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基本不等式中“ 1的妙用”命題特點(diǎn)分析此類題目主要特點(diǎn)是: 1、兩個(gè)變量是正實(shí)數(shù)(使用基本不等式的前提) ,2、有一個(gè)代數(shù)式 的值已知,求另一個(gè)代數(shù)式 的最小值,其中兩個(gè)代數(shù)式一個(gè)是整式 axby,一個(gè)是分式 mn,當(dāng)然會(huì)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變形。xy解題方法薈萃yx主要是湊出可以使用基本不等式的形式:的形式,多數(shù)情況下是讓兩個(gè)代數(shù)式相乘。主要是湊出可以使用基本不等式的形式:xy12例1:(1)已知x,yR,x2y1,求 的最小值;xy12(2)已知 x,yR,x2y3,求 的最小值;xy32( 3)已知 x,y R, 2,求 6x2y的最小值;xy( 4)已知 x,y R, x2yxy,求x2y的最小值;【解析】 這四個(gè)題目中, (1)是“ 1的替換”的最基礎(chǔ)題目,已知整式的值為1,求分式的最小值, (2)是將已知值變成了 3,需要調(diào)節(jié)系數(shù), (3)是已知分式的值求整式的最值, (4)對(duì)分式進(jìn)行等價(jià)變換。TOC\o"1-5"\h\z【答案】(1)12(x2y)(12)12x2y45249xy xyy x2x2y 1當(dāng)且僅當(dāng) x y即 xy時(shí)取等號(hào)yx 32 1 1 2 1 2x 2y 1(x 2y)( ) (1xy4) (524) 3xy3 xy 3 y x 32x2y 1當(dāng)且僅當(dāng) xy即xy時(shí)取等號(hào)yx 36x2y=1(32)(6x2y)93y6x218622xy xy當(dāng)且僅當(dāng)6x3y即2xy32+2時(shí)取等號(hào)yx 2

1 2 12x4yyxyxyx4)因?yàn)?x2yxy,所以 1,然后x2y=(x+2y)(+)= 48yxyxyx當(dāng)且僅當(dāng) x4y即x2y4時(shí)取等號(hào)yx12例2:(1)已知x,yR,xy1,求 的最小值;x1y322(2)已知x,yR,xy1,求xy的最小值;x1y112(3)已知x,yR,xy1,求 的最小值;2xyy312(4)已知x,yR,2x3y1,求 的最小值;xyy3【解析】 這四個(gè)題目是便是比較大的四個(gè)題目: (1)是分式的分母分別加上一個(gè)常數(shù),為了能夠使用基本不等式,我們需要對(duì)整式也進(jìn)行相應(yīng)的變形; (2)在上一題的基礎(chǔ)上,是分式的分子分母不再是一個(gè)常數(shù)而是二次項(xiàng),需要分離出一個(gè)代數(shù)式,變成熟悉的形式; (3)在( 1)的情況下分母進(jìn)一步變化,不是加一個(gè)常數(shù),而是混搭的形式; (4)在上一題的基礎(chǔ)之上不再是直接觀察出結(jié)果,而是需要配湊一個(gè)系數(shù)?!敬鸢浮浚?)整式變形成 x1y13,1 2 1(x1y3)(1 2)1(12y32(x1))122x1y35 x1y33x1y33當(dāng)且僅當(dāng)y3當(dāng)且僅當(dāng)y3=2(x1)取等號(hào)x1y3TOC\o"1-5"\h\z22 2 22)x2 y2 (x1)22(x1)1(y1)22(y1)1x12 1y12 2)x1y1 x1 y1 x1 y1111 11x1y111x1y1然后求當(dāng) xy1時(shí),代數(shù)式 1 1的最小值x1y1123)整式變形成 2xyy35,求代數(shù)式 1 2最小值2xyy3

24)假設(shè)分式變形為 2的形式,保證 x的系數(shù)與 y的系數(shù)之比等于整式中的系數(shù)之比,即222x2yy3222x2yy3=2, =2, 1,=2,分式變形為+322整式變形為 2x2yy34,然后求 的最小值。2x2yy312x例3:(1)已知x,yR,xy1,求 的最小值;xy12(2)已知 x0,1,,求 的最小值;x1x【解析】 這兩個(gè)題目的變式又不同于之前的形式, (1)主要是分式的一個(gè)分子的系數(shù)不是一個(gè)常數(shù),而是 2x的形式,y因?yàn)楸容^接近我們使用基本不等式的形式,所以對(duì)另一個(gè)分子替換; (2)中好像是缺了整式,但仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn),其實(shí)分母之和為定值。12xxy2x1y2x122當(dāng)且僅當(dāng) 2xy時(shí)取等號(hào)xyxyxy yx12(2)因?yàn)?x(1x)1,然后求 的最小值x1x三、達(dá)標(biāo)與拓展TOC\o"1-5"\h\z若正數(shù) x,y滿足x3y5xy,則3x4y的最小值是( )A.24 B.28 C.5 D.655【解析】正數(shù) x,y滿足x3y5xy, 3 1 ,3115x5y3x5,5y3 1 9 4 3x5,5y3x4y3x4y yx2y3x4y5x 5y 5 5 5x5y 5 3x12y3x當(dāng)且僅當(dāng) yx時(shí)取等號(hào)即 3x4y的最小值是 5【答案】C.5x5y2xy已知x,y均為正實(shí)數(shù),且 x3y2,則2xy的最小值為 .xy解析】試題分析: 2xyxy(x3y)( )xyxyx3y2當(dāng)且僅當(dāng) 3y2x即xy3.設(shè)a0,b0,若A.8x61222xyy32 3xy3是 3a與 3b的等比中項(xiàng),則 1B.4C.1D.14xy73y2x73y2x727 6.2【解析】 因?yàn)?是3a與 3b的等比中項(xiàng),所以 ab11 1 1 1 ab 【答案】 B.( )(ab)2 224abab ba114.已知 a0,b0,ab1,則1 1的最小值是 2aba3b21令abx(2ab)y(a3b),解得x,y55TOC\o"1-5"\h\z1 12 12ab(a3b)2aba3b2aba3b5 52aba3b3 a3b 22ab 3 a3b2(2ab) 32 225 52ab (5a 3b) 5 5(2ab)5(a3b) 5即a3b2(2ab)取等號(hào)a3b即a3b2(2ab)取等號(hào)解關(guān)于2xy的不等式可得2xy21472147116.已知a0,b0,a2b1,則 取到最小值為3a4ba3b31試題分析:令 a2b(3a4b)(a3b)(3)a(4 3)b,∴43215,25113a4ba3b(3a31試題分析:令 a2b(3a4b)(a3b)(3)a(4 3)b,∴43215,25113a4ba3b(3a14b1 1 2 3 12(a 3b) 3a4b)[(3a4b)(a3b)] [ ]a3b5 5 5 53a 4b a3b322(a3b)3a4b553a4ba3b3225a2b12(a3b)3a4b時(shí),等號(hào)成立,3a4ba3b即1 1的最小值是 3223a4ba3b 5117.已知正數(shù) x,y滿足xy1,則M 的最小值為1x12y11M( )[(1x)(12y)]41x12y4 11則M ,令t2x2y,即yxt1,2x2y 2 211xyx(xt1)1恒成立,由0得22222t222,4M2x2y2222224y2zTOC\o"1-5"\h\z若正數(shù) x,y,z滿足 3x4y5z6,則 的最小值為 .2yzxz【解析】 14y2z= 1 63(xz)1 6 32yzxz2yzxz2yzxzab令2yza,xzb,則2(2yz)3(xz)3x4y5z2a3b6,即 1,32b a b 1 b 2a 7原式=( )( )3a 6 3 2 3 2a b 312已知x0,y0,且 1,若2xym恒成立,則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 ,當(dāng)m取到最大值時(shí)xyx.【解析】 恒成立問題,求 2xy的最小值,即為“ 1的替換”答案為: ,8,2;34在邊長(zhǎng)為 1的正三角形 ABC中,ADxAB,AEyAC,(x0,y0)且 1,

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