課件-自動控制原理第8章

第8章非線性控制系統(tǒng)

Chapter8NonlinearControlSystems自動控制原理普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材機械工業(yè)出版社自動控制原理2第8章非線性控制系統(tǒng)8.1概述introduction8.2非線性系統(tǒng)的特點Characteristicsofnonlinearsystem8.3相平面分析法Phase-plane

analysismethod8.4描述函數(shù)分析法Describingfunction

analysismethod自動控制原理38.1概述Nonlinearsystem:

Anonlinearsystemisasystemthatisnotlinear;thatis,anonlinearsystemisasystemtowhichsuperpositiondoesnotapply.

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)有著很大的差別，如非線性系統(tǒng)的響應取決于輸入信號的幅值和形式，不能應用疊加原理，目前還沒有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。1.相平面法:圖解分析方法，適用于具有嚴重非線性特性的一、二階系統(tǒng)，該方法通過在相平面Phaseplane繪制相軌跡planetrajectories曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運動形式。2.描述函數(shù)法:

一種等效線性化的圖解分析方法，該方法對于滿足結(jié)構要求的非線性系統(tǒng)，通過諧波線性化，將非線性特性近似為復變增益環(huán)節(jié)，然后推廣應用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。自動控制原理48.2.1典型非線性特性1.飽和特性

DeadzoneSaturationBacklash2.死區(qū)特性3.間隙特性自動控制原理54.繼電器特性Relay

RelaywithdeadzoneRelaywithhysteresisIdealrelayRelaywithdeadzoneandhysteresis自動控制原理68.3.1相平面的基本概念

二階線性系統(tǒng)設系統(tǒng)僅由初始條件激勵。這一系統(tǒng)的狀態(tài)可以用兩個變量:和來描述。若令

只要給定初始條件、或、，由這兩個一階聯(lián)立微分方程便可唯一地確定系統(tǒng)的狀態(tài)。如此定義的變量稱為相變量(或狀態(tài)變量)。8.3相平面分析法自動控制原理7時間響應與相軌跡下圖繪出了初始條件非零，在不同阻尼下的時間響應曲線。

如果以相變量和為坐標構成平面，稱為相平面，則系統(tǒng)在某一時刻t1的狀態(tài)就成為相平面上的一個點。在相平面上，由或以時間為參變量構成的曲線，稱為相軌跡phasetrajectory。相軌跡上的箭頭表示時間參量的增大方向。若以一些初始狀態(tài)作為起始點，在相平面上做出一簇相軌跡，稱為系統(tǒng)的相平面圖phaseportrait

。自動控制原理88.3.2相平面圖的繪制方法

設描述二階系統(tǒng)的微分方程為

是x，

的線性函數(shù)或非線性函數(shù)。若令x，

為相變量，并將其化為兩個一階微分方程

兩式相除，于是得到一個以x為自變量，為因變量，不顯含時間t的一階微分方程

根據(jù)此式，用解析法或圖解法可繪出相平面圖。自動控制原理9

1.相平面圖的特點

相平面圖往往是關于原點或坐標軸對稱。若相平面圖軸對稱，則相軌跡曲線在和點上的斜率相等，符號相反。有

即是關于x的奇函數(shù)。

若相平面圖關于x軸對稱，則相軌跡曲線在和的斜率相等，符號相反，應有

即是關于的偶函數(shù)。

(1)相平面圖的對稱性自動控制原理10

(2)相平面圖上的奇點和普通點

相平面上任一點，只要不同時滿足和，則該點的斜率是唯一的，通過該點的相軌跡有且僅有一條，這樣的點稱為普通點。在相平面上，同時滿足和的點，相軌跡的斜率不是一個確定的值，說明通過該點的相軌跡曲線有一條以上，這樣的點稱為奇點singularity

奇點只分布在相平面的x軸上自動控制原理11相軌跡通過x軸的斜率

在x軸上，所有點都滿足。除奇點外相軌跡在x軸上的斜率為

所以，除了奇點外，相軌跡和x軸垂直相交。

相軌跡移動的方向在相平面的上半平面，由于，則x隨著參變量時間t的加而增大，所以系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由左向右運動；反之，下半平面，由于，則x隨著時間t的增加而減小，所以系統(tǒng)態(tài)沿相軌跡由右向左運動。系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動方向相軌跡上的箭頭表示。自動控制原理12

2.繪制相平面圖的解析法

若系統(tǒng)微分方程比較簡單，則直接積分即可求得相軌跡方程式中包含了初始條件。給定不同初始條件，可直接繪出系統(tǒng)的相平面圖。若系統(tǒng)微分方程不能直接積分求解，則可先求得時間解，，然后消去變量t求得相軌跡方程。若消去t有困難或過于煩雜，則可求得不同t時的x，值，據(jù)此數(shù)值關系畫出相軌跡曲線。自動控制原理13例8-1

二階系統(tǒng)，試繪制系統(tǒng)的相平面圖。解系統(tǒng)方程可改寫為用分離變量法進行積分，求得相軌跡方程為

C為常量，由初始條件確定。設初始狀態(tài)為，則C=。系統(tǒng)相軌跡為一組以坐標原點為中心的橢圓軌跡簇。

自動控制原理143.繪制相平面圖的圖解法——等傾線Isocline法相平面上相軌跡的斜率等傾線方程isoclinesequation自動控制原理15自動控制原理16等傾線方程自動控制原理17當?shù)葍A線為直線時，應用等傾線畫相平面圖是很方便的。自動控制原理183.繪制相平面圖的圖解法——等傾線Isocline法例8-2

試用等傾線法求下列方程的相平面圖。解非線性微分方程,可分解為兩個線性微分方程，

,,。相平面圖對稱于x軸，只需繪制上半平面的相軌跡,再用對稱性確定下半平面的相軌跡。等傾線方程：

自動控制原理19在任何非零初始條件下，系統(tǒng)將沿相軌跡作周期運動。求得等傾線如圖所示，畫出等傾線上的平行短線,作為相軌跡線段的近似。適當配置短線并把它們連成曲線即相軌跡曲線，如圖虛線所示。自動控制原理208.3.3奇點singularity和極限環(huán)Limitcircle1.奇點對于二階系統(tǒng)

相軌跡的斜率可表示為

在奇點處，相軌跡的斜率不確定，即同時滿足

如果把相變量x視為位移，于是和可以理解為速度和加速度。在奇點處，由于系統(tǒng)的速度和加速度均為零，因此奇點就是系統(tǒng)的平衡點equilibriumpoint

。自動控制原理21系統(tǒng)奇點的分類中心點vortexorcenter鞍點saddlepoint節(jié)點node焦點focus自動控制原理22j0j0j0節(jié)點

node穩(wěn)定焦點stablefocus中心點center不穩(wěn)定節(jié)點unstablenode不穩(wěn)定焦點unstablefocus鞍點saddlepoint

λ1j0

λ2j0λ2λ1j0λ1λ2自動控制原理232．極限環(huán)

0穩(wěn)定極限環(huán)把相平面劃分成兩個區(qū)域。內(nèi)部的相軌跡隨時間的增加是發(fā)散的，故為不穩(wěn)定區(qū)；而外部的相軌跡隨時間的增加收斂于這個極限環(huán)，故為穩(wěn)定區(qū)。

設計時，應盡量減小這種極限環(huán)，以滿足對穩(wěn)態(tài)誤差的要求。stablelimitcircle自動控制原理240若初始條件在環(huán)內(nèi)，則系統(tǒng)狀態(tài)將趨于平衡點。反之，系統(tǒng)狀態(tài)將遠離平衡點。所以具有不穩(wěn)定極限環(huán)的系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)小范圍是穩(wěn)定的，大范圍是不穩(wěn)定的。

設計時，應盡量增大極限環(huán)。unstablelimitcircle自動控制原理250被極限環(huán)劃分的兩區(qū)域都不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)將具有振蕩發(fā)散狀態(tài)。0兩區(qū)域都穩(wěn)定，因此系統(tǒng)的運動狀態(tài)最終將趨于環(huán)內(nèi)平衡點，不會產(chǎn)生自振蕩。semi-stablelimitcircle自動控制原理26-20自動控制原理27-20自動控制原理28忽略自動控制原理29將相平面分成了兩個不同的區(qū)域。故稱分隔線-20非線性系統(tǒng)的運動狀態(tài)和性能與初始條件有關自動控制原理30

利用等傾線法可求得相平面圖。可以看到通過鞍點的一條分界線，把相平面分為兩個區(qū)域。在陰影區(qū)域內(nèi)，所有相軌跡都收斂于穩(wěn)定焦點(0，0)，是穩(wěn)定區(qū)域。在此范圍外，則所有相軌跡都將趨于無窮，是不穩(wěn)定區(qū)域。這證實了非線性系統(tǒng)的重要特點：系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件有關。

自動控制原理318.3.4相平面分析舉例自動控制原理32-例自動控制原理330自動控制原理340自動控制原理350自動控制原理360自動控制原理3700自動控制原理388.4描述函數(shù)分析法

相平面法不適用于高于二階的系統(tǒng)，需要討論變量空間中的曲面結(jié)構。描述函數(shù)法是一種近似方法，相當于線性理論中頻率法的推廣。描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實際，故在非線性系統(tǒng)分析中得到了廣泛的應用。8.4.1描述函數(shù)的基本概念8.4.2

典型非線性特性的描述函數(shù)8.4.3

用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)自動控制原理39描述函數(shù)法的基本原理：當系統(tǒng)滿足一定條件時，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，表達形式上類似于線性理論中的幅相頻率特性。

理想繼電特性在正弦輸入時的輸出波形

8.4.1描述函數(shù)的基本概念-1.諧波線性化

系統(tǒng)中常見的非線性特性，當輸入為正弦函數(shù)時，其輸出一般為同周期的非正弦函數(shù)。對理想繼電特性加以正弦輸入號，則輸出y(t)為與輸入同周期的方波。自動控制原理40設非線性環(huán)節(jié)描述為非正弦周期信號用傅里葉級數(shù)表示的一般形式：非線性特性的輸入信號為理想繼電器輸出信號的傅氏級數(shù)形式：式中

若非線性特性具有奇對稱特性，則A0=0，如果略去輸出高次諧波分量，僅以基礎波分量近似地代替整個輸出，則有自動控制原理41式中2．描述函數(shù)

諧波線性化后，參照幅相頻率特性的定義，建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數(shù)。把非線性元件輸出信號中一次諧波分量y1(t)與正弦輸入信號x(t)的復數(shù)比，稱為非線性元件的描述函數(shù)：

A為非線性元件正弦輸入信號的振幅

為非線性元件輸出信號中一次諧波分量的振幅；

為非線性元件輸出信號中一次諧波分量的相位移。自動控制原理42001、理想繼電器特性

奇函數(shù)8.4.2典型非線性特性的描述函數(shù)自動控制原理43002、飽和特性

奇函數(shù)自動控制原理44（2）非線性環(huán)節(jié)輸入輸出特性y(x)應是x的奇函數(shù)8.4.3用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)1.描述函數(shù)法的應用條件（1）非線性系統(tǒng)能簡化成一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分且閉環(huán)串聯(lián)連接的典型結(jié)構形式，其中G(s)代表系統(tǒng)的線性部分。以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應不含常值分量（3）系統(tǒng)的線性部分應具有較好的低通濾波性能。當非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號時，實際輸出必定含有高次諧波分量，但經(jīng)線性部分傳遞之后，由于低通濾波的作用，高次諧波分量將被大大削弱，從而保證描述函數(shù)法所分析的結(jié)果比較準確。-自動控制原理45-非線性系統(tǒng)經(jīng)過諧波線性化后變成一個等效的線性系統(tǒng)，可以應用線性系統(tǒng)理論中的頻域穩(wěn)定判據(jù)來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

自動控制原理46非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)000自振蕩穩(wěn)定不穩(wěn)定Reciprocalofnega