2022年7月中國數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題卷附答案解析

2022年7月中國數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題卷(第一天)考試時(shí)間：2022年7月26日上午8:00—9:20一、填空題(本大題共8道小題，每小題8分，共64分)3.4.設(shè)集合中的最大元素與最小元素分別為則M-m的值為.m為給定的正整數(shù)，則使得才+“整除/+〃的最大正整數(shù)是r*4*[設(shè)M表示不超過X的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)3.4.設(shè)集合中的最大元素與最小元素分別為則M-m的值為.m為給定的正整數(shù)，則使得才+“整除/+〃的最大正整數(shù)是r*4*[設(shè)M表示不超過X的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)=而；的值域是X2V2 , 1在平面直角坐標(biāo)系xQf中，橢圓G：F+.T(a>b>0)和拋物線Czj'-ar交于4,8兩點(diǎn)，尸為G橢圓ab 2的右頂點(diǎn)，若。,4只8四點(diǎn)共圓，則G的離心率為.5.在正三棱柱48C-44G中，4B=BC=C4=A^=2,點(diǎn)。為棱4cl上的點(diǎn)，且8G〃平面/4。.以。為球心、弓為半徑的球面與側(cè)面4448的交線長為6.已知復(fù)數(shù)z,w滿足，20i0.z+——=5+i:. ,則|利可取得的最小值為一w+—=-4+10i.已知￡MBC為銳角三角形,4,8,C為其三個(gè)內(nèi)角，則2cot/+38t8+4cotC的最小值為.已知多項(xiàng)式/9)=7+0?+及+c(a,b,ceZ)的所有根的模均為20或15,則這樣的多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為.二、解答題(本大題共3道小題，第9題16分，第10題20分，第11題20分，共56分).已知點(diǎn)歷(2,2)在拋物線C:x?=2陟(p>0)上，過點(diǎn)0,0)作直線《交拋物線C于不同的兩點(diǎn)P,。，交，軸于\SR\點(diǎn)N.過點(diǎn)N作平行于0。的直線4交直線OP于點(diǎn)S,交直線?！庇邳c(diǎn)7,交x軸于點(diǎn)火.求鬲的值..即為任意給定的正整數(shù)，如下定義整數(shù)序列｛凡卜見三-S.T(mod"),n=l,2,-,且其中=a0+q+…+《,,”=0,1,2,….證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)m,使得S.是完全平方數(shù)..已知正實(shí)數(shù)，4,''="xm滿足4+。2+",+/022=b、+"+”?+6加2=1，求n k2022嗨廣蛔+曲山的最大值.2022年中國數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題（一）加試考試時(shí)間:2022年7月26日上午9:40—12:30一、（本題滿分40分）如圖，銳角2BC的垂心為〃，CD、分別為4B、AC邊上的高.延長ED、CB交于P,4/為4ABC外接圓的直徑，延長田交DE于T,連結(jié)JP.證明（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）二、（本題滿分40分）給定正整數(shù)〃，非負(fù)實(shí)數(shù)qg,…,a“滿足6+%+…+"”=4,記S=%+0必2+???+《02?一凡，求S的最大值.三、（本題滿分50分）求所有的正整數(shù)〃，存在一種方案將集合｛1,2,…,2”｝劃分為〃個(gè)元素個(gè)數(shù)為2且兩兩不交的集合4,4,…,4,,使得不存在不外,…，乙同時(shí)滿足（1）xtg40= （2）2n\xx+x2+--+xa.四、（本題滿分50分）2已知P為大于2022的質(zhì)數(shù)，求證：存在正整數(shù)0〃、，使m+〃+，＜§p+2022,且司2*3"5-1.（第二天）考試時(shí)間：2022年7月28日上午8:30—11:20一、（本題滿分40分）求所有的整數(shù)〃，使得對(duì)任意兩兩不等的正實(shí)數(shù)。、氏c,都有：- c"+,、， F 1- 2q+6+c.|c-a|"\a-b\H二、（本題滿分40分）已知數(shù)列出｝滿足：耳=0，￡=1，居“=居“+月5?。?對(duì)大于2的整數(shù)m,記%為除以凡的余數(shù).證明：%在數(shù)列叱｝中.*?1三、（本題滿分50分）如圖,圓內(nèi)接四邊形中，瓦>>4C,直線8C、3交于瓦直線48、CD交于F,過E作直線CD的平行線交直線/1B于K,U、，分別為△/%（?、△/郎的外心.證明:/UAP=/8CD-/ABC.（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）四、（本題滿分50分）給定正整數(shù)人》/.設(shè)〃，為最小的正整數(shù)，滿足對(duì)所有”》機(jī)，無論如何將一個(gè)〃階完全圖的所有邊染為紅藍(lán)兩色之一，都存在一條紅色的長為*的路或一條藍(lán)色的長為/的路.證明：ni=k+\—.注：一條長為，的路由/+1個(gè)點(diǎn)…,u,,i構(gòu)成.滿足對(duì)任意的q與之間均有邊連接.考試時(shí)間：2022年7月28日下午14:00—16:50五、（本題滿分40分）如圖，△4BC中，AB=AC,D在線段的延長線上，E在線段4C上，滿足BD=CE,記ZU5C的外接圓為「，△瓦陽的外接圓交r于另外一點(diǎn)P,的外接圓交r于另外一點(diǎn)。.求證：尸?！?c.（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）六、（本題滿分40分）已知〃為正整數(shù),“22,正實(shí)數(shù)3%i也滿足4＜“＜一＜，且"=1.證明：on-1 n—+V ＜V//.3 占“七、（本題滿分50分）證明：存在正實(shí)數(shù)c,使得對(duì)任意正整數(shù)〃與平面上的〃個(gè)點(diǎn)，這”個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形不超過c?小個(gè).八、（本題滿分50分）記％%，…,a如為2022個(gè)大于2022的不同質(zhì)數(shù)，…，/2為數(shù)集且4—{q—'，q—i+1,q—l}（i=1,2,2022）.證明：存在根＜jg-4046!,使得對(duì)Vi=l,2,…,2022,以及,有mra（modq）.

（第三天）考試時(shí)間：2022年7月30日上午8:00—9:20arcsin（0.3）-arcsin（0.7）-y一、填空題（本大題共8道小題，每小題8分，共64分）arcsin（0.3）-arcsin（0.7）-y1,計(jì)算：sin（arcsin（07）+arcsin（0.3））-cos2,設(shè)集合/={1,2}.8={3,4},X={?n“z=a+6i,其中ae4be8,z為實(shí)系數(shù)方程f+座+”=幽根}.則X中所有元素之和為2 1.已知橢圓E:二其左、右焦點(diǎn)為耳（Y,0）,g（c,0）.實(shí)數(shù)a,b,c依次構(gòu)成等比數(shù)列.設(shè)Pab為橢圓E上任意一點(diǎn)，/為/XP耳耳的內(nèi)心，力,必分別為點(diǎn)尸，/的縱坐標(biāo)，則比=.yt.已知正四面體4BCD的頂點(diǎn)C在平面a內(nèi)，頂點(diǎn)B在平面a內(nèi)的正投影為。，直線BC與平面a所成的角為60。當(dāng)頂點(diǎn)/與點(diǎn)。的距離最大時(shí)，直線CD與平面a所成角的正弦值為.已知在&15c中，角48,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,44=90。，邊BC上一點(diǎn)。滿足8￡>:￡）C=c:46,若AD=\,則b+c的最小值為..已知數(shù)列｛4｝共有7項(xiàng)，且S"為｛4｝的前〃項(xiàng)和，滿足25Hnd+qas”，？）,則滿足上述條件的數(shù)列｛4｝共有個(gè)..、 P（i）.已知小小…】為"次首一多項(xiàng)式P（x）的所有實(shí)數(shù)根，若干=2020+20221（這里i為虛數(shù)單位），則arctan4+arctanq+???+arctan4=..將6x6的方格表中的12個(gè)小方格染成黑色，使得每行和每列均恰有2個(gè)黑格，則不同的染色方式共有種.二、解答題（本大題共3道小題，第9題16分，第10題20分，第11題20分，共56分）.己知集合。=｛（占,三）|玉>0,f>0,$+三=2*｝,其中★為正常數(shù)，若不等式（L-X|X」--X2）2（?-!）2對(duì)Xyx2 k任意（七,七）6。恒成立，試求￡的取值范圍..已知直線/分別與兩拋物線G:產(chǎn)=2px（p>0）和G:y2=4px交于四個(gè)不同的點(diǎn)4片,乂）,8（七,必）,AM。（工3，必）苫（王，治），且乂 設(shè)/與X軸交于點(diǎn)A/,若AD=6BE,求 的值.ME.已知數(shù)列｛（｝,｛4｝滿足q=2,4=0,4=2也=2,且對(duì)任意正整數(shù)〃23,有q,=《卜4_2-如心2，，十%岫,求|生叱|的末兩位數(shù)字?考試時(shí)間：2022年7月30日上午9:40—12:30一、（本題滿分40分）已知正實(shí)數(shù)q（i=l,2,）滿足％+。2+…+a”=1，證明：2二、（本題滿分40分）證明：存在無限多個(gè)不能表示為/+P的正整數(shù)，其中”€乂，p為質(zhì)數(shù).三、（本題滿分50分）求正整數(shù)a,6應(yīng)滿足的條件，使得能夠?qū)⒓希?,2…,?｝分成。個(gè)不相交的b元子集，滿足每個(gè)子集的元素和都相等.四、（本題滿分50分）如圖，A4BC的內(nèi)心為/，外接圓為「，01BC于點(diǎn)。,尸為弧區(qū)1C中點(diǎn)，直線ED交「于另一點(diǎn)尸，PA與BC交于點(diǎn)E,EHLAF,垂足為H,K為EH中點(diǎn)、.證明:/K=OK.（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）2022年中國數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題（一）

考試時(shí)間：2022年7月26日上午8:00—9:20一、填空題（本大題共8道小題，每小題8分，共64分）.設(shè)集合4a?6431中的最大元素與最小元素分別為",加，則切的值為2應(yīng)，所以2應(yīng)，所以【解析】士+64—+3=5即A/=5,-+b2-+n22打，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=&時(shí)取等號(hào)，即加a1 aaM-m=5-2y/2..也為給定的正整數(shù)，則使得M+”整除/+用的最大正整數(shù)”是,【答案】淄一"+”【解析】由題意知UiTZ.因?yàn)閙+nn2+m（w+m）2-2m2（n+m2）+m4+m m4a-m——= \ 七 =n+m-2m2+ rm m+n n-^m,所以史駕是正整數(shù)從而，n+m/7+冽2<w4+w=>w<w4->w2+w經(jīng)檢驗(yàn)知，a= +m符合條件.因此，”的最大值是加'-/+加.X+].設(shè)[可表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)/（x）=用石的值域是【答案】（0,2）【解析】設(shè)卜｝=1胴。,1）,則g鬲=1+品,X+1 、/(x)=]十的定義域是(y,-1)U[0,+8)，國+1當(dāng)xNO時(shí)，國+1=1,2,3,…，f（x）=l+自上的值域是[1,2）,因+1當(dāng)x<-l時(shí)，[x]+l=-L-Z-3,…，/?（工）=1+直§的值域是（0』,x+]則函數(shù)/（X）= 的值域是（0,2）.㈤+1

.在平面直角坐標(biāo)系簿v中，橢圓q；+2=l(a>b>0)和拋物線C2:/ab’■ax交于48兩點(diǎn)，尸為C1橢圓的右頂點(diǎn)，若。4■ax交于48兩點(diǎn)，尸為C1橢圓【解析】由對(duì)稱性,N。4P=乙OBP=90°,故4方在以。尸為直徑的圓上.【解析】，J?, 2a2b1=>—x2-ax-^-b2=0x2-ax-^y2=0"乂a2b2加必,2 a2b4a2b2故5?與=-p-=與=1-?故”二一町+"<=———+—r,21 +，a%"a'b11a2b2由.以=5也，故-丁+-^-=因此橢圓的離心率為e=￡=*a3.在正三棱柱,45。一4耳G中，，B=BC=C4=44=2,棱4G上的點(diǎn)。滿足反;〃平面4月Q.以Q為球心、手為半徑的球面與側(cè)面田的交線長為恪案子△48?為正三角形，則DH=g■,故EH=Jr2-DF『=1,乙必/片=60△48?為正三角形，則DH=g■,故EH=Jr2-DF『=1,乙必/片=60。，交線為弧所長為」x2x;r=^,20i一，z+—=5+i6.已知復(fù)數(shù)Z,W滿足w.6.已知復(fù)數(shù)Z,W滿足w+—=-4+10iZ【答案】2J證【解析】將兩式相乘得(zwf-(-30+14i)(zw)-240=0,由求根公式知，zvr=6+2i或一36+12i,故IZWI可取得的最小值為2M..己知△4BC為銳角三角形，48,C為其三個(gè)內(nèi)角，則2cot/+3cot3+4cotC的最小值為【答案】V23【解析】由不等式(2x-3ycosy-42cos/『+(3ysin/-4zsin夕『20.整理可得(2x+3y+4z)’>12(cosy+l)q，+24(l-cos(/+7))》+16(8s/？+l)zr待定系數(shù)，記1待定系數(shù)，記12(cos7+1)=24(1-cos(A+7))=16(cos〃+1)=攵因此，有(2x+3y+4z『N23(Ay+jz+zr),又因?yàn)閏otzlcot5+cotBcotC+cotCcot？l=L所以,(2cot/+3cot5+4cotC)2>23,所以，所求最小值為.已知多項(xiàng)式/(z)=z3+a2+bz+c(?6.ceZ)的所有根的模均為20或15,則這樣的多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為【答案】572【解析】根據(jù)多項(xiàng)式零點(diǎn)的規(guī)律，知尸(z)的零點(diǎn)中實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為1或3.(1)F(z)的三個(gè)零點(diǎn)均為實(shí)數(shù).它們?nèi)≈怠?5.±20,設(shè)零點(diǎn)中取每個(gè)值的個(gè)數(shù)分別為5?三,菁,三，這種情形中可能的多項(xiàng)式個(gè)數(shù)即為不定方程玉+與+巧+%=3的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù),利用插板法，即C：=20個(gè).(2)尸(z)的三個(gè)零點(diǎn)中有一個(gè)實(shí)數(shù)，一對(duì)共挽復(fù)數(shù).記實(shí)根為c,共枕復(fù)根為a土川，那么尸(z)=(x-cXx2-2ax+(a2+Q)).注意到a,"ceZ,其中a?+，取225或400為整數(shù)，故只需要2aeZ.i 2 29①|(zhì)a土仇|=15,此時(shí)a=0,土一，土一，…，土一，它們與c唯一確定P(z),c有4種取值，共有59x4=236個(gè).42 4

1 2 39②,土伊卜20,此時(shí)a=0,±5，±5,…,土彳,它們與c唯一確定尸（z）,c有4種取值，共有79x4=316個(gè).綜上所述，滿足要求的尸（2）共有20+236+316=572個(gè).二、解答題（本大題共3道小題，第9題16分，第10題20分，第11題20分，共56分）.已知點(diǎn)A/（22）在拋物線。：爐=200>0）上，過點(diǎn)（1,0）作直線（交拋物線C于不同的兩點(diǎn)P,。，交>軸于\SR\點(diǎn)N.過點(diǎn)N作平行于。。的直線4交直線OP于點(diǎn)S，交直線0M于點(diǎn)7,交x軸于點(diǎn)A.求阿的值.【解析】由題意易得拋物線C的方程為f=2y,設(shè)尸（工口費(fèi)）,。12./]9-0因?yàn)橹本€P0過點(diǎn)（1,0）,故％差=5黃=]二]，化簡可得：$=含 ①所以直線的方程為y=W4x-l）,令x=0,可得N點(diǎn)縱坐標(biāo)為6=—*；/,即N點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-" ] 4分又因?yàn)橹本€所以時(shí)=b="，所以直線4的方程為：y=]x-立土._x2升+與聯(lián)立直線乙與直線?！钡姆匠蹋?'=萬'一—2~,消去x,可得T點(diǎn)縱坐標(biāo)：y-x 8分消去x,可得S點(diǎn)縱坐標(biāo):y=攵也，結(jié)合①式，化簡可得：yT=-——3--x2-2 8分消去x,可得S點(diǎn)縱坐標(biāo):聯(lián)立直線聯(lián)立直線/2與直線。尸的方程:聯(lián)立直線聯(lián)立直線/2與直線。尸的方程:,X?

y=-x2（x+x,）r八 x?鵬鼠卓結(jié)合①式‘化簡可得“始一五.2）所以外=2乂，故簫=產(chǎn)1=1.%為任意給定的正整數(shù)，如下定義整數(shù)序列｛4｝：4三-S,T(mod"),〃=LZ…，且其中5*=4+4+―-+4，〃=0工2,?“證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)"人使得是完全平方數(shù).【解析1】設(shè)a=上，n先證明正整數(shù)數(shù)列｛匕｝是單調(diào)不增的。%+%+…+%=*“"=兒("+1)-%故生.產(chǎn)/(mod，?), 5分故有叫“4匕，. ,S.Sna.—Sn(an-k?\a—k因此匕.「總二士一也二絲：母=一^~~9=匚皂40n+\n w(w+l) /?(w+l) w+1故正整數(shù)數(shù)列也｝是單調(diào)不增的.因此存在正整數(shù)N,使得〃2N時(shí)，有k0=c,c為某確定正整數(shù). 15分即吟N時(shí)，號(hào)="，故取加=蘇，且加2N,即有鼠=。2/，這樣的機(jī)顯然有無窮多個(gè). 20分2【解析2】Sn<^)+l+24-3+---+n=—+—+%故存在/,sf<? 5分設(shè)￡="，一女)，左為正整數(shù)則由于S,=(1+1乂1一左)一7+左，故4+1三f-Z(modr+1)又14―后金+1報(bào)&i=t-k故S,T=(r+l)(.9 15分依次類推，可知q=/-￡,n>t+\,且S,="(/-A),故當(dāng)楊=/(/-左)，且+l時(shí)，鼠均為完全平方數(shù). 20分

.已知正實(shí)數(shù)%02,???,02022,4，砥?：4022滿足4+02+???+02022=4+4+…+4022=L求L2022min」+min-+Yk-i|1^^2022A3a022〃J、i"

ul % 2-1的最大值.【解析】S的最大可能值為2,當(dāng)4=々=」一,i=LZ”?,2022時(shí)取得.2022下證明：S<2.山.下證明：S<2.山.q卜.U設(shè)。二mm—,b=min—兇420224 IS/<2022q，4=>,，4=2。,，4=2aBi=E”, 5分則s=4+6+4-82+4-4顯然有4+4則s=4+6+4-82+4-4顯然有4+4=LB1+B?=1?即S=tz+b+2—2（4+82）故只需證明：2（4+用）24+6.由我們的假設(shè)可知42明，822M.結(jié)合4+4=14+a=1則有B+bA22b①4+則有B+bA22b①4+czB^—°②..10分①X0-?、赬（1詞可知a^b-lab

\-ab15分即只需證明喑券一整理可知只需證明。+即只需證明喑券一整理可知只需證明。+6+訪（。+6）24況>即1+1+a+624,ab這顯然成立，故我們證明了SS220分20分2022年中國數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題（一）加試考試時(shí)間：2022年7月26日上午9:40—12:30一、（本題滿分40分）如圖，銳角A45C的垂心為CD、型分別為AB.AC邊上的高.延長ED、CB交于P,47為AABC外接圓的直徑，延長JH交DE于T,連結(jié)證明;（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）證明：設(shè)”與ZvlB。外接圓的交點(diǎn)為。，Q〃心.連結(jié)QHJC.因?yàn)槎﨎DCjBEC,故B,D,E,C四點(diǎn)共圓，有^AJC^ABC=AAED.又因?yàn)?0UC,有AJ±PE. 10分注意到B,D,E,C四點(diǎn)共圓，以及B,C,Q,A四點(diǎn)共圓，可得(PBPC=(PBPC=PDPE\PBPC=PQPAmPE=PQ,PA故D,E,Q,A四點(diǎn)共圓. 20分注意到ZADH+^AEH=180a,有A,D,H,E四點(diǎn)共圓，從而A,D,H,E,Q五點(diǎn)共圓. 30分因此N4QH=180。-z_4EH=90。，故QH_AP.故Q,H,J共線.所以T為匕AP3的垂心，從而ATUP. 40分

二、(本題滿分40分)給定正整數(shù)”，非負(fù)實(shí)數(shù)01,02,???,為滿足01+02+―+4=4,記S=q+q&+……《，求S的最大值.解：勿=1時(shí)顯然；〃=2時(shí)，由均值不等式：%+%%=%(1+%)用(4+%+1)=—5 3且當(dāng)q=2,外=巳時(shí)能取到.2 2當(dāng)〃23時(shí)，q+q%+ =q+%%(1+2)?/+(。2+%+1)”=/+(5-[),其中％e[0,4],由函數(shù)單調(diào)性可知：當(dāng)q=若叵時(shí)，函數(shù)取得最大值相-16305+13而相-16———^―,此時(shí)%=_6_，4 10分下歸納證明：當(dāng)；124時(shí)，均有上述最大值，且當(dāng)4%,%為上述取值,%=%=,?=4=0時(shí)能取到。當(dāng)〃=4時(shí)，注意到《+/+他+%)=4,利用〃=3時(shí)的歸納假設(shè)，只用證明:%+c1td2+4a2a3+W4+4a2+4。、(叫+4)■注意到可以不妨序列｛4｝遞減，不然交換兩個(gè)遞增的項(xiàng)，函數(shù)值變大,如果441，平凡成立；下設(shè)%>1,此時(shí),2>qN& >1>。4.作調(diào)整(q,%+6-L/Jq)后，函數(shù)值變大.故可劃歸為2-1的情形. 30分假設(shè)當(dāng)附=后成立，當(dāng)％=上+1時(shí)，注意到:q+/+…+(綺+%+J=4并利用n=k時(shí)的歸納假設(shè)，由于左24,故在的｛4｝遞減的條件下，有&V1,證明完成. 40分三、(本題滿分50分)求所有的正整數(shù)〃，存在一種方案將集合{1,2,…,2〃}劃分為〃個(gè)元素個(gè)數(shù)為2,且兩兩不交的集合4,4,…,4,使得不存在演,工2,…,同時(shí)滿足(1)x,e>4,(/=1,2,???,?) (2)2n|xj+x2H Fx?.解：答案為所有正偶數(shù).一方面，當(dāng)2Iri時(shí),取&={i,i+n}(i=1,2, 則對(duì)任意的石,孫，…,4n滿足xteAi(i=1,2, 均有Zkix￡=1+2+???+n=(modn). 20分另一方面，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，我們證明對(duì)任意一種劃分方式，均可選出合題意的x1,x2,...,xn.以1,2,...,2n為頂點(diǎn)造一個(gè)圖，對(duì)每個(gè)lwiwn,在i,i+n之間連紅邊，A的兩個(gè)元素之間連藍(lán)邊，那么每個(gè)頂點(diǎn)均恰好連了一條紅邊，一條藍(lán)邊.于是此圖為若干圈的并(此處允許圈長為2).又注意到圈上的邊必為紅藍(lán)交替，故圖中的圈均為偶圈. 30分我們在每個(gè)圈上任取一個(gè)起點(diǎn)，并取從起點(diǎn)開始的第1,3,5,...個(gè)點(diǎn).那么所有圈中恰取了n個(gè)點(diǎn)，設(shè)它們?yōu)榻?<22,…，。門，并設(shè)剩下的點(diǎn)為瓦,由我們的取法可知…，兩兩不屬于同一個(gè)4且兩兩模n不同余.故g三1+2+??■+n=0(modn).同理仇三1+2+…+n三0(modn).又因?yàn)椤?7+仇三1+2H F2n=n^mod2n),故a,b中恰有一組數(shù)滿足此組數(shù)之和是2n的倍數(shù)，這組數(shù)即為所求心,尤2,...,工. 50分四、（本題滿分50分）2已知P為大于2022的質(zhì)數(shù)，求證：存在正整數(shù)加、〃、，使s+"+/<]p+2022,且p,—.證明：不妨設(shè)2模p的階不小于3、5模p的階，設(shè)2模p的階為r,則(1)當(dāng)『=夕-1時(shí)，2\丁,…,2”構(gòu)成模p的縮系.故存在 ,使2'三3(modp),2J=5(modp),且由p>2022知<p-2.于是TS-S三2?-2"'P=2E+"(modp). 10分令m+H+〃=2(p-l),不妨設(shè)①若i,J均不小于、少，則取"="1，則加=2(p-l)->/€N+,且? -4(p-l)2 42〃m+n+r=2p-i-j?2p—--二§p+§<寸+2022?②若/R…燈，3 3則取t=l,取用€。,力且m=2(p-l)-/(m(xh),則”=〃，1/用€用,此時(shí)，小+”+,=吁2"y-陽+l=W+2(py/+p+2(p：)7?；11丁<2("U,3,2(^-1)2(p-l)2(p-l)_ \2p92pl\2p??_lWmax/11+ , +-； t—mnxi—+^―,—+—>v—+2022?11 3 2(p-l) [111133J3-3. 20分③若仃<當(dāng)1記[e[/+L2/]，=2(/7-1)(modj)>令m+ni=q,則u：-1)二金明,再取加金[叫使用三q(modi)>則.二,旭￡N，，從而q-m2(p—1)一夕(1]q2(p—1)—q q2(p—1)—q/m+w+Z= +- =m1-一+3+ :——<z-l+-+- Xij\i)ij iJ*/11</<j>且11/>2/2,

?□/?1q2(p-l)—夕_ 2(p-l)[/一 2([一1)]2(p—1) 2(p-l)】??za?/-1+卜 -/4*'* "_1Kmsx《11+ 1, +-7 r—1/jj J 11 3 2(P-1)3 ,<—p+2022?3 30 分'(2)當(dāng)一(2)當(dāng)一2時(shí)，記/二

2，下證必存在/,“{1,2},使3，,5*1.否則3,93,則1,31,9/兩兩不交，但/U3/U9/0L2,…,p-1},從而3T4p-l,矛盾，故存在/金{1,2卜使3%人同理存在$￡{1,2}使5睦/.設(shè)￥=2*(modp),5s=2,s(modp)，1Wa,0< —?①若a+0vR-,取小二￡---a-Z7,n=/ft=s,2 2則2%3”?5「三2%"”?20?2-=2勺三l(modp),且。+〃+fv^^+2+2vgp+2022?②若a+0之R——,取加二p-l-a-/7,n=l?t=s,貝】J2用?3”?5]三好….2々.2尸=2"三1(modp),日一〃？+/?+￡=p—1—a—p+/+sKR2-+2+2v§p+2022. 40分(3)當(dāng)『《一，設(shè)尸(〃-m>3),類似(2)可知存在/,se{LN…,使3,三2350三2?modp),\<a,p<^^.u①若〃25,記3模p的階為勺，5模p的階為與，取m=—~~-,尸=4?t=r2,則2M?3"6三111三l(modp),且p-13(p—1)2ni+n+t<3 < <—p+2022?u5 3②若34“44,則3優(yōu)…,3”模p均不余1,從而av左。，u取rn-~~—-a-, n=l ,t=s,則u2(P?1)a8 陋1 2 22m.3".5r三2u?2。?2"=2w三l(modp),且m+〃+fv§(p—l)+4+4v§p+2022?綜上，命題得證. 50分

2022年中國數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題（二）考試時(shí)間：2022年7月28日上午8:30—11:20一、（本題滿分40分）求所有的整數(shù)〃，使得對(duì)任意兩兩不等的正實(shí)數(shù)枚c,都有：a“+i 6+1 /I、t|6-c|"|c-a|'\a-b^解:〃為自然數(shù).當(dāng)〃=0時(shí)，顯然.+n|ft-c|>(1+n)a,+w+n|ft-c|>(1+n)a,+w|c-a|>(1+n)b.\b-c\"

護(hù)"

\c-a\"ql+zi^1+n 。1+相 -4 -H >(1+n)a+(1+n)b-n\b-c\-n\c-a\|b-c\n\c—a\l\a—b\n=a+b+2nc>a+b+c. 30分當(dāng)〃<0時(shí)，取a=l+^,6=19c=1-?令"7—>+ao,則有：0>3,矛盾。m m40分二、(本題滿分40分)己知數(shù)列｛凡｝滿足：線=0,6=1，7^2=5I+25gN).對(duì)大于2的整數(shù)怙記凡為fl"除以吃的余數(shù).證明：凡,在數(shù)列{凡}中.t=i/-i證明：由雨＞2可知用,22.當(dāng)￡,為合數(shù)時(shí)，笈|口"，故凡=0=6，成立.無=1當(dāng)力為質(zhì)數(shù)時(shí)，若4=2,則&,二1二月，成立.當(dāng)吃為奇質(zhì)數(shù)0時(shí)，p-i p-] p—1p-l 2 2 2 ?_1 S-1Xp2）.10分則rp*=三門片㈠產(chǎn)“三n?-1）*"=（,）!（-1）.10分由"=o,月=1,%=%“+%（?。┲?=當(dāng)[（笥叵）”-（匕亙力對(duì)21切，有用+「用t-4=《（邛-（匕笠）"TK上盧尸-（二^）"]-/二務(wù)"-（匕盧丹14-V?14-V?=1x(-l)x(-(V5)2)=l￡zl故對(duì)2\m,有F”；=-1(mod7^,).即(―1)2三Fm_^=l(modp), 20分從而對(duì)2；雨，F(xiàn)m=p，且模4余L由通項(xiàng)計(jì)算可得屬〃eZ.),故由￡=p可知利為質(zhì)數(shù)或析式4. 30 一分(1)若切為質(zhì)數(shù)，則2〃，，F(xiàn)m=p(模4余1).又凡,三(一一)!(-1) 8(modp)＞故由威爾遜定理可知：79-1 — —R;=[( )!]"=(-1)2?(p—1)!=(_1)2=_l(modp)2故RdJ或一！,(modf,故凡,=J或a24-1(2)若mV4,則吃=〃的解只有尼=3,口/=4,R+=1=F、,成立.*=1證畢.三、(本題滿分50分)如圖.圓內(nèi)接四邊形4B8中直線BC、AD交于旦直線49、CD交于F.過E作直線8的平行線交直線于K,C\/分別為ZkRC、△依。的外心.證明：NUKZ2BCD-/ABC.(答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上)KB-KFFB1FD"TD-TFifj ,=—= EBECBC2DAZEOEA所以KB-KF=TD?TF. 10分所以K、7對(duì)△BDF的外接圓的基相等.所以少＞巾同理UK=UT 20分由平行知四邊形KFTE為平行四邊形.作K關(guān)于BF中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)MT關(guān)于CF中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M由對(duì)稱知VM=VK,BM=KF=TE.所以四邊形為平行四邊形，/為的外心. 40分所以A"〃8E所以NKMT=N4BC.所以N次7=90°-ZKMT=90°-ZABC.同理AK〃CE,U為△K7VT的外心,NUK「=90°~ZTNK^90°-NBCD.所以NVKU=ZVKT-ZUKT=NBCD-Z.ABC. 50分方法2.延長E4與48或的外接圓交于P.由NBPD=/BPE=NBKE=NBFD.所以尸、B、D、尸四點(diǎn)共圓. 10分由NU4K=90°-ZACD,ZVPB=90°-ZPDB所以NKP/=NKPB-NkB=18。"-ZKEB~ZVPB=1SO°-NKEB-§0°-ZPDB)=W°+ZACB-ZDCB=90°-ZACD.所以NU4K=NKP匕 20分由NBIT>=2NBFD=ZAUC.

所以等腰△fzBDs等腰△”4C 30分由△EBZ)sZ\E4C,Aebds△￡4c.CC1?PVBVBDBEPK所以 = = = =——AUAUACAEAK所以△KP/sZXKHU. 40分所以NPK/=4KU.所以NVKU=NAKU-ZAKV=ZPKV-NAKWNPKA=NAEB=/BCD-NCDE=NBCD-N4BC. 50分四、(本題滿分so分)給定正整數(shù)人設(shè)加為最小的正整數(shù),滿足對(duì)所有無論如何將一個(gè)〃階完全圖的所有邊染為紅藍(lán)兩色之一，都存在一條紅色的長為左的路或一條藍(lán)色的長為/的路.證明：，"=k+1上2.注：一條長為7的路由r+1個(gè)點(diǎn)q，S，…,構(gòu)成，滿足對(duì)任意的U,與之間均有邊連接.證明：一方面，我們給出〃=左+［一］-1時(shí)的染色方法的構(gòu)造，滿足不存在紅色的長為上的路或長為/的路：先從〃個(gè)點(diǎn)中選出上個(gè)點(diǎn)，記此上個(gè)點(diǎn)構(gòu)成集合S.將此左個(gè)點(diǎn)間兩兩連線染紅，并把剩下的邊染藍(lán).由于只有上個(gè)點(diǎn)與紅色邊相鄰，故顯然紅色的路長度不超過k-1.下面我們證明藍(lán)色的路長度不超過/-I,而對(duì)于藍(lán)色的路，注意到路上相鄰的點(diǎn)不能都在S中，又因?yàn)檫@條路最多經(jīng)過S之外的點(diǎn)如■一1次，故路長不超過2 10分另一方面，我們說明上+1+1.設(shè)g(G,7)為一般的左另一方面，我們說明上+1+1.設(shè)g(G,7)為一般的左N/所對(duì)應(yīng)的加值.我們對(duì)上歸納證明對(duì)于所有的/4上均有g(shù)//)W左+/4-1左=1時(shí)顯然.左22時(shí)，假設(shè)對(duì)于小于左的情況均成立，下面證明左時(shí)也成立.考慮階完全圖G的任意紅藍(lán)二染色.由歸納假設(shè)，我們只要證明：若紅色的路長度最大為％-1,則存在一條藍(lán)色的長為/的路.設(shè)最長的紅色路為q,伉，…,q,剩余的點(diǎn)為匕,匕，…耳「設(shè)集合u=w，u?…,uj,>=［必,…彳…廣那么由u”仇,…,心的最長性容易驗(yàn)證下面三條性質(zhì)對(duì)于任意不越界的下標(biāo)均成立：（I） 匕匕是藍(lán)色的或匕4+1是藍(lán)色的，（iii 匕a與以人均為藍(lán)色的，（iii） 對(duì)j與兩兩不同的八33,4,4”中至少有一個(gè)點(diǎn)與匕KK中至少兩個(gè)點(diǎn)均連藍(lán)邊. 20分考慮最長的滿足如下性質(zhì)的藍(lán)色路：不含起點(diǎn)與終點(diǎn)均在/中；每相鄰的兩個(gè)點(diǎn)均一個(gè)在U中，一個(gè)在P中.設(shè)這條路為S,起點(diǎn)與終點(diǎn)分別為48.若S包含了，中所/4-1

2的路，滿足需求.故以下有的點(diǎn)，那么將S加上則構(gòu)成了一/4-1

2的路，滿足需求.故以下我們不妨假設(shè)S沒有包含胃中所有的點(diǎn).設(shè)W為憶中所有不在S中的點(diǎn)構(gòu)成的集合.再考慮最長的滿足如下性質(zhì)的藍(lán)色路：不含U1,Uk；不含S中的點(diǎn)；起點(diǎn)與終點(diǎn)均在少中；每相鄰的兩個(gè)點(diǎn)均一個(gè)在U中，一個(gè)在印中.設(shè)這條路為T.下面我們證明/中所有點(diǎn)均在S或T中,假設(shè)有點(diǎn)X在/中，且不在S或T中.那么■/+rS與T在P中的點(diǎn)數(shù)不超過一--1,故S與T在U中的點(diǎn)數(shù)不超過k-2Tk-2T2個(gè)（用到了H左）.故有下標(biāo)i, 上一2使得不在S與T中.對(duì)與使用性質(zhì)（iii）,于是可以將S或T延長,2022年中國數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題（二）

考試時(shí)間：2022年7月28日下午14:00—16:50五、（本題滿分40分）如圖，ZUBC中，AB=AC,。在線段四的延長線上，E在線段ZC上，滿足BD=CE,記ZMEC的外接圓為r,z\BDE的外接圓交r于另外一點(diǎn)的外接圓交r于另外一點(diǎn)Q.求證：pq//bc.（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）證明：設(shè)40=?.^=?,則4B=AC=中,80=05=攵5V設(shè)4。交CQ于尸,4D交△(?〃￡■的外接圓于另外一點(diǎn)G由圓幕定理:正B-F4=FC，F(xiàn)Q=FQ-FG， 10分yG+v) An=印(工+v)y(x+y)-i-x(x-y)yG+v) An=印(工+v)y(x+y)-i-x(x-y) /+/AE-AC=AD=y(x+y)BD x(x-y) 20分設(shè)4c交BP于H.4E交△8DE的外接圓于另外一點(diǎn)1由圓幕定理:HC?K4=KB,HP=HE?小從而HA=HE=HA^HE=AE

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AE從而HA從而HA=2/+(%-/)”=2/+(N2_力yjy(z+y)

xa+l/2 30分所以= 由圓和等腰三角形的對(duì)稱性可得&=同.從而PQ〃BC. 40分六、(本題滿分40分)已知力為正整數(shù)，勿22,正實(shí)數(shù)?也,…也滿足4 <…<。且,=1.證明:,n-1l2 nMakh"證明：由題意，只要證明：yi 1(一(%+l2.1與1——+1+一一占上/白1一加+1+《<3令。則Oi+oj+cT/ul,且如他,???,%>().［瓦#=1只要證明:Si^7，(O1+O2+'"+Ok)J<3-以下為數(shù)學(xué)歸納法：(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊為晨?端=.的((審)*=；<；,結(jié)論成立；(2)假設(shè)結(jié)論對(duì)n=m成立，則對(duì)于n=m+l時(shí)，包號(hào)@+…?+獷m-1—Om+l(l—Om-1)+ (出+的+…+0*)2令S=ai+o+???+flm￡(0,1),q=\(lWiWm),則MS=1—/+1,6+&+…+J=1因此4?+廠(1—a1n_1)=SQ—S),以及m-1 m-1q￡^^(01+的+“?+a*)2=￡T^-?S2(R+q+?“+c?尸白1-叫 自l-Scci<ssEfr^；<c>+c?+-+c*)，<jss 30分再結(jié)合S(l—S)+!ss<：eS8-3S2+3S-l<0"(Sl)*<0,結(jié)論得證.OO 40分七、(本題滿分50分)證明：存在正實(shí)數(shù)c,使得對(duì)任意正整數(shù)〃與平面上的〃個(gè)點(diǎn)，這〃個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形不超過巨個(gè).證明：我們先說明，在幾個(gè)點(diǎn)的W條兩兩間中垂線中，設(shè)有九條線重合，則有土￡〃：只需注意到若4/3的中垂線與C。的中垂線重合，貝M4B}n{C,。}=?；騵4B}={C,。)即可.考慮這C甫條中垂線.設(shè)它們?nèi)ブ刂鬄?，i/2，???，，m，其中4重?cái)?shù)為。，則qWMlWiWm).設(shè)乙過幾個(gè)點(diǎn)中勺個(gè)點(diǎn)，則由于兩點(diǎn)確定一條直線，故不同。上的點(diǎn)對(duì)(X,Y)不同，故有CV+Cg+…+￡器￡加.即好+慰+…+ —必一42 xm<n(n—1),故(4—+(x2— +…+ <n(n—1)4- <2n(n—1). 30分所求等腰三角形數(shù)不超過“［+/g+???+~0.由Cauchy不等式，(J&W)+C2G2-；)+…+CmOm-1))2<(c?+好+…+說)(國-1)2+(x2-1)2+…+(xm- <2rl(〃一l)(tf+cl+…+c幻工2n2(n-l)(ct+c2+…+cm)<n5.5i 5故c61+C2x2+…+Cmxm<ni+-(Ci+c2+…+Cm)<2ru. 50分八、(本題滿分5。分)記入心…卬w為2022個(gè)大于2022的不同質(zhì)數(shù)，4，4,…，4)22為數(shù)集且4U{LZ…，q-DQ-1,2,…，2022).證明：存在正整數(shù)切&(2|闋+1)(2|聞+1)…(21*/+1),使得對(duì)W=1,2.…,2022,以及Vaw4,有ni豐t/(modq)證明：???6?％ 02M2兩兩互質(zhì)，由中國剩余定理可知：對(duì)⑺ 2022,小,滿足乙?l(modq),t,=(Kmoda;Xj*0.2022考慮數(shù)a=2K，則a?Bjc,(mod* ? 10分記S,={0,1.2,…，a,-1),設(shè)瓦q{0.1,2,….q-1}且是滿足對(duì)Vx.y^B,,7工wA、,KVr二(modq)的元素最多的集合，從而對(duì)V，wg?fw§必存在用，vg4,使十。〃)vfmodq).故/W〃土Wmcdq),故對(duì)V3瓦.fwS,,，至多有21||4|種模q的余數(shù).從而|旦|+2|41|8,|Nq,KP|B,|>―&-./=1.2 2022.2141+1 30分2022考慮形如*中的數(shù)構(gòu)成的集合S{之小,區(qū)W8J.則S中有|用II禺I…|@2al個(gè)不同的數(shù)且模4%….022的余數(shù)在［。，q々…I］中.將10,4%…-1］均勻分為 4-T 個(gè)區(qū)間■ (2141^1X21AH-1)-(21-^1+1)??1S,llBJ-IBwnI；. ,--T(2I4I+1X2I4I+1)…(2|4。22l+D必存在S中有兩個(gè)數(shù)位于同一區(qū)間，故其差(大減小)4(2141+1X2141+1)…(2|4皿1+1).且由優(yōu)的定義可知，這兩個(gè)數(shù)之差模q不與4中元素同余，記這個(gè)正整數(shù)為相則，，(2I4I+1X2I41+1)…(2|&a1+1) 50分2022年中國數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題（三）

考試時(shí)間：2022年7月30日上午8:00—9:20一'填空題（本大題共8道小題，每小題8分，共64分）1,計(jì)算：sin(arcsin(0.7)4-arcsin(0.3))?costarcsin(0.3)-arcsin(0.7)-y1=2【答案】，5【解析】原式=sin(arcsin(0.7)+arcsin(0.3)).sin(arcsin(0.3)-arcsin(0.7))=^sin(arcsin(0.3)))-(sin(arcsin(0.7)))=-0.42.設(shè)集合/={1,2},8={3,4},X=加力卜=q+6z,其中w8,z為實(shí)系數(shù)方苗2+mx+典=曲根｝,則X中所有元素之和為.【答案】-186【解析】2與Z為方程兩根由韋達(dá)定理，m=-2a.n=a2+b2則X中所有元素之和為工“以一2州+叨=-2Z…G+蘇）=-2[22/+(￡?取￡/)卜-2(18+3x25)7862 23.已知橢圓￡4+%=1（。>6>0）,其左、右焦點(diǎn)為耳（-c,0）,g（c,0）.實(shí)數(shù)a,依次構(gòu)成等比數(shù)列.設(shè)P為橢圓E上任意一點(diǎn)，/為△尸￡鳥的內(nèi)心，H>,先分別為點(diǎn)尸,/的縱坐標(biāo),則莊=

%【答案】4【解析】由題意,6?=8=/—。2—4。=0=/+6—1=0,故6= 2pipFPF設(shè)PI和不軸交于點(diǎn)A/，則—=1=,2，故JM甲/F2MPI_PK+PFS1_2布+1市—畢/+亭/_五一1”-]_2故》”+出.|%|1M2.已知正四面體月58的頂點(diǎn)。在平面a內(nèi)，頂點(diǎn)8在平面a內(nèi)的正投影為O,直線與平面a所成的角為60。.當(dāng)頂點(diǎn)4與點(diǎn)。的距離最大時(shí)，直線8與平面a所成角的正弦值為.【解析】???四邊形OR4c中，頂點(diǎn)4與點(diǎn)。的距離最大，???0,B,4C四點(diǎn)共面,設(shè)此平面為一，?：BOlafBOq。,：.。工a,如圖，過點(diǎn)。作平面垂足為〃，連接"C,設(shè)正四面體4B8的棱長為1,則在RAHCD中，CH=—BC=—.VBO±atCH"BO,則3 3CHLa過點(diǎn)。作DEJLa于E,連接CE,則NDCE就是直線與平面。所成的角,,:DH aL。且DHaa,:.DHIla.由此可得點(diǎn)。到平面a的距離等于點(diǎn)H到平面a的距離，即DE?????在&中，sinNDCE~CD~3.已知在zMBC中，角48,。所對(duì)的邊分別為a,4c,4=90。，邊BC上一點(diǎn)D滿足BD:DC=c:4b,若,4D=1,則b+c的最小值為.【解析】而=w-礪荔，，4￡>=1,c+46c+4b故1=(-^-]-c2+f—1b2,即c+4b=Mc,(c+4lj \c+4b).已知數(shù)列｛%｝共有7項(xiàng)，且a；=a1a7,S”為｛4｝的前"項(xiàng)和，滿足ZSLd+a"。"")，則滿足上述條件的數(shù)列｛%｝共有個(gè).【答案】23【解析】由2S.=a；+。.得2S^=<,+%,作差陽a“+。1)血-%「1)=0,"=2.3,4,…7,故4=-%-1或?！?4~1+1，由2,二片+0^4=0或q=1(1)%=0時(shí)，％=°，任取，而％,%,%，,只有°，°，°，0和°，1，一10兩種，故共有16種可能：

(2)%=1時(shí)，①q,q，4的值為LT」時(shí)，此時(shí)數(shù)列｛4｝有4種可能;②的值為LH時(shí)，此時(shí)數(shù)列｛%｝只有1種可能;③4，%,%的值為10.0時(shí)，此時(shí)數(shù)列｛4｝有2種可能.故共有23種可能.尸(i).已知24,…4為”次首一多項(xiàng)式P(x)的所有實(shí)數(shù)根，若干=2020+2022i(這里i為虛數(shù)單位)，則arctan/i+arctan^+-+arctan/;=.【答案】+arctan—.keZ1010【解析】記"=tanq.,則P（x）=n（x-tan，J,故1?=1萼單+.用=。壺口（8S…叫=0冊卜恪5格））Sill從而可知一cos20222020nSill從而可知一cos20222020故31*01311彳+0!\4211乙+-+3!*33114=24=左乃+虹(?1@1]^~^,左WZk=i 1010.將6x6的方格表中的12個(gè)小方格染成黑色，使得每行和每列均恰有2個(gè)黑格，則不同的染色方式共有 種.【解答】67950【解析1】記/(〃)為〃x〃時(shí)的染色方式數(shù)，令每個(gè)黑格的“朋友”黑格為和它同行或者同列的黑格，則每個(gè)黑格恰有兩個(gè)“朋友”熱格。假設(shè)其中左列的2%個(gè)黑格形成一個(gè)圈,即相鄰兩個(gè)黑格互為“朋友”黑格,第一個(gè)黑格和最后一個(gè)黑格互為“朋友”黑格.人可以取2,3,4,…劃掉這2k個(gè)黑格，會(huì)形成一個(gè)(〃-2)x(〃-左)的方格表，方法數(shù)為了(〃一女)個(gè)。因此有/(〃)= ~—?(?-l)(w-2)-(w-2)(w-3)-+1)/(?-/:)人22注意：上述等式的意義為，先在第一列找到兩個(gè)黑格，[“-1)種,然后對(duì)于靠上的黑格，找到它同行的“朋友”黑2格在哪一列，(〃-1)種,再在這一列找到另一個(gè)黑格(〃-2)種(如果k=2時(shí)，這個(gè)烈格的位置是確定的)。依次類推即可。故有當(dāng)〃22時(shí)，4- ——t?!(?-1)!2金《〃_砌2將上式中的“替換為”-1,相減可知當(dāng)〃>3時(shí)有，-ZW 小T)J/1"")?!(n-l)!(n-l)!(?-2)!2((?_2)!)21 7即/(w)=w(w-l)/(w-l)+—/?(n-iy/(w-2)由/⑴=0,/(2)=l可知"3）=6f（4）=4x3x6+gx4x9x1=90/（5）=5x4x90+1x5xl6x6=2040/（6）=6x5x2040+lx6x25x90=67950【解析2】我們考慮一個(gè)分別以6行，6列為兩個(gè)部分的二部圖，令其中一行與一列連邊當(dāng)且僅當(dāng)這一行與這一列的交點(diǎn)處的方格被染黑了.那么此二部圖中每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)均為2.于是此二部圖為一些圈的并，且圈長均不小于2.接下來我們考慮當(dāng)在兩部分中分別選定上個(gè)點(diǎn)時(shí)，使得這2%個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圈的連邊方法數(shù),我們首先確定包含于這個(gè)圈的一個(gè)匹配，共七個(gè).而注意到一個(gè)連邊方法構(gòu)成的圈恰包含兩個(gè)匹配，而每個(gè)匹配被（左-1）!個(gè)圈包含（考慮將左個(gè)匹配在圈上排列），故連邊方法共有""一"種.26g當(dāng)二部圖整個(gè)為一個(gè)長為6的圈時(shí)，有一^=43200種，2/八24小2W當(dāng)二部圖由一個(gè)長為4的圈與長為2的圈構(gòu)成時(shí)，有（C：）xgx苛=16200種;當(dāng)二部圖由兩個(gè)長為3的圈構(gòu)成時(shí)，有券x"i=7200種；當(dāng)二部圖由三個(gè)長為2的圈構(gòu)成，有=1350種.故共有43200+16200+7200+1350=67950種二、解答題（本大題共3道小題，第9題16分，第10題20分，第11題20分，共56分）1 1 , 12.已知集合。={（$,/）!$>0,x2>0,演4-A；=2k},其中％為正常數(shù),若不等式■一天X 毛）2（%一（）對(duì)任意。恒成立，試求上的取值范囿【解析】令〃=司玉，則由基本不等式，有0<〃V/.

XxXxX24k2+2=m -+2.u4it2-1記/(?)=u +2u當(dāng)人：時(shí).函數(shù)/(?)在(0,日上是增函數(shù).則/(?)</(A-2)=^-lj.矛盾.故要使/(")2(左-\).則0<%<g. 8分由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，/(")="+ +2在(0,J1-4*［上遞減.在上遞增.要使/(“)在(04-［恒有=/(犬)，則必有內(nèi)WS-4A、解得0</(4曲-2.故所求％的取值范圍為0<*41的-2. 16分.已知直線,分別與兩拋物線G：y=2RHp>0)和。2：步=46交于四個(gè)不同的點(diǎn),4(牛乂),8(三,必)，D(x39y31E(x4,y4),且乂<必<必<必.設(shè)/與x軸交于點(diǎn)A1，若AD=6BE,求皿的值.解:由題意，直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=h+/w,則卜2=2"=心呼+2p…=3=^^」［y=far+w yty2yty2m-111Mli11問理可知—H ，故 1 = 1 ,%Mm乂y2y3y4 5分從而有1 1_1 1=%-乂_/-乂=血_1)’3-乂_1乂月1乂%H%乂% BE\y2-y4\\y2y4\ 10分由于=等,％”=竿，故k k4pmyty3_3仇_2)’;嬴一返13r6攸」因此也=1A_=JJ.ME|y4| 20分11已知數(shù)列{a“},{6,}滿足q=2,4=0,%=2也=2,且對(duì)任意正整數(shù)〃23,有a"-，4=4Ta+4-2如,求卜皿|的末兩位數(shù)字.【解析】令z“=q,+4i,其中i為虛數(shù)單位，則有z“=2標(biāo)/標(biāo)2,其中〃23,4=2z2=2+2i故z“=2%(l+i)*',當(dāng)”23時(shí)。其中月，為斐波那契數(shù)列，號(hào)=B=1 5分zL+i產(chǎn)由于斐波那契數(shù)列的模周期性，可知用也為奇數(shù)(事實(shí)上凡為偶數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)3|〃)。故ze2-"(2i)率(1+i)因此|喊|=2鏟,

，加尸 _ E* 1顯然42k皿，故只需計(jì)算,招二+%”除以25的余數(shù)，由于「(25)=20,即只需考慮3^+小除以20的余數(shù)，即只需考慮巴以-1+253除以5的余數(shù)和除以8的余數(shù).由斐波那契數(shù)列的模周期性，模5具有周期20,模8具有周期12,故時(shí)21三片=l(mod5),凡叫三月三5(mod8)凡m2三用三l(mo<i5),以心三左三0(mod8)故用0