北京理工大學數(shù)學專業(yè)數(shù)學分析Ⅲ試題(MTH17042,MTH17169)

課程編號：MTH17042 北京理工大學2014-2015學年第一學期 2014.11.32013級數(shù)學專業(yè)數(shù)學分析Ⅲ階段測驗（一）試題設uuxyz,vvxyz是3是3中任意的分片光滑閉曲面。

vdS

vudS

u v求證： ，其中和分別表示函數(shù)u和v沿S外法線方向的方n nS S向導數(shù)。

n n敘述正項級數(shù)斂散性的比較判別法和DAlembert比值判別法，并利用前者證明后者。1）n1

1 nn32n2n3 n n3n32n2n1

1

sinn2sinn2 （3）

n2

n1 n ln1 nn2nn2n

n1nlnnn

（5）

n1設un

0,n。又設廣義極限lim nn lnlnn

L存在。求證：當L1（含L）時，級數(shù)unn1

收斂；當L1（含L）時，級數(shù)unn1

發(fā)散。研究級數(shù)n2

sin3nnln

的斂散性，包括絕對收斂性和條件收斂性，其中是實參數(shù)。6.設n1

aRn收斂，其中R>，求證：對一切x,R，nn1

naxn絕對收斂。n設n,b

bb0，且有極限limnnb

1p0。求證：數(shù)列

收斂，且limb

0。n

n1

n n n設liman

A存在，又設bnn1

絕對收斂。求證：limnnk1

abkn1k

b 。nn1課程編號：MTH17042 北京理工大學2014-2015學年第一學期 2014.112013級數(shù)學專業(yè)數(shù)學分析Ⅲ期中試卷（15分（）設數(shù)項級數(shù)ann1

與bnn1

均絕對收斂，問：abnnn1

是否一定收斂？為什么？如果ann1

收斂，bnn1

絕對收斂，那么abnnn1

是否一定收斂？為什么？（2）設liman

0，n1

an1

a絕對收斂，又設bn n1

的n次部分和序列有界，求證：abnnn1

收斂。（10分）設n

單調遞減，且n,an

0；又設p是任意固定的正整數(shù)，求證：ann1收斂當且僅當apnn1

收斂。（15分）設對每一個自然數(shù)n，函數(shù)ux在數(shù)集E內有定義，n用肯定語氣敘述函數(shù)項級數(shù)n1

ux在數(shù)集E內不滿足一致收斂的Cauchy準則的嚴n格含義；設存在數(shù)列n

和n

，滿足n,xE，都有an

uxbn

ann1與bnn1

Cauchy準則證明函數(shù)項級數(shù)n1

ux在數(shù)集E內一致n收斂。（10分）xn

nk

1 3n2,n1,2,3k 3k nlnn

，求證：xn

收斂。五（15分）研究函數(shù)項級數(shù) 的斂散性，包括絕對收斂和條件收斂，并證明：nx

n1nlnn 的和函數(shù)nx

x

在其收斂域內連續(xù)；n1

nlnn 在其收斂域內不一致收斂。nx（10分）

n1xn

xx0,n1,2,。n 求證：函數(shù)序列f xn

在0,

中內閉一致收斂；用兩種方法證明在0,內不一致收斂。n n 七15分（）求冪級數(shù) x1n的收斂域及和函數(shù)；2nn1 （2）求函數(shù)fxlnx 1x2 的Maclaurin級數(shù)展開式并確定收斂區(qū)間。八（10分）設函數(shù)fx,fx在區(qū)間I內定義，且n，fx在區(qū)間In n內一致連續(xù)；又設n時fn

x關于x在I內一致收斂于fx。求證：fx在區(qū)間I內一致連續(xù)，且fn

I內等度連續(xù)，即0,0，使得n,xxI，只要xx，就有fn

xfn

x。（10分）n

在區(qū)間fx，且n，極限limfx

xAn

x時n

x等度收斂于A即0 ，nxXn，都有fn存在，且二者相等。

xAn

limlimfxn

x與limlimfnx

x都（第八題、第九題二題中任選一題）課程編號：MTH17169 北京理工大學2016-2017學年第一學期2015級數(shù)學與統(tǒng)計學院數(shù)學分析Ⅲ期中考題n211.（n21n2

n2 （1）enn1

； （2）n1

2n!

； （3）n1

n21 。2.（30分）判斷下列級數(shù)是否收斂；若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？1）

sinnx11n

x2

n ； （2） n n1

n

n2

nplnn3.15分）求冪級數(shù)n1

nnxn的收斂半徑和收斂域，并求出和函數(shù)的表達式。4.（15分）設fn

和gn

都在區(qū)間I上有界，n1,2, ，并fn

If，Ig。證明：fn

gIfg。n5.20分）設fxn1

cosnx，證明：n2 1f（）f在區(qū)間0,2上可導；7Ffxdx1（3）15

2 2 2。 0課程編號：MTH17042 北京理工大學2014-2015學年第一學期 2014.122013級數(shù)學專業(yè)數(shù)學分析Ⅲ第三次階段練習 nlnn

sinxlnx

11cos1dx

n2

lnnn

；（2）0

x 1x2

dx；（3） 。0x x二、設

單調遞減，且n,a

0，求證：

收斂當且僅當

2na

收斂。

n

n4k 1 4n3,n4k

n1

n收斂。

2nn1n 3 nk1四（1）求函數(shù)fxln 4x2x 的Maclaurin級數(shù)展開式并確定收斂區(qū)間；求冪級數(shù)n1

n2n1

1xn1的收斂域及和函數(shù)。（）證明無窮級數(shù)

111

收斂，并求其和；

2 n2n2）設fx20

2xetdtds，求fx及fx的表達式。s六、設對每一個自然數(shù)n，函數(shù)un

xEn3,xE，都有nnn

nnn 1

ulnn

x lnn

nnn1n1sin n

unn1

x 在數(shù)集E內一致收斂。七、設n1

aRn收斂，其中R0（1）冪級數(shù)nn1

axn在R,R內絕對收n）c0,R，冪級數(shù)axn在c,R內一致收斂。nn1八、設有廣義積分Ipxpsinx2dx，問：p取何值時Ip絕對收斂？p取何值時0Ip條件收斂？p取何值時Ip發(fā)散？九、求廣義積分Jpln2xdx的收斂域，并證明：1 xp1）函數(shù)Jp在I（）廣義積分Jp在I內不一致收斂。十、設a,b0,m，用三種方法計算廣義積分eaxebxsinmxdx。0 x選作 設fx和gx在0,內連續(xù)，又設極限limfxA存在，且廣義積分xg

TfxgTxdxAgxdx。0 T0 0課程編號：MTH17042 北京理工大學2014-2015學年第一學期 2015.1.262013級數(shù)學專業(yè)數(shù)學分析Ⅲ期末試題B卷（735分）求冪級數(shù)nn2xn的收斂域及和函數(shù)；n1設Fyysinyx2dx，求Fy；2 （3）fxln42x3x2

展開成x的冪級數(shù)，確定收斂區(qū)間，并求f50的值；求證無窮級數(shù)

11

1 1

收斂，并求其和。 n1

2 n1

n1設f xex，其中x。求f以為周期的Fourier級數(shù)展開式，并求其和函數(shù)在內的表達式。（10分）設n

單調遞減，且n,an

0，求證：ann1

收斂當且僅當n0

a3n2

收斂。（10分）設0p1,xn

1n1pkp 1

,n1,2, ，求證：數(shù)列n

收斂。15分1設

x,

k1在ax,yIIAa，yIfx在Aa區(qū)間I內不滿足一致收斂Cauchy準則的嚴格含義；

fxyy在2）用兩種方法計算廣義積分e2xe3xcosxdx（證明計算過程的合理性。0 x15分）求廣義積分Jplnp1 x4

xdx的收斂域I，并證明：1）函數(shù)Jp在I（）廣義積分Jp在I內不一致收斂。（7分）設an

0，又設冪級數(shù)n0

axn1fx。n求證：limfx成立的充要條件是ax10 n0

發(fā)散。（8分）f在區(qū)域y|axbyf在內存在且xxa,blimfxygx存在；求證：yg在有界開區(qū)間ab內一致連續(xù)；yfxyx在有界開區(qū)間ab內一致收斂。提示：考慮以下的定理：設n，fn

在a,b內連續(xù)，則n時，fn

在a,b內一致收斂的充分必要條件是n時，fn

在b內收斂且在區(qū)間b內等度連續(xù)。課程編號：MTH17169 北京理工大學2016-2017學年第一學期2015級數(shù)學與統(tǒng)計學院數(shù)學分析Ⅲ期終考試考題（A卷）nn1 1.nn1 （1） ； ；（4） （1） ； ；（4） 0。

n

（3）（3）

dx n1

3n

n1

0 x

1x2 1 rlnx210分）esinxcosxdx當p1時絕對收斂；當0p1時條件收斂；當p01 xp時發(fā)散。3.12分1）設Fx

xxtetdt，求Fx；02）設Fxx2dtt

ftsdsf在2Fx。0 tx4.12分1）求冪級數(shù)

xn的收斂域及其和函數(shù)的表達式；n0

n1!2）求級數(shù)

n,

n的和。n1

n1!

n1

n2!5.14分1）證明cosxdx關于在0,內閉一致收斂，但不一致收斂；0 x2）求積分sinbxsinaxexdx0ab,0的值。0 x2x x6.（14分）f以2為周期，在,fxx2x x1）求f的Fourier）求f的Fourier級數(shù)的和函數(shù)在0,2的表達式；3）求