離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換課件

第二章離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換2.1取樣和內(nèi)插2.2離散時(shí)間信號(hào)序列2.3離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系2.4離散信號(hào)的傅氏變換2.5離散信號(hào)的z變換2.6單邊z變換2.7z變換與傅氏變換的關(guān)系2.8系統(tǒng)的時(shí)域分析與頻域分析第二章離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換2.1取樣和內(nèi)插2.1取樣和內(nèi)插1.取樣 將連續(xù)信號(hào)變成離散信號(hào)有各種取樣方法，其中最常用的是等間隔周期取樣，即每隔固定時(shí)間T取一個(gè)信號(hào)值，如圖2-1所示。其中T稱為取樣周期，T的倒數(shù)稱為取樣頻率或取樣率。記為fS=1/T2.1取樣和內(nèi)插1.取樣圖2-1連續(xù)信號(hào)的取樣圖2-1連續(xù)信號(hào)的取樣 取樣定理——Shannon定理 任一連續(xù)信號(hào)xa(t)，設(shè)其頻譜的最高頻率分量為fm，則當(dāng)對(duì)它進(jìn)行取樣時(shí)，只要選擇取樣率等于或大于2fm

，就可以由這個(gè)取樣序列xa(nT)來(lái)唯一準(zhǔn)確地恢復(fù)xa(t)。 設(shè)有一限帶信號(hào)xa(t)。當(dāng)|Ω|≤Ω

max，它的付氏變換為Xa(Ω)。將xa(t)乘一取樣函數(shù)p(t)就得到xa(t)，如圖2.2所示。 取樣定理——Shannon定理圖2-2連續(xù)信號(hào)取樣的數(shù)學(xué)模型圖2-2連續(xù)信號(hào)取樣的數(shù)學(xué)模型離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換圖2-5取樣過(guò)程的時(shí)域與頻域關(guān)系圖2-5取樣過(guò)程的時(shí)域與頻域關(guān)系最后需要說(shuō)明一點(diǎn)：上述取樣定理是理想取樣，如果取樣函數(shù)不是單位沖擊函數(shù)序列，而是窄脈沖函數(shù)序列，則如圖2-6所示(詳細(xì)情況請(qǐng)參看相關(guān)資料)。最后需要說(shuō)明一點(diǎn)：上述取樣定理是理想取樣，如果取樣函數(shù)不是單圖2-6理想取樣和非理想取樣的比較圖2-6理想取樣和非理想取樣的比較2.內(nèi)插 用大于奈奎斯特取樣頻率取樣限帶信號(hào)xa(t)，則被取樣信號(hào)xa(t)通過(guò)理想低通濾波器，只要其截止頻率Ωc滿足Ωmax≤Ωc≤(Ωs－Ωmax)時(shí)，就可以恢復(fù)出原來(lái)信號(hào)，如圖2-8所示。2.內(nèi)插圖2-8取樣信號(hào)的恢復(fù)與理想低通濾波器的傳輸函數(shù)圖2-8取樣信號(hào)的恢復(fù)與理想低通濾波器的傳輸函數(shù)圖2-9連續(xù)信號(hào)的內(nèi)插表示圖2-9連續(xù)信號(hào)的內(nèi)插表示圖2-10連續(xù)信號(hào)用三角形內(nèi)插函數(shù)圖2-10連續(xù)信號(hào)用三角形內(nèi)插函數(shù)3.Matlab實(shí)現(xiàn)(1)零階和一階保持內(nèi)插(2)三次樣條內(nèi)插3.Matlab實(shí)現(xiàn)2.2離散時(shí)間信號(hào)序列1.離散時(shí)間信號(hào) 離散時(shí)間信號(hào)是在離散的時(shí)間上取值，在兩個(gè)取樣間隔內(nèi)數(shù)值為零的信號(hào)。2.2離散時(shí)間信號(hào)序列1.離散時(shí)間信號(hào)2.常用序列(1)單位取樣序列 單位取樣序列的定義為

其圖形如圖2-15所示。2.常用序列圖2-15單位取樣序列圖2-15單位取樣序列(2)單位階躍序列 單位階躍序列的定義為其圖形如圖2.16所示。(2)單位階躍序列圖2-16單位階躍序列圖2-16單位階躍序列(3)矩形序列 矩形序列的定義為其圖形如圖2-17所示。(3)矩形序列圖2-17矩形序列圖2-17矩形序列(4)實(shí)指數(shù)序列 實(shí)指數(shù)序列的定義為x(n)=an其中a為不等于零的任意實(shí)數(shù)。 圖2-18是0＜a＜1的一個(gè)實(shí)指數(shù)序列的圖形。(4)實(shí)指數(shù)序列圖2-18實(shí)指數(shù)序列圖2-18實(shí)指數(shù)序列(5)正弦序列 正弦序列的定義為x(n)=sinnω0其圖形如圖2-19所示。(5)正弦序列圖2-19正弦序列圖2-19正弦序列2.3離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系1.離散系統(tǒng)的定義 離散系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的惟一性變換或運(yùn)算。亦即將一個(gè)序列變換成另一個(gè)序列的系統(tǒng)，記為y(n)=T［x(n)］通常將上式表示成圖2-20所示的框圖。2.3離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系1.離散系統(tǒng)的定義圖2-20離散系統(tǒng)的模型圖2-20離散系統(tǒng)的模型2.線性非移變系統(tǒng)(1)系統(tǒng)的線性特性 滿足疊加原理的系統(tǒng)具有線性特性，即若對(duì)兩個(gè)激勵(lì)x1(n)和x2(n)有2.線性非移變系統(tǒng)(2)系統(tǒng)的非移變特性 系統(tǒng)的非移變是指系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而變化。用數(shù)學(xué)表示為T［x(n－n0)］=y(n－n0)即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，輸出信號(hào)響應(yīng)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同，如圖2-22所示。(2)系統(tǒng)的非移變特性圖2-22離散系統(tǒng)的非移變特性圖2-22離散系統(tǒng)的非移變特性(3)線性非移變系統(tǒng) 線性非移變系統(tǒng)就是既滿足迭加原理又具有非移變特性的系統(tǒng)，將其描繪如圖2-24所示。圖2-24線性非移變系統(tǒng)模型(3)線性非移變系統(tǒng)圖2-24線性非移變系統(tǒng)模型(4)線性卷積的計(jì)算 計(jì)算線性卷積有4種方法。 ①利用兩個(gè)序列的解析式直接計(jì)算式(2-34)。 ②利用兩個(gè)序列的移位求和，即先把一個(gè)序列倒置。每次將它向下移一步，求出兩序列重疊部分乘積之和。 ③用作圖法求。 ④卷積的Matlab實(shí)現(xiàn)(4)線性卷積的計(jì)算3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性(1)穩(wěn)定性 對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入序列是有界時(shí)，其輸出也是有界的，則稱它是穩(wěn)定系統(tǒng)。用數(shù)學(xué)描述則為如果 ｜x(n)｜＜∞對(duì)于一切n則 ｜y(n)｜＜∞對(duì)于一切n3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性 因?yàn)槠渲屑僭O(shè)｜x(n)｜≤M。 因?yàn)?．因果性 一個(gè)系統(tǒng)如果其輸出變化不會(huì)發(fā)生在輸入變化之前，則稱它是因果的。這就是說(shuō)對(duì)于因果系統(tǒng)，如果取n0,當(dāng)n<n0時(shí)，x1(n)=x2(n),則n<n0時(shí)，y1(n)=y2(n)。一個(gè)線性非移變系統(tǒng)當(dāng)n<0時(shí)的因果充要條件是其單位取樣響應(yīng)等于零,即h(n)=0 n<0 這個(gè)充要條件可以從y（n）＝x(n)*h(n)的解析式中導(dǎo)出。2．因果性4.系統(tǒng)的差分方程描述(1)非遞歸型(FIR) 非遞歸型因果系統(tǒng)是輸出的現(xiàn)在值僅僅取決于輸入的現(xiàn)在值與輸入的過(guò)去值的系統(tǒng)。非遞歸，即輸出對(duì)輸入無(wú)反饋。因此，設(shè)在n時(shí)刻輸入x(n)與輸出y(n)的關(guān)系為y(n)=f｛……,x(n-1),x(n),x(n+1),……｝若系統(tǒng)是線性非移變的，y(n)可表示為4.系統(tǒng)的差分方程描述(2)遞歸型(IIR) 遞歸型因果系統(tǒng)輸出的現(xiàn)在值不僅取決于輸入的現(xiàn)在值與過(guò)去值，還取決于輸出的過(guò)去值。y(n)=f｛……,x(n-1),x(n),x(n+1),……｝ +g｛……,y(n-1),y(n+1),……｝(2)遞歸型(IIR) 同理，在系統(tǒng)為線性、非移變、因果時(shí)，可推得 同理，在系統(tǒng)為線性、非移變、因果時(shí)，可推得2.4離散信號(hào)的傅氏變換1.問(wèn)題的提出 對(duì)于連續(xù)信號(hào)xa(t)與其頻譜Xa(Ω)之間存在著傅氏變換關(guān)系，如圖2-28所示。前邊已經(jīng)討論了連續(xù)信號(hào)xa(t)的離散化，即取樣的問(wèn)題，已經(jīng)知道取樣序列的頻譜是原信號(hào)頻譜在Ω軸上的周期延拓，如圖2-28(b)所示。2.4離散信號(hào)的傅氏變換1.問(wèn)題的提出圖2-28連續(xù)和離散信號(hào)的傅氏變換圖2-28連續(xù)和離散信號(hào)的傅氏變換2.傅氏變換對(duì)的推導(dǎo) 從2.1節(jié)的討論知道，對(duì)連續(xù)信號(hào)在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行取樣的結(jié)果，是頻域內(nèi)頻譜周期的延拓，并且還得到了已取樣信號(hào)xa(t)在頻域內(nèi)的表示，現(xiàn)重寫(xiě)為2.傅氏變換對(duì)的推導(dǎo)離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換3.線性非移變系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 從2.3節(jié)的討論得到線性非移變離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為對(duì)上式兩邊同時(shí)進(jìn)行傅氏變換得3.線性非移變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換4.離散信號(hào)傅氏變換的性質(zhì) 首先定義兩種序列，共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列。(1)序列的卷積特性 序列的卷積特性是時(shí)域內(nèi)的卷積關(guān)系映射到頻域內(nèi)為相乘，即4.離散信號(hào)傅氏變換的性質(zhì)(2)序列傅氏變換的周期性 序列的傅氏變換是ω的周期函數(shù)，周期為2π。(3)復(fù)序列傅氏變換的對(duì)稱性(2)序列傅氏變換的周期性離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換2.5離散信號(hào)的z變換1.z變換的定義及其收斂域 對(duì)于一個(gè)序列x(n)，其z變換的定義為 其中z為復(fù)變量，也可記作Z［x(n)］=X(z)。式(2-49)的定義也稱為雙邊z

變換；相應(yīng)的還有單邊z變換。2.5離散信號(hào)的z變換1.z變換的定義及其收斂域?qū)τ谒械男蛄谢蛩械膠值，z變換并不總是收斂的。對(duì)于任意給定的序列，使z變換收斂的z值集合稱作收斂區(qū)域：{Z：X(z)存在}＝收斂區(qū)域。其內(nèi)徑R-與外徑R+分別取x(n)在n→∞和n→-∞時(shí)的形狀。z變換收斂域的概念很重要，不同的序列可能有相同的z變換表達(dá)式，但是收斂域卻不同，所以應(yīng)該特別注意，只有當(dāng)z變換的表達(dá)式與收斂域都相同時(shí)，才能判定兩個(gè)序列相等。對(duì)于所有的序列或所有的z值，z變換并不總是收斂的。對(duì)于任意給根據(jù)以上討論，可以概括為(1)對(duì)右邊序列(n≥0存在)，｜z｜＞R-收斂，且R-是右序列的極點(diǎn)。(2)對(duì)左邊序列(n＜0存在)，｜z｜＜R+收斂，且R+是左邊序列的極點(diǎn)。根據(jù)以上討論，可以概括為(3)若X(z)不只一個(gè)極點(diǎn)，則找與收斂域相重的那個(gè)極點(diǎn)，對(duì)右邊序列，最外極點(diǎn)之外的區(qū)域?yàn)槭諗坑?；?duì)左邊序列，最內(nèi)極點(diǎn)之內(nèi)的區(qū)域?yàn)槭諗坑颍鐖D2-31所示。(4)對(duì)雙邊序列，若在左邊序列的收斂域存在重疊部分，則這重疊部分就是它的收斂域。若不存在重迭部分，則z變換不存在。(3)若X(z)不只一個(gè)極點(diǎn)，則找與收斂域相重的那個(gè)極點(diǎn)，2.系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的頻域表示 描述線性非移變系統(tǒng)的差分方程為對(duì)上式方程兩邊取z變換為2.系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的頻域表示離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換 在Matlab中，reqz函數(shù)計(jì)算幅度和相位響應(yīng)，它有如下5種調(diào)用方式。(1)［H，w］＝freqz(b，a，N) b和a分別表示分子和分母的系數(shù)向量，與filter(b，a，x)函數(shù)中的相同。此函數(shù)在單位圓上半部上等間隔的計(jì)算N點(diǎn)頻率響應(yīng)，返回該系統(tǒng)的N點(diǎn)頻率矢量w和N點(diǎn)復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)矢量H。如果N沒(méi)有說(shuō)明，則缺省值為512。 在Matlab中，reqz函數(shù)計(jì)算幅度和相位響應(yīng)，它有如下(2)［H，w］＝ freqz(b，a，N，’whole’) 在整個(gè)單位圓上等間隔的計(jì)算N點(diǎn)頻率響應(yīng)。(3)H＝freqz(b，a，w) 它返回矢量w指定的那些頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)，通常在0到π之間。(2)［H，w］＝(4)［H，F(xiàn)］＝freqz(b，a，N，F(xiàn)s)和［H，F(xiàn)］＝freqz(b，a，N，'whole'，F(xiàn)s) 給定取樣頻率Fs，單位為Hz；返回單位為Hz的頻率矢量F。(5)H＝freqz(b，a，F(xiàn)，F(xiàn)s) 給定單位為Hz的取樣頻率Fs，返回矢量F指定的那些頻率點(diǎn)上的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)，單位也是Hz。(4)［H，F(xiàn)］＝freqz(b，a，N，F(xiàn)s)和［H，F(xiàn)］3.z反變換 z反變換關(guān)系式可以利用柯西積分定理推導(dǎo)出來(lái)，柯西定理為式中c是一個(gè)逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞原點(diǎn)的圍線。3.z反變換(1)冪級(jí)數(shù)法 冪級(jí)數(shù)法也就是長(zhǎng)除法，對(duì)于給定的z變換X(z)，可以根據(jù)它的收斂域判定序列x(n)是右邊序列還是左邊序列，或是雙邊序列。(1)冪級(jí)數(shù)法(2)部分分式法 當(dāng)x(z)序列為有理函數(shù)時(shí)，可將x(z)寫(xiě)成一個(gè)和式為因?yàn)椋瑢?duì)于右邊序列存在如下變換關(guān)系(2)部分分式法(3)留數(shù)法 我們知道式中c是X(z)收斂域內(nèi)的積分圍線。對(duì)于n＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)右邊序列，此時(shí)極點(diǎn)在c內(nèi)，對(duì)n＜0時(shí)，對(duì)應(yīng)左邊序列。此時(shí)極點(diǎn)在c外，根據(jù)留數(shù)定理有(3)留數(shù)法(4)Matlab

的實(shí)現(xiàn) 在Matlab中，函數(shù)residuez

計(jì)算有理函數(shù)的留數(shù)Rj、極點(diǎn)pj和直接項(xiàng)系數(shù)Cj，設(shè)有多項(xiàng)式如下：B(z)和A(z)分別是分子分母多項(xiàng)式，它們按z-1遞增順序排列。(4)Matlab的實(shí)現(xiàn)4.因果非移變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，收斂區(qū)與極點(diǎn)的關(guān)系 正如在式(2-56)中看到的，線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)是具有實(shí)系數(shù)z的有理函數(shù)?，F(xiàn)在來(lái)討論系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)與系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂區(qū)的關(guān)系，亦即證明系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布將決定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

4.因果非移變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，收斂區(qū)與極點(diǎn)的關(guān)系 假設(shè)有一N階因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，為方便起見(jiàn)，設(shè)H(z)只有單階極點(diǎn)，這樣系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)由式(2-67)給出 假設(shè)有一N階因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，為方便起見(jiàn)，設(shè)H離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換由以上的討論清楚看到，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂區(qū)域包括單位圓以及以外的整個(gè)z平面。因而，因果非移變的穩(wěn)定系統(tǒng)為(1)極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)；(2)收斂區(qū)域?yàn)閘≤z≤∞。由以上的討論清楚看到，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂區(qū)域包括單位圓以及以5.z變換的性質(zhì)(1)線性 設(shè)X(z)與Y(z)分別是x(n)與y(n)的z變換，即5.z變換的性質(zhì)(2)序列的移位 設(shè)序列x(n)的z變換為Z［x(n)］=X(z) Rx-＜|z|＜Rx+(3)乘以指數(shù)序列 如果序列x(n)乘上指數(shù)序列an(a可以是復(fù)數(shù))，則Z[x(n)]=X(z)Rx_＜|z|＜Rx+

(2)序列的移位(4)X(z)的微分 序列x(n)之z變換的導(dǎo)數(shù)乘以(-z)等于x(n)經(jīng)線性加權(quán)后的z變換，即(5)復(fù)序列的共軛序列(4)X(z)的微分(6)初值定理 如果n＜0時(shí)，x(n)為零，則(7)序列的卷積 如果w(n)是序列x(n)和y(n)的卷積，則w(n)的z

變換是x(n)和y(n)的z

變換的乘積，即w(n)=x(n)*y(n)則(6)初值定理(8)復(fù)卷積定理 復(fù)卷積定理與序列的卷積是對(duì)偶關(guān)系。設(shè)w(n)=x(n)y(n)則(8)復(fù)卷積定理或者式中C1是X（z/v）與Y（v）兩者收斂區(qū)重疊部分的閉合圍線；C2是X(v)與Y（z/v）兩者收斂區(qū)重疊部分內(nèi)的閉合圍線。或者(9)帕斯維爾定理 設(shè)有兩個(gè)序列x(n)與y(n)，則帕斯維爾定理為(9)帕斯維爾定理2.6單邊z

變換1.單邊z

變換的定義 單邊z

變換定義為它和雙邊z變換的不同之處在于它只計(jì)算以序列x(n)的正向區(qū)間為系數(shù)的z-1冪級(jí)數(shù)，而不管對(duì)x(n)在n＜0時(shí)如何定義。2.6單邊z變換1.單邊z變換的定義2.單邊z

反變換 單邊z

變換也有相應(yīng)的z反變換，但其解不是惟一的。3.單邊z

變換的性質(zhì) 在2.5節(jié)中闡明的雙邊z

變換的性質(zhì)和定理，除了和移位特性有關(guān)的外，大都適用于單邊z

變換。2.單邊z反變換4.用單邊z變換解線性差分方程 線性差分方程描述的因果系統(tǒng)，當(dāng)給定適當(dāng)?shù)某踔禇l件時(shí)，需要用單邊z變換求解。例如對(duì)一階差分方程y(n)=x(n)+ay(n-1)4.用單邊z變換解線性差分方程離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換2.7z變換與傅氏變換的關(guān)系 由前幾節(jié)的討論得知，一個(gè)序列x(n)的z

變換為x(n)的傅氏變換為如果令z＝ejω，則式(2-96)為2.7z變換與傅氏變換的關(guān)系 由前幾節(jié)的討論得知，一個(gè)序離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換2.8系統(tǒng)的時(shí)域分析與頻域分析 對(duì)一個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)有兩種分析方法，時(shí)域分析法與頻域分析法。 時(shí)城分析法就是利用y(n)=x(n)*h(n)=z-1［X(z)·H(z)］進(jìn)行分析。2.8系統(tǒng)的時(shí)域分析與頻域分析 對(duì)一個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)有兩種分析第二章離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換2.1取樣和內(nèi)插2.2離散時(shí)間信號(hào)序列2.3離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系2.4離散信號(hào)的傅氏變換2.5離散信號(hào)的z變換2.6單邊z變換2.7z變換與傅氏變換的關(guān)系2.8系統(tǒng)的時(shí)域分析與頻域分析第二章離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換2.1取樣和內(nèi)插2.1取樣和內(nèi)插1.取樣 將連續(xù)信號(hào)變成離散信號(hào)有各種取樣方法，其中最常用的是等間隔周期取樣，即每隔固定時(shí)間T取一個(gè)信號(hào)值，如圖2-1所示。其中T稱為取樣周期，T的倒數(shù)稱為取樣頻率或取樣率。記為fS=1/T2.1取樣和內(nèi)插1.取樣圖2-1連續(xù)信號(hào)的取樣圖2-1連續(xù)信號(hào)的取樣 取樣定理——Shannon定理 任一連續(xù)信號(hào)xa(t)，設(shè)其頻譜的最高頻率分量為fm，則當(dāng)對(duì)它進(jìn)行取樣時(shí)，只要選擇取樣率等于或大于2fm

，就可以由這個(gè)取樣序列xa(nT)來(lái)唯一準(zhǔn)確地恢復(fù)xa(t)。 設(shè)有一限帶信號(hào)xa(t)。當(dāng)|Ω|≤Ω

max，它的付氏變換為Xa(Ω)。將xa(t)乘一取樣函數(shù)p(t)就得到xa(t)，如圖2.2所示。 取樣定理——Shannon定理圖2-2連續(xù)信號(hào)取樣的數(shù)學(xué)模型圖2-2連續(xù)信號(hào)取樣的數(shù)學(xué)模型離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換圖2-5取樣過(guò)程的時(shí)域與頻域關(guān)系圖2-5取樣過(guò)程的時(shí)域與頻域關(guān)系最后需要說(shuō)明一點(diǎn)：上述取樣定理是理想取樣，如果取樣函數(shù)不是單位沖擊函數(shù)序列，而是窄脈沖函數(shù)序列，則如圖2-6所示(詳細(xì)情況請(qǐng)參看相關(guān)資料)。最后需要說(shuō)明一點(diǎn)：上述取樣定理是理想取樣，如果取樣函數(shù)不是單圖2-6理想取樣和非理想取樣的比較圖2-6理想取樣和非理想取樣的比較2.內(nèi)插 用大于奈奎斯特取樣頻率取樣限帶信號(hào)xa(t)，則被取樣信號(hào)xa(t)通過(guò)理想低通濾波器，只要其截止頻率Ωc滿足Ωmax≤Ωc≤(Ωs－Ωmax)時(shí)，就可以恢復(fù)出原來(lái)信號(hào)，如圖2-8所示。2.內(nèi)插圖2-8取樣信號(hào)的恢復(fù)與理想低通濾波器的傳輸函數(shù)圖2-8取樣信號(hào)的恢復(fù)與理想低通濾波器的傳輸函數(shù)圖2-9連續(xù)信號(hào)的內(nèi)插表示圖2-9連續(xù)信號(hào)的內(nèi)插表示圖2-10連續(xù)信號(hào)用三角形內(nèi)插函數(shù)圖2-10連續(xù)信號(hào)用三角形內(nèi)插函數(shù)3.Matlab實(shí)現(xiàn)(1)零階和一階保持內(nèi)插(2)三次樣條內(nèi)插3.Matlab實(shí)現(xiàn)2.2離散時(shí)間信號(hào)序列1.離散時(shí)間信號(hào) 離散時(shí)間信號(hào)是在離散的時(shí)間上取值，在兩個(gè)取樣間隔內(nèi)數(shù)值為零的信號(hào)。2.2離散時(shí)間信號(hào)序列1.離散時(shí)間信號(hào)2.常用序列(1)單位取樣序列 單位取樣序列的定義為

其圖形如圖2-15所示。2.常用序列圖2-15單位取樣序列圖2-15單位取樣序列(2)單位階躍序列 單位階躍序列的定義為其圖形如圖2.16所示。(2)單位階躍序列圖2-16單位階躍序列圖2-16單位階躍序列(3)矩形序列 矩形序列的定義為其圖形如圖2-17所示。(3)矩形序列圖2-17矩形序列圖2-17矩形序列(4)實(shí)指數(shù)序列 實(shí)指數(shù)序列的定義為x(n)=an其中a為不等于零的任意實(shí)數(shù)。 圖2-18是0＜a＜1的一個(gè)實(shí)指數(shù)序列的圖形。(4)實(shí)指數(shù)序列圖2-18實(shí)指數(shù)序列圖2-18實(shí)指數(shù)序列(5)正弦序列 正弦序列的定義為x(n)=sinnω0其圖形如圖2-19所示。(5)正弦序列圖2-19正弦序列圖2-19正弦序列2.3離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系1.離散系統(tǒng)的定義 離散系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的惟一性變換或運(yùn)算。亦即將一個(gè)序列變換成另一個(gè)序列的系統(tǒng)，記為y(n)=T［x(n)］通常將上式表示成圖2-20所示的框圖。2.3離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系1.離散系統(tǒng)的定義圖2-20離散系統(tǒng)的模型圖2-20離散系統(tǒng)的模型2.線性非移變系統(tǒng)(1)系統(tǒng)的線性特性 滿足疊加原理的系統(tǒng)具有線性特性，即若對(duì)兩個(gè)激勵(lì)x1(n)和x2(n)有2.線性非移變系統(tǒng)(2)系統(tǒng)的非移變特性 系統(tǒng)的非移變是指系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而變化。用數(shù)學(xué)表示為T［x(n－n0)］=y(n－n0)即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，輸出信號(hào)響應(yīng)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同，如圖2-22所示。(2)系統(tǒng)的非移變特性圖2-22離散系統(tǒng)的非移變特性圖2-22離散系統(tǒng)的非移變特性(3)線性非移變系統(tǒng) 線性非移變系統(tǒng)就是既滿足迭加原理又具有非移變特性的系統(tǒng)，將其描繪如圖2-24所示。圖2-24線性非移變系統(tǒng)模型(3)線性非移變系統(tǒng)圖2-24線性非移變系統(tǒng)模型(4)線性卷積的計(jì)算 計(jì)算線性卷積有4種方法。 ①利用兩個(gè)序列的解析式直接計(jì)算式(2-34)。 ②利用兩個(gè)序列的移位求和，即先把一個(gè)序列倒置。每次將它向下移一步，求出兩序列重疊部分乘積之和。 ③用作圖法求。 ④卷積的Matlab實(shí)現(xiàn)(4)線性卷積的計(jì)算3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性(1)穩(wěn)定性 對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入序列是有界時(shí)，其輸出也是有界的，則稱它是穩(wěn)定系統(tǒng)。用數(shù)學(xué)描述則為如果 ｜x(n)｜＜∞對(duì)于一切n則 ｜y(n)｜＜∞對(duì)于一切n3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性 因?yàn)槠渲屑僭O(shè)｜x(n)｜≤M。 因?yàn)?．因果性 一個(gè)系統(tǒng)如果其輸出變化不會(huì)發(fā)生在輸入變化之前，則稱它是因果的。這就是說(shuō)對(duì)于因果系統(tǒng)，如果取n0,當(dāng)n<n0時(shí)，x1(n)=x2(n),則n<n0時(shí)，y1(n)=y2(n)。一個(gè)線性非移變系統(tǒng)當(dāng)n<0時(shí)的因果充要條件是其單位取樣響應(yīng)等于零,即h(n)=0 n<0 這個(gè)充要條件可以從y（n）＝x(n)*h(n)的解析式中導(dǎo)出。2．因果性4.系統(tǒng)的差分方程描述(1)非遞歸型(FIR) 非遞歸型因果系統(tǒng)是輸出的現(xiàn)在值僅僅取決于輸入的現(xiàn)在值與輸入的過(guò)去值的系統(tǒng)。非遞歸，即輸出對(duì)輸入無(wú)反饋。因此，設(shè)在n時(shí)刻輸入x(n)與輸出y(n)的關(guān)系為y(n)=f｛……,x(n-1),x(n),x(n+1),……｝若系統(tǒng)是線性非移變的，y(n)可表示為4.系統(tǒng)的差分方程描述(2)遞歸型(IIR) 遞歸型因果系統(tǒng)輸出的現(xiàn)在值不僅取決于輸入的現(xiàn)在值與過(guò)去值，還取決于輸出的過(guò)去值。y(n)=f｛……,x(n-1),x(n),x(n+1),……｝ +g｛……,y(n-1),y(n+1),……｝(2)遞歸型(IIR) 同理，在系統(tǒng)為線性、非移變、因果時(shí)，可推得 同理，在系統(tǒng)為線性、非移變、因果時(shí)，可推得2.4離散信號(hào)的傅氏變換1.問(wèn)題的提出 對(duì)于連續(xù)信號(hào)xa(t)與其頻譜Xa(Ω)之間存在著傅氏變換關(guān)系，如圖2-28所示。前邊已經(jīng)討論了連續(xù)信號(hào)xa(t)的離散化，即取樣的問(wèn)題，已經(jīng)知道取樣序列的頻譜是原信號(hào)頻譜在Ω軸上的周期延拓，如圖2-28(b)所示。2.4離散信號(hào)的傅氏變換1.問(wèn)題的提出圖2-28連續(xù)和離散信號(hào)的傅氏變換圖2-28連續(xù)和離散信號(hào)的傅氏變換2.傅氏變換對(duì)的推導(dǎo) 從2.1節(jié)的討論知道，對(duì)連續(xù)信號(hào)在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行取樣的結(jié)果，是頻域內(nèi)頻譜周期的延拓，并且還得到了已取樣信號(hào)xa(t)在頻域內(nèi)的表示，現(xiàn)重寫(xiě)為2.傅氏變換對(duì)的推導(dǎo)離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換3.線性非移變系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 從2.3節(jié)的討論得到線性非移變離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為對(duì)上式兩邊同時(shí)進(jìn)行傅氏變換得3.線性非移變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換4.離散信號(hào)傅氏變換的性質(zhì) 首先定義兩種序列，共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列。(1)序列的卷積特性 序列的卷積特性是時(shí)域內(nèi)的卷積關(guān)系映射到頻域內(nèi)為相乘，即4.離散信號(hào)傅氏變換的性質(zhì)(2)序列傅氏變換的周期性 序列的傅氏變換是ω的周期函數(shù)，周期為2π。(3)復(fù)序列傅氏變換的對(duì)稱性(2)序列傅氏變換的周期性離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換2.5離散信號(hào)的z變換1.z變換的定義及其收斂域 對(duì)于一個(gè)序列x(n)，其z變換的定義為 其中z為復(fù)變量，也可記作Z［x(n)］=X(z)。式(2-49)的定義也稱為雙邊z

變換；相應(yīng)的還有單邊z變換。2.5離散信號(hào)的z變換1.z變換的定義及其收斂域?qū)τ谒械男蛄谢蛩械膠值，z變換并不總是收斂的。對(duì)于任意給定的序列，使z變換收斂的z值集合稱作收斂區(qū)域：{Z：X(z)存在}＝收斂區(qū)域。其內(nèi)徑R-與外徑R+分別取x(n)在n→∞和n→-∞時(shí)的形狀。z變換收斂域的概念很重要，不同的序列可能有相同的z變換表達(dá)式，但是收斂域卻不同，所以應(yīng)該特別注意，只有當(dāng)z變換的表達(dá)式與收斂域都相同時(shí)，才能判定兩個(gè)序列相等。對(duì)于所有的序列或所有的z值，z變換并不總是收斂的。對(duì)于任意給根據(jù)以上討論，可以概括為(1)對(duì)右邊序列(n≥0存在)，｜z｜＞R-收斂，且R-是右序列的極點(diǎn)。(2)對(duì)左邊序列(n＜0存在)，｜z｜＜R+收斂，且R+是左邊序列的極點(diǎn)。根據(jù)以上討論，可以概括為(3)若X(z)不只一個(gè)極點(diǎn)，則找與收斂域相重的那個(gè)極點(diǎn)，對(duì)右邊序列，最外極點(diǎn)之外的區(qū)域?yàn)槭諗坑?；?duì)左邊序列，最內(nèi)極點(diǎn)之內(nèi)的區(qū)域?yàn)槭諗坑?，如圖2-31所示。(4)對(duì)雙邊序列，若在左邊序列的收斂域存在重疊部分，則這重疊部分就是它的收斂域。若不存在重迭部分，則z變換不存在。(3)若X(z)不只一個(gè)極點(diǎn)，則找與收斂域相重的那個(gè)極點(diǎn)，2.系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的頻域表示 描述線性非移變系統(tǒng)的差分方程為對(duì)上式方程兩邊取z變換為2.系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的頻域表示離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換 在Matlab中，reqz函數(shù)計(jì)算幅度和相位響應(yīng)，它有如下5種調(diào)用方式。(1)［H，w］＝freqz(b，a，N) b和a分別表示分子和分母的系數(shù)向量，與filter(b，a，x)函數(shù)中的相同。此函數(shù)在單位圓上半部上等間隔的計(jì)算N點(diǎn)頻率響應(yīng)，返回該系統(tǒng)的N點(diǎn)頻率矢量w和N點(diǎn)復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)矢量H。如果N沒(méi)有說(shuō)明，則缺省值為512。 在Matlab中，reqz函數(shù)計(jì)算幅度和相位響應(yīng)，它有如下(2)［H，w］＝ freqz(b，a，N，’whole’) 在整個(gè)單位圓上等間隔的計(jì)算N點(diǎn)頻率響應(yīng)。(3)H＝freqz(b，a，w) 它返回矢量w指定的那些頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)，通常在0到π之間。(2)［H，w］＝(4)［H，F(xiàn)］＝freqz(b，a，N，F(xiàn)s)和［H，F(xiàn)］＝freqz(b，a，N，'whole'，F(xiàn)s) 給定取樣頻率Fs，單位為Hz；返回單位為Hz的頻率矢量F。(5)H＝freqz(b，a，F(xiàn)，F(xiàn)s) 給定單位為Hz的取樣頻率Fs，返回矢量F指定的那些頻率點(diǎn)上的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)，單位也是Hz。(4)［H，F(xiàn)］＝freqz(b，a，N，F(xiàn)s)和［H，F(xiàn)］3.z反變換 z反變換關(guān)系式可以利用柯西積分定理推導(dǎo)出來(lái)，柯西定理為式中c是一個(gè)逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞原點(diǎn)的圍線。3.z反變換(1)冪級(jí)數(shù)法 冪級(jí)數(shù)法也就是長(zhǎng)除法，對(duì)于給定的z變換X(z)，可以根據(jù)它的收斂域判定序列x(n)是右邊序列還是左邊序列，或是雙邊序列。(1)冪級(jí)數(shù)法(2)部分分式法 當(dāng)x(z)序列為有理函數(shù)時(shí)，可將x(z)寫(xiě)成一個(gè)和式為因?yàn)?，?duì)于右邊序列存在如下變換關(guān)系(2)部分分式法(3)留數(shù)法 我們知道式中c是X(z)收斂域內(nèi)的積分圍線。對(duì)于n＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)右邊序列，此時(shí)極點(diǎn)在c內(nèi)，對(duì)n＜0時(shí)，對(duì)應(yīng)左邊序列。此時(shí)極點(diǎn)在c外，根據(jù)留數(shù)定理有(3)留數(shù)法(4)Matlab

的實(shí)現(xiàn) 在Matlab中，函數(shù)residuez

計(jì)算有理函數(shù)的留數(shù)Rj、極點(diǎn)pj和直接項(xiàng)系數(shù)Cj，設(shè)有多項(xiàng)式如下：B(z)和A(z)分別是分子分母多項(xiàng)式，它們按z-1遞增順序排列。(4)Matlab的實(shí)現(xiàn)4.因果非移變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，收斂區(qū)與極點(diǎn)的關(guān)系 正如在式(2-56)中看到的，線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)是具有實(shí)系數(shù)z的有理函數(shù)。現(xiàn)在來(lái)討論系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)與系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂區(qū)的關(guān)系，亦即證明系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布將決定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

4.因果非移變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，收斂區(qū)與極點(diǎn)的關(guān)系 假設(shè)有一N階因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，為方便起見(jiàn)，設(shè)H(z)只有單階極點(diǎn)，這樣系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)由式(2-67)給出 假設(shè)有一N階因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，為方便起見(jiàn)，設(shè)H離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換由以上的討論清楚看到，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂區(qū)域包括單位圓以及以外的整個(gè)z平面。因而，因果非移變的穩(wěn)定系統(tǒng)為(1)極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)；(2)收斂區(qū)域?yàn)閘≤z≤