2023學年北京市順義牛欄山一中高三第二次模擬考試數(shù)學試卷(含答案解析)_第1頁
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2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點.若以為焦點,為準線的拋物線經(jīng)過,設球的半徑分別為,則()A. B. C. D.2.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知平面向量,滿足且,若對每一個確定的向量,記的最小值為,則當變化時,的最大值為()A. B. C. D.14.復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.5.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.6.已知集合,,則等于()A. B. C. D.7.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.若的二項展開式中的系數(shù)是40,則正整數(shù)的值為()A.4 B.5 C.6 D.79.在平行四邊形中,若則()A. B. C. D.10.已知實數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.011.定義域為R的偶函數(shù)滿足任意,有,且當時,.若函數(shù)至少有三個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.函數(shù)(且)的圖象可能為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)a,b,c滿足,則的最小值是______.14.若實數(shù)滿足約束條件,設的最大值與最小值分別為,則_____.15.在的二項展開式中,所有項的系數(shù)之和為1024,則展開式常數(shù)項的值等于_______.16.函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),),若函數(shù)恰有個零點,則實數(shù)的取值范圍為__________________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),點是的左頂點,點為上一點,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設過點的直線與的另一個交點為(異于點),是否存在直線,使得以為直徑的圓經(jīng)過點,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.18.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且點在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列滿足:,,求的通項公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;19.(12分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學生.新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺.校團委、學生會從在校學生中隨機抽取了160名學生,對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說明,能否有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關;(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生,設選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82820.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,若(1)求角的大小(2)若,求的周長21.(12分)如圖,四邊形中,,,,沿對角線將翻折成,使得.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)11月,2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽舉辦,其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽(每人各投一次為一輪),在相同的條件下,每輪甲乙兩人在同一位置,甲先投,每人投一次球,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分,設甲每次投球命中的概率為,乙每次投球命中的概率為,且各次投球互不影響.(1)經(jīng)過1輪投球,記甲的得分為,求的分布列;(2)若經(jīng)過輪投球,用表示經(jīng)過第輪投球,累計得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②規(guī)定,經(jīng)過計算機計算可估計得,請根據(jù)①中的值分別寫出a,c關于b的表達式,并由此求出數(shù)列的通項公式.

2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【答案解析】

由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設,兩球球心和公切點都在體對角線上,通過幾何關系可轉(zhuǎn)化出,進而求解【題目詳解】根據(jù)拋物線的定義,點到點的距離與到直線的距離相等,其中點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設,兩個球心和兩球的切點均在體對角線上,兩個球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因為,因此,得,所以.故選:D【答案點睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)2.D【答案解析】

根據(jù)對稱關系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點;利用導數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過定點,通過數(shù)形結合的方式可確定;利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和,進而得到結果.【題目詳解】關于直線對稱的直線方程為:原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知,直線恒過點當時,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點的曲線的兩條切線,切點分別為由圖象可知,當時,與有且僅有四個不同的交點設,,則,解得:設,,則,解得:,則本題正確選項:【答案點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題;解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點個數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點,采用數(shù)形結合的方式來進行求解.3.B【答案解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【題目詳解】根據(jù)題意,設,則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當與圓相切時,有最大值設切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【答案點睛】本題考查了平面向量的坐標應用,平面向量基本定理的應用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應用,綜合性強,屬于難題.4.C【答案解析】

直接利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.【題目詳解】由得:本題正確選項:【答案點睛】本題考查復數(shù)的除法的運算法則的應用,考查計算能力.5.D【答案解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構造方程求得結果.【題目詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【答案點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題,關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系;易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.6.A【答案解析】

進行交集的運算即可.【題目詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【答案點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運算,考查了計算能力,屬于基礎題.7.B【答案解析】

求得的導函數(shù),由此構造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號零點.由此令,利用分離常數(shù)法結合換元法,求得的取值范圍.【題目詳解】,設,要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號零點,令,則,令,則問題即在上有零點,由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【答案點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點問題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.8.B【答案解析】

先化簡的二項展開式中第項,然后直接求解即可【題目詳解】的二項展開式中第項.令,則,∴,∴(舍)或.【答案點睛】本題考查二項展開式問題,屬于基礎題9.C【答案解析】

由,,利用平面向量的數(shù)量積運算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結果.【題目詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

,,,

因為,

所以

,

,所以,故選C.【答案點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則,屬于中檔題.向量的運算有兩種方法:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和).10.B【答案解析】

作出可行域,平移目標直線即可求解.【題目詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過點時,其截距最大,此時最大得,當時,故選:B【答案點睛】考查線性規(guī)劃,是基礎題.11.B【答案解析】

由題意可得的周期為,當時,,令,則的圖像和的圖像至少有個交點,畫出圖像,數(shù)形結合,根據(jù),求得的取值范圍.【題目詳解】是定義域為R的偶函數(shù),滿足任意,,令,又,為周期為的偶函數(shù),當時,,當,當,作出圖像,如下圖所示:函數(shù)至少有三個零點,則的圖像和的圖像至少有個交點,,若,的圖像和的圖像只有1個交點,不合題意,所以,的圖像和的圖像至少有個交點,則有,即,.故選:B.【答案點睛】本題考查函數(shù)周期性及其應用,解題過程中用到了數(shù)形結合方法,這也是高考??嫉臒狳c問題,屬于中檔題.12.D【答案解析】因為,故函數(shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點:1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】

先分離出,應用基本不等式轉(zhuǎn)化為關于c的二次函數(shù),進而求出最小值.【題目詳解】解:若取最小值,則異號,,根據(jù)題意得:,又由,即有,則,即的最小值為,故答案為:【答案點睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值,屬于中檔題.14.【答案解析】

畫出可行域,平移基準直線到可行域邊界位置,由此求得最大值以及最小值,進而求得的比值.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,當直線過點時,取得最大值7;過點時,取得最小值2,所以.【答案點睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是:首先根據(jù)題目所給的約束條件,畫出可行域;其次是求得線性目標函數(shù)的基準函數(shù);接著畫出基準函數(shù)對應的基準直線;然后通過平移基準直線到可行域邊界的位置;最后求出所求的最值.屬于基礎題.15.【答案解析】

利用展開式所有項系數(shù)的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式,求得展開式中的常數(shù)項.【題目詳解】因為的二項展開式中,所有項的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開式的通項公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項為T5=C·3=15,故填15.【答案點睛】本題主要考查了二項式定理的應用、二項式系數(shù)的性質(zhì),二項式展開式的通項公式,屬于中檔題.16.【答案解析】

令,則,恰有四個解.由判斷函數(shù)增減性,求出最小值,列出相應不等式求解得出的取值范圍.【題目詳解】解:令,則,恰有四個解.有兩個解,由,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,可得.設的負根為,由題意知,,,,則,.故答案為:.【答案點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)當中的應用,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)存在,【答案解析】

(1)把點代入橢圓C的方程,再結合離心率,可得a,b,c的關系,可得橢圓的方程;(2)設出直線的方程,代入橢圓,運用韋達定理可求得點的坐標,再由,可求得直線的方程,要注意檢驗直線是否和橢圓有兩個交點.【題目詳解】(1)由題可得∴,所以橢圓的方程(2)由題知,設,直線的斜率存在設為,則與橢圓聯(lián)立得,,∴,,∴若以為直徑的圓經(jīng)過點,則,∴,化簡得,∴,解得或因為與不重合,所以舍.所以直線的方程為.【答案點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查直線與橢圓位置關系的應用,考查了向量的數(shù)量積的運用,屬于中檔題.18.(1)(2)當n為偶數(shù)時,;當n為奇數(shù)時,.(3)【答案解析】

(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學歸納法證明.(3)分類討論,當n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【題目詳解】(1)由題意可知,.當時,,當時,也滿足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當時,,①當時,,所以,②當時,,③當時,,所以,④……當時,n為偶數(shù)當時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當n為偶數(shù)時,.同理,當n為奇數(shù)時,,所以,當n為奇數(shù)時,.解法二:猜測:當n為奇數(shù)時,.猜測:當n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學歸納法證明:,命題成立;假設當時,命題成立;當n為奇數(shù)時,,當時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當n為奇數(shù)時同理,當n為偶數(shù)時,命題仍成立.(3)由(2)可知.①當n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當n為偶數(shù)時,的最大值是.②當n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.【答案點睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學歸納法證明數(shù)列的應用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.19.(1)有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關;(2)詳見解析.【答案解析】

(1)計算得到,由此可得結論;(2)根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù),由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對應的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學期望計算公式計算可得期望.【題目詳解】(1)∵的觀測值,有的把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關.(2)根據(jù)分層抽樣方法得:男生有人,女生有人,選取的人中,男生有人,女生有人.則的可能取值有,,,,,的分布列為:.【答案點睛】本題考查獨立性檢驗、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學期望的求解;關鍵是能夠明確隨機變量服從于超幾何分布,進而利用超幾何分布概率公式求得隨機變量每個取值所對應的概率.20.(1)(2)11【答案解析】

(1)利用二倍角公式將式子化簡成,再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再將平方,利用向量數(shù)量積可得,從而可求周長.【題目詳解】由題解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周長為【答案點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式,屬于基礎題.21.(1)見證明;(2)【答案解析】

(1)取的中點,連.可證得,,于是可得平面,進而可得結論成立.(2)運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【題目詳解】(1)證明:取的中點,連.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中點,連結,∵,∴,又,∴.又由題意得為等邊三角形,∴,∵,∴平面.作,則有平面,∴就是直線與平面所成的角.設,則,在等邊中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.解法2:由題

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