《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》71～72

微分方程第七章——積分問(wèn)題——微分方程問(wèn)題推廣

微分方程第七章——積分問(wèn)題——微分方程問(wèn)題推廣微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念引例幾何問(wèn)題物理問(wèn)題微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念引例幾何問(wèn)題物例1.一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.例1.一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:設(shè)例2.列車(chē)在平直路上以的速度行駛,獲得加速度求制動(dòng)后列車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:設(shè)列車(chē)在制動(dòng)后

t

秒行駛了s

米,已知所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說(shuō)明:

利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住,以及制動(dòng)后行駛了多少路程.即求

s=s(t).制動(dòng)時(shí)(1)(2)例2.列車(chē)在平直路上以的速度行駛,獲得加速度求制動(dòng)后列車(chē)常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程

.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.(本章內(nèi)容)微分方程的基本概念一般地,n

階常微分方程的形式是分類(lèi)或(n

階顯式微分方程)常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程.方程《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》71～72—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例2引例1

通解:特解:微分方程的解—

不含任意常數(shù)的解,其圖形稱(chēng)為積分曲線.通解:特解:—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》71～72例1.驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解,的特解.解:

由初始條件解得:故所求特解為并求滿足初始條件例1.驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解,的特解.解:由初始是是不是是是是不是是求所滿足的微分方程.(2)已知曲線上點(diǎn)

處的法線與x

軸交點(diǎn)為Q解:如圖所示,令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,求所滿足的微分方程.(2)已知曲線上點(diǎn)處的作業(yè)：P298

1（做書(shū)上）;2(2)；4(2);5（1）作業(yè)：P2981（做書(shū)上）;2(2)；4(2轉(zhuǎn)化

可分離變量微分方程第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方程轉(zhuǎn)化可分離變量微分方程第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方分離變量方程的解法:兩邊積分,得①②由②隱函數(shù)y＝(x)是①的解.則有稱(chēng)②為方程①的隱式通解,或通積分.由②隱函數(shù)x＝(y)也是①的解.設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為G(y),F(x),分離變量方程的解法:兩邊積分,得①②由②隱函數(shù)y＝例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或y=0也是方程的解.例1.求微分方程的通解.解:分離變量得兩邊積分得即(例2.解:分離變量即(C<0

)積分例2.解:分離變量即(C<0)積分《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》71～72例3.解初值問(wèn)題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件y(0)=1得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為例3.解初值問(wèn)題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件y《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》71～72例4.子的含量

M

成正比,求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)

隨時(shí)間t

的變化規(guī)律.解:

根據(jù)題意,有由初始條件得故所求鈾的變化規(guī)律為已知

t=0時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)?.子的含量M成正比,求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程練習(xí):P3041(1),(2),(9);2(1).練習(xí):P3041(1),(2),(9);2微分方程第七章——積分問(wèn)題——微分方程問(wèn)題推廣

微分方程第七章——積分問(wèn)題——微分方程問(wèn)題推廣微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念引例幾何問(wèn)題物理問(wèn)題微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念引例幾何問(wèn)題物例1.一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.例1.一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:設(shè)例2.列車(chē)在平直路上以的速度行駛,獲得加速度求制動(dòng)后列車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:設(shè)列車(chē)在制動(dòng)后

t

秒行駛了s

米,已知所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說(shuō)明:

利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住,以及制動(dòng)后行駛了多少路程.即求

s=s(t).制動(dòng)時(shí)(1)(2)例2.列車(chē)在平直路上以的速度行駛,獲得加速度求制動(dòng)后列車(chē)常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程

.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.(本章內(nèi)容)微分方程的基本概念一般地,n

階常微分方程的形式是分類(lèi)或(n

階顯式微分方程)常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程.方程《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》71～72—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例2引例1

通解:特解:微分方程的解—

不含任意常數(shù)的解,其圖形稱(chēng)為積分曲線.通解:特解:—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》71～72例1.驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解,的特解.解:

由初始條件解得:故所求特解為并求滿足初始條件例1.驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解,的特解.解:由初始是是不是是是是不是是求所滿足的微分方程.(2)已知曲線上點(diǎn)

處的法線與x

軸交點(diǎn)為Q解:如圖所示,令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,求所滿足的微分方程.(2)已知曲線上點(diǎn)處的作業(yè)：P298

1（做書(shū)上）;2(2)；4(2);5（1）作業(yè)：P2981（做書(shū)上）;2(2)；4(2轉(zhuǎn)化

可分離變量微分方程第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方程轉(zhuǎn)化可分離變量微分方程第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方分離變量方程的解法:兩邊積分,得①②由②隱函數(shù)y＝(x)是①的解.則有稱(chēng)②為方程①的隱式通解,或通積分.由②隱函數(shù)x＝(y)也是①的解.設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為G(y),F(x),分離變量方程的解法:兩邊積分,得①②由②隱函數(shù)y＝例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或y=0也是方程的解.例1.求微分方程的通解.解:分離變量得兩邊積分得即(例2.解:分離變量即(C<0

)積分例2.解:分離變量即(C<0)積分《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》71～72例3.解初值問(wèn)題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件y(0)=1得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為例3.解初值問(wèn)題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件y《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》71～72例4.子的含量

M

成正比,求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)

隨時(shí)間t

的變化規(guī)律.解:

根據(jù)題意,有由初始條件得故所求鈾的變化規(guī)律為已知

t=0時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)?.子的含量M成正比,求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方