衛(wèi)生管理運籌學-排隊論

衛(wèi)生管理運籌學

OperationalResearchonHealthManagement排隊論QueuingTheory復旦大學公共衛(wèi)生學院醫(yī)院管理學教研室陳英耀排隊論第一節(jié)

基本概念BasicConcepts第二節(jié) 到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandServicesTimes第三節(jié)幾個排隊模型SomeQueuingModels第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化OptimizationforQueuingModels第一節(jié)

基本概念BasicConcepts一、排隊系統(tǒng)的一般描述二、排隊系統(tǒng)的組成和特征三、排隊系統(tǒng)的符號表示四、排隊問題的求解第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes一、經(jīng)驗分布二、理論分布第三節(jié)幾個排隊模型

（SomeQueuingModels）一、標準的M/M/1模型二、M/M/1/N模型三、M/M/1/m/m模型四、標準的M/M/C模型及其他模型第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

（OptimizationforQueuingModels）一、作出決策二、決策模型（一）M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率μ（二）M/M/c模型中最優(yōu)的服務(wù)臺數(shù)c第一節(jié)

基本概念BasicConcepts估計每年美國人花37億小時排隊我們可能排隊的地方：商店、旅館、郵局、銀行、醫(yī)院、紅綠燈、餐廳、機場、地鐵……排隊不僅包括人…檢驗樣品第一節(jié)

基本概念BasicConcepts排隊論主要研究三個方面：排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標——了解排隊系統(tǒng)的基本特征統(tǒng)計推斷問題——檢驗有關(guān)參數(shù)系統(tǒng)優(yōu)化問題——最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)運營第一節(jié)

基本概念BasicConcepts一、排隊系統(tǒng)的一般描述到來離去顧客源排隊結(jié)構(gòu)服務(wù)機構(gòu)服務(wù)規(guī)則排隊規(guī)則

圖排隊系統(tǒng)第一節(jié)

基本概念BasicConcepts排隊（queue）現(xiàn)象是由兩個方面構(gòu)成：一方要求得到服務(wù)，另一方設(shè)法提供服務(wù)顧客（customer）服務(wù)臺（server）排隊論（queuingtheory）是通過研究排隊系統(tǒng)中等待現(xiàn)象的概率特性，解決系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計與最優(yōu)控制的理論，在衛(wèi)生管理尤其在醫(yī)院管理中有著廣泛的應(yīng)用第一節(jié)

基本概念BasicConcepts排隊論最初是在二十世紀初由丹麥工程師艾爾郎關(guān)于電話交換機的效率研究開始的，在第二次世界大戰(zhàn)中為了對飛機場跑道的容納量進行估算由于排隊現(xiàn)象是一個隨機現(xiàn)象，因此在研究排隊現(xiàn)象的時候，主要采用的是研究隨機現(xiàn)象的概率論作為主要工具

表排隊系統(tǒng)的舉例到達的顧客要求服務(wù)內(nèi)容服務(wù)機構(gòu)不能運轉(zhuǎn)的機器修理修理技工修理技工領(lǐng)取修配零件發(fā)放修配零件的管理員病人診斷或手術(shù)醫(yī)生（或包括手術(shù)臺）電話呼喚通話交換臺文件稿打字打字員提貨單提取存貨倉庫管理員到達機場上空的飛機降落跑道駛?cè)敫劭诘呢洿b（卸）貨裝（卸）貨碼頭（泊位）上游河水進入水庫放水，調(diào)整水位水閘管理員進入我方陣地的敵機我方高射炮進行射擊我方高射炮第一節(jié)

基本概念BasicConcepts二、排隊系統(tǒng)的組成和特征（一）輸入過程（Inputprocess）顧客總體有限或無限顧客到來的方式單個或成批顧客相繼到達的間隔時間確定或隨機顧客的到達可以是相互獨立的輸入過程可以是平穩(wěn)的第一節(jié)

基本概念BasicConcepts（二）排隊規(guī)則(Queuingdiscipline)1．排隊無限排隊與有限排隊等待制損失制混合制系統(tǒng)隊長有限等待時間有限逗留時間有限第一節(jié)

基本概念BasicConcepts2．排隊規(guī)則(queuingdiscipline)

先到先服務(wù)(FCFS,firstcome,firstserved)后到先服務(wù)(LCFS,lastcome,firstserved)隨機服務(wù)(SIRO,serviceinrandomorder)有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)(PS,priorityservice)第一節(jié)

基本概念BasicConcepts（三）服務(wù)機構(gòu)服務(wù)機構(gòu)可以有一個或多個服務(wù)員有多個服務(wù)臺的情形中，服務(wù)臺可以是串聯(lián)、并聯(lián)，也可以是混合的單隊—單服務(wù)臺多隊—多服務(wù)臺單隊多服務(wù)臺（并聯(lián)）（并聯(lián)）1c21c21第一節(jié)

基本概念BasicConcepts多服務(wù)臺（串列）多服務(wù)臺（混合）122c3211第一節(jié)

基本概念BasicConcepts顧客或單個或成批接受服務(wù)服務(wù)時間等長或是服從某一分布的隨機變量第一節(jié)

基本概念BasicConcepts三、排隊系統(tǒng)的符號表示在排隊論中廣泛采用的是由D.G.Kendall提出的“Kendall記號”來描述排隊模型，其一般形式為：X/Y/Z/A/B/C其中：X表示顧客相繼到達時間間隔的分布；Y表示服務(wù)時間的分布；

Z表示服務(wù)臺的個數(shù)；

A表示系統(tǒng)的容量，即可容納的最多顧客數(shù)；

B表示顧客源的數(shù)目；

C表示排隊規(guī)則ServerQueueArrival第一節(jié)

基本概念BasicConcepts表示顧客相繼到達的間隔時間（X）和服務(wù)時間（Y）的各種分布的符號為：M———負指數(shù)分布（M是Markov的字頭）D———確定型（Deterministic）Ek———k階愛爾朗（Erlang）分布GI———一般相互獨立（GeneralIndependent）的時間間隔的分布G———一般（General）服務(wù)時間的分布第一節(jié)

基本概念BasicConcepts到達過程/服務(wù)過程/服務(wù)臺數(shù)/在系統(tǒng)中顧客極限數(shù)/在源中顧客數(shù)/排隊規(guī)則例：M/M/1/∞/∞/FCFS如果排隊模型是：*/*/*/∞/∞/FCFS，則后兩項或后三項可以省略，只要寫：*/*/*/∞或*/*/*就可以了。再例：M/M/C/N/∞/FCFS第一節(jié)

基本概念BasicConcepts四、排隊問題的求解對排隊問題求解的目的在于研究排隊系統(tǒng)運行的效率，估計服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是否合理、提出解決方案，從而改進系統(tǒng)。（一）主要數(shù)量指標1.系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)即指系統(tǒng)中顧客數(shù)，如果系統(tǒng)中有n個顧客就是說系統(tǒng)的狀態(tài)是n。第一節(jié)

基本概念BasicConcepts系統(tǒng)狀態(tài)的可能值是：A．隊長沒有限制時n=0，1，2，…B．隊長有限制，最大數(shù)為N時，n=0，1，2，…，NC．即時制，服務(wù)臺個數(shù)是C時，n=0，1，2，…，CPn（t）——表示在時刻t系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率第一節(jié)

基本概念BasicConceptsPn（t）

非穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)t第一節(jié)

基本概念BasicConcepts2．隊長與排隊長隊長是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)；排隊長是指系統(tǒng)中正在排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)。系統(tǒng)中的顧客數(shù)=等待服務(wù)的顧客數(shù)+正在接受服務(wù)的顧客數(shù)

隊長排隊長3．逗留時間與等待時間逗留時間指一個顧客從到達系統(tǒng)等待服務(wù)起，到服務(wù)完畢離開系統(tǒng)為止所停留的時間；等待時間指一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)的時間。逗留時間=等待時間+服務(wù)時間第一節(jié)

基本概念BasicConcepts4．忙期與閑期忙期是指從顧客到達空閑服務(wù)機構(gòu)起，到服務(wù)機構(gòu)再次成為空閑這段時間的長度，也即服務(wù)機構(gòu)連續(xù)繁忙的時間長度，它關(guān)系到服務(wù)員的工作強度。閑期反映服務(wù)機構(gòu)連續(xù)保持空閑的時間。記忙期為B，閑期為I，平均忙期和平均閑期分別記為、。第一節(jié)

基本概念BasicConcepts5.平均到達率(Averagenumberofarrivalsenteringthesystemperunittime)平均到達率——單位時間內(nèi)顧客的平均到達數(shù)，用λ表示。平均到達的間隔時間——顧客相繼到達的平均間隔時間，用1/λ表示。平均服務(wù)率——單位時間內(nèi)完成服務(wù)的平均顧客數(shù)，用μ表示。平均服務(wù)時間(Servicetimepercustomer)——顧客被接受服務(wù)的平均時間，用1/μ表示。令ρ=λ/μ，則ρ為系統(tǒng)的服務(wù)強度。第一節(jié)

基本概念BasicConcepts（二）數(shù)量指標的常用符號在平穩(wěn)狀態(tài)（Steadystate）下，隊長的分布、等待時間的分布和忙期的分布都與系統(tǒng)所處的時刻無關(guān)，而且系統(tǒng)的初始狀態(tài)的影響也會消失，系統(tǒng)的狀態(tài)概率分布不再隨時間變化。表主要數(shù)量指標在瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)時的常用符號

瞬間穩(wěn)態(tài)符號意義符號意義N（t）時刻t時系統(tǒng)中的顧客數(shù)（又稱系統(tǒng)的狀態(tài)或隊長）N系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)時的隊長，其均值為L，稱為平均隊長Nq（t）時刻t系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)，即排隊長Nq系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)時的排隊長，其均值為Lq，稱為平均排隊長T（t）時刻t到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時間T系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)時顧客的逗留時間，其均值記為W，稱為平均逗留時間Tq（t）時刻t到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等待時間Tq系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)時顧客的等待時間，其均值記為Wq，稱為平均等待時間

λn當系統(tǒng)處于狀態(tài)n時，新來的顧客的平均到達率（單位時間內(nèi)來到系統(tǒng)的平均顧客數(shù)）

μn當系統(tǒng)處于狀態(tài)n時，整個系統(tǒng)的平均服務(wù)率（單位時間內(nèi)可以服務(wù)完的顧客數(shù)）第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes一、經(jīng)驗分布[例1]某醫(yī)院外科手術(shù)室根據(jù)病人就診和完成手術(shù)的時間記錄，任意抽查100個工作小時，每小時來就診的病人數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)整理成病人到達數(shù)分布表，又任意抽查100個完成手術(shù)的病例，所用時間t（小時）出現(xiàn)的次數(shù)整理成手術(shù)服務(wù)時間分布表。試計算病人的平均到達率、病人平均到達間隔時間、每次手術(shù)平均時間（平均服務(wù)時間）、每小時完成手術(shù)的平均數(shù)（平均服務(wù)率）。第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes表病人到達數(shù)分布表表服務(wù)時間分布表第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes表病人到達數(shù)分布表表服務(wù)時間分布表每小時平均達到率2.1人/小時平均達到間隔時間1/2.1每次手術(shù)平均時間0.4小時/人每小時完成手術(shù)平均數(shù)2.5人第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes二、理論分布1.泊松分布設(shè)：①N（t）表示在t時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)（t>0），且N（t）為隨機變量，服從泊松分布；②Pn（t）表示長為t的時間區(qū)間內(nèi)到達n個顧客的概率，則：第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimest>0n=0，1，2，……隨機變量N（t）的數(shù)學期望值和方差分別是：E[N（t）]=λtVar[N（t）]=λt第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes當t=1時，即單位時間到達n個顧客的概率為：則：E[N（t）]=λVar[N（t）]=λ第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes顧客到達服從泊松分布的三個條件：（1）無后效性——即在不相重疊的時間區(qū)間內(nèi)顧客到達數(shù)是相互獨立的。（2）平穩(wěn)性——對充分小的△t，在時間區(qū)間[t，t+△t）內(nèi)有一個顧客到達的概率與t無關(guān)，而約與區(qū)間長△t成正比。（3）普通性——對于充分小的△t，在時間區(qū)間[t，t+△t）內(nèi)有2個或2個以上顧客到達的概率極小，以致可以忽略。第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes表9-1患者在單位時間內(nèi)到達數(shù)的頻數(shù)分布【例】某醫(yī)院外科手術(shù)室任意抽查了100個工作小時，每小時患者到達數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)如表9-1，問每小時患者的到達數(shù)是否服從泊松分布。到達數(shù)n0123456≥7出現(xiàn)次數(shù)f1028291610610【例】求解解：依題意，患者平均到達率（人/小時）?，F(xiàn)檢驗這個經(jīng)驗分布是否適合=2.1的泊松分布，利用2檢驗法計算統(tǒng)計量，結(jié)果如表。所以可認為患者到達數(shù)的分布服從=2.1的泊松分布。

返回首頁第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes2.負指數(shù)分布A、時間間隔T的分布當輸入過程是泊松流時，則顧客相繼到達的間隔時間T（也是隨機變量）服從負指數(shù)分布，反之也然。負指數(shù)分布的分布函數(shù)為：t>0第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes概率密度為：

t>0期望值E（T）=1/λ方差Var[T]=1/λ2第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimesB、服務(wù)時間V的分布對一顧客的服務(wù)時間也就是在忙期相繼離開系統(tǒng)的兩顧客的間隔時間，一般也服從負指數(shù)分布。設(shè)它的分布函數(shù)和概率密度分別是：t≥0t≥0其中，μ表示單位時間內(nèi)完成服務(wù)的顧客數(shù)，稱為平均服務(wù)率，而1/μ表示一個顧客的平均服務(wù)時間，也就是期望值。第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimesC、服務(wù)強度服務(wù)強度——單位時間內(nèi)顧客的平均到達數(shù)與完成服務(wù)的顧客平均數(shù)之比，用ρ表示，即ρ=λ/μ第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes3．愛爾朗（Erlang）分布設(shè)υ1，υ2，υ3……υk是k個相互獨立的隨機變量，服從參數(shù)為kμ的負指數(shù)分布，那么T=υ1

+υ2

+υ3+……+υk

的概率密度是:

t≥0我們說T服從k階愛爾朗分布。期望值E（T）=1/μ；方差Var（T）=1/kμ2。第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes[例]串列的k個服務(wù)臺，每臺服務(wù)時間相互獨立，服從相同的負指數(shù)分布（參數(shù)kμ），那么一顧客走完這k個服務(wù)臺總共所需要服務(wù)時間就服從上述的k階愛爾朗分布。第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes事實上，當k=1時，愛爾朗分布轉(zhuǎn)化為負指數(shù)分布，這可看成是完全隨機的；當k增大時，愛爾朗分布逐漸趨于對稱；當k≥30時，愛爾朗近似于正態(tài)分布；當k趨于無窮時，方差趨于0。因此，這時愛爾朗分布轉(zhuǎn)化為確定型分布所以，一般k階愛爾朗分布可以看成完全隨機與完全確定的中間型，對現(xiàn)實事物具有更廣泛的適應(yīng)性。第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimesk=3k=2k=1bk（t）k=∞

1/μt第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes5．生滅過程用“生”表示顧客的到達，“滅”表示顧客的離開，假設(shè)N（t）表示在t時刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)，那么N（t）（t≥0）就構(gòu)成了一個生滅過程。生滅過程的性質(zhì):設(shè)N（t）（t≥0）為一個隨機過程，如果N（t）的概率分布具有：（1）假設(shè)N（t）=n，那么從時刻t起到下一個顧客到達時刻止的時間服從參數(shù)為λn負指數(shù)分布，n=0，1，2，……；第二節(jié)到達的時間間隔分布與服務(wù)時間分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes（2）假設(shè)N（t）=n，那么從時刻t起到下一個顧客離去時刻止的時間服從參數(shù)為μn負指數(shù)分布，n=0，1，2，……；（3）同一時刻只有一個顧客到達或離去。那么N（t）（t≥0）被稱為一個生滅過程。要得到N（t）的概率分布pn（t）=P{N（t）=n}（n=0，1，2，……）很困難，因此，通常是求當系統(tǒng)到達平穩(wěn)狀態(tài)時的狀態(tài)分布pn（n=0，1，2，……）。討論與實例介紹思考下醫(yī)院服務(wù)中的排隊問題某醫(yī)院排隊問題的實證研究思考題閱讀《趨勢預測法結(jié)合排隊論在區(qū)域大型醫(yī)療設(shè)備配置規(guī)劃中的應(yīng)用》《Markov排隊模型在醫(yī)院管理中的應(yīng)用》第三節(jié)幾個排隊模型

一、標準的M/M/1模型1．輸入過程—顧客源是無限的，顧客單個到來，相互獨立，一定時間的到達數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布；2．排隊規(guī)則—系統(tǒng)容量無限，先到先服務(wù)；3．服務(wù)機構(gòu)—單服務(wù)臺，各顧客的服務(wù)時間相互獨立，服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布。通用記號為M/M/1/∞/∞/FCFS或M/M/1第三節(jié)幾個排隊模型

（一）穩(wěn)態(tài)概率(Steady-StateProbabilities)（二）幾個主要數(shù)量指標1．平均隊長L(Averagenumberofcustomerspresentinthequeuingsystem)

P0=1－ρPn=(1－ρ)ρn

n

≥1第三節(jié)幾個排隊模型

2．平均排隊長Lq(Averagenumberofcustomerswaitinginline)3．平均逗留時間W(Averagetimeacustomerspendsinthesystem)顧客在系統(tǒng)中逗留的時間W（隨機變量），在M/M/1排隊模型中，服從參數(shù)為μ-λ的負指數(shù)分布。第三節(jié)幾個排隊模型分布函數(shù)F（w）=1-e-(μ—λ)ww≥0概率函數(shù)f（w）=（μ-λ）e-(μ—λ)w

平均逗留時間W為:4．平均等待時間Wq(Averagetimeacustomerspendsinline)第三節(jié)幾個排隊模型（9-3）

它們之間的關(guān)系為：

第三節(jié)幾個排隊模型5．忙期與閑期平均忙期為：平均逗留時間(W)等于平均忙期第三節(jié)幾個排隊模型6．系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)不超過S+1的概率【例】設(shè)某醫(yī)院藥房只有一名藥劑員，取藥的患者按泊松分布到達，平均每小時20人，藥劑員配藥時間服從負指數(shù)分布，平均每人為2.5分鐘。試分析該藥房排隊系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運行指標。利用公式（9-2）及公式（9-3）計算得：（人）（人）解：這是一個M/M/1//

系統(tǒng)，單列，F(xiàn)CFS規(guī)則，依題意知：【例】某醫(yī)院欲購一臺X光機，現(xiàn)有4種可供選擇的機型。已知就診者按泊松分布到達，到達率每小時4人。4種機型的服務(wù)時間均服從負指數(shù)分布，其不同機型的固定費用、操作費、服務(wù)率見表9-3。若每位就診者在系統(tǒng)中逗留所造成的損失費為每小時15元，試確定選購哪一類機型可使綜合費（固定費+操作費+逗留損失費）最低。表9-34種機型的使用費用和服務(wù)率

機型固定費用C1（元/小時）操作費用C2（元/小時）服務(wù)率

（人/小時）A8605B10756C18847D201208【例】求解綜合費

f:,計算后將各類指標及綜合費列入表9-4。

表9-4四種機型在1小時內(nèi)的綜合費用

機型固定費用

操作費C2L逗留損失費15L綜合費f

A80.848460116B102/35023090C184/7484/32086D201/26011595可見選用C型X光機其綜合費最小。

解：該問題屬M/M/1//

系統(tǒng)，單列，F(xiàn)CFS規(guī)則．依題意只需計算各種機型在單位時間內(nèi)的綜合費。已知：第三節(jié)幾個排隊模型[課堂練習1]某三級醫(yī)院出院處平均每5分鐘有1人辦理出院手續(xù)，并且到達過程符合泊松流。出院手續(xù)辦理時間服從負指數(shù)分布，平均每份需要4分鐘。如果該出院處只有1名工作人員，試求：（1）出院處病人的平均數(shù)是多少？（2）每個病人等待辦理出院手續(xù)的時間為多少？（3）病人等待辦理出院手續(xù)時間超過2分鐘的概率為多少？解：該情形可視為M/M/1系統(tǒng)，若取單位時間為5分鐘，則： λ=1，μ=5/4=1.25，ρ=λ/μ=1/1.25=0.81．平均病人數(shù)：4人2．每個病人等待辦理出院手續(xù)的時間:16分鐘3．病人等待時間超過2分鐘的概率為：0.74

第三節(jié)幾個排隊模型[課堂練習2]某醫(yī)院夜間急診放射科設(shè)1臺X光機，來檢查的病人到達過程為泊松流，平均4人/小時，檢查時間服從負指數(shù)分布，平均需要6分鐘。試求：（1）該X光機空閑的概率；（2）放射科剛好有3名急診病人的概率；（3）放射科至少有1名急診病人的概率；（4）放射科內(nèi)的平均急診病人數(shù)；（5）每個急診病人在放射科平均逗留時間；（6）等待檢查的平均急診病人數(shù)；（7）每個急診病人平均等待檢查時間；（8）急診病人在放射科逗留時間超過10分鐘的概率。解：該情形可視作一個M/M/1排隊問題，其中 λ=4；μ=1/0.1=10；ρ=λ/μ=0.41．該X光機空閑的概率:P0

=1－ρ=1－0.4=0.62．放射科剛好有3名急診病人的概率:P3

=ρ3（1－ρ）=（0.4）3（1－0.4）=0.0383．放射科至少有1名急診病人的概率:P（N≥1）=1－P0

=ρ=0.44．放射科內(nèi)的平均急診病人數(shù):L=ρ/（1－ρ）=0.4/0.6=0.67（人）5．每個急診病人在放射科平均逗留時間:W=10分鐘6．等待檢查的平均急診病人數(shù):Lq=L-ρ=ρ2/（1-ρ）=（0.4）2/（1-0.4）=0.267（人）7．每個急診病人平均等待檢查時間:Wq=4分鐘8．急診病人在放射科逗留時間超過10分鐘的概率:0.3679第三節(jié)幾個排隊模型[課堂練習]某醫(yī)院外科開設(shè)專家門診，每天（工作4小時）看專家門診的平均病人數(shù)為12人，診治時間平均每人15分鐘。假定病人到達服從泊松分布，服務(wù)時間服從負指數(shù)分布，試求：（1）這個排隊系統(tǒng)的各項運行指標（Ls，Lq，Ws，Wq）；（2）病人在門診室的停留時間在1小時以上的概率（病人在系統(tǒng)中停留時間W服從參數(shù)為μ-λ的負指數(shù)分布；（3）門診室內(nèi)有5位及以上病人的概率。第三節(jié)幾個排隊模型二、M/M/1/N模型

M/M/1/N模型指顧客到達數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，服務(wù)時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，單服務(wù)員，系統(tǒng)最大容量為N，先到先服務(wù)。在這種排隊模型中，排隊等待的顧客最多為N-1。在某一時刻，如果系統(tǒng)中已有N個顧客，那么再到達的顧客將被“拒絕”而離開系統(tǒng)。當N=1時，即為即時制的情形；當N趨于無窮時，為系統(tǒng)容量無限的情形。第三節(jié)幾個排隊模型當系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)，M/M/1/N模型狀態(tài)概率為：

ρ≠1

第三節(jié)幾個排隊模型式中ρ=λ/μ由于系統(tǒng)中容量有限，而顧客來源無限。因此，當系統(tǒng)達到飽和狀態(tài)（即系統(tǒng)處于狀態(tài)N）時，后來的顧客將被“拒絕”（即到達率為0），此概率為PN，則單位時間內(nèi)遭到“拒絕”的顧客數(shù)為λPN。故，有效到達率λe=λ（1-PN）。有效到達率也可按λe=（1-P0）計算。第三節(jié)幾個排隊模型M/M/1/N排隊系統(tǒng)的其它數(shù)量指標（當ρ≠1）：

系統(tǒng)的狀態(tài)概率（9-4）系統(tǒng)的主要指標（9-5）【例4】某私人牙科診所配備一臺牙科綜合治療臺，由于診療室面積有限，只能安置3個座位供患者等候，一旦滿座則后來者不再進屋等候。已知患者到達診所的時間間隔和診斷時間均為負指數(shù)分布，平均到達時間間隔為50分鐘，平均治療時間為40分鐘。試分析系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運行指標。解：該問題為M/M/1/4/系統(tǒng)，單列，F(xiàn)CFS規(guī)則。已知：其它運行指標第三節(jié)幾個排隊模型[課堂練習3]某醫(yī)院體檢中心設(shè)有1臺多普勒彩色超聲心動圖機，上午可對7個病人進行檢查。如果病人的到達按泊松分布，平均到達率為1.5人/小時，檢查時間服從負指數(shù)分布，平均服務(wù)時間為30分鐘，試求該系統(tǒng)的數(shù)量指標。解：該系統(tǒng)可視為1個M/M/1/7排隊系統(tǒng)，其中 N=7，λ=1.5（人/小時），μ=2（人/小時），ρ=λ/μ=1.5/2=0.751.病人到達后立即得到檢查的概率：P0＝0.2778 2.彩超室逗留的平均病人數(shù)：L=2.11人3.等待檢查的平均病人數(shù)：Lq=2.11-（1-0.2778）=1.39（人）4.有效到達率：λe=μ（1-P0）=2（1-0.2778）=1.44（人/小時）5.病人在心超室的平均逗留時間：W=1.46 6.病人在心超室的平均等待時間：

Wq=W-1/μ=1.46-1/2=0.96（小時）=57.6（分鐘）第三節(jié)幾個排隊模型[課堂練習]某醫(yī)院針灸科有1名針灸師，只安置3個座位供病人候診，一旦滿座則后來者不再進屋等候。已知病人到達間隔與治療時間均為指數(shù)分布，平均到達間隔為40分鐘，平均治療時間為25分鐘。試求任一病人期望候診時間及該科潛在病人的損失率。第三節(jié)幾個排隊模型三、M/M/1/m/m模型

該模型即指顧客到達數(shù)為泊松分布，服務(wù)時間服從負指數(shù)分布，單服務(wù)員，系統(tǒng)容量有限而顧客源有限的排隊系統(tǒng)。在顧客源為m有限的情形中，設(shè)每個顧客的到達率λ（指單位時間內(nèi)每個顧客到達系統(tǒng)的次數(shù)）均相同，每個顧客在系統(tǒng)外的時間服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布。第三節(jié)幾個排隊模型當系統(tǒng)中平均顧客數(shù)為L時，那么系統(tǒng)外的顧客的平均數(shù)為m－L，則該系統(tǒng)的顧客平均到達率為：λe=λ（m-

L）

該模型的系統(tǒng)狀態(tài)概率為：

1≤n≤m第三節(jié)幾個排隊模型該排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標為：(1)

(2)(3)(4)

M/M/1/m/m模型

該模型是指單位時間內(nèi)每個顧客到達系統(tǒng)次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，服務(wù)時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，單服務(wù)臺，顧客源總數(shù)為m，系統(tǒng)容量也為m（或m）。該模型常用于機器故障維修系統(tǒng)和醫(yī)院病房醫(yī)護人員對住院病人的護理工作等。

系統(tǒng)的狀態(tài)概率系統(tǒng)的主要指標

（9-6）（9-7）【例5】一名護士在ICU病房護理6位重癥病人，每位病人一小時內(nèi)平均呼叫5次，每次護理時間平均為4分鐘，呼叫的時間間隔和護理時間服從負指數(shù)分布．試分析：①護士空閑的概率；②2人及以上需要護理的概率；③等待護理的病人數(shù)；④每位病人等待護理的平均時間。解：該問題為M/M/1/6/6系統(tǒng)，m=6,單列，F(xiàn)CFS規(guī)則。已知：①

護士空閑的概率

②2人及以上病人需要護理的概率③病房中需要護理的病人數(shù)為：因為有效到達率:

④每位病人等待護理的平均時間第三節(jié)幾個排隊模型四、標準的M/M/C模型這是對多服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)的分析，該模型指顧客的到達時間間隔服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，服務(wù)臺個數(shù)為C，系統(tǒng)容量和顧客源不限，服務(wù)時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布。第三節(jié)幾個排隊模型

圖9-4M/M/C模型

服務(wù)臺隊列μ2μ1μ3第三節(jié)幾個排隊模型在這種模型中設(shè)各服務(wù)臺工作相互獨立且平均服務(wù)率相同μ1=μ2=，…，=μc=μ，則整個服務(wù)機構(gòu)的平均服務(wù)率為cμ（當n≥c）或nμ（當n≤c）。定義ρ=λ/cμ，當λ<cμ時，系統(tǒng)中的顧客才不會形成無限的排隊，ρ稱為該系統(tǒng)的服務(wù)強度或服務(wù)機構(gòu)的平均利用率。第三節(jié)幾個排隊模型該模型的狀態(tài)概率為：（0≤n≤c）

（c≤n≤）Pn=第三節(jié)幾個排隊模型該排隊系統(tǒng)的運行指標為：(1)(2)(3)(4)

第三節(jié)幾個排隊模型系統(tǒng)內(nèi)至少有C位顧客（即所有服務(wù)臺都繁忙）的概率為：

（一）M/M/C系統(tǒng)的狀態(tài)概率（9-8）（二）系統(tǒng)的主要指標（9-9）【例6】某醫(yī)院康復科有4臺超短波理療儀，患者的到達服從泊松分布。平均每小時到達12人，每人理療時間服從負指數(shù)分布，每臺每小時平均服務(wù)4人，患者到達后排成一列，依次就診。求：①4臺儀器同時空閑的概率；②計算系統(tǒng)的運行指標；③患者到達后必須等待的概率。解：該問題為M/M/4//系統(tǒng)，已知：①

4臺儀器同時空閑的概率②計算系統(tǒng)的運行指標③患者到達后必須等待的概率【例7】在例2中，為了減少患者等待取藥的時間，考慮增加一名藥劑員，其它條件不變。試分析增加一名藥劑員后藥房排隊系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運行指標。解：原排隊系統(tǒng)是M/M/1//系統(tǒng)，且知：L=5（人），Wq=12.5（分鐘）現(xiàn)考慮增加一名藥劑員后系統(tǒng)為M/M/2//，此時①系統(tǒng)空閑的概率：②

系統(tǒng)運行指標：

結(jié)論：增加一名藥劑員后，患者在藥房排隊的平均人數(shù)比原來減少了約4人，等待取藥的時間減少了約12分鐘。

二、M/M/C/N/模型該模型系統(tǒng)顧客源無限，容量為N（NC），當系統(tǒng)中顧客數(shù)達到N時，后來的顧客被拒絕進入系統(tǒng)，其它條件與M/M/C//模型相同。系統(tǒng)的狀態(tài)概率（9-10）系統(tǒng)的主要運行指標（9-11）【例8】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院只有4張病床，病人的到達和輸出服從最簡單流，平均每兩天有1名新患者住院，每名病人平均住7天。求此系統(tǒng)的有關(guān)運行指標。解：該排隊系統(tǒng)是M/M/4/4/系統(tǒng)，依題意：①系統(tǒng)空閑的概率：②患者不能立即住院的概率：

③平均住院病人數(shù)：

其它指標：

三、M/M/C/m/m模型該模型系統(tǒng)有C(C1)個服務(wù)臺，顧客源為m（mC），每個顧客在單位時間內(nèi)需要服務(wù)的平均次數(shù)為，每個服務(wù)臺在單位時間內(nèi)服務(wù)的平均顧客數(shù)為，顧客的到達時間間隔和服務(wù)時間均服從負指數(shù)分布。系統(tǒng)的狀態(tài)概率（9-12）系統(tǒng)的主要運行指標（9-13）【例9】某醫(yī)院病房有3名護士和18位病人，平均每位病人每2小時需要護理1次，每次12分鐘，護理時間間隔與護理時間均服從泊松分布．現(xiàn)在醫(yī)院考慮兩種工作方案：方案Ⅰ為3名護士共同護理18位病人；方案Ⅱ為3名護士各自獨立工作，每人固定負責6位病人。試比較兩個方案的工作情況。解：方案Ⅰ是M/M/3/18/18系統(tǒng)，依題意：①系統(tǒng)空閑的概率：②病人不能馬上得到護理的概率：

③系統(tǒng)工作指標：方案Ⅰ與方案Ⅱ的比較方案Ⅱ是3個M/M/1/6/6系統(tǒng)，其中：

比較結(jié)果：表9-5方案Ⅰ與方案Ⅱ排隊系統(tǒng)的工作指標

指標方案Ⅰ方案Ⅱ系統(tǒng)空閑率（%）17.0148.45平均隊長（人）1.830.85平均等待隊長（人）0.210.33平均逗留時間（分鐘）1419.67平均等待時間（分鐘）1.67.67等待概率（%）26.3451.55M/G/1模型該模型是指到達系統(tǒng)的顧客數(shù)服從泊松分布，單位時間平均到達率。各顧客的服務(wù)時間是相互獨立且為一般分布。服務(wù)時間T的期望值E（T）=1/，方差D（T）=,單服務(wù)臺，顧客源與容量無限。系統(tǒng)空閑狀態(tài)概率和主要運行指標為：（9-14）【例10】某醫(yī)院放射科有一臺CT，患者的到來服從泊松分布，平均每小時2人。每個患者做CT檢查時間相互獨立，平均為20分鐘，標準差為15分鐘。據(jù)患者反映等候CT檢查的時間較長，而管理人員認為是CT設(shè)備的利用率不高，試對雙方所提問題進行簡要分析。解：依題意：①設(shè)備的空閑概率：②等待隊長：

③等候檢查的時間：二、M/D/1排隊模型

該系統(tǒng)對顧客服務(wù)時間為確定常數(shù)，即在M/G/1中：E（T）=1/=，方差D（T）=0。【例11】某醫(yī)院檢驗科有一臺全自動血液分析儀，已知每個血樣分析需要1分鐘，送檢樣品按泊松分布到達，平均每小時30份。試求該系統(tǒng)的主要工作指標解：依題意：按式9-14計算，求出系統(tǒng)運行指標三、具有優(yōu)先服務(wù)權(quán)的M/M/1//

模型

考慮在M/M/1//系統(tǒng)中，進入系統(tǒng)的顧客分為兩級：第一級是優(yōu)先類，到達率為1；第二級是普通類，到達率為2。兩類顧客的服務(wù)時間均為相同1/

的負指數(shù)分布。當系統(tǒng)中有第一級顧客到達時，正在接受服務(wù)的第二級顧客將被中斷服務(wù)，重新等待；當系統(tǒng)中只有同一級別顧客時，按先來先服務(wù)的原則。模型分析

設(shè)：=1+2，第i級顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Wi(i=1,2),第i級顧客的平均等待隊長和平均等待時間Lqi和Wqi。兩級綜合在一起的每個顧客在系統(tǒng)中的平均等待隊長Lq和平均等待時間Wq，滿足:系統(tǒng)的主要運行指標（9-15）服務(wù)時間不相同的優(yōu)先服務(wù)（9-16）

當系統(tǒng)中兩類顧客服務(wù)時間不相同時，設(shè)第一級為1，第二級為2

，其它條件不變，則系統(tǒng)中兩類顧客的隊長分別為：

【例12】某私人診所只有一名醫(yī)生，來就診的病人按每小時2人的泊松分布到達，每個病人的服務(wù)時間服從均數(shù)為15分鐘的負指數(shù)分布。假如病人中90%屬一般病人，10%屬危重病人。該診所的服務(wù)規(guī)則是先治療危重病人，然后是一般病人。試計算兩類病人等候治病的平均時間。解：依題意知，危重病人是第一級，一般病人是第二級，=2危重病人等待時間：由式9-15算出：一般病人等待時間：平均等待隊長和平均等待時間危重病人和一般病人等待隊長：

整個系統(tǒng)的病人平均等待隊長和平均等待時間為：

返回首頁第三節(jié)幾個排隊模型[課堂練習]某醫(yī)院新建門診大樓，婦科門診設(shè)3個診室。已知病人到達服從泊松分布，平均到達率為每10分鐘0.9人。接診時間服從負指數(shù)分布，平均服務(wù)率為每10分鐘0.4人。現(xiàn)醫(yī)院有兩種考慮，選擇病人到達后的排隊方式：一是排成一隊，依次到空閑的診室就診；二是病人到達后，在每個窗口前排成一隊，且進入隊列后堅持不變，形成3個隊列,如下圖。請問：醫(yī)院應(yīng)該選擇哪一種排隊方式？第三節(jié)幾個排隊模型

λ=0.9λ=0.9方式1方式2

圖兩種排隊方式窗口1窗口2窗口3窗口1窗口2窗口3μ=0.4μ=0.4μ=0.4μ=0.4μ=0.4μ=0.4第三節(jié)幾個排隊模型

summary顧客到達數(shù)顧客到達間隔時間服務(wù)時間服務(wù)臺系統(tǒng)容量顧客源其他M/M/1/∞/∞泊松分布負指數(shù)分布負指數(shù)分布1無限無限M/M/1/N泊松分布負指數(shù)分布負指數(shù)分布1N無限M/M/1/m/m泊松分布負指數(shù)分布負指數(shù)分布1mmSummary(2)顧客到達數(shù)顧客到達間隔時間服務(wù)時間服務(wù)臺系統(tǒng)容量顧客源其他M/M/C/∞/∞泊松分布負指數(shù)分布負指數(shù)分布多個無限無限M/M/C/N/∞泊松分布負指數(shù)分布負指數(shù)分布多個N無限M/M/C/m/m泊松分布負指數(shù)分布負指數(shù)分布多個mmM/G/1泊松分布一般分布1M/D/1泊松分布常數(shù)1第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

作為一個管理決策人員，僅知道如何描述排隊系統(tǒng)，計算出它的有關(guān)數(shù)量指標是不夠的。我們研究的目的是要在掌握排隊模型的基礎(chǔ)上，利用它作為決策的工具。對排隊系統(tǒng)進行最優(yōu)化設(shè)計可以從兩個方面考慮：其一，給出系統(tǒng)的某種費用（或利潤）結(jié)構(gòu)，要求平均總費用（或平均總利潤）最低的情況下做出最優(yōu)設(shè)計(經(jīng)濟效益)；其二，在一定服務(wù)質(zhì)量指標下要求系統(tǒng)運行效能達到必要的水平(社會效益)第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

一、作出決策排隊優(yōu)化的目標就是要確定適當?shù)姆?wù)水平，使總的期望費用達到最小。

E（Tc）min=E（Wc）+E（Sc）第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

二、決策模型（一）M/M/1

模型中最優(yōu)服務(wù)率μ

設(shè)費用函數(shù)E為單位時間服務(wù)成本與顧客在系統(tǒng)中逗留所致費用之和的期望值，則：第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

式中：Cs表示當μ=1時服務(wù)機構(gòu)單位時間的費用，即單位時間內(nèi)服務(wù)一個顧客的費用；Cw為每個顧客在系統(tǒng)停留單位時間的費用；L為系統(tǒng)內(nèi)逗留的顧客數(shù)；μ為平均服務(wù)率。第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

因為在標準M/M/1模型中，要求ρ<1（即μ>λ），所以最優(yōu)服務(wù)率：

將*的表達式代入費用函數(shù)，則最小總平均費用:第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

[例]某醫(yī)院血清樣本按Poisson流送到檢驗科，平均每小時50個血清樣本，檢驗科的平均服務(wù)率為μ。設(shè)血清樣本在檢驗科每放置1小時的費用為10元，平均檢驗費為μCs，其中Cs=20元，求出使總費用最少的平均服務(wù)率μ*。第四節(jié)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

[例]某醫(yī)院門診藥房正在考慮以下兩個用人方案（見表）。設(shè)病人以每小時50的泊松流到達，服務(wù)時間服從指數(shù)分布