高等數(shù)學(xué)電子課件同濟(jì)第六版04重積分的應(yīng)用

1１．曲頂柱體的體積

牛牛文庫(kù)文檔分享1１．曲頂柱體的體積牛牛文庫(kù)文檔2例1.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍立體的體積.解:

設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱(chēng)性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為:

牛牛文庫(kù)文檔分享2例1.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍立體的體積.解:3

牛牛文庫(kù)文檔分享3牛牛文庫(kù)文檔分享4(二)、曲面的面積衛(wèi)星

牛牛文庫(kù)文檔分享4(二)、曲面的面積衛(wèi)星牛牛文庫(kù)5１．設(shè)曲面的方程為：如圖，

牛牛文庫(kù)文檔分享5１．設(shè)曲面的方程為：如圖，牛牛6曲面S的面積元素曲面面積公式為：所以當(dāng)曲面的方程為：

牛牛文庫(kù)文檔分享6曲面S的面積元素曲面面積公式為：所以當(dāng)曲面的方程為：www7３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得

牛牛文庫(kù)文檔分享7３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲8解

牛牛文庫(kù)文檔分享8解牛牛文庫(kù)文檔分享9

牛牛文庫(kù)文檔分享9牛牛文庫(kù)文檔分享10解解方程組得兩曲面的交線(xiàn)為圓周在平面上的投影域?yàn)?/p>

牛牛文庫(kù)文檔分享10解解方程組得兩曲面的交線(xiàn)為圓周在平面上的投影域11

牛牛文庫(kù)文檔分享11牛牛文庫(kù)文檔分享12(三)、平面薄片的質(zhì)心設(shè)在設(shè)在平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于點(diǎn)，……處，質(zhì)量分別為…，由力學(xué)知識(shí)知道該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)

為，其中為該質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)y軸的靜矩。為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸的靜矩。

牛牛文庫(kù)文檔分享12(三)、平面薄片的質(zhì)心設(shè)在設(shè)在平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別13當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱(chēng)為形心.設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域，在點(diǎn)處的面密度為，在上連續(xù)，則該薄片的質(zhì)心：

牛牛文庫(kù)文檔分享13當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱(chēng)為形心.設(shè)有一平面薄片占有平上的閉14例1.求位于兩圓和薄片的重心.解：利用對(duì)稱(chēng)性可知而C。之間均勻

牛牛文庫(kù)文檔分享14例1.求位于兩圓和薄片的重心.解：利用對(duì)稱(chēng)性可知而15(四)、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

牛牛文庫(kù)文檔分享15(四)、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量牛16薄片對(duì)于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域，在點(diǎn)處的面密度為，在上連續(xù)，則該薄片的對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)到慣量：

牛牛文庫(kù)文檔分享16薄片對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)有一平17解

牛牛文庫(kù)文檔分享17解牛牛文庫(kù)文檔分享18

牛牛文庫(kù)文檔分享18牛牛文庫(kù)文檔分享19解

牛牛文庫(kù)文檔分享19解牛牛文庫(kù)文檔分享20

牛牛文庫(kù)文檔分享20牛牛文庫(kù)文檔分享21薄片對(duì)

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)(五)、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域，在點(diǎn)處的面密度為，在上連續(xù)，求該薄片對(duì)位于z軸上的點(diǎn)

（0,0,a）處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。

牛牛文庫(kù)文檔分享21薄片對(duì)軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)(五)、平面薄片22解由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性知

牛牛文庫(kù)文檔分享22解由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性知牛牛文23所求引力為

牛牛文庫(kù)文檔分享23所求引力為牛牛文庫(kù)文檔分享241.立體體積

占有空間有界域

的立體的體積為二、三重積分的應(yīng)用

牛牛文庫(kù)文檔分享241.立體體積占有空間有界域的立體的體積為二、25例1.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),就得到球的體積

牛牛文庫(kù)文檔分享25例1.求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體26設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)密度函數(shù)則其重心坐標(biāo)為:當(dāng)常數(shù)

時(shí),則得形心坐標(biāo)：物體的體積2.物體的重心

牛牛文庫(kù)文檔分享26設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)密度函數(shù)則其重心坐標(biāo)為27例2.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形，它的曲面方程為若爐內(nèi)儲(chǔ)有高為

h

的均質(zhì)鋼液，且不計(jì)爐體的自重，試求它的重心。解：利用對(duì)稱(chēng)性可知重心在z

軸上，故h則鋼液體積

牛牛文庫(kù)文檔分享27例2.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形，它的曲面方程為若爐內(nèi)儲(chǔ)有高為28曲面方程為鋼液體積

牛牛文庫(kù)文檔分享28曲面方程為鋼液體積牛牛文庫(kù)文293.物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)類(lèi)似于討論物體重心的方法,先用“大化小,常代變”得到質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量近似值:令,就得到物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類(lèi)似可得:

牛牛文庫(kù)文檔分享293.物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密30例3.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:取球心為原點(diǎn),z軸為l

軸,設(shè)所占域?yàn)閯t用球坐標(biāo)問(wèn)題：如何用截面法和柱面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分？

牛牛文庫(kù)文檔分享30例3.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:

G

為引力常數(shù)四、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為

牛牛文庫(kù)文檔分享G為引力常數(shù)四、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)

牛牛文庫(kù)文檔分享牛牛文庫(kù)文檔分享例4.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

利用對(duì)稱(chēng)性知引力分量點(diǎn)

牛牛文庫(kù)文檔分享例4.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:為球的質(zhì)量

牛牛文庫(kù)文檔分享為球的質(zhì)量牛牛文庫(kù)文檔分享35幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）三、小結(jié)

牛牛文庫(kù)文檔分享35幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引36

牛牛文庫(kù)文檔分享36牛牛文庫(kù)文檔分享37思考題

牛牛文庫(kù)文檔分享37思考題牛牛文庫(kù)文檔分享38薄片關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)思考題解答

牛牛文庫(kù)文檔分享38薄片關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)思考題解答www.niuwk.co39練習(xí)題

牛牛文庫(kù)文檔分享39練習(xí)題牛牛文庫(kù)文檔分享40

牛牛文庫(kù)文檔分享40牛牛文庫(kù)文檔分享41練習(xí)題答案

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牛牛文庫(kù)文檔分享1１．曲頂柱體的體積牛牛文庫(kù)文檔43例1.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍立體的體積.解:

設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱(chēng)性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為:

牛牛文庫(kù)文檔分享2例1.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍立體的體積.解:44

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牛牛文庫(kù)文檔分享4(二)、曲面的面積衛(wèi)星牛牛文庫(kù)46１．設(shè)曲面的方程為：如圖，

牛牛文庫(kù)文檔分享5１．設(shè)曲面的方程為：如圖，牛牛47曲面S的面積元素曲面面積公式為：所以當(dāng)曲面的方程為：

牛牛文庫(kù)文檔分享6曲面S的面積元素曲面面積公式為：所以當(dāng)曲面的方程為：www48３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得

牛牛文庫(kù)文檔分享7３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲49解

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牛牛文庫(kù)文檔分享9牛牛文庫(kù)文檔分享51解解方程組得兩曲面的交線(xiàn)為圓周在平面上的投影域?yàn)?/p>

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為，其中為該質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)y軸的靜矩。為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸的靜矩。

牛牛文庫(kù)文檔分享12(三)、平面薄片的質(zhì)心設(shè)在設(shè)在平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別54當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱(chēng)為形心.設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域，在點(diǎn)處的面密度為，在上連續(xù)，則該薄片的質(zhì)心：

牛牛文庫(kù)文檔分享13當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱(chēng)為形心.設(shè)有一平面薄片占有平上的閉55例1.求位于兩圓和薄片的重心.解：利用對(duì)稱(chēng)性可知而C。之間均勻

牛牛文庫(kù)文檔分享14例1.求位于兩圓和薄片的重心.解：利用對(duì)稱(chēng)性可知而56(四)、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

牛牛文庫(kù)文檔分享15(四)、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量牛57薄片對(duì)于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域，在點(diǎn)處的面密度為，在上連續(xù)，則該薄片的對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)到慣量：

牛牛文庫(kù)文檔分享16薄片對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)有一平58解

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牛牛文庫(kù)文檔分享20牛牛文庫(kù)文檔分享62薄片對(duì)

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)(五)、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域，在點(diǎn)處的面密度為，在上連續(xù)，求該薄片對(duì)位于z軸上的點(diǎn)

（0,0,a）處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。

牛牛文庫(kù)文檔分享21薄片對(duì)軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)(五)、平面薄片63解由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性知

牛牛文庫(kù)文檔分享22解由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性知牛牛文64所求引力為

牛牛文庫(kù)文檔分享23所求引力為牛牛文庫(kù)文檔分享651.立體體積

占有空間有界域

的立體的體積為二、三重積分的應(yīng)用

牛牛文庫(kù)文檔分享241.立體體積占有空間有界域的立體的體積為二、66例1.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),就得到球的體積

牛牛文庫(kù)文檔分享25例1.求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體67設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)密度函數(shù)則其重心坐標(biāo)為:當(dāng)常數(shù)

時(shí),則得形心坐標(biāo)：物體的體積2.物體的重心

牛牛文庫(kù)文檔分享26設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)密度函數(shù)則其重心坐標(biāo)為68例2.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形，它的曲面方程為若爐內(nèi)儲(chǔ)有高為

h

的均質(zhì)鋼液，且不計(jì)爐體的自重，試求它的重心。解：利用對(duì)稱(chēng)性可知重心在z

軸上，故h則鋼液體積

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牛牛文庫(kù)文檔分享28曲面方程為鋼液體積牛牛文庫(kù)文703.物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)類(lèi)似于討論物體重心的方法,先用“大化小,常代變”得到質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量近似值:令,就得到物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類(lèi)似可得:

牛牛文庫(kù)文檔分享293.物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密71例3.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:取球心為原點(diǎn),z軸為l

軸,設(shè)所占域?yàn)閯t用球坐標(biāo)問(wèn)題：如何用截面法和柱面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分？

牛牛文庫(kù)文檔分享30例3.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:

G

為引力常數(shù)四、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為

牛牛文庫(kù)文檔分享G為引力常數(shù)四、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)

牛牛文庫(kù)文檔分享牛牛文庫(kù)文檔分享例4.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

利用對(duì)稱(chēng)性知引力分量點(diǎn)

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