2022年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型專題提升：第11講數(shù)列求和倒序相加法（解析版）

第11講數(shù)列求和:倒序相加法參考答案與試題解析選擇題(共6小題)(2021秋?福建月考)已知函數(shù)f(x)=(x一爐+2,數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，q>0,且“期=e,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的公式的方法，則/(/m,)+f(lna2)+...+ )=()9017A.1 B.2021 C.4034 D.80682【解答】解：用倒序相加法：令/(/叫)+f(lna2)+...+/(/?a2U17)=S@則也有了(加%J1?)+f(lnaxlb)+...+f(lna2)+于(Ina、)=S②由『(x)+f(2-x)=(x_l)3+2+(l_x)3+2=4,=aio(?=/，即有歷q+lnai0?=Ine2=2，可得：/(/w2m7)+f(/na,)=f(lna20l6)+f(lna2)=...=4,于是由①②兩式相加得25=2017x4,所以S=4O34.故選：C.(2021?奉賢區(qū)二模)已知正數(shù)數(shù)列｛4｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且/gq+/ga刈9=0,2若/(x)=7^v，則/(%)+/(。2)+…+/(々2019)=( )1+廠A.2021 B.4036 C.2019 D.4038【解答】解：正數(shù)數(shù)列｛%｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且/gq+羔^gnO,可得/g4a201g=0,即4心身=1*即彳14%019=叼。2018=…=^1009^1011=fllOIO=1'。 2 r相丁2 2x2/w=-_/(-)=—r=rr^，l+x“ x1.1 1+X]+Fx"即有/(x)+/d)=2，X設(shè)S=fa)+/(a,)+...+/(6t20l9)，乂S—/(々oig)+/(”2()ix)+,??+/(4)，相加可得25=[/(?,)+/(a2mQ]+"(%)+ 刈8)】+…+"(*)+ )1=2x2019,解得S=2O19.故選：c(2021?成都二模)已知函數(shù)/。)=黃[?！??),正項等比數(shù)列｛4｝滿足。=1,則TOC\o"1-5"\h\zf(lna])+f(Jno2)+...+f(lna^)等于( )99 101A.99 B.101 C.— D.—2 2【解答】解：由/(x)=/一可知/(x)+/(-x)=l,

3+1因為正項等比數(shù)列｛a,,｝滿足%,=1,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到：=/?52=???=《?出=1，所以/町9+/"%]=/也4?+/也52=.-=/叼+/7KA>9=。 , Ina5a=Ini=0且/(/叫J=/(/nl)=/(0)=；根 據(jù) /(x)+f(-x)=l 得98199)+f(lna2)+...+fQn%)=[/(/叫)+ )J+[f(lna2)+fQna^)J+...+[/(/no49)+f(lna5i)]+ =-+-=—故選：c.4. (2021春?江西月考)已知函數(shù)/(x)，,若e1/(-2019)+/(-2018)+...+/(2021)=2020(a2+b2)+\,a,beR.貝U|a-b+2&|的最大值為( )A.2+2>/2 B.2+V2 C.20+1 D.2>/2-2【解答】解：由函數(shù)的解析式可得：f(x)+f(2-x)=2,令S=/(-2019)+/(-2018)+...+/(2021),則S=/(2021)+/(2020)+...+/(-2019),25=4041x2, 5=4041,則2020(/+從)+1=4041,a2+b2=2,令〃=a-b,則a—b—〃=0,(a,。)是圓心為(0,0),半徑為r=0的圓上的點，直線a-b-“=0與圓有公共點，則圓心到直線〃=0的距離d=里,由d,,r,得苧”0,V2 <2得—2加2,即—2融一匕2,故-2+2僅S一6+2&2+2忘，-2+2y/2^a-h+2y/2\2+2近，故|a-b+2夜|的最大值為2+2拒，故選：A.

5.(5.(2021春?武漢期中)己”1、 2、 “2018、/f(- )+f(- )+???+/(― )=( )2019 2019 2019A.2021 B.2019【解答】解：根據(jù)題意，知函數(shù)/(x)=x+3sin(x--^)+^,則C.4036 D.4038函數(shù)/(x)=x+3sin(x-；)+；,則1 13 . 1/(I—x)=(1-x)+3sin(——x)+—=——x-3sin(x——)?則/（i-x）+/a）=2,1、 2、 々2018、\、r/2018 12、,,2017、 ^1009,,,1010、/( )+/( )+...+/( )=/( )+/( )+/( )+/( )+ + /( )+/( )=1009x2=2018TOC\o"1-5"\h\z2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019故選：4.6.(2021秋?廣陵區(qū)校級期中)已知g(x)=/(x+；)-3是R上的奇函數(shù)，an=/(0)+/(-)+...+/(^)+/(I)，nwN*，則數(shù)列｛4｝的通項公式為( )n nA.an=n+1 B.an=3/?4-1 C.an=3n+3D.an=n2—2n+3【解答】解：由題意可知：g(-x)=-g(x),即：/(；-x)+/(g+x)=6(xeR)，???函數(shù)/(x)關(guān)于點(13)對稱，令,= BO—+x=1-r.TOC\o"1-5"\h\z2 2得到〃r)+/(lT)=6,1 n-\■:'=〃0)+/(-)+...+/(——)+/(I)，n nn-\ 14=/⑴+/(——)+???+/(-)+/(O)，n n以上兩式相加可得24=6(九+1),即an=3(〃+1)?故選：C.二,填空題(共1小題)7.(2021秋?桃城區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)=—片，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，a?>0,且2017。1009=1，則/(/叫)+"??2)+…+/(/??20”)=-—?【解答】解：；〃x)=，一,e+1??/(-^)+/W=-^—7+-r-r=i-e+1e+1.?數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，..qX々2017=X^2016= =〃1008X“1010="iooq?，;設(shè)S刈7=/(/叫)+/(/")+...+/(加02a7)①,??s2a17=f(lnaxn)+f(lnaxl(t)+...+/(/叫)②，①+②得2s刈7=2017,_2017,?02017- 2 '故選：D.三.解答題(共6小題)8.(2021秋?北硝區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)對任意xeR都有〃x)+/(l-x)=3.(1)求/(')的值；⑵若數(shù)列｛4｝滿足4=f(0)+/小+f(2)+...+/")+/凸(〃eN*),求數(shù)列｛4｝的nn nn通項公式；(3)設(shè)4= (”e｛N*),C.=b”b”,i，求數(shù)列｛CJ的前"項和7；.4”,-5TOC\o"1-5"\h\z【解答】解：⑴在f(x)+/(l-x)=±中，1 1 1Q；,?心4(2) an=/(0)+/(-)+/(-)+...+/(---)+/(1)nn nn—1 n—2 14=/(D+/(——)+/(——)+.??+/(-)+/(0)nn n根據(jù)/*)+/(>x)=5，.1./(o)+/(1)=1./(-)+/(—)=|....2nn2..2cL= 3〃+3Cn=bnbn+l= =—( )* 11(3〃-2)(3〃+1)33〃-23〃+14 111 1I4 1 4〃"1 2 "3 4 47 3n-23〃+1 33九+13n+l(2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考)函數(shù)f(x)對任意xwR都有f(x)+/(l-x)=g成立.(I)求和/(』)+_/■(巴二3(〃eN*)的值；nn(II)數(shù)列?｝滿足條件；=/(0)+/(-)+/(-)+...+/(—)+/(I).試證：數(shù)列｛4｝是nn n等差數(shù)列.【解答】解：⑴?.加對任意E都有了⑴+”七成立,/(、)=:’令X=，’則仃/(，)+/(1-，)=：,即

2 4 n nn2TOC\o"1-5"\h\z(H)???可=/(o)+/(-)+，(2)+...+/(—)+/(i)nn n■-an=/(1)+/(-)+/(-)+...+/(-)+/(0)nn niw_i 9 勿_2兩式相加可得，2??=[/(0)+/(I)]+[/(-)+/(——)]+[/(-)+/(——)]+...nnnn4/(--~)+/(-)]H/⑴+/(。)]=-nn 2所以數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列.(2016春?匯川區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)對任意xwR都有，(x)+/(l-x)=2.(1)求/4)和/(-)+/(—)(neN*)的值；2nn⑵數(shù)列㈤｝滿足為=/(0)+/(2)+/(2)+...+/(七11)+/⑴，MN*),求證：｛4｝是等差數(shù)列.

(3)在(2)的情況下，令b〃=―—,Tn-bx+b2+...+bn,若a>l,對任意幾.2,不等-1式一(＞工(I+log"/-log.x)恒成立，求X的取值范圍.【解答】解：(1)f(x)對任意xwR都有/(x)+/(lr)=2.???當(dāng)X=g時，/(；)+/(l-g)=2=2沖.^x=-f則f(_L)+/(i—_L)=2,即/(_L)+/(3)=2,(2)證明：/(x)對任意xwR都有/(x)+/(l-x)=2.則令x=4,則/(與+/(nnTOC\o"1-5"\h\z:4=/(。)+/(~)+/(-)+...+/(-~~-)+/(1)?nn nn-1 n—7⑴+/(——)+f(——)+.?.+/(—)+/(。)，則兩式相加得2an=[f(0)+f則兩式相加得2an=[f(0)+f(1)]+"(-)+/( )]+...+/( )+???+"(1)nn n+/(0)]=2(n+l),則an=n+l,則4+i-q=〃+2-(〃+1)=1,為常數(shù)，，｛q,｝是等差數(shù)列.⑶-j則易知⑶-j則易知S= + + 〃+1〃+2〃+3+...+!=/(〃)，

2n八、 1 1 1111 11 111 1 An+2n+3 2〃+2〃+1〃+2〃+32n2/1+12〃+2〃+12/1+12〃+2所以/(〃)單調(diào)遞增.所以心一空"所以心一空"(2)7 7故石〉石。+log. log“工)所以10ga+|XV10g“X，

于是———<—,(a>OJga>0)恒成立心(。+1)Iga(2021?江門模擬)己知f(x)= (m>0),當(dāng)X、/wR且X+*2=1時，總有4'+m（1）求m的值；（2）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足a,,=f（e）+fd）+f（2）+-+f（U）,求｛%｝的通項公式;nnn n（3）對MzcN"￡<里恒成立，求欠的取值范圍（其中Z>0且％wl）.an〃〃+l【解答】解：（1）依題意，取為=￡=；,得/A）」，2 4當(dāng)m當(dāng)m=2時，V%1X2eRfX)+x2=1?1_ 14f+2“+2TOC\o"1-5"\h\z4+(1_ 14f+2“+24”產(chǎn)與+2(4%+4叼)+4—2所以m=2.(2)a?=/(-)+/(-)+/(-)+...+/(-),nnn nan=/(-)+/(-)+/(-)+...+/(-)nnn n兩式相加,并由已知得血=二里.2所以可=1.得人>—=9=1+_!_,ann+1 〃+1VneTV*，VneTV*，i+Ji+L3,n+\ 22等號當(dāng)且僅當(dāng)〃=l時成立,所以無的取值范圍是212.函數(shù)f(x)= (771>0)，%、X、WR,當(dāng)司+工2=1時，/(%)+/6)='?TOC\o"1-5"\h\z4'+m 2(1)求〃7的值；⑵數(shù)列｛4｝，已知q=/(())+/(■!■)+八2)+…+/(匕!)+/(1),求nn n【解答】解：(1)由/(X)+/(X,)=—?得— 1 —=—,- 2 4A,+m4X,+m24%+4&+2m=；[…+m(4*+4-)+病].?.?丹+毛=1,：.(2-m)(4x,+4力=(,〃-2)2.：.4X'+4Xj=2-m<&2-m=0.?.?4"+43.2,4*，4：=2"'"=4,而n?>0時2—/nv2,...4"+40工2—m..\m=2?(2) =/(0)+/(-)+/(—)++/(^-^)+/(1),nnn>2—1 n—2 I?**an=f(1)+/( )+/( )++/(—)+/(。)?nnn?*-2a?=[/(0)+/(1)]+[/(-)+/(--+ (1)+/(0)]=:+?++\=?nn 22 2 2n+\13.(2021秋?雁峰區(qū)校級月考)已知函數(shù)f(x)=L/〃上.2l-x(I)求證：存在定點用，使得函數(shù)/(X)圖象上任意一點尸關(guān)于“點對稱的點Q也在函數(shù)/(x)的圖象上，并求出點M的坐標(biāo)；(H)定乂S”=工/(二)=/(-)+/(—)+…+/( )，其中"WN"且”..2,求$2012；i=innn n(III)對于(II)中的S〃，求證：對于任意〃eN*都有/阪菖-岫向＞」-」n【解答】解：(1)函數(shù)定義域為(0,1).設(shè)點M的坐標(biāo)為(〃,6),則若點M,使得函數(shù)/(x)圖象上任意一點P關(guān)于M點對稱的點。也在函數(shù)