2022-2023學(xué)年江蘇高二上學(xué)期數(shù)學(xué)教材同步教學(xué)講義（蘇教版必修第一冊(cè)）2

2.3圓與圓的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：圓與圓的位置關(guān)系.圓與圓的位置關(guān)系：（1）圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn);（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個(gè)公共點(diǎn);（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒有公共點(diǎn).判定：（1）代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解.有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無解時(shí)，兩圓相離.（2）幾何法：設(shè)0a的半徑為彳，。。2的半徑為與，兩圓的圓心距為當(dāng)h—引＜d＜彳+弓時(shí)，兩圓相交;當(dāng)（+G=（/時(shí)，兩圓外切;當(dāng)彳+弓＜d時(shí)，兩圓外離；當(dāng)卜一弓|=d時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)年一弓|＞d時(shí)，兩圓內(nèi)含.知識(shí)點(diǎn)詮釋:判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運(yùn)算量小.也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定.因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法..兩圓公共弦長的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長.方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長..兩圓公切線的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種.（1）兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條：（3）兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時(shí)，無公切線.【題型歸納目錄】題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系題型二：求兩圓的交點(diǎn)題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長題型五：圓的公切線條數(shù)題型六：圓的公切線方程題型七：圓系問題【典型例題】題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系例1.（2022?廣東?汕頭市潮陽區(qū)棉城中學(xué)高二期中）已知兩圓分別為圓G：V+V=49和圓C2:x2+y2-6x-8y+9=0,這兩圓的位置關(guān)系是（ ）A.相離B.相交C.內(nèi)切D外切例2.（2022?廣西桂林?模擬預(yù)測(cè)（文））圓C：/+y2-14x=0與圓C?:（x-3）2+（y-4）2=15的位置關(guān)系A(chǔ).相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.相離例3.（2022?江蘇?高二專題練習(xí)）已知直線，：e+y-機(jī)-1=0與圓M:（x-2/+（y-2）2=4交于48兩個(gè)不同點(diǎn)，則當(dāng)弦AB最短時(shí)，圓”與圓N:x2+（y-m）2=l的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.相離 C.外切 D.相交例4.（2022?寧夏?銀川唐徐回民中學(xué)高一期中）已知圓G：x2+y2-4x-2y-5=0,圓C2:x2+y'+2x—2y-14=0,則兩圓的位置關(guān)系是（ ）A.相離 B.相交 C.內(nèi)含 D.相切例5.（2022?湖南岳陽?高二期末）圓Q:x2+y2=i與圓。2：/+〉2-6》+8丫+所=0外切，則實(shí)數(shù)m=例6.（2022,上海徐匯?高二期末）己知圓G：（x-2）~+（y-2）-=1和圓G：x-+（y-附一="（%＞。）內(nèi)切,則m的值為.例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知圓G：》2+），2=4與圓6：/+丫2-8》+6丫+帆=0外切，此時(shí)直線/:x+y=0被圓所截的弦長.【方法技巧與總結(jié)】利用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系比用代數(shù)法（即解兩圓方程聯(lián)立方程組的方法）要簡(jiǎn)捷些，但需要注意的是，我們這里所說的幾何法仍然是在解析幾何前提下的幾何法，即利用圓的方程及兩點(diǎn)間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r,再根據(jù)d與/?+八d與R—r的大小關(guān)系來判定即可.題型二：求兩圓的交點(diǎn)例8.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)時(shí)（2,-2）及圓/+/-6*=0與圓x2+V=4的交點(diǎn)，求此圓的方程.例9.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）求圓/+丫2-2》-3=0與圓/+9-4工+2丫+3=0的交點(diǎn)的坐標(biāo).例10.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）證明下列兩圓相切，并求出切點(diǎn)坐標(biāo)：C,:x2+y2+2x+2y+l=0,C,:x2+y2-6x+8y+9=0.【方法技巧與總結(jié)】直接聯(lián)立兩圓方程求交點(diǎn).題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)例11.（2022?山東聊城?二模）已知點(diǎn)尸在圓。：x?+yJ4上，點(diǎn)4（-3,0）,8（0,4）,滿足A尸_L8P的點(diǎn)戶的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2 C.1 D.0例12.（2022?陜西?西安鐵一中濱河高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2+8x+15=O,若直線y=履上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則2的取值范圍是.例13.（2022?陜西渭南?高二期末（文））已知圓C”（x-3y+（y+2）2=l與圓C?：（x-7）2+（y-l?=50—a,若圓C1與圓G有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。等于（）A.14 B.34 C.14或45 D.34或14例14.（2022?陜西漢中?高一期末）已知點(diǎn)P,。分別為圓C:x2+V=i與。：*-7）2+〉2=4上一點(diǎn)，則IR2I的最小值為（）A.4B.5C.7D.10o例15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知圓。：/+產(chǎn)=圓〃：（x-a）2+（y-l）2=l,若圓M上存在點(diǎn)47TP，過點(diǎn)尸作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,使得乙4尸8=三，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）4.[一后,后]B.[-拒，幣J C.[>/3,>/15]D.[-715,-73]U[^.>A5]例16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，圓C與圓O:x2+V=i外切，且與直線x->/5y+4=0相切，則圓C的面積的最小值為（）TOC\o"1-5"\h\zn 7rA.- 8.乃 C- D.2兀4 9例17.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A為圓C:x2+V-2x-2y-2=0上一點(diǎn)，點(diǎn)M（-2-3以4旭），/7（-2-3〃,4〃），m#〃，若對(duì)任意的點(diǎn)人，總存在點(diǎn)河，N,使得NMANN90。，則舊-〃|的取值范圍為（ ）[2,y） B.[1,2] C.|，+8） D.（0,1例18.（2022?廣東?南海中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓。:。-4）2+（丫+3）2=1和兩點(diǎn)4（—a,0）、B（a,0）（a>0）,若圓C上存在點(diǎn)尸，使得NAPB=90。，則。的最小值為（）A.1 B.6 C.3 D.4題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長例19.（2022?天津河北?二模）圓G：W+y2-2x-6y-l=0和圓。2：/+丫2—10x-12y+45=0的公共弦的長為.例20.（2022?天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）若圓Y+y2=4與圓/+/+26+4--9=0相交，且公共弦長為242，則“=.例21.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知圓+y2=4與圓C:x?+尸-x+Gy-3=0相交于A,8兩點(diǎn)，則sinNAOB=.例22.（2022?廣東肇慶?高二期末）已知圓。收+丫2=4,圓2：/+/+瓜+丫-6=0相交于A,8兩點(diǎn)，則ZAQ8=.例23.（2022?四川省宜賓市第三中學(xué)校高二期中（理））圓G-x2+y2+4x=O^^C2:x2+y2-2x-2y-2=O交于AB兩點(diǎn)，則直線的方程為.例24.（2022?江西贛州?高二階段練習(xí)（文））已知圓a：（x+3p+（y+2）2=4與圓C”（x-l）2+y2=9ffi交于A,B兩點(diǎn)，則直線A8的方程為.【方法技巧與總結(jié)】求兩圓的公共弦所在的直線方程，只需把兩個(gè)圓的方程相減即可.這是因?yàn)槿魞蓤A相交，其交點(diǎn)坐標(biāo)必須滿足相減后的方程；另一方面，相減后的方程為二元一次方程，即直線的一般方程，故此方程即為兩圓公共弦所在的直線方程，而在求兩圓的公共弦長時(shí)，則應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運(yùn)用.題型五：圓的公切線條數(shù)例25.（2022?河南?范縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓Ci：x2+y2+2x-4y+1=0,圓C2：x2+y2-4x+4y-1=0,則圓G與圓C2的公切線有一條.例26.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知直線/：ACOsa+*ina=l（04a<2i）與圓C:（x-2『+（y->5y=4相切，則滿足條件的a的個(gè)數(shù)是一個(gè).例27.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知圓。小x?+y2=16和圓O?：x?+9-6/nx-8zny+24川=0有且僅有4條公切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.（-oo,-l）u（l,+oo） B.（-1J）C.（―00,—2）<J（3,+oo） D.（—2,3）例28.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，圓C］：x?+y?+2x-6y+6=0與圓C?：

f+y2-4x+2y+4=0，貝炳圓的公切線的條數(shù)是（）TOC\o"1-5"\h\z4條 B.3條 C.2條 O.1條例29.（2022?貴州黔東南?高二期末（文））若圓/+y2=［與圓（x-aj+（y_4）2=i6有3條公切線，則正數(shù)。=（ ）A.-3 B.3 C.5 D.3或-3例30.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若圓（x-a）2+（y-l『=4（a>0）與單位圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.百 B.2 C.2& D.26例31.（2022?貴州黔東南?高二期末（理））若圓/+y2=［與圓（x-a『+（y_4）2=16有3條公切線，則正數(shù)a=.例32.（2022嚏國高二）若點(diǎn)。（0,0）,"（3,4）到直線/的距離分別為1和4,則這樣的直線/共有條.題型六：圓的公切線方程例33.（2022?全國?高考真題）寫出與圓x?+y2=i和（x-3『+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程例34.（2022?廣東廣州?高二期末）寫出與圓V+y2=i和圓（x-4y+（y+3）2=16都相切的一條切線方程例35.（2022?全國?高三專題練習(xí)）圓A:f+y2-4x+2y+l=0與圓8:/+/-6*-12>+44=0,則圓A與圓8的公切線方程為.例36.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C1和圓G均與直線/：y=丘及x軸相切，且圓C1和圓C?相切于點(diǎn)（4,2）,則兩圓心的距離|GG|=例37.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知圓6：/+/=1,圓C?:(x-4)2+y2=25,則兩圓公切線的方程為.例38.(2022?全國?高三專題練習(xí)(文))已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且斜率為無伏＞0)的直線/與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)以AF,8F為直徑的兩圓的內(nèi)公切線的方程為「，若|A8|=5,則直線/'的一般方程為.例39.(2022?全國?高二專題練習(xí))若直線/與圓G：(x+iy+y2=l,圓G：(x-l)?+V=4都相切，切點(diǎn)分別為A、B,則|陰=()A.1 B.72 C.6 D.2&題型七：圓系問題例40.過圓x2+/-2y-4=0與/+丫2-4》+2'=0的交點(diǎn)，且圓心在直線/：2x+4y-l=。上的圓的方程是例41.已知圓C +y2-2x-3=0與圓C2 +y?-4x+2y+3=0相交于A、B兩點(diǎn).(1)求公共弦4B所在直線方程；(2)求過兩圓交點(diǎn)A、B,且過原點(diǎn)的圓的方程.例42.已知圓G：x2+y2+6x-16=0C：x2+y2-4x_5=0.求證：對(duì)任意不等于-1的實(shí)數(shù)義，方程x2+y2+6x-16+/l(x2+y2-4x—5)=0是通過兩個(gè)已知圓交點(diǎn)的圓的方程.例43.已知圓C：x?+尸+4x-4y+4=0和圓C?:X。+y?+2x=0.(1)求證：兩圓相交：(2)求過點(diǎn)(-2,3),且過兩圓交點(diǎn)的圓的方程.【方法技巧與總結(jié)】求過兩直線交點(diǎn)(兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn))的直線方程(圓系方程)一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程(圓系方程).(1)直線系方程：若直線/1：4》+4丫+6=0與直線/2：4工+員.丫+6=0相交于點(diǎn)尸，則過點(diǎn)尸的直線系方程為：4(Ax+Bj+￡)+4(4x+gy+C2)=0(42+/*0)簡(jiǎn)記為：曲+2=。(片+若*0)當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為：Z,+2/2=0(不含4)（2）圓系方程：若圓C/f+V+qx+Ej+K：。與圓C2：x2+y2+￡）2x+E2y+行=o相交于A，8兩點(diǎn)，則過4,B兩點(diǎn)的圓系方程為：x1+y2+Dlx+Ety+Fl+A（x2+y2+D2x+E2y+F2）=O（A^-\）簡(jiǎn)記為：a+4c2=0（義X-I）,不含g當(dāng)；1=-1時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）/:（。-2次+（￡；-&）丫+4-瑪=0注意：與圓c共根軸/的圓系c,：c+/i/=o【同步練習(xí)】一、單選題（2022?陜西渭南?高一期末）已知圓Q：x2+y2=4,圓Q:》2+丁-2乂-2丫-4=0,則同時(shí)與圓。1和圓。2相切的直線有（）A.4條 8.2條 C.1條O.0條（2022?上海中學(xué)東校高二期末）已知圓M:x2+y2-2?x=8截直線/：x-y=0所得的弦長為后.則圓M與圓N:f+（y-l）2=4的位置關(guān)系是（）4.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知圓M的半徑為且圓M與圓C：（x-1）?+丁=1和y軸都相切，則這樣的圓河有（）2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) O.5個(gè)（2022?河南?二模（文））已知圓C：/+y2-6+2y=0與圓C2：x2+y2+?-2=0的公共弦所在直線恒過點(diǎn)P,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）（1,-1） B.（-1,-1） C.（-U） D.（1,1）（2022?陜西?銅川陽光中學(xué)高一期末）已知圓G：（x-a）2+（y-6）2=4（a,b為常數(shù)）與C2:x2+y2-2x=0.若圓心C1與圓心C2關(guān)于直線x-y=。對(duì)稱，則圓C1與C?的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交 C.內(nèi)切 D.相離（2022?湖南?長沙一中高三階段練習(xí)）若圓C：（x-l）2+y2=r2（r>0）上存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)P關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓C2：（x+2）2+（y-2）2=l±,則r的取值范圍是（ ）A.1,6+1]C.[-1,5/5] D.（-1,1]（2022?全國?高二專題練習(xí)）若圓C：/+/-6》-6丫一川=0上有至lJ（-1,0）的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）A.[-18,6] B.[-2,6]C.[-2,18] D.[4,18]（2022?全國?高三專題練習(xí)）若A/,8分別為圓G：（x+6>+（y-5）2=4與圓C2：（x-2>+（y-l）2=l上的動(dòng)點(diǎn)，尸為直線x+y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，貝的最小值為（）A.4石-3B.6C.9D.12二、多選題（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知匕eR,圓G:（x-2,+（y-/>y=16,C2:x:+y2=4,則（ ）A.當(dāng)b=l時(shí)，兩圓相交 B.兩圓可能外離c.兩圓可能內(nèi)含 d.圓a可能平分圓g的周長（2022?全國?高二）點(diǎn)P在圓￡：x2+y2=l±,點(diǎn)0在圓C2：（x-3『+（y+4）2=16上，則（ ）4A.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為B.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為3x-4y-5=。C.兩圓公切線有兩條D.|PQ|的最小值為。（2022?黑龍江?哈九中高二期末）以下四個(gè)命題正確的有（）A.直線x-2y+3=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為x+2y-3=。B.曲線G：/+y2+2x=0與曲線C2：x2+y2-4x-8y+m=0恰有三條公切線，則機(jī)=4C.圓x?+y2=4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線/:x-y+近=0的距離都等于1d.經(jīng)過點(diǎn)（i,i）且在*軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0（2022?福建廈門?高二期末）已知?jiǎng)訄A。:*-<：050）2+（丫-5m0）2=1,ae[O,27r）,則（）4.圓C與圓/+尸=4相切B.圓C與直線xsinc+ycosa-l=。相切C.圓C上一點(diǎn)M滿足的'=（（）/），則”的軌跡的長度為4兀D.當(dāng)圓C與坐標(biāo)軸交于不同的三點(diǎn)時(shí)，這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為1三、填空題（2022嚏國?高三專題練習(xí)（文））當(dāng)圓C:x2+y2-4x+2b，+2%=0的面積最小時(shí)，圓C與圓。:產(chǎn)+尸=1的位置關(guān)系是.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知圓G：x2+/+2x+3y+l=0,圓C2：x2+y2+4x+3y+2=0,則圓與圓G的位置關(guān)系是.15.（2022?安徽?高二階段練習(xí)）已知圓G：x2+（y-a）2=9與圓C2:口-。）?+：/=1有一條公共切線，則實(shí)數(shù)a的值是.（2022?天津?南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知圓G：（x-a+（y-2>=4和圓G：。-2）2+（y-l）2=2交于AB兩點(diǎn)，直線/與直線A8平行，且與圓相切，與圓a交于點(diǎn)M,N,則|MN|=.四、解答題（2022?云南?會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校高二開學(xué)考試）已知圓C:x2-6x+y2-6y+3=0,直線/:x+y-2=0是圓E與圓C的公共弦AB所在直線方程，且圓￡的圓心在直線y=2x上.（1）求公共弦AB的長度：（2）求圓E的方程.（2022?四川巴中?高二期末（文））已知圓G：/+y2+2x+4y-3=0,圓C2：x?+y?-4x-2y-9=0,（1）求圓心G到直線x-y-4=o的距離：（2）判斷圓與圓g的位置關(guān)系.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知a>0,且圓C|：x~+y--lax—2y+a—-15=0,圓C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0.分別求這兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知圓G：/+丫2=io與圓。2：x2+y2+2x+2y-14=0.（1）求證：圓G與圓C2相交；（2）求兩圓公共弦所在直線的方程；（3）求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)4（0,3）,直線/:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在直線/上.（1）若圓心C也在直線y=x-i上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點(diǎn)使|M4|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)。的取值范圍.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）若圓G：x2+y2=m與圓G：x2+V-6x-8y+16=0相外切.（1）求，”的值；（2）若圓C與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,與y軸的正半軸交于點(diǎn)B,P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在圓G上，直線附與），軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)M求證：四邊形A8NM的面積為定值.2.3圓與圓的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：圓與圓的位置關(guān)系.圓與圓的位置關(guān)系：（1）圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn);（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個(gè)公共點(diǎn);（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒有公共點(diǎn).判定：（1）代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解.有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無解時(shí)，兩圓相離.（2）幾何法：設(shè)0a的半徑為彳，。。2的半徑為與，兩圓的圓心距為當(dāng)h—引＜d＜彳+弓時(shí)，兩圓相交;當(dāng)（+G=（/時(shí)，兩圓外切;當(dāng)彳+弓＜d時(shí)，兩圓外離；當(dāng)卜一弓|=d時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)年一弓|＞d時(shí)，兩圓內(nèi)含.知識(shí)點(diǎn)詮釋:判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運(yùn)算量小.也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定.因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法..兩圓公共弦長的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長.方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長..兩圓公切線的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種.（1）兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條：（3）兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線：（5）兩圓內(nèi)含時(shí)，無公切線.【題型歸納目錄】題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系題型二：求兩圓的交點(diǎn)題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長題型五：圓的公切線條數(shù)題型六：圓的公切線方程題型七：圓系問題【典型例題】題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系例1.（2022?廣東?汕頭市潮陽區(qū)棉城中學(xué)高二期中）已知兩圓分別為圓G：x2+V=49和圓C2:x2+y2-6x-8y+9=0,這兩圓的位置關(guān)系是（ ）A.相離B.相交C.內(nèi)切D外切【答案】B【解析】由題意得，圓G圓心（0,0）,半徑為7；EIC2:（x-3）2+（y-4）2=16,圓心（3,4）,半徑為4,兩圓心之間的距離為出2+4?=5，因?yàn)?-4<5<7+4,故這兩圓的位置關(guān)系是相交.故選:B.例2.（2022?廣西桂林?模擬預(yù)測(cè)（文））圓G：x2+y2_14x=O與圓。2：。-3尸+（丫-4）2=15的位置關(guān)系為（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.相離【答案】A【解析】由C1：x2+y2-i4x=OV/C2：（x-3）2+（y-4）2=15,可得圓心G（7,O），G（3,4）,半徑4=7,6=岳，則|C￡|=J（7_3y+（O_4）2=40,且與一?=7—后,6+用=7+/，所以<202|<6+片,所以兩圓相交.故選：A.例3.（2022?江蘇?高二專題練習(xí)）已知直線/：ntr+y-M-l=O與圓M:（x-2）2+（y-2）2=4交于A,8兩個(gè)不同點(diǎn)，則當(dāng)弦A8最短時(shí)，圓Af與圓7:/+（丫-m）2=1的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.相離 C.外切 D.相交【答案】D【解析】易知直線/：小+丫-5-1=。過定點(diǎn)P（1,1）,弦A8最短時(shí)直線/垂直PM，又&,=丁7=1，所以1,（一"）=-1'解得zn=l,此時(shí)圓N的方程是x2+（y-l）2=4.兩圓圓心之間的距離MN=7（2-0）2+（2-1）2=75，乂2-1<后<2+1,所以這兩圓相交.故選：D.例4.（2022?寧夏?銀川唐徐回民中學(xué)高一期中）已知圓G：/+y2-4x-2y-5=0,圓C2:x2+/+2x-2y-14=O,則兩圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交 C.內(nèi)含 D.相切【答案】B【解析】由題設(shè)，G：（x-2）2+（y-l）2=10,C2：（jt+l）2+（y-l）2=16,.??G（2,l）,半徑；；=而；半徑4=4；二.“-/；<|GG|=3<a+弓，即兩圓相交.故選：B例5.（2022?湖南岳陽?高二期末）圓Q:/+y2=i與圓O2：x2+y2-6x+8y+m=0外切，則實(shí)數(shù)加=【答案】9【解析】圓01的圓心q（0,0）,半徑1=1,圓。2的圓心a（3,Y）,半徑二而，則|qq|=5根據(jù)題意可得：|aa|=/i+G即5=l+j25-m,，m=9故答案為：9.例6.（2022?上海徐匯?高二期末）已知圓0?-2）2+（丫-2）2=1和圓6：丁+（卜-機(jī)）2=療（團(tuán)>0）內(nèi)切,則m的值為.7【答案】42【解析】圓C的圓心為（2,2）,半徑為4=1,圓C?的圓心為（0,m）,半徑為弓=m,所以兩圓的圓心距d=J（2-Oy+（2-/n）2,又因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，有d=J（2-0）-+（2_/n）-=帆_"，7解得,"=萬.7故答案為：2例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知圓。1：/+丁=4與圓（72：/+丫2-8犬+6'+機(jī)=0外切，此時(shí)直線/:x+y=0被圓G所截的弦長.【答案】后【解析】由題可知：C,:x2+/=4C2:x2+y2-Sx+6y+m=0,即(x-4『+(y+3)?=25-m

且25-機(jī)>0=v25由兩圓向夕卜切可矢口J（4-0）2+（-3-0）2=2+J25-/W，解得zn=16所以G：（x-4y+（y+3）2=9G到直線的距離為4=匕｝=-1,設(shè)圓G的半徑為尺VI2+12V2則直線，：x+y=O被圓C?所截的弦長為2VF1故答案為：【方法技巧與總結(jié)】利用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系比用代數(shù)法（即解兩圓方程聯(lián)立方程組的方法）要簡(jiǎn)捷些，但需要注意的是，我們這里所說的幾何法仍然是在解析幾何前提下的幾何法，即利用圓的方程及兩點(diǎn)間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r,再根據(jù)d與R+r、d與R—r的大小關(guān)系來判定即可.題型二：求兩圓的交點(diǎn)例8.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)/（2,-2）及圓x2+V-6x=0與圓Y+y2=4的交點(diǎn),求此圓的方程.【解析】聯(lián)立/+9-6*【解析】聯(lián)立/+9-6*=0與x2+/=4,解得:2x=—3八廠或，4V2y= ： 32X——34亞y= 3（2 、?即兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)為3，-^—與4+4+2D-2E+F=0設(shè)圓的方程為:W+y2+Dx+e），+尸=設(shè)圓的方程為:W+y2+Dx+e），+尸=0,將點(diǎn)坐標(biāo)代入得:3%+2。+逑e+尸=。3衛(wèi)+2。一逑E+尸1993 3=0。=-3得：,E=0,所以此圓的方程為：W+y2-3x-2=0.F=-2例9.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）求圓丁+/-2犬-3=0與圓Y+y2-4x+2y+3=0的交點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】x2+y2-2x-3=0由題設(shè)，(2 , ?相減可得y=x-3,x2+y-4x+2y+3=0所以x2+(x-3)2-2x-3=2x2-8x+6=0,解得x=1或x=3,當(dāng)x=］時(shí)，J=1-3=-2；當(dāng)x=3時(shí)，y=3-3=0；

所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)、(3,0).例10.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))證明下列兩圓相切，并求出切點(diǎn)坐標(biāo)：C,:x2+/+2x+2y+l=0,C2:x2+y2-6x+8y+9=0.【解析】Cl：x2+y2+2x+2y+l=0^(x+l)2+(y+l)2=l,所以圓心為G(-1,-1),半徑為「1；G：/+y2_6x+8y+9=0n(x-3)2+(y+4)2=16,所以圓心為G(3，T)，半徑為0=4；7+y2+2x+2y+l=0,解價(jià)x2+y2-6x+8y+9=7+y2+2x+2y+l=0,解價(jià)x2+y2-6x+8y+9=08,故切點(diǎn)為信+5【方法技巧與總結(jié)】直接聯(lián)立兩圓方程求交點(diǎn).題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)例11.(2022?山東聊城?二模)已知點(diǎn)尸在圓。：/+丁=4上，點(diǎn)A(—3,0),B(0,4),滿足的點(diǎn)產(chǎn)的個(gè)數(shù)為()4.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)尸(x,y),則/+丁=4,且Q=(x+3,y),即=(x,y-4),由APLBP，得AP-BP=x(x+3)+y(y-4)=x2+y2+3x-4y=0,TOC\o"1-5"\h\z3c - 25即(x+彳>+(y-2>=：■,45故點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓心為(-=,2)、半徑為三的圓，25 5 9 5 1 1 5 9則兩圓的圓心距為;，半徑和為:+2=(,半徑差為：-2=；,仃(<?<三,所以兩網(wǎng)相交，滿足這樣的2 2 2 2 2 2 2 2點(diǎn)P有2個(gè).故選：B.例12.(2022?陜西?西安鐵一中濱河高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)(理))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為/+y2+8x+i5=O,若直線y=日上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則4的取值范圍是.【答案】_走“4逆,3 3【解析】由丁+>2+8工+15=0可得(工+4)2+丫2=],因此圓。的圓心為C(Y,O),半徑為1,若直線y=床上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，I為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，只需點(diǎn)C(7,0)到直線y=fcr的距離d=|^41+1=2,TOC\o"1-5"\h\z即弘2?1，解得4k4?,,3 3所以上的取值范圍是-3wav走,，3 3故答案為：一立WA4走.3例13.(2022?陜西渭南?高二期末(文))已知圓C1：(x-3>+(y+2)2=l與圓C?：(x-7y+(y-l)2=5O-a,若圓G與圓C?有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。等于()4.14 B.34 C.14或45 D.34或14【答案】D【解析】圓G：(x_3>+(y+2)2=l的圓心為G(3,-2)/=1,圓C?：(x_7y+(y_l)2=50_a的圓心為6(7,1)，4=>^^,|C,C2|=7(3-7)2+(-2-l)2=5,因?yàn)閳AG與圓C?有且僅有?個(gè)公共點(diǎn)，故圓C與圓C,相內(nèi)切或外切，故”目=5或0+1=5,從而4=6或4=4,所以/;=j50-a=6或4=、50-a=4，解得：a=34或a=14所以實(shí)數(shù)。等于34或14故選：D例14.(2022?陜西漢中?高一期末)已知點(diǎn)P,。分別為圓C:Y+y2=l與。:(x-7)2+y2=4上一點(diǎn)，則1尸。1的最小值為()A.4 B.5 C.7 D.10【答案】A

【解析】圓C的圓心坐標(biāo)為（0,0）,半徑弓為1；圓￡）的圓心坐標(biāo)為（7,0）,半徑弓為2；所以兩圓的圓心距〃=7-0=7>4+弓，兩圓外離，所以1尸。1.=7—1；一弓二4,故選:A.o例15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知圓O:f+y2=],圓〃：,2<\la2+\<4,2<\la2+\<4>Aae[-715,-^]U[^,715].故選：D.例16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系x°y中，圓C與圓O:/+丁=1外切，且與直線x-x/^y+4=0相切，則圓C的面積的最小值為（nA.—4【答案】A|4|【解析】由題可知，（。,0）到總線》-立了+4=0的也離為小「+加『=2,乂閃為圓。外切，所以圓TTP，過點(diǎn)尸作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,使得= 則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）A.715]B.[-x/3,>/3] C.[V3,V15] D.[-岳而]【答案】D3 一一【解析】由題可知圓O的半徑為：，圓M上存在點(diǎn)尸，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,使得NAPB=60。，則NAPO=30。，在RtZ\R4O中，|PO|=3,所以點(diǎn)P在圓》2+丁=9匕由于點(diǎn)P也在圓M上，故兩圓有公共點(diǎn).D.2萬乂圓MD.2萬C的直徑的最小值為2-1=1,所以圓C的面積的最小值為;r?[；]=?.故選：A.例17.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A為圓C:x2+y2-2x-2y-2=0上一點(diǎn)，點(diǎn)A/（-2-3犯4"。，N（-2-3〃,4〃），mH〃，若對(duì)任意的點(diǎn)A,總存在點(diǎn)M,N,使得NM4NN90。，則舊-〃|的取值范圍為（ ）A.[2,+<?） 8.[1,2] C.■|，+0°] D.[^0,|【答案】A【解析】由題可得點(diǎn)M，N在直線/：4x+3y+8=0上，圓C的方程為（x-iy+（y-l）2=4,則圓心C（l,l）到直線/：4x+3y+8=0的距離4=竽W=3,所以圓C上的點(diǎn)到直線/的距離的范圍為[1,5].因?yàn)閷?duì)任意的點(diǎn)A,總存在點(diǎn)M,N,使得NAMNN90。，所以以MN為直徑的圓包含圓C,故|孫210,所以=J（-2-3m+2+3”）-+（4m-4〃）-=5|/n-n|>10<得帆一故選：A.例18.（2022?廣東?南海中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓C:（x-4）2+（y+3f=l和兩點(diǎn)4一0,0）、B（a,0）（a>0）,若圓C上存在點(diǎn)尸，使得NAPB=90。，則。的最小值為（）A.1 B.6 C.3 D.4【答案】D【解析】由NAPB=90。得點(diǎn)P在圓x2+y2=/上，所以，點(diǎn)尸在圓*2+/=/上，又在圓c上，所以，兩圓有交點(diǎn)，因?yàn)閳Ax2+y2=/的圓心為原點(diǎn)。，半徑為。，圓C的圓心為（4,—3）,半徑為1.所以，|a—1區(qū)OC<a+l9gp|tz—l|<5<a4-l=>4<a<6所以，a的最小值為4.故選：D題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長例19.（2022?天津河北?二模）圓￡:/+>2-2犬-6丫-1=0和圓。2：*2+/-1（次-12丫+45=0的公共弦的長為.【答案】2幣【解析】由圓G：Y+y2-2x-6y-l=0①，即G:（x-if+（y-3>=11,所以圓心G（l,3）,半徑「=布；又圓G：/+/-1012產(chǎn)45=（^,①一②得8x+6y-46=0,即公共弦方程為4x+3y-23=0,一. . |4xl+3x3-23|圓心G到宜線4x+3y-23=0的距離d=~-==尸」=2,V42+32所以公共弦長為/=2爐方=2yl網(wǎng)2-22=2幣;故答案為：2幣例20.（2022?天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）若圓x?+y2=4與圓/+/+2公+4心-9=0相交，且公共弦長為20，貝1心=，【答案】土典4【解析】圓x?+y2=4與圓/+>2+2依+4令-9=0的方程相減即為公共弦所在直線方程：2or+4〃y-5=0,圓f+y2=4圓心（0,0）到公共弦距離d=/ 、 =^=，〃"+16。22yleI?則公共弦長度為2&=2>/^/，解得。=士畫.故答案為：士典.4例21.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知圓O:Y+y2=4與圓c：x2+y2-x+Gy—3=。相交于a,b兩點(diǎn),則sinZAOB=.【答案】叵8【解析】因?yàn)閳AO：x?+y2=4與圓C:x2+y2-x+6y-3=0相交于A,B兩點(diǎn)，所以直線AB的方程為：（爐+丫）-勺一⑺+9-丫+6丫一？）：。，即了一后y-l=0,所以圓心。（0,0）至U弦A8的距離為〃=；,所以弦|AB卜2y/22-d2=岳,.... 4+4—15 7所以在aAOB中，|C)H=|O@=2,由余弦定理得cosNAO8=：:zXzXZ o故答案為：叵【答案】120°【解析】?jī)蓤A方程相減得直線A8的方程為J?x+y-2=0,由嚴(yán))42得出芭=0，W=6，即A(0,2),8(6,-D，OA=2,OB=y/3+\=2,AB=<3+9=2道,cosZAOB=羨：］；=-g，則NAOB=120°.故答案為：120。例23.(2022?四川省宜賓市第三中學(xué)校高二期中(理))圓G：x2+V+4x=0與圓C2：f+y2-2x-2y-2=0交于AB兩點(diǎn)，則直線A3的方程為.【答案】3x+y+l=0【解析】?jī)蓤A方程作差可得：6x+2y+2=0,即3x+y+l=0,直線A8的方程為：3x+y+l=0.故答案為：3x+y+l=0.例24.(2022?江西贛州?高二階段練習(xí)(文))已知圓C"(x+3p+(y+2)2=4與圓C”(x-lp+y2=9相交于A,8兩點(diǎn)，則直線A8的方程為.【答案】8x+4y+17=0【解析】由圓圓C：(x+3)2+(y+2『=4可得f+/+6x+4y+9=0,由圓C2：(x-1)2+y2=9nJ^x2+y2-2jc-8=0,聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，x2+聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，x2+y2+6x+4y+9=0x2+y2-2x-8=O可得:8x+4y+17=0,即直線A5的方程為8x+4y+17=0,故答案為：8x+4y+17=0.【方法技巧與總結(jié)】求兩圓的公共弦所在的直線方程，只需把兩個(gè)圓的方程相減即可.這是因?yàn)槿魞蓤A相交，其交點(diǎn)坐標(biāo)必須滿足相減后的方程；另一方面，相減后的方程為二元一次方程，即直線的一般方程，故此方程即為兩圓公共弦所在的直線方程，而在求兩圓的公共弦長時(shí)，則應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運(yùn)用.題型五：圓的公切線條數(shù)例25.(2022?河南?范縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知圓Ci：x2+y2+2x-4y+1=0,圓C2：x2+y2-4x+4y-1=0,則圓G與圓C2的公切線有一條.【答案】3【解析】G：(x+1)2+(y-2)2=4,C2：(x-2)2+(y+2)2=9, C[=J(-1-2,+[2-(-2)了=5=4+4,兩圓外切，故有3條公切線.故答案為：3.例26.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知直線/：M：osa+)5ina=l(04a<2])與圓C:(x-2y+(y-石，=4相切，則滿足條件的。的個(gè)數(shù)是一個(gè).【答案】3【解析】由已知直線/：xcosa+ysina=l(Q,a<2兀),1,則原點(diǎn)到直線/的距離為/., 2=1，vsin^a+cosa由宜線/與圓C:(x-2)，(y-s5)2=4相切，則圓心(2,6)至IJ宜線/的距離為2,滿足條件的直線i即為圓/+y2=1和圓(x-2)2+(y-@2=4的公切線,?.?圓/+丁=1和圓*_2)2+("右)：!=4外切,..?這兩個(gè)圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線,...滿足條件的直線/有3條.故答案為：3.例27.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知圓。|：f+y2=16和圓O?：x2+y2-f>mx-Smy+24m2=0WM僅有4條公切線，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()A.(-oo,-l)u(l,+oo) B.(-1.1)C.(f,-2)53*) D.(-2,3)【答案】A【解析】圓。i：/+丁=16的圓心q(0,0),半徑｛=4,圓。2：x2+y2-6mx-Smy+24m2O2(3/n,4/w),半徑/5=|同根據(jù)題意可得，圓。I、。2相離，則|O&|>%+G即5網(wǎng)>4+|同Aw?(?,1)U(L+?)故選：A.例28.(2022?全國?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xQy中，圓C：x?+產(chǎn)+2x-6y+6=0與圓C?：x2+y2-4x+2y+4=O,則兩圓的公切線的條數(shù)是()4條 B.3條 C.2條 O.1條【答案】A【解析】圓G：(x+1)~+(y—3尸=4的圓心G(—1,3),半徑4=2,圓C?:(x—2廠+(y+1)~=1的圓心G(2,—D,半徑￡=1,|C,C2kV(-l-2)2+[3-(-l)]2=5.顯然|CC2l>4+4，即圓C1與圓C2外離，所以兩圓的公切線的條數(shù)是4.故選：A例29.(2022?貴州黔東南?高二期末(文))若圓/+丫2=1與圓(x—ap+Q—4『=16有3條公切線，則正數(shù)。=( )A.-3 B.3 C.5 D.3或-3【答案】B【解析】由題可知兩圓外切，又圓V+y2=i的圓心為(0,0),半徑為1,圓(》-。)2+(丫-4)2=16的圓心為（a,4）,半徑為4?.".yja2 =5，/.a=±3?又a>0,，a=3.故選：B.例30.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若圓（x-ay+（y-l）2=4（a>0）與單位圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.y/3 B.2 C.141 D.2G【答案】C【解析】由題，兩圓恰有三條公切線，說明兩圓為外切關(guān)系（兩條外公切線，一條內(nèi)公切線），因此圓心距-Ja2+12=2+1，結(jié)合a>0解a=2y-故選：C.例31.（2022?貴州黔東南?高二期末（理））若圓V+y2=l與圓（x-a『+（y-4）2=16有3條公切線，則正數(shù)a=.【答案】3【解析】?jī)蓤A有三條公切線，則兩圓外切，，后不=5二。=±3,又。>。，二。=3故答案為：3例32.（2022唾國高二）若點(diǎn)0（0,0）,M（3,4）到直線/的距離分別為1和4,則這樣的直線/共有條.【答案】3【解析】以。為圓心，1為半彳仝長的圓。方程為/+丁=1,以M為圓心，4為半徑的圓M方程為（x-37+（y-4）2=16,兩圓的圓心距| =J9+16=5=1+4,所以兩圓相外切，有三條公切線.所以滿足條件的直線/共有3條.故答案為：3.題型六：圓的公切線方程

例33.(2022?全國?高考真題)寫出與圓V+y2=i和(x-3y+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程3 5 7 25【答案】y=--x+-^y=—x--^x=-\【解析】圓/+/=1的圓心為。(0,0),半徑為1,圓*-3)2+(尸4)2=16的圓心。為(3,4),半徑為4,兩圓圓心距為J3?+4?=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,如圖,4 3 3當(dāng)切線為/時(shí)，因?yàn)锳四=針?biāo)匀?"，設(shè)方程為y=-》+?”0)O到/的距離"O到/的距離"4=1165 3 5解得廣’所以/的方程為當(dāng)切線為時(shí)，設(shè)直線方程為h+y+p=。，其中p>0,k<0,由題意，"+4+由題意，"+4+p|=4

Jl+公k=~—2425p=—247 25—x 24 24當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為x=-l,【答案】y=l或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0【解析】圓W+y2=l的圓心為。（0,0），半徑為1;圓^一4）2+（丫+3）2=16的圓心為。（4,一3）,半徑為4,圓心距為|。。=5,所以兩圓外切，如圖，有三條切線人,44.易得切線4的方程為y=i.3 4 4因?yàn)?，。。，且限=一；，所以4=；，設(shè)= + 即4x-3y+3A=0,4 3 3則0（0,0）至此的距離網(wǎng)=1，解得*（舍去）或一，所以4：4x-3y-5=0,3可知3可知4和4關(guān)于。。：y=對(duì)稱，聯(lián)立“3v=x4＞解得y=1在4上任取一點(diǎn)（0,1）,設(shè)其關(guān)于oc的對(duì)稱點(diǎn)為（如屁）,%+1二%+1二2%-1x玉)3%—X—42 …,解得，-124257251 24 241 24 24則勺"貨7=-虧，所以直線4：y-i=-虧- +一253,即24x+7y+25=0,綜上，切線方程為y=l或24x+7y+25=o或4x-3y-5=0.故答案為：y=l或24x+7y+25=0或4x-3y-5=04x-3y-5=0.【答案】x=4,24x-7y-5=0,(3如-7卜-8丫+48-8如=0或卜歷+7卜=8丁-48-8q=0【解析】A:x2+y2-4x+2y+l=0,圓心A（2,-l）,半徑｛=2；B:x2+y2-6x-12y+44=0,圓心3(3,6),半徑4=1,因?yàn)閮蓤A的圓心距|AB|=J(2-3『+(-1-6)2=5應(yīng)>/J+4,所以兩圓相離，即圓A與圓8的公切線有4條，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，x=4與兩圓均相切；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)丫=履+8，即丘-y+b=0,.Jk2+1 7所以圓A與圓8的公切線方程有24x-7y-5=0,@如一7卜一8、+48-81=0或卜歷+7)x=8y-48-8屈=0,故答案為：x=4,24x-7y-5=0,(3>/?T-7)x-8y+48-8歷=0或卜如+7卜=8丫-48-8如=0例36.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知圓G和圓G均與直線/：y=h及x軸相切，且圓C1和圓G相切于點(diǎn)(4,2),則兩圓心的距離16Gl=.【答案】5【解析】【答案】5【解析】如圖:y線/：y=h的y線/：y=h的切點(diǎn),點(diǎn)E為圓G和圓G切點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別為圓G和圓C?和直則點(diǎn)E必在ZxOM的角平分線上,設(shè)Ct（2m,/n）,C,（2n,n）,n>m>0可得zn+〃=5,mn可得zn+〃=5,mn=5,C2:（x-2n）2 =（4-2n）'+（2-n）',[CjCjI- +（mj— =y/5x+—4mn=y/5x《5。-4x5=5故答案為:5.例37.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知圓G：/+y2=],圓g：(x-4)2+/=25,則兩圓公切線的方程為.【答案】x+l=0【解析】解析圓G：f+y2=i,圓心為(0,0),半徑為1：圓C2：（x-4）2+y2=25,圓心為（4,0）,半徑為5.易知兩圓內(nèi)切，切點(diǎn)為(7,0),又兩圓圓心都在x軸上,所以兩圓公切線的方程為x=-l,即x+l=0.

故答案為：x+l=O例38.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)尸且斜率為無仇>0）的直線/與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)以AF,8F為直徑的兩圓的內(nèi)公切線的方程為，，若|A8|=5,則直線/'的一般方程為.【答案】x+2y_l=0【解析】由題可得尸（1,0），故直線/的方程為y=k（x—l）伏>0）,設(shè)A（$x）,B（x,,y2）.由消,y=4x去y可得公產(chǎn)一（2公+4卜+公=0,所以演+三=嗎9，所以[48|=|4目+忸曰=（3+1）+仇+1）=&+&+2=竺4=5,解得&=2（負(fù)值舍去），所以直線/,的斜率為-；,故直線/’的方程為'=-；（》-1）,即x+2y-l=0.例39.（2022?全國?高二專題練習(xí)）若直線/與圓G：（x+iy+y2=l,圓G：（x-l『+y2=4都相切，切點(diǎn)分別為A、B,則|陰=（）A.1 B.72 C.>/3 D.2>/2G【答案】C【解析】如下圖所示，設(shè)直線/交x軸于點(diǎn)例，G由于直線/與圓C,:(x+l)2+y2=1,圓G：(x-i)2+y2=4都相切，切點(diǎn)分別為A、B,則AC|_L/,BC211,ACXHBC2,?.?忸G|=2=2|ACj,.?<為MC)的中點(diǎn)，r.A為8M的中點(diǎn)，，|A/G|=|￡G|=2,由勾股定理可得IA8|= =故選：C.題型七：圓系問題例40.過圓x2+y2-2y-4=0與x2+y2-4x+2y=0的交點(diǎn)，且圓心在直線/：2x+4y-l=0上的圓的方程是【答案】x2+y2-3x+y-l=O【解析】設(shè)圓的方程為f+y2-4x+2y+〃f+y2-2y-4)=0(/lr-l),則(l+/l)x2_4x+(l+2)y2+(2_2/l)y_4/i=0,即x2+y2~T~:x+~r~T~y~~r~T=^'所以圓心坐標(biāo)為(7■彳，?■一］，把圓心坐標(biāo)p代入2x+4y-l=。，可得義=!，所以所求圓的方程為x2+y2-3x+.v-l=O.故答案為：x2+/-3x+y-l=O.例41.已知圓G：x2+y2-2x-3=0與圓C2：x2+V-4x+2y+3=0相交于A、8兩點(diǎn).(1)求公共弦A8所在直線方程：(2)求過兩圓交點(diǎn)A、B,且過原點(diǎn)的圓的方程.【解析】(1)x2+y2-2x-3=0,①X2+9-4x+2y+3=0,(2)①-②得2x-2y-6=0即公共弦A8所在直線方程為x-y-3=0.(2)設(shè)圓的方程為父+y2-2x-3+A^x2+y2-4x+2y+3)=0即(1+A)x2+(l+A)/-(2+4A)x+22y-3+32=0因?yàn)閳A過原點(diǎn)，所以-3+32=0,2=1所以圓的方程為x2+y2-3x+y=0例42.已知圓弓：/+卜2+6》-16=06：/+/2-以-5=0.求證：對(duì)任意不等于-1的實(shí)數(shù)2,方程x2+y2+6x-16+4(x2+y2-4x-5)=0是通過兩個(gè)已知圓交點(diǎn)的圓的方程.【解析】若(八")是圓C|、圓C2的交點(diǎn)坐標(biāo),則融+〃2+6/n-16=0且病+〃2-4m-5=0，所以(根,〃)必在％2+丫2+6*-16+2(/+丫2_4*-5)=0上,又x2+y?+6x—16+丸（彳~+y?-4x_5j=（1+A）x2+（1+A）y~+（6—4A）x—16—5/1=0,所以（x+長++y2="卷式，則在谷-1時(shí)9（1+/+*方程表示圓，1+1 （1+團(tuán) 飛+團(tuán)廠一>°綜上，對(duì)任意不等于-1的宗數(shù)4,方程V+y2+6x-16+4丁+爐-4》-5）=0是通過兩個(gè)已知留女*的圓的方程.例43.已知圓C:/+/+4x-4y+4=0和圓C?:丁+y?+2x=0.（1）求證：兩圓相交；（2）求過點(diǎn)（-2,3）,且過兩圓交點(diǎn)的圓的方程.【解析】（I）證明：?.?圓G：W+y2+4x-4y+4=。，g|J（x+2）2+（y-2）2=4,表示以G（-2,2）為圓心，半徑等于2的圓，圓G：x2+y2+2x=O,即（x+lp+y2=],表示以G（—L0）為嵐I心，半徑等于1的圓，所以兩圓的冏心距CC=VU4=V5.大J：兩依I的半徑之差且小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交.（2）設(shè)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程為￡+/+敘-今+4+；1卜2+/+2x）=0.把點(diǎn)（一2,3）代入，求得4=；.故所求圓的方程為丁+八4工-4丫+4+#2+9+2,=0,■ ■7即x2+y2+—x-3y+3=0.【方法技巧與總結(jié)】求過兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）.（1）直線系方程：若直線4：Ax+4y+G=o與直線/2：&》+鳥丫+。2=0相交于點(diǎn)P，則過點(diǎn)尸的直線系方程為：4（Ax+4y+G）+4（&x+B2y+G）=0（42+&W0）簡(jiǎn)i己為：44+為2=o（42+若片0）當(dāng)440時(shí)，簡(jiǎn)記為：/1+與2=。（不含4）（2）圓系方程：若圓G：x2+y2+2x+6y+E=0與圓6：/+丫2+。/+&丫+瑪=0相交于A,B兩點(diǎn)，則過A,8兩點(diǎn)的圓系方程為：x2+y2+Dlx+Ely+Fl+A(x2+y2+D2x+E2y+F2)=Oa^-1)簡(jiǎn)記為：C,+/IC,=O（A*-1）,不含C2當(dāng);1=-1時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）/：（A-a）x+（￡-E2）y+6-6=。注意：與圓c共根軸/的圓系「<+與=0【同步練習(xí)】一、單選題（2022?陜西渭南?高一期末）已知圓。］：x?+V=4,圓O?:丁+y。-2x-2y-4=0,則同時(shí)與圓01和圓。2相切的直線有（）4.4條 B.2條 C.1條 D0條【答案】B【解析】圓。2的圓心為2（1,1），半徑為e=木：圓。1的圓心為q（o,o）,半徑為弓=2,因?yàn)閘aakJF+f=&,4-止木-兒+釬遙+2,所以Jr|<|QQ|<q+i,即圓。?和圓4相交,則同時(shí)與圓Oi和圓。2相切的直線有2條.故選：B（2022?上海中學(xué)東校高二期末）已知圓M:x2+y2-2ar=8截直線，:x-y=0所得的弦長為后.則圓M與圓N:x2+（y-iy=4的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】EbAf:x2+y2-2ax=8,即（x-a）~+丁=8+/,故圓心M（a,0）,半徑上=J8+6,所以點(diǎn)M到直線/：x-y=0的距離"=』==』￡,yj\+1v2故2j或-，=后,即2,8+/一、=后,解得：a=±l；所以“（土L0）,“3；乂N:X?+（,—］）-=4,圓心N（0,1）,rN=2,所以|mn|=J（±iy+［=血,且匕-力|=1<0<5=%+不,即圓M與圓N相交，故選：B.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知圓M的半徑為且圓M與圓C：（x-爐+步=1和y軸都相切，則這樣的圓M有（）2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) O.5個(gè)【答案】C【解析】圓C：（x-iy+V=l和y軸相切于原點(diǎn)，內(nèi)切時(shí)圓M只能在圓C內(nèi)部，因此相外切的圓M位于.V軸右側(cè)在x軸上方、下方各1個(gè)，位于y軸左側(cè)切于原點(diǎn)的1個(gè)；相內(nèi)切的圓必過原點(diǎn)，有1個(gè)，共4個(gè).故選：C.4.（2022?河南?二模（文））已知圓匕：/+丁-履+2y=0與圓C2：r+V+外-2=0的公共弦所在直線恒過點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）A.（1,-1） B.（—1,—1） C.（T，l） D.（1,1）【答案】A【解析】由x?+y2-fcv+2y=0,x2+y2+ky-2=0兩式相減得公共弦所在直線方程為：kx+（k-2）y-2=0,分別取k=0歡=2,得[了二21°,解得：即P。,-1）[2x-2=0 （x=l故選：A（2022?陜西?銅川陽光中學(xué)高一期末）已知圓G：（x-a）2+（y-6）2=4（a,b為常數(shù)）與C2:x2+y2-2x=0.若圓心C1與圓心C?關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱，則圓G與C2的位置關(guān)系是（）4.內(nèi)含 B.相交 C.內(nèi)切 D.相離【答案】B【解析】G：（x-i）2+y2=i,GO，。），半徑為廠=1,G（1，。）關(guān)于直線x-y=o的對(duì)稱點(diǎn)為（0,1）,即C/（。,/）,所以。=0,6=1,圓CI半徑為R=2,|C|C2|=\J(\—0)'+(0—1)'=>/2，乂R—r=1<-42<3=R+r，所以兩圓相交.故選：B.(2022?湖南?長沙一中高三階段練習(xí))若圓C1：(x-l)2+y2=r2(r>0)上存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓G：(x+2)2+(y-2)2=l±,則"的取值范圍是( )A.[有-1,6+1] B.(石-1,括]C.[-網(wǎng) D.(-1,1]【答案】A【解析】圓G關(guān)于>軸的對(duì)稱圓為圓C,,其方程為5+1尸+丁=/，根據(jù)題意，圓c,與圓G有交點(diǎn)，又圓Cj與圓G的圓心距為4=石，要滿足題意，只需|，-1區(qū)右wr+l.解得廣€[石-1,石+1]故選：A.(2022?全國?高二專題練習(xí))若圓C：/+y2-6x-6y-，"=0上有至|J(-1,O)的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)相的取值范圍為()A.[—18,6] B.[—2,6]C.[-2,18] D.[4,18]【答案】C【解析】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-3『+(y_3)2=m+18,所以m>-18.因?yàn)閳AC上有到(-1,0)的距離為1的點(diǎn)，所以圓C與圓C'：(x+l?+y2=i有公共點(diǎn),所以他+18-1卜|CC'|4|〃+18+4.因?yàn)閨CC'|=J(3+l『+32=5，所以+ 卜54曲+18+1],解得—2</n<18.故選：C.(2022?全國?高三專題練習(xí))若N分別為圓G：(x+6>+(y-5)2=4與圓G：(x-2)2+(y-l)2=l上的動(dòng)點(diǎn)，尸為直線x+y+5=o上的動(dòng)點(diǎn)，則|pM+|pn|的最小值為（）A.475-3DA.475-3D.12B.6C.9易得圓C1圓心為（-6,5）半徑為2,|員1GI園心為（2,1）半校為I,設(shè)網(wǎng)G網(wǎng)心（ab）辛彳仝為1,（。力）弓（2,。關(guān)于直線x+y+5=0對(duì)稱,HI…HI…解得 + +5=02 2；二［,如圖所示，要使仍叫+|叫最小，則|PM|+|AW|=|PG|+|PG卜2-1=|“|+|段|-3=|C￡|-3=9.故選：C.二、多選題(2022?全國?高二專題練習(xí))已知6eR,圓C；:(x-2)2+('-6)?=16,C2:x2+y2=4,則( )A.當(dāng)b=A.當(dāng)b=l時(shí)，兩圓相交B.兩圓可能外離C.兩圓可能內(nèi)含D.圓G可能平分圓G的周長【答案】AB【解析】圓C1的圓心為（2,6）,半徑為弓=4,圓G的圓心為（。，0），半徑為4=2,所以|C￡|="+。2,i]-r2=2,rt+r2=6,當(dāng)b=l時(shí)，|GG|=x/^w(2,6),所以兩圓相交，故A正確；因?yàn)閨￡；6|="^22=4-弓，所以兩圓可能外離，不能內(nèi)含，故8正確C錯(cuò)誤；圓C1的一般方程為Y+y2-4x-2勿+/-12=0,所以兩圓的公共弦所在直線方程為4x+2切-"+8=0,若圓C?平分圓G的周長，則直線4x+2刀-從+8=0過點(diǎn)G億幼，所以8+2從_從+8=0,此方程無解，所以圓C?不能平分圓C1的周長，故。錯(cuò)誤；故選：AB(2022?全國?高二)點(diǎn)P在圓G：/+V=1上，點(diǎn)Q在圓G：(x-3)?+(y+4)2=16上，則( )4A.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為B.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為3x-4y-5=0C.兩圓公切線有兩條D.|PQ|的最小值為0【答案】AD【解析】圓qY+y2=i的圓心為G(o,o),半徑為r=1,圓C2：(x-3)2+(y+4)2=16的圓心為C式3,-4),半徑為R=4., -4-0 4 .兩個(gè)圓心所在的直線斜率為三匚9=-9,所以本選項(xiàng)正確；3—0 3因?yàn)镃1Cj=小32+(—4『=5>R+r=5,所以兩圓相外切，故沒有相交弦，兩圓的公切線有三條，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)時(shí)，『。|的最小值為0,因此選項(xiàng)8c不正確，選項(xiàng)O正確，故選：AD(2022?黑龍江?哈九中高二期末)以下四個(gè)命題正確的有()A.直線x-2y+3=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為x+2y-3=。B.曲線C：x2+V+2x=0與曲線C2；V+y2-4x-8y+/n=0恰有三條公切線，則m=4C.圓V+y2=4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線/:x-y+0=0的距離都等于1D.經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

【答案】BC【解析14選項(xiàng)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)伯'酰x-2.\，+3=0上，即點(diǎn)(-x,-y)在直線x-2y+3=0上,所以-x+2y+3=0,即x-2y-3=0,所以直線x-2y+3=O關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為x_2y_3=0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；8選項(xiàng)：由已知得GJx+1)2+V=1,圓心為G(-1,O),半徑4=1,C2:(x-2)2+(y-4)2=20-m,圓心G(2,4),半徑e=>/而而，機(jī)<20,由圓與圓恰有三條公切線，所以圓G與圓C?相外切，所以|GG|=4+4，即J(2+lp+42=1+120-3,解得加=4,8選項(xiàng)正確;C選項(xiàng)：圓V+y2=4的圓心為(0,0),半徑r=2,由C選項(xiàng)：圓V+y2=4的圓心為(0,0),半徑r=2,由r-d=2-1=1,#+(7)2可得圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線/:x-y+&=0的距離都等于1,C選項(xiàng)正確:。選項(xiàng)：經(jīng)過點(diǎn)(1/)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0,或y=x,/)選項(xiàng)錯(cuò)誤：故選：BC.(2022?福建廈門?高二期末)已知?jiǎng)訄AC:(x-cosaf+(y-sina)2=1,ae[0,2n),則( )A.圓C與圓f+y2=4相切B.圓C與直線xsina+ycosa-l=。相切C.圓C上一點(diǎn)M滿足的'=(0,1),則M的軌跡的長度為47tD.當(dāng)圓C與坐標(biāo)軸交于不同的三點(diǎn)時(shí)，這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為1【答案】AD【解析】圓C的圓心為A(cosa,sina),半徑為I,圓f+y?=4的圓心為。(。⑼，半徑為2,因?yàn)镺A=\[cos2a+sin2a=1=2—1，所以兩圓內(nèi)切,4正確;/ 、 Isinacos?+sinacosa-11. 1rl同心A(cosa,sina)到直線xsina+ycosa-1=0的距離為d= / , =|sin2a-l|e[0,2],Vsin2a+cos2a"不一定等于1，故圓C與直線xsina+ycosa-l=。不一定相切，8錯(cuò)誤;設(shè)A/(x,y),則CM=(x-cosa,y-sina)=(0,l),x=cosa .所以f,所以f+(y-1)2=1,=sina所以點(diǎn)M的軌跡為以點(diǎn)(0,1)為圓心，1為半徑的圓，其周長為27t,。錯(cuò)誤；。選項(xiàng)，令x=0得：(0-cosa)2+(y-sina)2=1,解得：y=?；騳=2sina,令y=。得：(x-cosa)2+(0-sina)2=1,解得：x=0或x=2co$a,所以圓C與坐標(biāo)軸交于不同的三點(diǎn)，分別記為。(。,0),A(2cosa,0),B(0,2sina),則這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積S=；|。4卜|。網(wǎng)=g|4sinacosa|=|sin2a|,當(dāng)。=：或。=當(dāng)時(shí)，三角形面積取得最大值，最大值為1,。正確4 4故選：AD三、填空題(2022嚏國?高三專題練習(xí)(文))當(dāng)圓+ +的面積最小時(shí)，圓C與圓。:/+卜2=1的位置關(guān)系是.【答案】相交【解析】由x?+y2-4x+2處+2&=0,得(x—2)?+(y+&)?=/一2&+4=(%—1)2+3,當(dāng)&=1時(shí)，("1)。3取得最小值，此時(shí)，圓心坐標(biāo)為(2,-1),半徑為因?yàn)閨C￡)|=122+(-1)2=石,石-1＜右＜6+1，所以兩圓相交.故答案為：相交.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知圓C1：x2+y2+2x+3y+l=O,圓G：/+/+4x+3y+2=0,則圓G與圓G的位置關(guān)系是.【答案】相交【解析】G：/+)'+2x+3y+l=0化為(x+lf=',G：/+/+4x+3y+2=0化為(x+2)2+［丫+'|)=*則兩圓圓心分別為：C2(-2,-|),半徑分別為：R=|,r=乎,圓心距為d=i,?.?姮+之＞1＞姮-3,2 2 2 2所以兩圓相交.故答案為：相交.（2022?安徽?高二階段練習(xí)）已知圓G：f+（y_a）2=9與圓G：（x-af+y2=l有一條公共切線，則實(shí)數(shù)。的值是.【答案】土立【解析】因?yàn)閮蓤A有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切.圓G的圓心G（0,a）,半徑彳=3,圓C?的圓心G（a，。），半徑4=1，而兩圓圓心距d=0|a|,即&時(shí)=3-1,解得a=±&.故答案為：土日（2022?天津?南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知圓G：（x-津+。-2）2=4和圓。2：。-2）2+（丫-1）2=2交于4,5兩點(diǎn)，直線/與直線AB平行，且與圓G相切，與圓G交于點(diǎn)M，N,則|MN|=.【答案】4【解機(jī)】由欣|C：（x-1）~+（y—2）-=4,可知圓心G（1,2）,平:徑為2,圓C2:（x—2/+（y-1）-=