高中物理奧賽解題方法遞推法

六、遞推法方法簡(jiǎn)介遞推法是解決物體與物體發(fā)生多次作用后的情況。即當(dāng)問(wèn)題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想將所研究的問(wèn)題歸類，然后求出通式。具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結(jié)論。再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn)，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解。用遞推法解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式。塞題精析例1：質(zhì)點(diǎn)以加速度a從靜止出發(fā)做直線運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻t，加速度變?yōu)?a；在時(shí)刻2t，加速度變?yōu)?a；…；在nt時(shí)刻，加速度變?yōu)?n+1a，求：（1）nt時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度；（2）nt時(shí)間內(nèi)通過(guò)的總路程。解析：根據(jù)遞推法的思想，從特殊到一般找到規(guī)律，然后求解。（1）物質(zhì)在某時(shí)刻t末的速度為vt=at2t末的速度為v2t=vt+2at即v2t=at+2at3t末的速度為v3t=v2t+3at=at+2at+3at……則nt末的速度為vnt=v(n－t+nat=at+2at+3at+…+nat=at(1+2+3+…+n=at(n+1n=n(n+1at（2）同理：可推得nt內(nèi)通過(guò)的總路程s=n(n+1(2n+1at2例2：小球從高h(yuǎn)0=180m處自由下落，著地后跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小（n=2），求小球從下落到停止經(jīng)過(guò)的總時(shí)間為通過(guò)的總路程。（g取10m/s2）解析：小球從h0高處落地時(shí)，速率v0==60m/s第一次跳起時(shí)和又落地時(shí)的速率v1=第二次跳起時(shí)和又落地時(shí)的速率v2=……第m次跳起時(shí)和又落地時(shí)的速率vm=每次跳起的高度依次為h1==，h2==，……，通過(guò)的總路程Σs=h0+2h1+2h2+…+2hm+…=h0+(1+++…++…=h0+=h0=h0=300m經(jīng)過(guò)的總時(shí)間為Σt=t0+t1+t2+…+tm+…=++…++…=［1+2+…+2(m+…］===18s例3：A、B、C三只獵犬站立的位置構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對(duì)方，它們同時(shí)起動(dòng)，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可捕捉到獵物？解析：由題意可知，由題意可知，三只獵犬都做等速率曲線運(yùn)動(dòng)，而且任一時(shí)刻三只獵犬的位置都分別在一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，但這正三角形的邊長(zhǎng)不斷減小，如圖6—1所示。所以要想求出捕捉的時(shí)間，則需用微元法將等速率曲線運(yùn)動(dòng)變成等速率直線運(yùn)動(dòng)，再用遞推法求解。設(shè)經(jīng)時(shí)間t可捕捉獵物，再把t分為n個(gè)微小時(shí)間間隔Δt，在每一個(gè)Δt內(nèi)每只獵犬的運(yùn)動(dòng)可視為直線運(yùn)動(dòng)，每隔Δt，正三角形的邊長(zhǎng)分別為a1、a2、a3、…、an，顯然當(dāng)an→0時(shí)三只獵犬相遇。a1=a－AA1－BB1cos60°=a－vΔta2=a1－vΔt=a－2×vΔta3=a2－vΔt=a－3×vΔt……an=a－nvΔt因?yàn)閍－nvΔt=0，即nΔt=t所以：t=（此題還可用對(duì)稱法，在非慣性參考系中求解。）例4：一列進(jìn)站后的重載列車，車頭與各節(jié)車廂的質(zhì)量相等，均為m，若一次直接起動(dòng)，車頭的牽引力能帶動(dòng)30節(jié)車廂，那么，利用倒退起動(dòng)，該車頭能起動(dòng)多少節(jié)同樣質(zhì)量的車廂？解析：若一次直接起動(dòng)，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節(jié)車廂動(dòng)能都增加，若利用倒退起動(dòng)，則車頭的牽引力需克服摩擦力做的總功不變，但各節(jié)車廂起動(dòng)的動(dòng)能則不同。原來(lái)掛鉤之間是張緊的，倒退后掛鉤間存在Δs的寬松距離，設(shè)火車的牽引力為F，則有：車頭起動(dòng)時(shí)，有：(F－μmgΔs=m拉第一節(jié)車廂時(shí)：(m+m=mv1故有：==(－μgΔs(F－2μmgΔs=×2m－×2m拉第二節(jié)車廂時(shí)：(m+2m=2mv2故同樣可得：==(－μgΔs……推理可得：=(－μgΔs由＞0可得：F＞μmg另由題意知F=31μmg，得：n＜46因此該車頭倒退起動(dòng)時(shí)，能起動(dòng)45節(jié)相同質(zhì)量的車廂。例5有n塊質(zhì)量均為m，厚度為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現(xiàn)將它們一塊一塊地疊放起來(lái)，如圖6—2所示，人至少做多少功？解析將平放在水平地面上的磚一塊一塊地疊放起來(lái)，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地計(jì)算遞推出通式計(jì)算。將第2塊磚平放在第一塊磚上人至少需克服重力做功為W2=mgd將第3、4、…、n塊磚依次疊放起來(lái)，人克服重力至少所需做的功分別為：W3=mg2dW4=mg3dW5=mg4d……Wn=mg(n－1d所以將n塊磚疊放起來(lái)，至少做的總功為W=W1+W2+W3+…+Wn=mgd+mg2d+mg3d+…+mg(n－1dmgd例6：如圖6—3所示，有六個(gè)完全相同的長(zhǎng)條薄片AiBi（i=2、4、…）依次架在水平碗口上，一端擱在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不計(jì)薄片的質(zhì)量）。將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)置于A1A6的中點(diǎn)處，試求：A1B1薄片對(duì)A6B6的壓力。解析：本題共有六個(gè)物體，通過(guò)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，A1B1、A2B2、…、A5B5的受力情況完全相同，因此將A1B1、A2B2、…A5B5作為一類，對(duì)其中一個(gè)進(jìn)行受力分析，找出規(guī)律，求出通式即可求解。以第i個(gè)薄片AB為研究對(duì)象，受力情況如圖6—3甲所示，第i個(gè)薄片受到前一個(gè)薄片向上的支持力Ni、碗邊向上的支持力和后一個(gè)薄片向下的壓力Ni+1。選碗邊B點(diǎn)為軸，根據(jù)力矩平衡有：NiL=Ni+1，得：Ni=Ni+1所以：N1=N2=N3=…=(5N6①再以A6B6為研究對(duì)象，受力情況如圖6—3乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一個(gè)薄片A1B1向下的壓力N1、質(zhì)點(diǎn)向下的壓力mg。選B6點(diǎn)為軸，根據(jù)力矩平衡有：N1+mg=N6L②由①、②聯(lián)立，解得：N1=所以，A1B1薄片對(duì)A6B6的壓力為。例7：用20塊質(zhì)量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)，橫截面是邊長(zhǎng)為h（h=）的正方形，要求此橋具有最大的跨度（即橋孔底寬），計(jì)算跨度與橋孔高度的比值。解析：為了使搭成的單孔橋平衡，橋孔兩側(cè)應(yīng)有相同的積木塊，從上往下計(jì)算，使積木塊均能保證平衡，要滿足合力矩為零，平衡時(shí)，每塊積木塊都有最大伸出量，則單孔橋就有最大跨度，又由于每塊積木塊都有厚度，所以最大跨度與橋孔高度存在一比值。將從上到下的積木塊依次計(jì)為1、2、…、n，顯然第1塊相對(duì)第2塊的最大伸出量為：Δx1=第2塊相對(duì)第3塊的最大伸出量為Δx2（如圖6—4所示），則：GΔx2=(－Δx2G得：Δx2==同理可得第3塊的最大伸出量：Δx3=……最后歸納得出：Δxn=所以總跨度：k=2=11.32h跨度與橋孔高的比值為：==1.258例8：如圖6—5所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點(diǎn)O兩側(cè)的人的序號(hào)都記為n（n=1、2、3、…）。每人只有一個(gè)沙袋，x＞0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量為m=14kg，x＜0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量m′=10kg。一質(zhì)量為M=48kg的小車以某初速度v0從原點(diǎn)出發(fā)向正x軸方向滑行。不計(jì)軌道阻力。當(dāng)車每經(jīng)過(guò)一人身旁時(shí)，此人就把沙袋以水平速度v朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，v的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍。（n是此人的序號(hào)數(shù)）（1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí)車就反向滑行？（2）車上最終有大小沙袋共多少個(gè)？解析：當(dāng)人把沙袋以一定的速度朝與車速相反的方向沿車面扔到車上時(shí)，由動(dòng)量守恒定律知，車速要減小，可見(jiàn)，當(dāng)人不斷地把沙袋以一定的速度扔到車上，總有一時(shí)刻使車速反向或減小到零，如車能反向運(yùn)動(dòng)，則另一邊的人還能將沙袋扔到車上，直到車速為零，則不能再扔，否則還能扔。小車以初速v0沿正x軸方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)第1個(gè)（n=1）人的身旁時(shí)，此人將沙袋以u(píng)=2nv0=2v0的水平速度扔到車上，由動(dòng)量守恒得：Mv0－m2v0=(M+mv1，當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到第2人身旁時(shí)，此人將沙袋以速度u′=2nv1=4v1的水平速度扔到車上，同理有：(M+mv1－m2nv1=(M+2mv2，所以，當(dāng)?shù)趎個(gè)沙袋拋上車后的車速為vn，根據(jù)動(dòng)量守恒有：［M+(n－1m］vn－1－2nmvn－1=(M+nmvn，即：vn=vn－1。同理有：vn+1=vn若拋上（n+1）包沙袋后車反向運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)有vn＞0，vn+1＜0即：M－(n+1m＞0，M－(n+2m＜0由此兩式解得：n＜，n＞。因n為整數(shù)，故取3。當(dāng)車反向滑行時(shí)，根據(jù)上面同樣推理可知，當(dāng)向左運(yùn)動(dòng)到第n個(gè)人身旁，拋上第n包沙袋后由動(dòng)量守恒定律有：［M+3m+(n－1m′］－2nm′vn－1=(M+3m+nm′解得：=同理有：=設(shè)拋上（n+1）個(gè)沙袋后車速反向，要求＞0，≤0即：解得即拋上第8個(gè)沙袋后車就停止，所以車上最終有11個(gè)沙袋。例9：如圖6—6所示，一固定的斜面，傾角θ=45°，斜面長(zhǎng)L=2.00米。在斜面下端有一與斜面垂直的擋板。一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從斜面的最高點(diǎn)沿斜面下滑，初速度為零。下滑到最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞。已知質(zhì)點(diǎn)與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.20，試求此質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始到發(fā)生第11次碰撞的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總路程。解析：因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始到發(fā)生n次碰撞的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總路程，需一次一次的求，推出通式即可求解。設(shè)每次開(kāi)始下滑時(shí)，小球距檔板為s，則由功能關(guān)系：μmgcosθ(s1+s2=mg(s1－s2sinθμmgcosθ(s2+s3=mg(s2－s3sinθ即有：==…==由此可見(jiàn)每次碰撞后通過(guò)的路程是一等比數(shù)列，其公比為∴在發(fā)生第11次碰撞過(guò)程中的路程：s=s1+2s2+2s3+…+2s11=2(s1+s2+s3+…+s11－s1=2×－s1=10－12×(11=9.86m例10：如圖6—7所示，一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內(nèi)嵌著三個(gè)大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別是m1、m2和m3，m2=m3=2m1。小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽略不計(jì)。開(kāi)始時(shí)，三球處在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此間距離相等，m2和m3靜止，m1以初速v0=沿槽運(yùn)動(dòng)，R為圓環(huán)的內(nèi)半徑和小球半徑之和，設(shè)各球之間的碰撞皆為彈性碰撞，求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T。解析：當(dāng)m1與m2發(fā)生彈性碰撞時(shí)，由于m2=2m1，所以m1碰后彈回，m2向前與m3發(fā)生碰撞。而又由于m2=m3，所以m2與m3碰后，m3能靜止在m1的位置，m1又以v速度被反彈，可見(jiàn)碰撞又重復(fù)一次。當(dāng)m1回到初始位置，則系統(tǒng)為一個(gè)周期。以m1、m2為研究對(duì)象，當(dāng)m1與m2發(fā)生彈性碰撞后，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，能量守恒定律可寫(xiě)出：m1v0=m1v1+m2v2①m1=m1+m2②由①、②式得：v1=v0=－v0，v2=v0=v0以m2、m3為研究對(duì)象，當(dāng)m2與m3發(fā)生彈性碰撞后，得v3=v0，=0以m3、m1為研究對(duì)象，當(dāng)m3與m1發(fā)生彈性碰撞后，得=0，=v0由此可見(jiàn)，當(dāng)m1運(yùn)動(dòng)到m2處時(shí)與開(kāi)始所處的狀態(tài)相似。所以碰撞使m1、m2、m3交換位置，當(dāng)m1再次回到原來(lái)位置時(shí)，所用的時(shí)間恰好就是系統(tǒng)的一個(gè)周期T，由此可得周期：T=3(t1+t2+t3=3×(++===20s例11：有許多質(zhì)量為m的木塊相互靠著沿一直線排列于光滑的水平面上。每相鄰的兩個(gè)木塊均用長(zhǎng)為L(zhǎng)的柔繩連接著?，F(xiàn)用大小為F的恒力沿排列方向拉第一個(gè)木塊，以后各木塊依次被牽而運(yùn)動(dòng)，求第n個(gè)木塊被牽動(dòng)時(shí)的速度。解析：每一個(gè)木塊被拉動(dòng)起來(lái)后，就和前面的木塊成為一體，共同做勻加速運(yùn)動(dòng)一段距離L后，把繩拉緊，再牽動(dòng)下一個(gè)木塊。在繩子繃緊時(shí)，有部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。因此，如果列出(n－1FL=nm，這樣的關(guān)系式是錯(cuò)誤的。設(shè)第(n－1個(gè)木塊剛被拉動(dòng)時(shí)的速度為vn－1，它即將拉動(dòng)下一個(gè)木塊時(shí)速度增至第n個(gè)木塊剛被拉動(dòng)時(shí)速度為vn。對(duì)第(n－1個(gè)木塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到它把下一段繩子即將拉緊這一過(guò)程，由動(dòng)能定理有：FL=(n－1m－(n－1m①對(duì)繩子把第n個(gè)木塊拉動(dòng)這一短暫過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律，有：(n－1m=nmvn，得：=vn②把②式代入①式得：FL=(n－1m(vn2－(n－1m整理后得：(n－1=n2－(n－12③③式就是反映相鄰兩木塊被拉動(dòng)時(shí)速度關(guān)系的遞推式，由③式可知當(dāng)n=2時(shí)，有：=22－當(dāng)n=3時(shí)，有：2=32－22當(dāng)n=4時(shí)，有：3=42－32……一般地，有：(n－1=n2－(n－12將以上(n－1個(gè)等式相加，得：(1+2+3+…+n－1=n2－所以有：=n2－在本題中v1=0，所以：vn=例12：如圖6—8所示，質(zhì)量m=2kg的平板小車，后端放有質(zhì)量M=3kg的鐵塊，它和車之間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.50。開(kāi)始時(shí)，車和鐵塊共同以v0=3m/s的速度向右在光滑水平面上前進(jìn)，并使車與墻發(fā)生正碰，設(shè)碰撞時(shí)間極短，碰撞無(wú)機(jī)械能損失，且車身足夠長(zhǎng)，使得鐵塊總不能和墻相碰，求小車走過(guò)的總路程。解析；小車與墻撞后，應(yīng)以原速率彈回。鐵塊由于慣性繼續(xù)沿原來(lái)方向運(yùn)動(dòng)，由于鐵塊和車的相互摩擦力作用，過(guò)一段時(shí)間后，它們就會(huì)相對(duì)靜止，一起以相同的速度再向右運(yùn)動(dòng)，然后車與墻發(fā)生第二次碰撞，碰后，又重復(fù)第一次碰后的情況。以后車與墻就這樣一次次碰撞下去。車每與墻碰一次，鐵塊就相對(duì)于車向前滑動(dòng)一段距離，系統(tǒng)就有一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，車每次與墻碰后，就左、右往返一次，車的總路程就是每次往返的路程之和。設(shè)每次與墻碰后的速度分別為v1、v2、v3、…、vn、…車每次與墻碰后向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離分別為s1、s2、s3、…、sn、…。以鐵塊運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，在車與墻第(n－1次碰后到發(fā)生第n次碰撞之前，對(duì)車和鐵塊組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律有：(M－mvn－1=(M+mvn，所以：vn=vn－1=由這一關(guān)系可得：v2=，v3=，…一般地，有：vn=由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出車與墻發(fā)生第n次碰撞后向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為：sn==類似地，由這一關(guān)系可遞推到：s1=，s2=，s3=，…，sn=所以車運(yùn)動(dòng)的總路程：s總=2(s1+s2+s3+…+sn+…=2(1+++…++…==因?yàn)関1=v0=3m/s，a==m/s2所以：s總=1.25m例13：10個(gè)相同的扁長(zhǎng)木塊一個(gè)緊挨一個(gè)地放在水平地面上，如圖6—9所示，每個(gè)木塊的質(zhì)量m=0.40kg，長(zhǎng)度l=0.45m，它們與地面間的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ2=0.10，原來(lái)木塊處于靜止?fàn)顟B(tài)。左方第一個(gè)木塊的左端上方放一個(gè)質(zhì)量為M=1.0kg的小鉛塊，它與木塊間的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ1=0.20，現(xiàn)突然給鉛塊一向右的初速度v0=4.3m/s，使其在大木塊上滑行。試確定鉛塊最后的位置在何處（落在地上還是停在哪塊木塊上）。重力加速度g取10/s2，設(shè)鉛塊的長(zhǎng)度與木塊相比可以忽略。解析：當(dāng)鉛塊向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，鉛塊與10個(gè)相同的扁長(zhǎng)木塊中的第一塊先發(fā)生摩擦力，若此摩擦力大于10個(gè)扁長(zhǎng)木塊與地面間的最大靜摩擦力，則10個(gè)扁長(zhǎng)木塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，若此摩擦力小于10個(gè)扁長(zhǎng)木塊與地面間的最大摩擦力，則10個(gè)扁長(zhǎng)木塊先靜止不動(dòng)，隨著鉛塊的運(yùn)動(dòng)，總有一個(gè)時(shí)刻扁長(zhǎng)木塊要運(yùn)動(dòng)，直到鉛塊與扁長(zhǎng)木塊相對(duì)靜止，后又一起勻減速運(yùn)動(dòng)到停止。鉛塊M在木塊上滑行所受到的滑動(dòng)摩擦力f1=μ1Mg=2.0N設(shè)M可以帶動(dòng)木塊的數(shù)目為n，則n滿足：f1－μ2(M+mg－(n－1μ2mg≥0即：2.0－1.4－0.4(n－1≥0上式中的n只能取整數(shù)，所以n只能取2，也就是當(dāng)M滑行到倒數(shù)第二個(gè)木塊時(shí)，剩下的兩個(gè)木塊將開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。設(shè)鉛塊剛離開(kāi)第8個(gè)木塊時(shí)速度為v，則：Mv2=M－μ1Mg8l得：v2=2.49(m/s2＞0由此可見(jiàn)木塊還可以滑到第9個(gè)木塊上。M在第9個(gè)木塊上運(yùn)動(dòng)如圖6—9甲所示，則對(duì)M而言有：－μ1Mg=MaM得：aM=－2.0m/s2第9及第10個(gè)木塊的動(dòng)力學(xué)方程為：μ1Mg－μ2(M+mg－μ2mg=2mam得：am=0.25m/s2設(shè)M剛離開(kāi)第9個(gè)木塊上時(shí)速度為v′，而第10個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)的速度為V′，并設(shè)木塊運(yùn)動(dòng)的距離為s，則M運(yùn)動(dòng)的距離為(s+l，有：=v2+2aM(s+l=2amsv′=v+aMtV′=amt消去s及t求出：顯然后一組解不合理，應(yīng)舍去。因v′＞V′，故M將運(yùn)動(dòng)到第10個(gè)木塊上。再設(shè)M運(yùn)動(dòng)到第10個(gè)木塊的邊緣時(shí)速度為v″，這時(shí)木塊的速度為V″，則：=+2aM(s′+l解得：=－1.63－4s′＜0，故M不能滑離第10個(gè)木塊，只能停在它的表面上，最后和木塊一起靜止在地面上。例14：如圖6—10所示，質(zhì)量為m的長(zhǎng)方形箱子，放在光滑的水平地面上。箱內(nèi)有一質(zhì)量也為m的小滑塊，滑塊與箱底間無(wú)摩擦。開(kāi)始時(shí)箱子靜止不動(dòng)，滑塊以恒定的速度v0從箱子的A壁處向B處運(yùn)動(dòng)，后與B壁碰撞。假設(shè)滑塊與箱壁每碰撞一次，兩者相對(duì)速度的大小變?yōu)樵摯闻鲎睬跋鄬?duì)速度的e倍，且e=。（1）要使滑塊與箱子這一系統(tǒng)消耗的總動(dòng)能不超過(guò)其初始動(dòng)能的40%，滑塊與箱壁最多可碰撞幾次？（2）從滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛完成上述次數(shù)的碰撞期間，箱子的平均速度是多少？解析：由于滑塊與箱子在水平方向不受外力，故碰撞時(shí)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。根據(jù)題目給出的每次碰撞前后相對(duì)速度之比，可求出每一次碰撞過(guò)程中動(dòng)能的損耗?；瑝K開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到完成題目要求的碰撞期間箱子的平均速度，應(yīng)等于這期間運(yùn)動(dòng)的總位移與總時(shí)間的比值。（1）滑塊與箱壁碰撞，碰后滑塊對(duì)地速度為v，箱子對(duì)地速度為u。由于題中每次碰撞的e是一樣的，故有：e===…=或－e===…=(－en=××…×即碰撞n次后：vn－un=(－env0①碰撞第n次的動(dòng)量守恒式是：mvn+mun=mv0②①、②聯(lián)立得：vn=［1+(－en］v0，un=［1－(－en］v0第n次碰撞后，系統(tǒng)損失的動(dòng)能：ΔEkn=Ek－Ekn=m－m(+=m－m(1+e2n=×m=Ek下面分別討論：當(dāng)n=1時(shí)，===0.146當(dāng)n=2時(shí)，===0.250當(dāng)n=3時(shí)，===0.323當(dāng)n=4時(shí)，===0.375當(dāng)n=5時(shí)，===0.412因?yàn)橐蟮膭?dòng)能損失不超過(guò)40%，故n=4。（2）設(shè)A、B兩側(cè)壁的距離為L(zhǎng)，則滑塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與箱壁發(fā)生第一次碰撞的時(shí)間t0=。在下一次發(fā)生碰撞的時(shí)間t1==，共碰撞四次，另兩次碰撞的時(shí)間分別為t2=、t3=，所以總時(shí)間t=t0+t1+t2+t3=(1+e+e2+e3在這段時(shí)間中，箱子運(yùn)動(dòng)的距離是：s=0+u1t1+u2t2+u3t3=(1+ev0×+(1－e2v0×+(1+e3v0×=+－+++=(1+e+e2+e3所以平均速度為：===例15：一容積為1/4升的抽氣機(jī)，每分鐘可完成8次抽氣動(dòng)作。一容積為1升的容器與此抽氣筒相連通。求抽氣機(jī)工作多長(zhǎng)時(shí)間才能使容器內(nèi)的氣體的壓強(qiáng)由76mmmHg降為1.9mmHg。（在抽氣過(guò)程中容器內(nèi)的溫度保持不變。）解析：根據(jù)玻一馬定律，找出每抽氣一次壓強(qiáng)與容器容積和抽氣機(jī)容積及原壓強(qiáng)的關(guān)系，然后歸納遞推出抽n次的壓強(qiáng)表達(dá)式。設(shè)氣體原壓強(qiáng)為p0，抽氣機(jī)的容積為V0，容器的容積為V。每抽一次壓強(qiáng)分別為p1、p2、…，則由玻一馬定律得：第一次抽氣后：p0V=p1(V+V0①第二次抽氣后：p1V=p2(V+V0②第二次抽氣后：p2V=p3(V+V0③……第n次抽氣后：pn－1V=pn(V+V0由以上式得：pn=(np0，所以：n=代入已知得：n==27（次）工作時(shí)間為：t==3.38分鐘例16：使一原來(lái)不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電量為Q的導(dǎo)體大球接觸，分開(kāi)之后，小球獲得電量q。今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開(kāi)有后，都給大球補(bǔ)充電荷，使其帶電量恢復(fù)到原來(lái)的值Q。求小球可能獲得的最大電量。解析：兩個(gè)孤立導(dǎo)體相互接觸，相當(dāng)于兩個(gè)對(duì)地電容并聯(lián)，設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體球帶電Q1、Q2，由于兩個(gè)導(dǎo)體球?qū)Φ仉妷合嗟龋视?，即=，亦即==k所以Q=k(Q1+Q2，k為常量，此式表明：帶電（或不帶電）的小球跟帶電大球接觸后，小球所獲得的電量與總電量的比值不變，比值k等于第一次帶電量q與總電量Q的比值，即k=。根據(jù)此規(guī)律就可以求出小球可能獲得的最大電量。設(shè)第1、2、…、n次接觸后小球所帶的電量分別為q1、q2、…，有：q1=kQ=qq2=k(Q+q1=q+kqq3=k(Q+q2=kQ+kq2=q+kq+k2q……qn=k(Q+qn－1=q+kq+k2q+…+kn－1q由于k＜1，上式為無(wú)窮遞減等比數(shù)列，根據(jù)求和公式得：qn===即小球與大球多次接觸后，獲得的最大電量為。例17：在如圖6—11所示的電路中，S是一單刀雙擲開(kāi)關(guān)，A1和A2為兩個(gè)平行板電容器，S擲向a時(shí)，A1獲電荷電量為Q，當(dāng)S再擲向b時(shí)，A2獲電荷電量為q。問(wèn)經(jīng)過(guò)很多次S擲向a，再擲向b后，A2將獲得多少電量？解析：S擲向a時(shí)，電源給A1充電，S再擲向b，A1給A2充電，在經(jīng)過(guò)很多次重復(fù)的過(guò)程中，A2的帶電量越來(lái)越多，兩板間電壓越來(lái)越大。當(dāng)A2的電壓等于電源電壓時(shí)，A2的帶電量將不再增加。由此可知A2最終將獲得電量q2=C2E。因?yàn)镼=C1E，所以：C1=當(dāng)S由a第一次擲向b時(shí)，有：=所以：C2=解得A2最終獲得的電量：q2=例18：電路如圖6—12所示，求當(dāng)R′為何值時(shí)，RAB的阻值與“網(wǎng)絡(luò)”的“格”數(shù)無(wú)關(guān)？此時(shí)RAB的阻值等于什么？解析：要使RAB的阻值與“網(wǎng)絡(luò)”的“格”數(shù)無(wú)關(guān)，則圖中CD間的阻值必須等于才行。所以有：=R′，解得：R′=(－1R此時(shí)AB間總電阻RAB=(+1R。例19：如圖6—13所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在x軸下方有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E。一質(zhì)量為m，電量為－q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿著y軸方向射出。射出之后，第三次到達(dá)x軸時(shí)，它與O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)。求此粒子射出時(shí)的速度v和每次到達(dá)x軸時(shí)運(yùn)動(dòng)的總路程s。（重力不計(jì)）解析：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半周后通過(guò)x軸進(jìn)入電場(chǎng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減為零后，又反向勻加速通過(guò)x軸進(jìn)入磁場(chǎng)后又做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)有周期性。它第3次到達(dá)x軸時(shí)距O點(diǎn)的距離L等于圓半徑的4倍（如圖6—13甲所示）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：R==所以粒子射出時(shí)的速度：v=粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半周長(zhǎng)為：s1=粒子以速度v進(jìn)入電場(chǎng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，能深入的最大距離為y，因?yàn)関2=2ay=2y所以粒子在電場(chǎng)中進(jìn)入一次通過(guò)的路程為：s2=2y=粒子第1次到達(dá)x軸時(shí)通過(guò)的路程為：s1=πR=粒子第2次到達(dá)x軸時(shí)，已通過(guò)的路程為：s2=s1+s2=+粒子第3次到達(dá)x軸時(shí)，已通過(guò)的路程為：s3=s1+s2+s1=+粒子第4次到達(dá)x軸時(shí)，已通過(guò)的路程為：s4=2s1+2s2=+粒子第(2n－1次到達(dá)x軸時(shí)，已通過(guò)的路程為：s2n－1=ns1+(n－1s2=+(n－1粒子第2n次到達(dá)x軸時(shí)，已通過(guò)的路程為：s2n=n(s1+s2=n(+上面n都取正整數(shù)。針對(duì)訓(xùn)練1．一物體放在光滑水平面上，初速為零，先對(duì)物體施加一向東的恒力F，歷時(shí)1秒鐘，隨即把此力改為向西，大小不變，歷時(shí)1秒鐘，接著又把此力改為向東，大小不變，歷時(shí)1秒鐘，如此反復(fù)，只改變力的方向，共歷時(shí)1分鐘。在此1分鐘內(nèi)（）A、物體時(shí)而向東運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向西運(yùn)動(dòng)，在1分鐘末靜止于初始位置之東B、物體時(shí)而向東運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向西運(yùn)動(dòng)，在1分鐘末靜止于初始位置C、物體時(shí)而向東運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向西運(yùn)動(dòng)，在1分鐘末繼續(xù)向東運(yùn)動(dòng)D、物體一直向東運(yùn)動(dòng)，從不向西運(yùn)動(dòng)，在1分鐘末靜止于初始位置之東2．一小球從距地面為H的高度處由靜止開(kāi)始落下。已知小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受空氣阻力為球所受重力的k倍（k＜1），球每次與地面相碰前后的速率相等，試求小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)，（1）總共通過(guò)的路程；（2）所經(jīng)歷的時(shí)間。3．如圖6—14所示，小球從長(zhǎng)L的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時(shí)與擋板碰撞并反彈而回，若每次與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前的4/5，求小球從開(kāi)始下滑到最終停止于斜面下端物體共通過(guò)的路程。4．如圖6—15所示，有一固定的斜面，傾角為45°，斜面長(zhǎng)為2米，在斜面下端有一與斜面垂直的擋板，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從斜面的最高點(diǎn)沿斜面下滑，初速度為1米/秒。質(zhì)點(diǎn)沿斜面下滑到斜面最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞。已知質(zhì)點(diǎn)與斜面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為0.20。（1）試求此質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與擋板發(fā)生第10次碰撞的過(guò)程中通過(guò)的總路程；（2）求此質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后停下來(lái)的過(guò)程中通過(guò)的總路程。5．有5個(gè)質(zhì)量相同、其大小可不計(jì)的小木塊1、2、3、4、5等距離地依次放在傾角θ=30°的斜面上（如圖6—16所示）。斜面在木塊2以上的部分是光滑的，以下部分是粗糙的，5個(gè)木塊與斜面粗糙部分之間的靜摩擦系數(shù)和滑動(dòng)摩擦系數(shù)都是μ，開(kāi)始時(shí)用手扶著木塊1，其余各木塊都靜止在斜面上?，F(xiàn)在放手，使木塊1自然下滑，并與木塊2發(fā)生碰撞，接著陸續(xù)發(fā)生其他碰撞。假設(shè)各木塊間的碰撞都是完全非彈性的。求μ取何值時(shí)木塊4能被撞而木塊5不能被撞。6．在一光滑水平的長(zhǎng)直軌道上，等距離地放著足夠多的完全相同的質(zhì)量為m的長(zhǎng)方形木塊，依次編號(hào)為木塊1，木塊2，…，如圖6—17所示。在木塊1之前放一質(zhì)量為M=4m的大木塊，大木塊與木塊1之間的距離與相鄰各木塊間的距離相同，均為L(zhǎng)?，F(xiàn)在，在所有木塊都靜止的情況下，以一沿軌道方向的恒力F一直作用在大木塊上，使其先與木塊1發(fā)生碰撞，設(shè)碰后與木塊1結(jié)為一體再與木塊2發(fā)生碰撞，碰后又結(jié)為一體，再與木塊3發(fā)生碰撞，碰后又結(jié)為一體，如此繼續(xù)下去。今問(wèn)大木塊（以及與之結(jié)為一體的各小木塊）與第幾個(gè)小木塊碰撞之前的一瞬間，會(huì)達(dá)到它在整個(gè)過(guò)程中的最大速度？此速度等于多少？7．有電量為Q1的電荷均勻分布在一個(gè)半球面上，另有無(wú)數(shù)個(gè)電量均為Q2的點(diǎn)電荷位于通過(guò)球心的軸線上，且在半球面的下部。第k個(gè)電荷與球心的距離為R2k－1，且k=1，2，3