基本不等式中“1的妙用”

基本不等式中“ 1的妙用”命題特點(diǎn)分析此類題目主要特點(diǎn)是： 1、兩個(gè)變量是正實(shí)數(shù)（使用基本不等式的前提） ，2、有一個(gè)代數(shù)式 的值已知，求另一個(gè)代數(shù)式 的最小值，其中兩個(gè)代數(shù)式一個(gè)是整式 axby，一個(gè)是分式 mn，當(dāng)然會(huì)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變形。xy解題方法薈萃yx主要是湊出可以使用基本不等式的形式：的形式，多數(shù)情況下是讓兩個(gè)代數(shù)式相乘。主要是湊出可以使用基本不等式的形式：xy12例1：（1）已知x,yR，x2y1，求 的最小值；xy12（2）已知 x,yR，x2y3，求 的最小值；xy32（ 3）已知 x,y R， 2，求 6x2y的最小值；xy（ 4）已知 x,y R， x2yxy，求x2y的最小值；【解析】 這四個(gè)題目中， （1）是“ 1的替換”的最基礎(chǔ)題目，已知整式的值為1，求分式的最小值， （2）是將已知值變成了 3，需要調(diào)節(jié)系數(shù)， （3）是已知分式的值求整式的最值， （4）對分式進(jìn)行等價(jià)變換。TOC\o"1-5"\h\z【答案】（1）12（x2y）（12）12x2y45249xy xyy x2x2y 1當(dāng)且僅當(dāng) x y即 xy時(shí)取等號yx 32 1 1 2 1 2x 2y 1（x 2y）（ ） （1xy4） （524） 3xy3 xy 3 y x 32x2y 1當(dāng)且僅當(dāng) xy即xy時(shí)取等號yx 36x2y=1（32）（6x2y）93y6x218622xy xy當(dāng)且僅當(dāng)6x3y即2xy32+2時(shí)取等號yx 2

1 2 12x4yyxyxyx4)因?yàn)?x2yxy，所以 1，然后x2y=(x+2y)(+)= 48yxyxyx當(dāng)且僅當(dāng) x4y即x2y4時(shí)取等號yx12例2：（1）已知x,yR，xy1，求 的最小值；x1y322（2）已知x,yR，xy1，求xy的最小值；x1y112（3）已知x,yR，xy1，求 的最小值；2xyy312（4）已知x,yR，2x3y1，求 的最小值；xyy3【解析】 這四個(gè)題目是便是比較大的四個(gè)題目： （1）是分式的分母分別加上一個(gè)常數(shù)，為了能夠使用基本不等式，我們需要對整式也進(jìn)行相應(yīng)的變形； （2）在上一題的基礎(chǔ)上，是分式的分子分母不再是一個(gè)常數(shù)而是二次項(xiàng)，需要分離出一個(gè)代數(shù)式，變成熟悉的形式； （3）在（ 1）的情況下分母進(jìn)一步變化，不是加一個(gè)常數(shù)，而是混搭的形式； （4）在上一題的基礎(chǔ)之上不再是直接觀察出結(jié)果，而是需要配湊一個(gè)系數(shù)?！敬鸢浮浚?）整式變形成 x1y13，1 2 1(x1y3)(1 2)1(12y32(x1))122x1y35 x1y33x1y33當(dāng)且僅當(dāng)y3當(dāng)且僅當(dāng)y3=2(x1)取等號x1y3TOC\o"1-5"\h\z22 2 22）x2 y2 (x1)22(x1)1(y1)22(y1)1x12 1y12 2）x1y1 x1 y1 x1 y1111 11x1y111x1y1然后求當(dāng) xy1時(shí)，代數(shù)式 1 1的最小值x1y1123）整式變形成 2xyy35，求代數(shù)式 1 2最小值2xyy3

24）假設(shè)分式變形為 2的形式，保證 x的系數(shù)與 y的系數(shù)之比等于整式中的系數(shù)之比，即222x2yy3222x2yy3=2， =2， 1,=2，分式變形為+322整式變形為 2x2yy34，然后求 的最小值。2x2yy312x例3：（1）已知x,yR，xy1，求 的最小值；xy12（2）已知 x0,1，，求 的最小值；x1x【解析】 這兩個(gè)題目的變式又不同于之前的形式， （1）主要是分式的一個(gè)分子的系數(shù)不是一個(gè)常數(shù)，而是 2x的形式，y因?yàn)楸容^接近我們使用基本不等式的形式，所以對另一個(gè)分子替換； （2）中好像是缺了整式，但仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)分母之和為定值。12xxy2x1y2x122當(dāng)且僅當(dāng) 2xy時(shí)取等號xyxyxy yx12（2）因?yàn)?x（1x）1，然后求 的最小值x1x三、達(dá)標(biāo)與拓展TOC\o"1-5"\h\z若正數(shù) x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是（ ）A．24 B．28 C．5 D．655【解析】正數(shù) x，y滿足x3y5xy， 3 1 ，3115x5y3x5，5y3 1 9 4 3x5，5y3x4y3x4y yx2y3x4y5x 5y 5 5 5x5y 5 3x12y3x當(dāng)且僅當(dāng) yx時(shí)取等號即 3x4y的最小值是 5【答案】C.5x5y2xy已知x,y均為正實(shí)數(shù)，且 x3y2，則2xy的最小值為 ．xy解析】試題分析： 2xyxy(x3y)( )xyxyx3y2當(dāng)且僅當(dāng) 3y2x即xy3.設(shè)a0，b0，若A．8x61222xyy32 3xy3是 3a與 3b的等比中項(xiàng)，則 1B．4C．1D．14xy73y2x73y2x727 6．2【解析】 因?yàn)?是3a與 3b的等比中項(xiàng)，所以 ab11 1 1 1 ab 【答案】 B．( )(ab)2 224abab ba114．已知 a0,b0,ab1,則1 1的最小值是 2aba3b21令abx(2ab)y(a3b)，解得x，y55TOC\o"1-5"\h\z1 12 12ab(a3b)2aba3b2aba3b5 52aba3b3 a3b 22ab 3 a3b2(2ab) 32 225 52ab (5a 3b) 5 5(2ab)5(a3b) 5即a3b2(2ab)取等號a3b即a3b2(2ab)取等號解關(guān)于2xy的不等式可得2xy21472147116.已知a0，b0，a2b1，則 取到最小值為3a4ba3b31試題分析：令 a2b(3a4b)(a3b)(3)a(4 3)b，∴43215，25113a4ba3b(3a31試題分析：令 a2b(3a4b)(a3b)(3)a(4 3)b，∴43215，25113a4ba3b(3a14b1 1 2 3 12(a 3b) 3a4b)[(3a4b)(a3b)] [ ]a3b5 5 5 53a 4b a3b322(a3b)3a4b553a4ba3b3225a2b12(a3b)3a4b時(shí)，等號成立，3a4ba3b即1 1的最小值是 3223a4ba3b 5117.已知正數(shù) x,y滿足xy1,則M 的最小值為1x12y11M( )[(1x)(12y)]41x12y4 11則M ，令t2x2y，即yxt1，2x2y 2 211xyx(xt1)1恒成立，由0得22222t222，4M2x2y2222224y2zTOC\o"1-5"\h\z若正數(shù) x,y,z滿足 3x4y5z6，則 的最小值為 .2yzxz【解析】 14y2z= 1 63(xz)1 6 32yzxz2yzxz2yzxzab令2yza,xzb，則2(2yz)3(xz)3x4y5z2a3b6，即 1，32b a b 1 b 2a 7原式=( )( )3a 6 3 2 3 2a b 312已知x0，y0，且 1，若2xym恒成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 ，當(dāng)m取到最大值時(shí)xyx.【解析】 恒成立問題，求 2xy的最小值，即為“ 1的替換”答案為： ，8，2；34在邊長為 1的正三角形 ABC中，ADxAB，AEyAC，(x0，y0)且 1，