初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第二十三講代數(shù)證明(含答案)

--PAGE5-第二十三講代數(shù)證明代數(shù)證明主要是指證明代數(shù)中的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系．在初中階段，要證的等式一般可分為恒等式的證明和條件等式的證明．恒等式的證明常用的方法有：(1)由繁到簡(jiǎn)，從一邊推向另一邊；(2)從左右兩邊人手，相向推進(jìn)；(3)作差或作商證明，即證明：左邊一右邊=0，左邊1(右邊0)．右邊利于與已知條件的溝通．代數(shù)證明不同于幾何證明，幾何證明有直觀的圖形為依托，而代數(shù)證明卻取決于代數(shù)式化簡(jiǎn)求值變形技巧、方法和思想的熟練運(yùn)用．例題求解【例】(1)求證： x

y z

1

1 1 3axa2

aya

aza

xa ya za a（2）(a12b12ab124a1)(b1)(ab1．a(chǎn) b ab a b ab思路點(diǎn)撥(1)從較復(fù)雜的等式左邊推向等式右邊，注意左邊每個(gè)分式分子與分母的聯(lián)系；(2)等式兩邊都較復(fù)雜，對(duì)左、右兩邊都作變形或作差比較．變形，形變值不變是恒等變形的特點(diǎn)．代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、代數(shù)證明其實(shí)質(zhì)都是作恒等變形，分解、換元、引參、配方、分組、拆分，取倒數(shù)等是恒等變形常用的技巧與方法．【例2】已知xyab，且x2y2a2b2．求證：x2001y2001a2001b2001．(2001年黃岡市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥從完全平方公式入手，推出x、y與a、b間關(guān)系，尋找證題的突破口．】有18支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每個(gè)參賽隊(duì)同其他各隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，假設(shè)比賽的結(jié)果沒(méi)有平局，如果用a和bi i負(fù)的局?jǐn)?shù)．

，分別表示第i(I=1，2，3…18)支球隊(duì)在整個(gè)賽程中勝與求證：a1

2a2

2a18

2b1

2b2

2b 2．18(2003年天津市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥作差比較，明確比賽規(guī)則下隱含的條件是證題的關(guān)鍵．】已知ax3by3cz31113a3b3a3b3c

1．3ax3ax2by2cz2

．思路點(diǎn)撥同一個(gè)代數(shù)式．【例5】已知abc0，證明：四個(gè)數(shù)(abc)3

、(bca)3

、(cab)3

、(abc)3abc abc abc abc中至少有一個(gè)不小于6．(2002年北京市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥整體考慮，只需證明它們的和大于等于24即可．將已知條件直接代入求證式；(2)綜合變形巳知條件，湊出求證式；根據(jù)求證式的需求，變換已知條件，湊出結(jié)果等．不等關(guān)系證明類(lèi)似于等式的證明，在證明過(guò)程中常用如下知識(shí)：(1)若A—B>0，則A>B；(2)若A—B<0，則A<B；(3)a2b22ab；(4)x1x

2（x>；(5)若aa1 2

aM，則a、a1

a2

M．n學(xué)歷訓(xùn)練P

ab，qbc，r=c

，求證：(1p)(1q)(1r)(1p)(1q)(1r)．a(chǎn)b bc caxy

1，ab

0．求證：x2y2 z

1．a(chǎn) b

x y z

a2 b2 c2ab

bc

ca 8a0．a(chǎn)b 2(bc) a)3939 432

的小數(shù)部分為b，求證：

2b1．3939 4325．設(shè)x、、z(y—z)2+(x－y)2+(z—x)2=(y+z－2x)2+(z+x－2y)2+(x+y—2z)2，求證：

(yz1)(zx1)(xy1)(x21)(y21)(z21)

1．)6．已知14(a2b2c2)(a2b3c)2，求證：a：b：c=1：2：3．已知111 1 1，求證、、z中至少有一個(gè)為1．x y z xyz若 x y

z t A

xy

yz

zt

tx

，證明：Ayzt ztx txy xyz zt tx xy yz是一個(gè)整數(shù)．(匈牙利競(jìng)賽題)已知a b c 0，求證： a b

c 0．bc ca ab (bc)

(ca)

(ab)2pqxx

pq2．(天津市競(jìng)賽題)pq1設(shè)、bc均為正數(shù)，且abc11119．a(chǎn) b ca bb cc a如果正數(shù)、bc滿(mǎn)足aca bb cc a(2003年北京市競(jìng)賽題)設(shè)ab、c3個(gè)命題：①若a2abc0，且c>1，則0<b<2；②若c>1且0<b<2，則a2abc