎn)生數(shù)學(xué)上的困難。他認(rèn)為Tresca條件是個準(zhǔn)確的條件，而他的條件卻是個近似的條件。Mises條件是一個垂直于π平面的圓柱面，在平面上則是個橢圓。

Mises屈服準(zhǔn)則的提出：單項拉伸：得到數(shù)理邏輯推理：Mises屈服準(zhǔn)則56

多向變形：，有6個獨立分量。

由于不計包申格效應(yīng)，故應(yīng)為偶函數(shù)（拉伸和壓縮時σs相同）。

（應(yīng)力偏量影響形狀改變和塑性變形相關(guān)）(I1，I2，I3是點的應(yīng)力狀態(tài)改變的確定判據(jù)）而（奇函數(shù)）多向變形：57將單向拉伸屈服條件代入，則有

既Misese屈服條件（歪形能定理，第四強度理論）將單向拉伸屈服條件代入，則有58兩種準(zhǔn)則的比較1.區(qū)別

①表達(dá)式不同：②物理含義不同：Tresca——最大剪切應(yīng)力到某極限Mises——形狀變形能到某極限③對中間主應(yīng)力的考慮不同：Trseca——只有最大和最小主應(yīng)力對屈服有影響Mises——三個主應(yīng)力對屈服都有影響④幾何表達(dá)不同兩種準(zhǔn)則的比較59現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件602.聯(lián)系①幾何上：內(nèi)接關(guān)系，兩種準(zhǔn)則有六個點重合。②表達(dá)式上：

（β為中間應(yīng)力影響系數(shù)，μσ為lode參數(shù)）

2.聯(lián)系61應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則隨著ε的提高，σT也提高。①等強硬化準(zhǔn)則：同心圓——等強強化。

（后繼加載曲面）②移動強化（復(fù)雜）略應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則62雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則（有意可參考《雙剪理論》俞茂宏著，52.55）

或

回顧：主剪切應(yīng)力在主應(yīng)力空間是（110）面族。如果：材料屈服材料屈服雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則材料屈服材料屈服63

當(dāng)b=0時：（Tresca準(zhǔn)則）

當(dāng)b=1時：或

即當(dāng)兩個較大的主剪切應(yīng)力之和達(dá)到某一極限時材料屈服

現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第六章課件64即時，材料屈服?；驎r材料屈服Hill準(zhǔn)則（后節(jié)詳述）即時，材料屈服。656.3塑性本構(gòu)方程

■引言

回顧：1）塑性變形過程的特點

2）塑性變形過程與加載歷史（路徑）的關(guān)系

■增量理論

1．Levy-Mises增量理論

Levy-Mises增量理論包括以下假設(shè)：

（1）材料是剛塑性體。

（2）材料符合Mises塑性條件。

（3）塑性變形時體積不變，即。

（4）應(yīng)變增量主軸與偏應(yīng)力主軸相重合。

（5）

式中dλ為瞬時非負(fù)比例系數(shù)，它在加載過程中是變化的。經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)和整理，可得：

6.3塑性本構(gòu)方程

■引言

回顧：1）塑性變形過66于是可得出類似廣義Hooke定律的塑性本構(gòu)方程：式中，類似于彈性模量與剪切模量。

于是可得出類似廣義Hooke定律的塑性本構(gòu)方程：67

應(yīng)當(dāng)指出的是，Levy-Mises增量理論對于理想材料而言，若已知σij只能求出dεij之間的比值，而無法求出它們的值。若已知dεij，只能求出，而無法求出σij，這是該理論的主要缺陷。對于強化材料（應(yīng)力與應(yīng)變一一對應(yīng)）而言，若已知σij，要求出dεij之間的比值，則必須給出dσij;若已知dεij，在給出了εij的條件下，也只能求出。

應(yīng)當(dāng)指出的是，Levy-Mises增量理論對于理想682．Saint-Venant塑性流動理論（應(yīng)力應(yīng)變速率關(guān)系方程）

假設(shè)條件幾乎同前，有：其中

同樣也可寫成廣義Hooke定律形式。由于上式和粘性流體的牛頓公式相似，故稱為塑性流動方程。Levy-Mises方程實際上是塑性流動方程的增量形式。若不考慮應(yīng)變速度對材料性能的影響，二者是一致的。2．Saint-Venant塑性流動理論（應(yīng)力應(yīng)變速率關(guān)系方693．Prandtl-Reuss增量理論在Levy-Mises增量理論基礎(chǔ)上考慮了彈性變形的影響，得出了Prandtl-Reuss增量理論，其中彈性部分同彈性廣義Hooke定律。

式中G、E分別為彈性剪切模量和彈性模量。

分析上式可知，若已知和，不論材料是理想還是強化的，均可以確定。反過來，若已知，對理想材料而言，仍不能求出。對硬化材料而言，則可給出。

3．Prandtl-Reuss增量理論70全量理論（形變理論）若已知應(yīng)變變化歷史，即知道了加載路徑，則沿這個路徑可以積分得出應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系，建立全量理論或形變理論，尤其是在簡單加載條件下，把增量理論中的增量符號“d”取消即可。用Prandtl-Reuss增量理論的積分形式表達(dá)即為：

上式稱為Hencky全量理論