物理課件21-33第33章量子力學(xué)

量子力學(xué)第三十八章引言世界上最強(qiáng)大腦的聚會(huì)

——1927年第五屆索爾維會(huì)議合影（參加這次會(huì)議的二十九人中有十七人獲得或后來獲得諾貝爾獎(jiǎng)）關(guān)于不確定關(guān)系的描述，下面哪句正確（a）沒有測(cè)量是完美的，因?yàn)椴豢赡軓募夹g(shù)上制造出完善的測(cè)量?jī)x器（b）無法測(cè)量粒子的確切位置，除非粒子是靜止的（c）不可能同時(shí)知道粒子確切的位置和動(dòng)量（d）粒子實(shí)際上不可能有完全確定的動(dòng)量值開篇問題----請(qǐng)猜一猜§38-1量子力學(xué)——一個(gè)全新的理論量子力學(xué)作為一個(gè)全新的理論，它獲得了極大的成功。它可以解釋復(fù)雜原子的光譜及精細(xì)結(jié)構(gòu)光譜線的相對(duì)強(qiáng)度原子如何組成分子等問題量子力學(xué)主要用于處理微觀世界的問題。事實(shí)證明，經(jīng)典理論處理宏觀世界問題時(shí)極為成功，這時(shí)量子力學(xué)應(yīng)該回歸到經(jīng)典理論。§31-2波函數(shù)及其解釋；雙縫實(shí)驗(yàn)波的特征物理量波長頻率振幅對(duì)電磁波，光子能量E=hf。對(duì)物質(zhì)波，它的波長和動(dòng)量滿足，正比于

電磁波量子力學(xué)中物質(zhì)波

電場(chǎng)強(qiáng)度或磁感應(yīng)強(qiáng)度

振幅強(qiáng)度與時(shí)間和位置有關(guān)的波函數(shù)？光波的強(qiáng)度，以光量子理論解釋，（N是單位時(shí)間內(nèi)給定區(qū)域的光子數(shù)目）即：光子數(shù)目正比于電場(chǎng)強(qiáng)度的平方對(duì)單個(gè)光子，任意一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的平方是光子出現(xiàn)在該位置概率的量度。將上面的解釋推廣至物質(zhì)波，玻恩于1927年提出3，如果處理少量電子問題時(shí)，我們不能作出非常準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，所以具有概率的屬性1，波函數(shù)隨時(shí)間和空間變化。

2，如果該波函數(shù)描述的是大量電子的集合，

將正比于該點(diǎn)出現(xiàn)的電子數(shù)量。馬克斯·玻恩（1882～1970），德國猶太裔理論物理學(xué)家，量子力學(xué)奠基人之一。因?qū)α孔恿W(xué)的基礎(chǔ)性研究尤其是對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)詮釋，獲得1954年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

——t時(shí)刻，粒子在空間r處的單位體積中出現(xiàn)的幾率，又稱為幾率密度。波函數(shù)的物理意義：與Einstein把視為“光子密度的幾率量度”相類似，Born把解釋為更好的理解該解釋，以光和電子通過雙縫實(shí)驗(yàn)為例光子穿過雙縫，在屏幕上留下明暗相間的干涉條紋光的干涉電子數(shù)N=7電子數(shù)N=100電子數(shù)N=3000電子數(shù)N=20000電子數(shù)N=70000單個(gè)粒子在哪一處出現(xiàn)是偶然事件；大量粒子的分布有確定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。出現(xiàn)概率小出現(xiàn)概率大電子雙縫干涉圖樣要解釋雙縫干涉的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，必須承認(rèn)

電子具有波動(dòng)性因?qū)嶒?yàn)時(shí)可控制電子一個(gè)個(gè)通過狹縫，即使當(dāng)電子（或光子）是一次一個(gè)通過狹縫時(shí)，干涉圖案也會(huì)發(fā)生，說明干涉花紋不可能是電子間相互作用的結(jié)果。因此，干涉條紋不是通過一個(gè)電子與另一個(gè)的相互作用出現(xiàn)的，而是由于每個(gè)電子像波一樣同時(shí)通過兩個(gè)狹縫與自身發(fā)生干涉形成的。而且，每一個(gè)電子具有粒子性，會(huì)撞擊屏幕出現(xiàn)一個(gè)小亮點(diǎn)，好像它是一個(gè)粒子。雙縫干涉實(shí)驗(yàn)充分說明干涉圖像并不是由微觀粒子的相互作用產(chǎn)生的，而是單個(gè)電子波動(dòng)屬性的集體貢獻(xiàn)?！?8-3海森堡不確定性原理

海森堡(W.K.Heisenberg，1901—1976）德國理論物理學(xué)家.建立了新力學(xué)理論的數(shù)學(xué)方案，為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻(xiàn).1927年提出“不確定關(guān)系”，為核物理學(xué)和（基本）粒子物理學(xué)準(zhǔn)備了理論基礎(chǔ)；于1932年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).

無論何時(shí)測(cè)量時(shí)，總是包括一些不確定性。例如，你不能對(duì)桌子的長度作絕對(duì)精確的測(cè)量。甚至用最小刻度為1mm的測(cè)量棒時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)0.5毫米量級(jí)的誤差。更精確的儀器會(huì)產(chǎn)生更精確的測(cè)量。但不管多好的測(cè)量?jī)x器，在測(cè)量中總含有一些不確定性。我們期望通過使用更精確的儀器，使儀器測(cè)量的不確定性可以無限小。

但依據(jù)量子力學(xué)，實(shí)際上一定的測(cè)量值的精確度總有實(shí)際的限制。此限制不是限制儀器能做得多好，相反，它是測(cè)量所帶來的固有屬性。這是兩個(gè)因素造成的：波粒二象性和所觀察的對(duì)象和觀測(cè)儀器之間不可避免的相互作用。海森堡1927年首先闡明的不確定性原理的精髓

現(xiàn)在讓我們看看波粒二象性的用武之地。設(shè)想一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)(理想化的科學(xué)實(shí)驗(yàn))，我們?cè)噲D用光子測(cè)量一個(gè)電子的位置，如圖38-5。（如果我們用以電子顯微鏡，論點(diǎn)是類似的。）

圖38-5一個(gè)用功能強(qiáng)大的光學(xué)顯微鏡探測(cè)單電子的思想實(shí)驗(yàn)。至少要有一個(gè)來自電子的散射光子（傳遞給電子一部分動(dòng)量）進(jìn)入顯微鏡。觀測(cè)儀器之間不可避免的相互作用。知識(shí)回顧:35-5波長對(duì)顯微鏡分辨率的影響當(dāng)我們可能認(rèn)為我們看到的是一個(gè)對(duì)象的細(xì)節(jié)時(shí)，而事實(shí)上我們看到的只不過是衍射圖案的細(xì)節(jié)。顯微鏡用的是凸透鏡，光線透過它也會(huì)產(chǎn)生艾里斑，我們通過顯微鏡看到的一個(gè)點(diǎn)，其實(shí)是一個(gè)光斑。如果觀察的兩個(gè)點(diǎn)離得比較遠(yuǎn)，我們還能分辨得出。應(yīng)用瑞利判據(jù)：兩個(gè)物體(或一個(gè)物體附近的兩個(gè)點(diǎn))剛好處于可以被分辨的距離，其對(duì)應(yīng)的，由下面公式給出：

這個(gè)公式所有顯微鏡及望遠(yuǎn)鏡都有效，其中D是所述物鏡或反射鏡的直徑。但是如果兩個(gè)點(diǎn)靠得非常近，近到它們產(chǎn)生的艾里斑重疊在一起，我們就分不清是兩個(gè)點(diǎn)了，而只是看到模糊的一團(tuán)。所以艾里斑也決定了顯微鏡的分辨極限。

1873年，德國物理學(xué)家阿貝發(fā)現(xiàn)了顯微鏡分辨極限的公式，被叫做阿貝極限。它大約等于光波波長的一半。可見光中波長最短的紫光的波長大約是400納米，阿貝極限也就是大約200納米。也就是說，如果兩個(gè)點(diǎn)的距離達(dá)到200納米，用光學(xué)顯微鏡就分辨不出了。這大約相當(dāng)于放大1500倍。這就是光學(xué)顯微鏡的分辨極限。

知識(shí)回顧:35-5波長對(duì)顯微鏡分辨率的影響

正如我們?cè)诘?5章所看到的，最大分辨率能到所使用的衍射光的波長量級(jí)。如果我們想要一個(gè)精確的位置測(cè)量，那么我們必須使用短波長的光。但很短的波長對(duì)應(yīng)于高頻率和大動(dòng)量（

）；光子的動(dòng)量越多，當(dāng)它們?nèi)肷涞接^測(cè)對(duì)象時(shí)給目標(biāo)的動(dòng)量就越多。如果我們用較長波長的光子，相應(yīng)地光子的動(dòng)量越小。受到光子撞擊的目標(biāo)物體的運(yùn)動(dòng)不會(huì)受到很多的影響。但在較長的波長意味著分辨率較低，所以對(duì)象的位置有較差的精確度。這樣，觀測(cè)的行為會(huì)對(duì)對(duì)象電子的位置和動(dòng)量產(chǎn)生一個(gè)不確定性。

這就是海森堡1927年首先闡明的不確定性原理的精髓。

海森堡1927年首先闡明的不確定性原理的精髓

如何定量地近似計(jì)算不確定性效應(yīng)？如果我們使用的光波長

，那么最大分辨率能到波長

量級(jí)。也就是說，該觀測(cè)對(duì)象位置測(cè)量的不確定度，

，近似為

假設(shè)該觀測(cè)對(duì)象可以由單個(gè)光子檢測(cè)到。光子具有動(dòng)量

（公式37-5）。當(dāng)光子撞擊到觀測(cè)對(duì)象，它會(huì)傳遞給目標(biāo)部分或全部的動(dòng)量，如圖38-5。

海森堡不確定性原理的數(shù)學(xué)陳述

因?yàn)槲覀兪孪炔恢滥苡卸嗌賱?dòng)量將被轉(zhuǎn)移，因此，我們的目標(biāo)在x方向的最終動(dòng)量將有不確定量

。

觀測(cè)對(duì)象位置和動(dòng)量的不確定度乘積是

取決于設(shè)備和需要檢測(cè)的光子的數(shù)量，不確定量可能會(huì)比這更大，更仔細(xì)的數(shù)學(xué)計(jì)算顯示了這兩個(gè)不確定量的乘積滿足下列條件

（38-1）

這里

在x方向動(dòng)量的不確定量。公式38-1就是海森堡不確定性原理的數(shù)學(xué)陳述，有時(shí)或被稱為海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理。

海森堡不確定性原理的數(shù)學(xué)陳述

海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理告訴我們，我們不能同時(shí)精確地測(cè)量觀測(cè)目標(biāo)的位置和動(dòng)量。我們?cè)噲D測(cè)量目標(biāo)對(duì)象的位置越準(zhǔn)確，即

越小，則測(cè)量的目標(biāo)對(duì)象的動(dòng)量的不確定量

就越大。反之，如果我們?cè)噲D測(cè)量目標(biāo)對(duì)象的動(dòng)量越準(zhǔn)確，則測(cè)量目標(biāo)對(duì)象的位置不確定量就越大。

|注：然而，量子力學(xué)允許同時(shí)精確地測(cè)量

和

：也就是

*注意

不確定性不是來自儀器的局限，而是由內(nèi)在的本性決定的（波粒二象性）。然而，不確定性原理并不禁止單個(gè)量精確的測(cè)量。例如，在原則上，我們可以精確地測(cè)量一個(gè)物體的位置。但是它的動(dòng)量將完全是未知的。這樣，雖然我們可以知道觀測(cè)對(duì)象在某一時(shí)刻的精確位置，但我們不知道它稍后將到哪里。這里表述的不確定性是固有的本質(zhì)屬性，它反映了即使使用最好的儀器在理論上所能達(dá)到的最佳精度。海森堡不確定性原理的精髓pqα0Pq縫寬:坐標(biāo)的不確定量;α衍射角;p動(dòng)量的不確定量;p

q=h*不確定關(guān)系反映了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.是物理學(xué)中一個(gè)極為重要的關(guān)系式,其表式是:粗略的表示：分量形式：海森堡嚴(yán)格推出：其中

約化普朗克常數(shù)物理意義(1)也就是說，當(dāng)粒子的位置X完全確定(X0),那么粒子的動(dòng)量PX，的數(shù)值就完全不確定（Px)；反之，當(dāng)粒子處于一個(gè)動(dòng)量Px完全確定的狀態(tài)時(shí)（Px),則粒子的坐標(biāo)X就完全不確定，即不可能把粒子固定住。(2)不確定關(guān)系完全是由于微觀粒子的波粒二象性所決定的，與所用儀器的精密程度無關(guān)；與測(cè)量技術(shù)無關(guān)。事實(shí)上因?yàn)椴６笮?，使得粒子在客觀上不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量。(3)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系給出了經(jīng)典理論適用的界限。(4)我們無法用軌道的概念來描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)。不確定的根源是“波粒二象性”，這是微觀粒子的根本屬性

.微觀粒子同一方向上的坐標(biāo)與動(dòng)量不可同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)量,它們的精度存在一個(gè)終極不可逾越的限制.能量和時(shí)間、角動(dòng)量和角位移也滿足不確定關(guān)系例38-1

電子位置的不確定性。在電子以作直線運(yùn)動(dòng)，速度的測(cè)量精度達(dá)到0.10％。位置可以同時(shí)測(cè)量的最大精度是多少？

解題思路

：電子動(dòng)量是

，動(dòng)量的不確定量是。

解：電子的動(dòng)量是

該動(dòng)量的不確定量由不確定性原理，同時(shí)進(jìn)行的最佳位置測(cè)量將具有不確定量

即110nm注：這約是一個(gè)原子直徑的1000倍。

和子彈飛行速度每秒幾百米相比,這速度的不確定性是微不足道的,所以子彈的運(yùn)動(dòng)速度是確定的。

例設(shè)子彈的質(zhì)量為0.01㎏,槍口的直徑為0.5㎝試求子彈射出槍口時(shí)的橫向速度的不確定量。根據(jù)不確定性關(guān)系

解：

子彈位置的不確定量子彈動(dòng)量的不確定量§38-4物理中的哲學(xué)——確定論還是概率論＊量子物理的基本規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而經(jīng)典物理的規(guī)律是確定論和嚴(yán)格的因果律。但量子物理的統(tǒng)計(jì)規(guī)律與經(jīng)典物理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律又截然不同，這表現(xiàn)在：（1）在經(jīng)典物理中，“幾率”是統(tǒng)計(jì)規(guī)律的關(guān)鍵概念；在量子物理中，“幾率幅

”才是最核心的概念。（2）在經(jīng)典物理中，根本的規(guī)律還是決定論。經(jīng)典物理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律只適用于由大量粒子組成的多粒子體系；而在量子物理中，單個(gè)粒子就顯示出統(tǒng)計(jì)屬性?！?8-5一維薛定諤方程——不含時(shí)（定態(tài)）方程薛定諤方程可以寫成兩種形式：含時(shí)（非定態(tài)）

和非含時(shí)（定態(tài)）的形式。一維定態(tài)薛定諤方程如下回顧玻恩對(duì)波函數(shù)的解釋可知，本身是不可測(cè)量的，但則是可測(cè)的。波函數(shù)的歸一化：波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：因幾率不會(huì)在某處突變，波函數(shù)必須處處連續(xù)。因在空間任意處只能有一個(gè)幾率，波函數(shù)必須單值。因幾率不能無限大，所以波函數(shù)必須有限。不符合這三個(gè)條件的函數(shù)沒物理意義，不代