塞繆爾森中級微觀習(xí)題

平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講》答案目錄第一講偏好、效用與消費者的基本問題.....................................................................................2第二講間接效用函數(shù)與支出函數(shù).................................................................................................9第三講價格變化對消費者配置效應(yīng)與福利效應(yīng).......................................................................18第四講VNM效用函數(shù)與風(fēng)險升水............................................................................................25第五講風(fēng)險規(guī)避、風(fēng)險投資和跨期決策...................................................................................32第六講生產(chǎn)函數(shù)與規(guī)模報酬.......................................................................................................45第七講要素需求函數(shù)、成本函數(shù)、利潤函數(shù)與供給函數(shù).......................................................57第八講完全競爭與壟斷...............................................................................................................68第九講Cournot均衡、Bertrand均衡與不完全競爭..................................................................80第十講策略性博弈與納什均衡...................................................................................................93第十一講廣延型博弈與反向歸納策略.....................................................................................100第十二講子博弈與完美性.........................................................................................................105第十三講委托–代理理論初步.................................................................................................110第十四講信息不對稱、逆向選擇與信號博弈.........................................................................118第十五講工資、尋找工作與勞動市場中的匹配.....................................................................125第十六講一般均衡與福利經(jīng)濟(jì)學(xué)的兩個基本定理.................................................................134第十七講外在性、科斯定理與公共品理論.............................................................................14012221221111papppapappaypq=??????????=???=22222121221papyppypaappaypq?=??=???=與從直接效用函數(shù)中推得的結(jié)果一致．2.某個消費者的效用函數(shù)是22121,(xxxxu=，商品1和2的價格分別是1p和2p，此消費者的收入為m，求馬歇爾效用函數(shù)和支出函數(shù)．解：解線性規(guī)劃：yxpxptsxxxx=+2211221,..max21其拉格朗日函數(shù)為：(,;(221122121xpxpyxxxxL??+=λλ使(?L最大化要求λ,,21xx滿足一階條件021211=?=??pxxxLλ102212=?=??pxxLλ202211=??=??xpxpyLλ31式除以2式，得：2112211222pxpxppxx=?=4代4入3式，得1x的需求函數(shù)：111132023pyxxpy=?=?5代5入4式，得2x的需求函數(shù)：223pyx=6代5、6兩式入效用函數(shù)中，得到當(dāng)效用最大化時有間接效用函數(shù)：22122121332,(,(pypyxxxxuypv????????===又消費者效用最大化意味著((ypvpey,,=即可得到支出函數(shù)：(((3122131221223108,(,(,uppuppyypvpeupe====3.考慮下列間接效用函數(shù)(2121,,ppmmppv+=這里m表示收入，問：什么是該效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù),,(21*1mppx與,,(21*2mppx解iii：根據(jù)羅爾恒等式，可以得到這個效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)：2121221111ppmppppmypx+=++??=???=2121221121ppmppppmypx+=++??=???=4.考慮一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海與廣州三成事中選擇居住地．假定他的選擇決策只根據(jù)其效用函數(shù)，設(shè)該效用函數(shù)的形式為21xxu=，這里(221,+∈Rxx．已知北京的物價為(aapp21,，上海的物價為(bbpp21,，并且bbaapppp2121=，但babapppp2211,≠≠．又知廣州的物價為(((??????++=babaccpppppp22112121,21,．若該退休老人是理智的，他會選擇哪個城市去生活？iv解：設(shè)老人在北京、上海、廣州的效用分別為cbauuu,,，設(shè)老人的收入為m．有??????+=?+=?+ccbbaaccbbaacb因為bbaapppp2121=，所以??????=?+ccaacbappppmuuu212121142（*）又babapppp2211,≠≠，有aabbaababaccpppppppppppp2121212211211282=<++=（**）由*與**，得02<?+cbauuu又bauu=，所以有0<?cauu，0<?cbuu即老人將選擇在廣州生活．15.5.1.設(shè)21xxu=，這里(221,+∈Rxx，求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù)(uppe,,21．解：解線性規(guī)劃：xxtsxpxpxx=+212211,..min21其拉格朗日函數(shù)為：((.,;21221121xxxpxpxxL?++=λλ使(?L最大化要求λ,,21xx滿足一階條件0211=?=??xpxLλ10122=?=??xpxLλ2021=?=??xxLλ31該題解答的修正得益于網(wǎng)友caidb在中心論壇上的帖子．關(guān)于caidb的個人信息在上由1式、2式，得(uppe,,21λ12px=，λ21px=4代4入3，得pppp212210=?=?λλ5代5入4，得212px=，121px=于是可以得到對應(yīng)的支出函數(shù)(ppxpxpuppe212211212,,=+=5.2.又設(shè)21lnlnxxu+=′，同樣(221,+∈Rxx，求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù)(uppe′′,,21解：解法與5.1完全相同，得到(ueppuppe′=′′21212,,5.3.證明：((uppeuppe,,,,2121=′′證明：uppeppeppuuxxuxxuuu21ln21212121222lnlnln==?=′????+=′=′((uppeuppe,,,,2121=′′6.設(shè)某消費者的間接效用函數(shù)為(?=12121,,ppmmppv，這里10<<α．什么是該消費者對物品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)？解：若消費束x是消費者的最優(yōu)選擇，那么根據(jù)引理一，間接效用函數(shù)與支出函數(shù)存在以下關(guān)系((mpvpem,,=1由該消費者的間接效用函數(shù)，得到αα?=121pm，其中,,(21mppv=2由1式和2式，得到((αα?=121,,pmpvpe因此，由Shepard引理，得到12111?????????=??=αpppexh，α??????=??=2122pppexh7.考慮含n種商品的Cobb-Douglass效用函數(shù)∏==niiixAxu1(α這里，0>A，∑==nii11α7.1.求馬歇爾需求函數(shù)解：解線性規(guī)劃：ypxtsxAniixi=∏=..max1α其拉格朗日函數(shù)為：((pxyxAxLniii?+=∏=λλα1;使(?L最大化要求λ,,21xx滿足一階條件01=?=?=??∏≠?jjjjjiijjjpxupxAxxLijλαλααα，nj,...,3,2,1=10=?=??pxyLλ2由1式，得jjjpuxλα=，nj,...,3,2,1=3代3入2，得yuuyuypupyniniiiii=?=?=?=?∑∑==λλλαλα1104代4入3，得?？怂剐枨蠛瘮?shù)jjjpyxα=，nj,...,3,2,1=7.2.求間接效用函數(shù)解：根據(jù)7.1的結(jié)果(iiniiiniiiniiiniiipAypAypyAxuypvααααααα∏∏∏===????????=????????∑=????????===1111(,其中x為消費者的需求量．7.3.計算支出函數(shù)（同第6題的解法．不過這樣的寫法可能會好些?）解：令iniiipAyypvαα∏=????????==1,(得到iniiipyαα?=?∏????????=11又由(,,(ypvpey=，得到(iniiippeαα∏=?????????=11,7.4.計算?？怂剐枨蠛瘮?shù)解：根據(jù)Shepard引理和7.3的結(jié)果，得到?？怂剐枨蠛瘮?shù)∏≠??????????=??=jiiijjhjijpppexααα11，nj,...,3,2,1=8.以Cobb-Douglass效用函數(shù)為例說明求解效用最大化問題和求解支出最小化問題可以得到同一需求函數(shù)．解：令效用函數(shù)形式為∏==niiixAxu1(α，預(yù)算約束為ypx=*************************************************************求解效用最大化問題得到的需求函數(shù)為（見7.1題）jjjpyxα=，nj,...,3,2,1=*************************************************************求解支出最小化問題的拉格朗日函數(shù)為(?????????′+=′∏=niiixAupxxL1;αλλ使(?L最大化要求λ′,x滿足一階條件jjjpuxαλ′=1代入1=?∏=niiixAuα，得∏∏=?=????????=′?=????????′?niiiniiiiipApuAu1110αααλαλ2代2入1得到?？怂剐枨蠛瘮?shù)：jjniiijjhjpupApuxiαααλα∏=?????????=′=11，nj,...,3,2,1=3代∏==niiixAxu1(α入3得到∏=????????=nijjiiihjpxpxi1ααα，nj,...,3,2,1=4代4入預(yù)算約束ypx=得????????????????=????????????????????????=????????????????=∏∑∏∑∏=====iiiniiiinjjniiiinjjjniiiijxpxppxppyαααααααα111115代5入4得∏==????????=nijjjjiiihjpypxpxi1αααα，nj,...,3,2,1=6由3式與6式知，求解支出最小化與效用最大化得到的需求函數(shù)是一樣的．9.下列說法對嗎？為什么？函數(shù)21(,(upupxxxhj+=可以作為某種商品的?？怂剐枨蠛瘮?shù)．答：不對．由于該需求函數(shù)僅與該商品的價格相關(guān)，因此可以令所有其它商品的消費量為零．根據(jù)Shepard引理，支出函數(shù)是該?？怂剐枨蠛瘮?shù)的一個原函數(shù)．又((Cupdpupxxx++=+∫232132其中，無論C取什么值，(Cupx++2332都不是xp的一次齊次函數(shù)，因此該函數(shù)不可以作為某種商品的?？怂剐枨蠛瘮?shù)．10.下列函數(shù)能成為一個馬歇爾需求函數(shù)嗎？為什么？(222,,yxxyxppIpyppx+=這里，x與y是兩種商品，I為收入．答：假設(shè)該函數(shù)是一個馬歇爾需求函數(shù)．由>?I可知，x是正常商品，它的需求量在任何情況下隨收入上升而上升．又當(dāng)xypp>時，0>?xp，因此在xypp>時，x的需求量隨價格上升而上升．綜上所述，當(dāng)xypp>時，該商品的替代效應(yīng)為正．而任何商品價格變化對該商品需求量所起的替代效應(yīng)為非正．因此，該函數(shù)不是一個馬歇爾需求函數(shù)．第五講，第4題第一問，第二問基本上的圖就是這樣，A點為將財富全部投入到風(fēng)險投資時的狀態(tài)，B點為全部投入到安全資產(chǎn)時的狀態(tài)，以這兩點為端點的線段表示的就是投資者所有可能的資產(chǎn)組合．第三問見第5題的解答．第五講，第5題設(shè)投資者的效用函數(shù)為(wu．設(shè)gw為投資者在好的狀態(tài)下的財富，bw為壞狀態(tài)下的財富．設(shè)投資者認(rèn)為有P的概率出現(xiàn)好的狀態(tài)．設(shè)]1,0[∈λ為風(fēng)險資產(chǎn)在投資組合中所占比例．由題意知，投資者決定λ是以u的最大化為標(biāo)準(zhǔn)．即：,(maxarg*]1,0[λλλwu∈∈7因此，λ必須滿足0·(=λdu*又7事實上，很明顯這個集合里面至多只有一個元素．[][]*****1(1(1(1(1(1(1((1((,(wrwruPwrwrPuwuPwPuwuggbg+?++?++?++=?+=λλλλλ代入（*）得，krrrrPPwduwdugbbg=????=1((**現(xiàn)在證明wduwdubg((是λ的單調(diào)函數(shù)．若0(>′wu，0(<′′wu***那么，如果有ijλλ>則有]([]([igjgwuwuλλ>，]([]([ibjbw